精品解析：贵州省黔东南州八校联盟2021-2022学年九年级下学期期第一次联盟模拟数学试题

黔东南州八校联盟2021-2022学年度第二学期第一次联盟考试（数学）试卷 （本试卷共8个大题26小题，总分150分，考试时间120分钟） 考生注意： 1．答题时，务必将自己的姓名．准考证号填写在答题卡规定的位置上． 2．答选择题，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号． 3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上． 4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效． 5．考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回． 一、选择题（每小题4分，共40分） 1. 下列计算正确的是 （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】试题分析：A、B两个选项中都不是同类项，无法进行合并计算；C、同底数幂相除，底数不变，指数相减，则原式=；D、计算正确. 考点：（1）、合并同类项；（2）、同底数幂计算. 2. 一组数据：75、95、85、100、125的中位数是（　　） A. 85 B. 95 C. 96 D. 100 【答案】B 【解析】 【分析】将一组数据按照由小到大（或由大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数，据此求解即可． 【详解】解：将数据从小到大排列为：75、85、95、100、125 ∴中位数是95． 3. 已知，则的值为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先将所求代数式变形，再代入已知条件计算即可． 【详解】解：∵， ∴． 4. 湖里中学九（3）班在庆祝“建党100周年”开展的一次学党史知识手抄报活动中，一个由5人组成的小组里所有同学均相互传阅自己制作的手抄报，则该小组的同学共传阅（　　） A. 5次 B. 15次 C. 20次 D. 25次 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意确定每名同学需要传阅的次数，再结合总人数计算总传阅次数即可． 【详解】解：∵小组共5人，所有同学相互传阅自己的手抄报，即每名同学都要将自己的手抄报传给除自己外的名同学， ∴总传阅次数为次． 5. 已知一元二次方程的两根分别为，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，利用根与系数的关系求解即可，解题的关键是熟记：一元二次方程的两个根为，，则，． 【详解】解：∵已知一元二次方程的两根分别为，， ∴，， ∴． 故选：． 6. 将一副直角三角尺如图放置，已知，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 本题主要考查两直线平行，内错角相等，以及三角形的内角和定理．根据直角尺各角的度数及三角形内角和定理解答． 【详解】解：∵， ∴， ∵ ∴． 故选：A． 7. 小红需要用扇形薄纸板制作成底面半径为9厘米，高为12厘米的圆锥形生日帽，则该扇形薄纸板的圆心角为( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用勾股定理计算出母线长=15，设该扇形薄纸板的圆心角为n°，利用弧长公式得到 ，解得n=216． 【详解】解：∵底面半径为9厘米，高为12厘米， ∴圆锥的母线长cm, ∵底面半径为9cm， ∴底面周长=18πcm， ∴ 解得n=216， ∴该扇形薄纸板的圆心角为216°． 故选：C． 【点睛】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长． 8. 用若干个大小相同、棱长为1的小正方体搭成一个几何体模型，其三视图如下图所示，则搭成这个几何体模型所用的小正方体的个数是（　　） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】B 【解析】 【分析】找出俯视图中每个位置上的正方体个数，再求和即可． 【详解】解：这个几何体所用的小正方体的分布情况如图所示（每个正方形上的数字表示该位置上小正方体的个数）． 故搭成这个几何体所用的小正方体的个数是． 9. y1=kx+n（k≠0）与二次函数y2=ax2+bx+c（a≠0）的图像相交于A(–1，5)、B(9，2)两点，则关于的不等式kx+n≥ax2+bx+c解集为(　　 ) A. –1≤x≤9 B. –1≤x<9 C. –1<x≤9 D. x≤–1 或x≥9 【答案】A 【解析】 【详解】如图： 一次函数与二次函数的图像相交于 两点，由图像可知， 当时，一次函数的图像在二次函数图像的上方，即； 当 或时，. 由此可知，的解为． 故选：A. 10. 如图，在中，，是边上的中线，若，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，再根据等边对等角可得，然后利用锐角的正切值等于对边比邻边列式计算即可得解． 【详解】解：∵，是边上的中线， ∴， ∴， ∴． 故选D． 【点睛】本题考查直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，锐角三角函数的定义，熟记性质和定义是解题的关键． 二、填空题：（每小题3分，共30分） 11. 的算术平方根是___________． 【答案】 【解析】 【分析】利用算术平方根的定义计算即可得到结果． 【详解】解： ∴的算术平方根是． 故答案为：． 【点睛】本题考查了算术平方根，熟练掌握算术平方根的定义是解本题的关键． 12. 函数有意义的的取值范围是______． 【答案】且 【解析】 【分析】根据二次根式的被开方数为非负数和分式的分母不为0求解即可． 【详解】解：∵函数有意义， ∴且， 解得且． 13. 分式方程的解是______． 【答案】 【解析】 【分析】将分式方程去分母转化为整式方程，求解整式方程后检验，即可得到原分式方程的解． 【详解】解： 解得， 经检验，当时，最简公分母， ∴是原分式方程的解． 14. 分解因式_____． 【答案】 【解析】 【分析】先提公因式，再由平方差公式分解因式即可． 【详解】解：． 15. 计算：_____． 【答案】 【解析】 【分析】先计算特殊角的三角函数值和化简二次根式，再计算零指数幂，负整数指数幂和绝对值，最后计算加减法即可． 【详解】解： ． 16. 如图，PA、PB是⊙O的切线，切点分别为A、B，若OA=2，∠P=60°，则AB的长为________ 【答案】 【解析】 【分析】连接AB，并延长BO交圆于C，连接AC，PA、PB是⊙O的切线，由切线长定理知PA=PB；又∠P=60°，则等腰三角形APB是等边三角形，则有∠ABP=60°，BC是直径；由直径对的圆周角是直角得∠PBC=90°，则在Rt△ABC中，有∠ABC=30°，进而可知AB的长． 【详解】解：连接AB，并延长BO交圆于C，连接AC， ∵PA、PB是⊙O的切线， ∴PA=PB， 又∵∠P=60°， ∴∠PBA=60°； 又∵BC是圆的直径， ∴CB⊥PB，∠BAC=90°， ∴∠ABC=30°， 而BC=4， ∴在Rt△ABC中，cos30°=， ∴AB=4×=． 故答案为： 【点睛】本题利用了切线长定理，等边三角形的判定和性质，弦切角定理，直角三角形的性质，正弦的概念求解．注意本题的解法不唯一．掌握相关知识是解题的关键． 17. 如图所示，反比例函数的图象与经过坐标原点的直线l相交于A、B两点，过B作x轴的垂线，垂足为C，若的面积为3，则这个反比例函数的解析式为_____． 【答案】 【解析】 【分析】设点坐标为，利用反比例函数图象和正比例函数图象的对称性得到点坐标为，利用坐标与图形性质可得， ，由即可求解． 【详解】解：∵反比例函数的图象关于原点对称， ∴设点坐标为，则点坐标为， ∵， ∴， ， ∴， ∴这个反比例函数的解析式为：． 18. 顺次连接一矩形场地的边、、、的中点E、F、G、H，得到四边形，M为边的中点，点P为小明在对角线上走动的位置，若米，米，当的和为最小值时，的长为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了轴对称中最短路线问题，通过对称，把两条线段的和转化为一条线段，利用两点之间距离最短解决，同时考查了含的直角三角形的三边关系，菱形的判定与性质，解决本题的关键是确定点P的位置． 先得到四边形为菱形，再根据当的和为最小值，确定点P的位置，再由勾股定理计算的长度，再得到为等边三角形，则有，再根据含的直角三角形的三边关系求解即可． 【详解】解：连接交于点O，连接交于点，如图， ∵点E、F、G、H分别为矩形的边、、、的中点， ∴四边形为菱形，且与互相垂直平分， ∵点F为点H关于的对称点，即， ∴当动点P运动到点的位置时，的和为最小值， ∵米，米， ∴米，米， 在中，米， 在中，米，米， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∵M为边的中点，即， ∴，即， 在中，， ∴，可得， ∴米， ∴当的和为最小值时，的长为米． 19. 从﹣1，2，3，﹣6这四个数中任选两数，分别记作m，n，那么点（m，n）在函数图象上的概率是___． 【答案】． 【解析】 【详解】试题分析：画树状图得： ∵共有12种等可能的结果，点（m，n）恰好在反比例函数图象上的有：（2，3），（﹣1，﹣6），（3，2），（﹣6，﹣1），∴点（m，n）在函数图象上的概率是：=．故答案为． 考点：反比例函数图象上点的坐标特征；列表法与树状图法． 20. 如图，直径为10的⊙A经过点C(0，6)和点O(0，0)，与x轴的正半轴交于点D，B是y轴右侧圆弧上一点，则cos∠OBC的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】连接CD，易得CD是直径，在直角△OCD中运用勾股定理求出OD的长，得出cos∠ODC的值，又由圆周角定理，即可求得cos∠OBC的值． 【详解】解：连接CD，如图． ∵∠COD＝90°， ∴CD是⊙A的直径，即CD＝10． ∵点C(0，6)， ∴OC＝6， ∴． ∴． ∵∠OBC＝∠ODC， ∴ 故答案为： 【点睛】此题考查了圆周角定理，勾股定理以及三角函数的定义．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握转化思想的应用． 三、解答题（7个小题，共80分） 21. 按要求解答下列各题： （1）先化简，再求值：，并从，，中选一个你喜欢的数代入求值． （2）解不等式组，并用数轴表示解集，写出它的非负整数解． 【答案】（1），； （2），数轴见解析；非负整数解为，，， ． 【解析】 【分析】（1）结合分式混合运算法则进行化简，再结合分式有意义的条件选出合适的取值代入计算即可； （2）先根据移项、合并同类项、系数化为得出不等式组的解集，在数轴上表示出解集后即可得出其非负整数解． 【小问1详解】 解：， ， ， ， ， ，, 且且， 则选代入求值，原式； 【小问2详解】 解：， 由得， ； 由得， ， 则不等式组的解集为，用数轴表示为： 根据数轴可知，非负整数解为，，， ． 22. 学校举办一项小制作评比活动．作品上交时限为3月1日至30日，组委会把同学们交来的作品按时间顺序每5天组成一组，对每一组的作品件数进行统计，绘制成如图所示的统计图．已知从左到右各矩形的高度比为2：3：4：6：4：1．第三组的件数是12． 请你回答： （1）本次活动共有 件作品参赛；各组作品件数的众数是 件； （2）经评比，第四组和第六组分别有10件和2件作品获奖，那么你认为这两组中哪个组获奖率较高？为什么？ （3）小制作评比结束后，组委会决定从4件最优秀的作品A、B、C、D中选出两件进行全校展示，请用树状图或列表法求出刚好展示作品B、D的概率． 【答案】（1）60，16 （2）第六组的获奖率较高．理由见解析； （3）． 【解析】 【分析】此题主要考查了频数分布直方图的应用以及众的定义以及树状图法求概率等知识，正确画出树状图是解题关键． （1）直接利用频数除以频率=总数进而得出答案，再利用众的定义求出即可； （2）利用总数乘以频率=频数，进而分别求出获奖概率得出答案； （3）利用树状图列举出所有可能，进而得出答案． 【小问1详解】 解：由题意可得出，本次活动参赛共有：（件）， 各组作品件数的众数是； 【小问2详解】 解：∵第四组有作品：（件）， 第六组有作品：（件）， ∴第四组的获奖率为：，第六组的获奖率为：； ∵， ∴第六组的获奖率较高； 【小问3详解】 解：画树状图如下： ， 由树状图可知，所有等可能的结果为12种，其中刚好是B、D的有2种， 所以刚好展示作品B、D的概率为：． 23. 如图，已知是的直径，是的弦，弦于点F，交于点G，过点C的直线与的延长线交于点P，． （1）求证：是的切线； （2）当点C在劣弧上运动时，其他条件不变，若．求证：点G是的中点； （3）在满足（2）的条件下，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）连，由得到，又，则，而，即可得到，根据切线的判定定理即可得到结论； （2）连，由，即，根据三角形相似的判定定理得到，由其性质得到，然后根据垂径定理即可得到点G是的中点； （3）连，由，根据垂径定理得到，而，得到，在中利用勾股定理可计算出，从而得到，然后根据即可求出． 【小问1详解】 证明：连，如图， ∵， ∴， 又∵， ∴， 而， ∴，即， ∴是的切线； 【小问2详解】 证明：连，如图， ∵，即， 而， ∴， ∴， 即， ∴，即点G是的中点； 【小问3详解】 解：连，如图， ∵， ∴， 而， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴． 24. 为举办汉字听写大赛，某校计划购买A、B两种型号的小黑板，经洽谈，购买一块A型小黑板比购买一块B型小黑板多用20元，且购买5块A型小黑板和4块B型小黑板共需820元． （1）求购买一块A型小黑板、一块B型小黑板各需多少元？ （2）根据实际情况，购买A、B两种型号的小黑板共60块，要求购买A、B两种型号小黑板的总费用不超过5240元，并且购买A型小黑板的数量应不小于购买A、B两种型号黑板总数量的，则购买A、B两种型号的小黑板有哪几种方案？ 【答案】（1）一块A型小黑板100元，一块B型小黑板80元 （2）共有三种购买方案，分别是：方案一：购买A型小黑板20块，购买B型小黑板40块；方案二：购买A型小黑板21块，购买B型小黑板39块；方案三：购买A型小黑板22块，购买B型小黑板38块． 【解析】 【分析】（1）设一块A型小黑板x元，一块B型小黑板y元，根据购买一块A型小黑板比购买一块B型小黑板多用20元，且购买5块A型小黑板和4块B型小黑板共需820元，列出方程组进行求解即可； （2）设购买A型小黑板m块，则购买B型小黑板块，根据题意，列出不等式组进行求解即可． 【小问1详解】 解：设一块A型小黑板x元，一块B型小黑板y元， 则 ，解得 答：一块A型小黑板100元，一块B型小黑板80元． 【小问2详解】 设购买A型小黑板m块，则购买B型小黑板块， 根据题意： 解得 又∵m为正整数， ∴20，21，22 ， ∴共有三种购买方案，分别是：方案一：购买A型小黑板20块，购买B型小黑板40块；方案二：购买A型小黑板21块，购买B型小黑板39块；方案三：购买A型小黑板22块，购买B型小黑板38块． 【点睛】本题考查二元一次方程组的实际应用以及一元一次不等式组的实际应用，解题的关键是正确的列出方程组和不等式组． 25. 如图，在矩形ABCD中，AB═2，AD=，P是BC边上的一点，且BP=2CP． （1）用尺规在图①中作出CD边上的中点E，连接AE、BE（保留作图痕迹，不写作法）； （2）如图②，在（1）的条件下，判断EB是否平分∠AEC，并说明理由； （3）如图③，在（2）的条件下，连接EP并延长交AB的延长线于点F，连接AP，不添加辅助线，△PFB能否由都经过P点的两次变换与△PAE组成一个等腰三角形？如果能，说明理由，并写出两种方法（指出对称轴、旋转中心、旋转方向和平移距离） 【答案】（1）作图见解析 （2）EB是平分∠AEC，理由见解析 （3）△PFB能由都经过P点的两次变换与△PAE组成一个等腰三角形，变换的方法为：将△BPF绕点B顺时针旋转120°和△EPA重合，①沿PF折叠，②沿AE折叠． 【解析】 【分析】（1）根据作线段的垂直平分线的方法作图即可得出结论； （2）先求出DE=CE=1，进而判断出△ADE≌△BCE，得出∠AED=∠BEC，再用锐角三角函数求出∠AED，即可得出结论； （3）先判断出△AEP≌△FBP，然后根据旋转的性质和轴对称图形的定义即可得出结论． 【小问1详解】 依题意作出图形如图①所示； 【小问2详解】 EB是平分∠AEC，理由： ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠C=∠D=90°，CD=AB=2，BC=AD=， ∵点E是CD的中点， ∴DE=CE=CD=1， 在△ADE和△BCE中，， ∴△ADE≌△BCE， ∴∠AED=∠BEC， 在Rt△ADE中，AD=，DE=1， ∴tan∠AED==， ∴∠AED=60°， ∴∠BCE=∠AED=60°， ∴∠AEB=180°﹣∠AED﹣∠BEC=60°=∠BEC， ∴BE平分∠AEC； 【小问3详解】 ∵BP=2CP，BC=， ∴CP=，BP=， 在Rt△CEP中，tan∠CEP==， ∴∠CEP=30°， ∴∠BEP=30°， ∴∠AEP=90°， ∵， ∴∠F=∠CEP=30°， 在Rt△ABP中，tan∠BAP==， ∴∠PAB=30°， ∴∠EAP=30°=∠F=∠PAB， ∵CB⊥AF， ∴AP=FP， ∴△AEP≌△FBP， ∴△PFB能由都经过P点的两次变换与△PAE组成一个等腰三角形， 变换的方法为：将△BPF绕点P顺时针旋转120°和△EPA重合，①沿PE折叠，②沿AE折叠． 【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形，图形的变换等，熟练掌握和灵活应用相关的性质与定理是解本题的关键． 26. 矩形OABC在直角坐标系中的位置如图所示，A、C两点的坐标分别为A（10，0）、C（0，3），直线与BC相交于点D，抛物线y=ax2+bx经过A、D两点． （1）求抛物线的解析式； （2）连接AD，试判断△OAD的形状，并说明理由． （3）若点P是抛物线的对称轴上的一个动点，对称轴与OD、x轴分别交于点M、N，问：是否存在点P，使得以点P、O、M为顶点的三角形与△OAD相似？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）y=-x2+x．；（2）△OAD是直角三角形．（3）（5，0）或（5，-15） 【解析】 【详解】试题分析：（1）根据题意可得出点D的纵坐标为3，代入直线解析式可得出点D的横坐标，从而将点D和点A的坐标代入可得出抛物线的解析式． （2）分别求出OA、OD、AD的长度，继而根据勾股定理的逆定理可判断出△OAD是直角三角形． （3）①由图形可得当点P和点N重合时能满足△OPM∽△ODA，②过点O作OD的垂线交对称轴于点P′，此时也可满足△P′OM∽△ODA，利用相似的性质分别得出点P的坐标即可． 试题解析：（1）由题意得，点D的纵坐标为3， ∵点D在直线上， ∴点D的坐标为（9，3）， 将点D（9，3）、点A（10，0）代入抛物线可得： ， 解得： 故抛物线的解析式为：y=-x2+x． （2）∵点D坐标为（9，3），点A坐标为（10，0）， ∴OA=10，OD=，AD=， 从而可得OA2=OD2+AD2， 故可判断△OAD是直角三角形． （3）①由图形可得当点P和点N重合时能满足△OPM∽△ODA， 此时∠POM=∠DOA，∠OPM=∠ODA， 故可得△OPM∽△ODA，OP=OA=5， 即可得此时点P的坐标为（5，0） ②过点O作OD的垂线交对称轴于点P′，此时也可满足△P′OM∽△ODA， 由题意可得，点M的横坐标为5，代入直线方程可得点M的纵坐标为， 故可求得OM= ∵∠OP′M+∠OMN=∠DOA+∠OMN=90°， ∴∠OP′M=∠DOA， ∴△P′OM∽△ODA， 故可得， 即 解得：MP′=， 又∵点M的纵坐标=， ∴P′N==15， 即可得此时点P′的坐标为（5，-15） 综上可得存在这样的点P，点P的坐标为（5，0）或（5，-15） 考点：二次函数综合题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 黔东南州八校联盟2021-2022学年度第二学期第一次联盟考试（数学）试卷 （本试卷共8个大题26小题，总分150分，考试时间120分钟） 考生注意： 1．答题时，务必将自己的姓名．准考证号填写在答题卡规定的位置上． 2．答选择题，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号． 3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上． 4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效． 5．考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回． 一、选择题（每小题4分，共40分） 1. 下列计算正确的是 （ ） A. B. C. D. 2. 一组数据：75、95、85、100、125的中位数是（　　） A. 85 B. 95 C. 96 D. 100 3. 已知，则的值为（　　） A. B. C. D. 4. 湖里中学九（3）班在庆祝“建党100周年”开展的一次学党史知识手抄报活动中，一个由5人组成的小组里所有同学均相互传阅自己制作的手抄报，则该小组的同学共传阅（　　） A. 5次 B. 15次 C. 20次 D. 25次 5. 已知一元二次方程的两根分别为，，则的值为（ ） A. B. C. D. 6. 将一副直角三角尺如图放置，已知，则的度数是（ ） A. B. C. D. 7. 小红需要用扇形薄纸板制作成底面半径为9厘米，高为12厘米的圆锥形生日帽，则该扇形薄纸板的圆心角为( ) A. B. C. D. 8. 用若干个大小相同、棱长为1的小正方体搭成一个几何体模型，其三视图如下图所示，则搭成这个几何体模型所用的小正方体的个数是（　　） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 9. y1=kx+n（k≠0）与二次函数y2=ax2+bx+c（a≠0）的图像相交于A(–1，5)、B(9，2)两点，则关于的不等式kx+n≥ax2+bx+c解集为(　　 ) A. –1≤x≤9 B. –1≤x<9 C. –1<x≤9 D. x≤–1 或x≥9 10. 如图，在中，，是边上的中线，若，，则的值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：（每小题3分，共30分） 11. 的算术平方根是___________． 12. 函数有意义的的取值范围是______． 13. 分式方程的解是______． 14. 分解因式_____． 15. 计算：_____． 16. 如图，PA、PB是⊙O的切线，切点分别为A、B，若OA=2，∠P=60°，则AB的长为________ 17. 如图所示，反比例函数的图象与经过坐标原点的直线l相交于A、B两点，过B作x轴的垂线，垂足为C，若的面积为3，则这个反比例函数的解析式为_____． 18. 顺次连接一矩形场地的边、、、的中点E、F、G、H，得到四边形，M为边的中点，点P为小明在对角线上走动的位置，若米，米，当的和为最小值时，的长为_____． 19. 从﹣1，2，3，﹣6这四个数中任选两数，分别记作m，n，那么点（m，n）在函数图象上的概率是___． 20. 如图，直径为10的⊙A经过点C(0，6)和点O(0，0)，与x轴的正半轴交于点D，B是y轴右侧圆弧上一点，则cos∠OBC的值为_____． 三、解答题（7个小题，共80分） 21. 按要求解答下列各题： （1）先化简，再求值：，并从，，中选一个你喜欢的数代入求值． （2）解不等式组，并用数轴表示解集，写出它的非负整数解． 22. 学校举办一项小制作评比活动．作品上交时限为3月1日至30日，组委会把同学们交来的作品按时间顺序每5天组成一组，对每一组的作品件数进行统计，绘制成如图所示的统计图．已知从左到右各矩形的高度比为2：3：4：6：4：1．第三组的件数是12． 请你回答： （1）本次活动共有 件作品参赛；各组作品件数的众数是 件； （2）经评比，第四组和第六组分别有10件和2件作品获奖，那么你认为这两组中哪个组获奖率较高？为什么？ （3）小制作评比结束后，组委会决定从4件最优秀的作品A、B、C、D中选出两件进行全校展示，请用树状图或列表法求出刚好展示作品B、D的概率． 23. 如图，已知是的直径，是的弦，弦于点F，交于点G，过点C的直线与的延长线交于点P，． （1）求证：是的切线； （2）当点C在劣弧上运动时，其他条件不变，若．求证：点G是的中点； （3）在满足（2）的条件下，，求的长． 24. 为举办汉字听写大赛，某校计划购买A、B两种型号的小黑板，经洽谈，购买一块A型小黑板比购买一块B型小黑板多用20元，且购买5块A型小黑板和4块B型小黑板共需820元． （1）求购买一块A型小黑板、一块B型小黑板各需多少元？ （2）根据实际情况，购买A、B两种型号的小黑板共60块，要求购买A、B两种型号小黑板的总费用不超过5240元，并且购买A型小黑板的数量应不小于购买A、B两种型号黑板总数量的，则购买A、B两种型号的小黑板有哪几种方案？ 25. 如图，在矩形ABCD中，AB═2，AD=，P是BC边上的一点，且BP=2CP． （1）用尺规在图①中作出CD边上的中点E，连接AE、BE（保留作图痕迹，不写作法）； （2）如图②，在（1）的条件下，判断EB是否平分∠AEC，并说明理由； （3）如图③，在（2）的条件下，连接EP并延长交AB的延长线于点F，连接AP，不添加辅助线，△PFB能否由都经过P点的两次变换与△PAE组成一个等腰三角形？如果能，说明理由，并写出两种方法（指出对称轴、旋转中心、旋转方向和平移距离） 26. 矩形OABC在直角坐标系中的位置如图所示，A、C两点的坐标分别为A（10，0）、C（0，3），直线与BC相交于点D，抛物线y=ax2+bx经过A、D两点． （1）求抛物线的解析式； （2）连接AD，试判断△OAD的形状，并说明理由． （3）若点P是抛物线的对称轴上的一个动点，对称轴与OD、x轴分别交于点M、N，问：是否存在点P，使得以点P、O、M为顶点的三角形与△OAD相似？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $