精品解析：江西省九江市匡庐星瀚高级中学2025-2026学年度下学期3月月考高二数学试卷

江西省九江市匡庐星瀚高级中学2025-2026学年度下学期3月月考 高二数学试卷 （考试时间120分钟，试卷满分150分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1. 下列命题正确的是（ ） A. 经过定点的直线都可以用方程表示 B. 直线过点．倾斜角为，则其方程为 C. 在坐标轴上截距相等的直线都可以用方程来表示 D. 直线在轴上截距为2 2. 设m，n是空间两条不同直线，，是空间两个不同平面，则下列选项中正确的是（ ） A. 当时，“”是“”的充分不必要条件 B. 当时，“”是“”的充分不必要条件 C. 当时，“”是“”的必要不充分条件 D. 当时，“”是“”的必要不充分条件 3. 设x、y∈R，则“|x|≤4且|y|≤3”是“＋≤1”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 若双曲线C：的离心率为2，C的一条渐近线被圆所截得的弦长为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 5. 若抛物线上一点到准线和抛物线的对称轴的距离分别为10和6，则该点横坐标为（ ） A. 6 B. 8 C. 1或9 D. 10 6. 方程表示的曲线是 A. 一个圆和一条射线 B. 一个圆和一条直线 C. 一个圆 D. 一条直线 7. 四面体中，，，，且，，则等于（ ） A. B. C. D. 8. 设数列的前项和为，若为常数，则称数列为“吉祥数列”.已知等差数列的首项为2，且公差不为0，若数列为“吉祥数列”，则数列的通项公式为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得零分． 9. 已知椭圆的左、右焦点分别为为上顶点，则（   ） A. 的长轴长为5 B. 的离心率等于 C. D. 的周长为16 10. 《九章算术》中，将底面为长方形，且一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马.在阳马中，平面，且，则（ ） A. 异面直线与所成的角为 B. 平面平面 C. 点到平面的距离为 D. 阳马的外接球的表面积为 11. 设公比为的等比数列的前项和为，若，，则（ ） A. B. C. 或 D. 为递增数列 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分， 12. 已知方程表示圆，其中，且a≠1，则不论a取不为1的任何实数，上述圆恒过的定点的坐标是________________. 13. 在平行六面体中，底面是边长为正方形，侧棱的长为，且，则的长为__________. 14. 已知双曲线的左､右焦点分别为，过的直线与的左､右两支分别交于点，若为线段的中点，且成等差数列，则双曲线的离心率的值为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 造船时，在船体放样中，要画出甲板圆弧线．由于这条圆弧线的半径很大，无法直接在钢板上用圆规画出，因此需要先求出这条圆弧线的方程，再用描点法画出圆弧线．如图，已知圆弧的半径为29米，圆弧所对的弦长为12米，以米为单位，建立适当的平面直角坐标系，并求圆弧的方程．（答案中数据精确到0.001米，） 16. 已知等差数列的前项和为，，.数列满足，为数列的前项和. （1）求的通项公式； （2）设，若的前n项和为，求. （3）求证： 17. 如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥底面ABCD，PA＝AB＝4，E为PB的中点，F为线段BC上的点，且BF＝BC. （1）求证：平面AEF⊥平面PBC； （2）求点F到平面PCD的距离. 18. 已知椭圆的左､右焦点分别为和，离心率是，直线被椭圆截得的弦长等于2. （1）求椭圆的标准方程； （2）若直线与椭圆相交于两点，为坐标原点，求的面积. 19. 过原点的直线与曲线交于两点，求弦中点的轨迹． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江西省九江市匡庐星瀚高级中学2025-2026学年度下学期3月月考 高二数学试卷 （考试时间120分钟，试卷满分150分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1. 下列命题正确的是（ ） A. 经过定点的直线都可以用方程表示 B. 直线过点．倾斜角为，则其方程为 C. 在坐标轴上截距相等的直线都可以用方程来表示 D. 直线在轴上截距为2 【答案】B 【解析】 【分析】根据直线斜率是否存在可判断A,B;根据截距可以为0可判断C;计算出直线在轴上截距可判断D. 【详解】对于A选项：当直线过点且与轴垂直时，直线方程不能用表示，故A错误； 对于B选项：直线过点，倾斜角为，此时斜率不存在，直线方程可表示为，故B正确； 对于C选项：在坐标轴上截距相等的直线可能过原点，所以不一定能用表示，故C错误； 对于D选项：由直线,令，解得，所以该直线在轴上截距为，故D错误； 故选：B. 2. 设m，n是空间两条不同直线，，是空间两个不同平面，则下列选项中正确的是（ ） A. 当时，“”是“”的充分不必要条件 B. 当时，“”是“”的充分不必要条件 C. 当时，“”是“”的必要不充分条件 D. 当时，“”是“”的必要不充分条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据空间中的垂直关系的转化可判断AB的正误，根据空间中平行关系的转化可判断CD的正误. 【详解】对于A，当时，若，则，反之也成立， 故“”是“”的充分必要条件，故A错误. 对于B，当时，由线面垂直的判断定理可得：若，则， 但若，或或相交均可能， 故当时，“”是“”的充分不必要条件，故B正确. 对于C，当时，，则平行或异面， 而时，或， 故“”是“”的既不充分也不必要条件，故C错误. 对于D，当时，若，则或或相交均可能， 当时，则或或相交均可能， 故“”是“”的既不充分也不必要条件，故D错误， 故选：B. 3. 设x、y∈R，则“|x|≤4且|y|≤3”是“＋≤1”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】依据题意作出图形，然后根据充分条件、必要条件的概念进行判断即可. 【详解】“|x|≤4且|y|≤3”表示的平面区域M为矩形区域， “＋≤1”表示的平面区域N为椭圆＋≤1及其内部， 则如图 显然N在M内， 故选：B． 【点睛】本题考查充分条件、必要条件的概念以及椭圆的图象，识记概念，属基础题. 4. 若双曲线C：的离心率为2，C的一条渐近线被圆所截得的弦长为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 【答案】A 【解析】 【分析】先将圆的方程化为标准方程，得到圆心和半径，从而得到双曲线的右焦点，利用点到直线的距离公式，通过勾股定理，求解直线和圆的弦长即可. 【详解】由题可知，离心率，得， 双曲线C：的一条渐近线不妨为，即， 圆的圆心为，半径为，可得圆心到直线的距离为，弦长为. 故选：A． 5. 若抛物线上一点到准线和抛物线的对称轴的距离分别为10和6，则该点横坐标为（ ） A. 6 B. 8 C. 1或9 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】先设该点的坐标为，根据题中条件列出方程组求解，即可得出结果. 【详解】设所求点的坐标为， 由题意可得，，则，解得或， 所以或. 故选：C. 6. 方程表示的曲线是 A. 一个圆和一条射线 B. 一个圆和一条直线 C. 一个圆 D. 一条直线 【答案】B 【解析】 【分析】化简方程可得出对应的曲线. 【详解】, 或， 即表示圆或直线， 故选：B 【点睛】本题主要考查了方程的曲线，圆的方程，直线的方程，属于容易题. 7. 四面体中，，，，且，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】结合图形，根据向量的线性运算法则计算即得. 【详解】因为，， 所以， 所以， 故选：B. 8. 设数列的前项和为，若为常数，则称数列为“吉祥数列”.已知等差数列的首项为2，且公差不为0，若数列为“吉祥数列”，则数列的通项公式为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设出等差数列的公差，根据为常数求得后可得通项公式． 【详解】设等差数列的公差，则， ∴． 又数列为“吉祥数列”，∴为常数， 不妨设， 则得， 则，解得：， ∴. 故选：D． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得零分． 9. 已知椭圆的左、右焦点分别为为上顶点，则（   ） A. 的长轴长为5 B. 的离心率等于 C. D. 的周长为16 【答案】CD 【解析】 【分析】由椭圆方程得到，进而逐项判断即可. 【详解】由题意知， 所以的长轴长为10，， 所以离心率为的周长为， 故AB错误，CD正确. 故选：CD. 10. 《九章算术》中，将底面为长方形，且一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马.在阳马中，平面，且，则（ ） A. 异面直线与所成的角为 B. 平面平面 C. 点到平面的距离为 D. 阳马的外接球的表面积为 【答案】ABD 【解析】 【分析】作出符合题意的图形，建立空间直角坐标系，利用异面直线夹角的向量求法判断A，利用空间位置关系的向量证明判断B，利用点到平面距离的向量求法判断C，将阳马放在正方体里，进而求解外接球半径，利用球的表面积公式求出表面积判断D即可. 【详解】作出符合题意的图形，以为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示 连接，可得， 对于A，由题意得，， 设异面直线与所成的角为， 则， 而，可得，故A正确， 对于B，由题意得，， 设面的法向量为，则， 令，解得，得到， 由题意得，， 设面的法向量为，则， 令，解得，得到， 则，可得平面平面，故B正确， 对于C，由题意得，， 设点到平面的距离为， 由点到平面的距离公式得，故C错误， 对于D，如图，将阳马放在正方体内，则其外接球为正方体外接球， 而，则外接球半径为， 由球的表面积公式得球的表面积为，故D正确. 故选：ABD 11. 设公比为的等比数列的前项和为，若，，则（ ） A. B. C. 或 D. 为递增数列 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据等比数列的通项公式求出和，分和两种情况讨论，得到答案. 【详解】，， 所以，解得或，A错误； 当时，，，，； 当时，，，，. 综上可得是递增数列，BCD正确. 故选：BCD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分， 12. 已知方程表示圆，其中，且a≠1，则不论a取不为1的任何实数，上述圆恒过的定点的坐标是________________. 【答案】 【解析】 【分析】将已知圆的方程整理得到，联立，即可求出结果. 【详解】由已知得，它表示过圆与直线交点的圆. 由，解得 即定点坐标为. 故答案为 【点睛】本题主要考查圆恒过定点的问题，熟记圆的方程即可，属于常考题型. 13. 在平行六面体中，底面是边长为正方形，侧棱的长为，且，则的长为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据空间向量的运算来求得正确答案. 【详解】 ， 所以. 故答案为： 14. 已知双曲线的左､右焦点分别为，过的直线与的左､右两支分别交于点，若为线段的中点，且成等差数列，则双曲线的离心率的值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】设，由题意求出参数m，进而得到，从而求出，再在中由勾股定理即可求解. 【详解】连接，则由题意可知， 设，则， 因为成等差数列，所以， 所以，所以， 所以，即， 所以，即， 所以双曲线的离心率的值为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 造船时，在船体放样中，要画出甲板圆弧线．由于这条圆弧线的半径很大，无法直接在钢板上用圆规画出，因此需要先求出这条圆弧线的方程，再用描点法画出圆弧线．如图，已知圆弧的半径为29米，圆弧所对的弦长为12米，以米为单位，建立适当的平面直角坐标系，并求圆弧的方程．（答案中数据精确到0.001米，） 【答案】 【解析】 【分析】以弦所在直线为轴，弦的垂直平分线为轴，根据勾股定理求得圆心坐标即可得解. 【详解】以弦所在直线为轴，弦的垂直平分线为轴，建立平面直角坐标系， 可知弦的端点坐标分别为、． 设圆弧的圆心为，连接，则，， 从而， 所以圆心的坐标为． 所以，圆弧的方程为． 16. 已知等差数列的前项和为，，.数列满足，为数列的前项和. （1）求的通项公式； （2）设，若的前n项和为，求. （3）求证： 【答案】（1）； （2）； （3）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）利用等差数列的通项公式与前项和公式求首项及公差，进而求出通项公式. （2）应用错位相减法及等比数列的前n项和公式求； （3）由（1）求，利用裂项相消法求出，即可得证. 【小问1详解】 设等差数列的公差为， 由，得，解得， 所以数列的通项公式. 【小问2详解】 由题设，则，故， 所以， 所以； 【小问3详解】 由（1）得，， 所以. 17. 如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥底面ABCD，PA＝AB＝4，E为PB的中点，F为线段BC上的点，且BF＝BC. （1）求证：平面AEF⊥平面PBC； （2）求点F到平面PCD的距离. 【答案】（1）证明见解析；（2）. 【解析】 【分析】（1）根据题意可得AE⊥平面PBC，进而可证明平面AEF⊥平面PBC； （2）利用等体积法求点到面的距离. 【详解】（1）证明：因为PA⊥底面ABCD，BC底面ABCD，所以，又因为底面ABCD为正方形，所以，又因为AB平面PBC，PA平面PBC，且，所以BC⊥底面PAB，又因为AE平面PBA，所以，因为PA＝AB，E为PB的中点，所以，又因为PB平面PBC，BC平面PBC，所以AE⊥平面PBC，因为AE平面AEF，所以平面AEF⊥平面PBC； （2）解：因为，，所以，又，所以 ，因为， 设点B到平面PCD的距离为， 所以， 由BF＝BC，知点F到平面PCD的距离为. 18. 已知椭圆的左､右焦点分别为和，离心率是，直线被椭圆截得的弦长等于2. （1）求椭圆的标准方程； （2）若直线与椭圆相交于两点，为坐标原点，求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据已知条件求得，从而求得椭圆的标准方程. （2）联立直线的方程和椭圆的方程，求得两点的坐标，进而求得，结合到直线的距离求得的面积. 【小问1详解】 由令得，解得，所以， 结合，解得， 所以椭圆的标准方程为. 【小问2详解】 由解得或 不妨设设，即， 所以， 原点到直线的距离为， 所以. 19. 过原点的直线与曲线交于两点，求弦中点的轨迹． 【答案】抛物线的部分或 【解析】 【分析】设的中点为，联立直线与抛物线方程，结合韦达定理求解即可. 【详解】设的中点为， 设直线的方程为：（依题意，必须存在）， 联立，得：， 则，解得或， 且， 则，又， 消去得：， 又或， 所求的轨迹是抛物线的部分或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $