精品解析：河南省天立教育2025-2026学年高二下学期阶段教学质量监测（一）数学试题卷

河南省天立教育2027届高二年级阶段教学质量监测（一） 数学试题卷 本试题卷共4页，四大题，19小题，满分150分.考试时间120分钟. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知曲线在点处的切线与抛物线相切，则（ ） A. 18 B. 16 C. 12 D. 8 【答案】B 【解析】 【详解】由，则，即， 则曲线在点处的切线方程为，即， 联立，得， 则，解得. 2. 已知函数与其导函数的图象如图所示，则（ ） A. 曲线为函数的图象 B. C. 在单调递增 D. 在单调递减 【答案】D 【解析】 【分析】根据原函数和导函数的关系逐一判断即可. 【详解】若曲线为函数的图象，当时，，所以在上单调递增，而曲线在上先减后增 ，不合题意， 所以曲线为函数的图象，所以曲线为函数的图象，故A错误； 由A可知在上单调递减且为偶函数，所以，故B错误，D正确； 在上先增后减，故C错误； 故选：D 3. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将，变形为，令，再用导数法证明其单调性即可. 【详解】根据题意，可知，，， ∵， ∴， 令，，则， ∵， 令， ∵， ∴， 即对于任意的，恒有， ∴在上单调递增， ∴. 4. 已知三次函数，若不等式的解集为，则的值为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】求导，确定函数的单调区间，和极值，进而可求解. 【详解】由，求导可得：， 由，得或，由，得， 所以在单调递增，在单调递减， 所以当时，极大值为4， 即当时，， 又当时，极小值为0，当时，， 且函数在单调递减，在单调递增， 即当时，，当时，， 综上可知不等式的解集为， 故选：D 5. 已知函数在区间上单调递减，则实数a的最小值为（ ） A. B. C. D. e 【答案】B 【解析】 【分析】由在区间上单调递减，得在上恒成立，进而得，令，利用导数研究单调性求出最大值即可求解. 【详解】由已知得，因为在区间上单调递减， 所以在上恒成立，即，得， 令，则，令，得， 当时，，单调递减，当时，单调递增， 又，所以a的最小值为． 6. 已知函数是函数的极值点，下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出导函数，再根据极值点列式计算结合零点存在定理判断A，代入计算判断B，C，结合近似值判断D. 【详解】因为函数，所以单调递增，, 选项A：计算 而在时趋向，故A错. 选项B：因为 得B错. 选项C：计算 C错. 选项D：计算 ， 函数， 所以，得D正确. 故选：D. 7. 过作函数的切线恰好能作两条，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设切点为，求出切线方程，代入点，得，将问题转化成函数与函数有两个不同的交点，求导判断函数的单调区间，作出其图象，结合题意即可求得参数的取值范围. 【详解】设切点为，由求导得，则切线的斜率为，故切线方程为， 因切线经过点，则得，化简得，显然，则得， 又因过作函数的切线恰好能作两条，即函数与函数有两个不同的交点. 的定义域为，函数求导得， 则当时，，当时，，当时，， 即函数在上单调递增，在上单调递减，且， 当时，，当时，，当时，，当时，. 作出函数的图象如下： 由图知，过作函数的切线恰好能作两条等价于或，解得或. 故选：D. 8. 已知函数的导函数为，若存在使得，则称是的一个“巧值点”.下列四个函数中，没有“巧值点”的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求导，然后直接解方程可判断BCD；根据零点存在定理可判断A. 【详解】对于A选项，，， 令， 因为函数、在上均为增函数， 所以，函数在上为增函数， 因为，，则， 由零点存在定理可知，函数在上存在唯一零点， 所以，函数有“巧值点”； 对于B选项，，则， 由可得，即，矛盾， 所以，函数没有“巧值点”； 对于C选项，，则， 由可得，即，解得， 所以，函数有“巧值点”； 对于D选项，，则， 由可得，即，解得， 所以，函数有“巧值点”. 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数，下列结论中正确的是（ ） A. B. 函数的值域为R C. 若是的极值点，则 D. 若是的极小值点，则在区间单调递减 【答案】ABC 【解析】 【分析】求导可得，利用导数分类讨论当、时对应的单调性，结合极值点的概念依次判断选项即可. 【详解】，则， 当即时，方程至多有1个实根， 此时，函数在R上单调递增； 当即时，方程有2个不等的实根，设为，且， 则，；，， 所以在上单调递减，在上单调递增. A：当时，；当时，，所以，故A正确； B：由选项A知，的值域为R，故B正确； C：若是的极值点，则，故C正确； D：若是的极小值点，则， 在上单调递增，在上单调递减，故D错误. 故选：ABC 10. 已知方程在上有两个不同的实根，则实数a的取值可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】首先由方程转化为，，转化为函数与的交点问题，利用导数分析函数的图象，利用数形结合分析问题. 【详解】由，得，， 令，， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以当时，函数取得最小值，，， 与有2个交点时，，满足题意的为BD. 故选：BD 11. 设函数与直线交于两点，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用导数求出的单调区间，利用单调性结合可判断；由的单调性可知，从而可判断；构造，利用导数判断函数单调性可判断；构造和，利用导数判断函数单调性可判断； 【详解】函数定义域为 对于A：，解得：， 所以在上单调递增，在上单调递减， 又因为，所以，故A正确； 对于B：由A得，故错误； 对于C：由，可令，， 假设，即， 由的单调性可知，只需， ，即， 设， 则， 可得在上单调递增， 则有， 即，即， 故成立，故C正确； 对于D：因为，所以， 令，所以， 即证， 设， 所以，解得， 所以在上单调递增，在上单调递减. 不妨令，即证，即证， 令， 因为， 因为，所以， 所以，则在上单调递减， 则，所以得证，故D正确. 故选：. 【点睛】方法点睛： 破解双变量不等式的方法： ①转化，即由条件入手，寻找双变量满足的关系式，并把含双变量的不等式转化为含单变量的不等式； ②巧构函数，再借用导数判断函数的单调性，从而求其最值； ③回归双变量不等式的证明，把所求的最值应用到双变量不等式，即可证得结果. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 设函数，则曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形面积为______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据导数的几何意义写出切线方程，进而求得切线与坐标轴的交点，即可求得结果. 【详解】由求导得，则， 故切线方程为，令，得，令，得， 即切线与坐标轴分别交于，故切线与两坐标轴围成的三角形面积为. 故答案为：. 13. 若函数有极值点，，且，则关于的方程的不同实根个数是______个. 【答案】3 【解析】 【分析】求导数，由题意知，是方程的两根，从而关于的方程有两个根，作出草图，由图象可得答案. 【详解】，则由题、是方程的两根， 所以可得或． 函数定义域为R，因为， 所以时，时， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 作出函数草图如图所示： 由图象可知有2个解，有1个解， 因此的不同实根个数为3. 故答案为：3． 14. 已知函数，对任意，都有，则的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据导数的正负性与函数单调性的关系，结合函数最值的性质分类讨论进行求解即可. 【详解】， 当时，单调递增， 当时，单调递减， 当时，单调递增. 当时，当时，该函数单调递增， 所以， 所以对任意，都有，一定有成立， 解得，这与相矛盾，不符合题意； 当时，当时，， 所以对任意，都有，一定有成立，而， 所以； 当时，设表示两数中最大的数， 因为当时，单调递增， 当时，单调递减， 当时，单调递增. 所以当时，， 对任意，都有，一定有且， 解得， 综上所述：， 所以的取值范围为. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若，且存在，使得成立，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求导，即可根据点斜式求解切线方程， （2）求导，可得函数的单调性，进而对与的大小讨论，即可分类求解. 【小问1详解】 当时，，有，由，有， 故曲线在点处的切线方程为． 【小问2详解】 ，其中，， 时，，时，, 故在上单调递减，在上单调递增. 若，则时，，不符合题意； 若，则时，， 由题意，有，即， 因为，有，即，得， 故的取值范围是． 16. 已知函数. （1）求函数的单调区间和极值； （2）求证：当且时，. 【答案】（1）答案见解析 （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）对函数求导并令导数为，找到临界点，通过分析导数在不同区间的符号确定函数单调性，进而求出极小值与极大值； （2）构造函数并求导，将问题转化为分析导函数的最小值，结合已知的范围判断恒正，从而推出单调性，最终证明不等式. 【小问1详解】 函数的定义域为，,令，解得， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增。 所以的单调递减区间是，单调递增区间是； 极小值为，无极大值. 【小问2详解】 令，则， 由（1）可知，即的最小值为， 已知，代入得：， 因此对任意恒成立，故在上单调递增， 当时，，即：得证. 【点睛】本题的核心是通过导数分析函数单调性，以极值为桥梁，将不等式证明转化为函数最小值的符号判断. 17. 已知函数. （1）讨论的单调性； （2）若存在，，，使得，求的最大值. 【答案】（1）当时，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增. （2） 【解析】 【分析】（1）求导，分和，根据导函数的符号判断函数的单调性. （2）先根据函数的单调性得，，设，，求导，分析函数的单调性，求函数的最大值即可. 【小问1详解】 由题得，. 若，则在上恒成立，所以在上单调递减； 若，当时，；当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增. 综上，当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增. 【小问2详解】 由（1）得，若存在，，使得， 则必有，由. 所以等价于， 即，化简得：. 设，，则， 所以在上单调递减，所以， 此时，. 所以当，时等号成立，所以的最大值为. 18. 设函数． （1）若，求的图象在处的切线方程； （2）若在上恒成立，求a的取值范围； （3）当时，若满足，求证：． 【答案】（1） （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）对函数求导，求出切线斜率和切点坐标，进而求得切线方程. （2）对函数求导，判断单调性求出最小值，分两种情况讨论不等式恒成立时的范围. （3）对函数求导，判断单调性，设，求导判断单调性，进而证明结论. 【小问1详解】 时，，对函数求导得. 所以. 所以的图象在处的切线方程为，即. 【小问2详解】 由得. 因为在上单调递增，所以. 若，则在上恒成立，所以在上单调递增， 又，所以在上恒成立， 若，令得或，且. 当时，，单调递减， 所以，与在上恒成立矛盾， 综上所述，的取值范围是. 【小问3详解】 证明：当时，， 所以在上单调递增，又， 所以时，时，. 若，则，不合题意； 若，则，不合题意，所以. 设，则. 所以在上单调递增，因为，所以. 因为，所以. 又，所以，即. 又在上单调递增，所以，即. 所以，即. 19. 已知函数. （1）讨论函数的单调性； （2）设，若对任意，恒成立，求实数的取值范围； （3）当时，函数有两个零点，，求证：. 【答案】（1）答案见解析 （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求出导函数，按照和分类讨论研究函数单调性； （2）将题干恒成立问题转化为，设，利用导数法求得在上单调递增，从而转化为在上恒成立，设，，利用导数法求得，即可求解； （3）将证明转化为证，设，，利用导数法求得单调递减，则有，即可得证. 【小问1详解】 函数，其定义域为，∴. 当时，恒成立，∴在上单调递增； 当时，令，解得， 当时，，当时，， ∴在上单调递减，在上单调递增. 综上所述，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增. 【小问2详解】 由题意，∴即. ∵，∴不等式可化为，即. 设，则当时，；当时，；当时，. ，当时，，在上单调递增. 当时，，，故， 当时，，，，在上恒成立， 即在上恒成立. 设，，则， 在上单调递增，， ∴， 综上实数a的取值范围是. 【小问3详解】 由（1）知，当时，在上单调递减，在上单调递增. 函数有两个零点，，不妨设，则. 要证，只要证，，，只要证. 又∵，∴只要证. 设，， 则. 当时，，，， ∴，∴单调递减，∴. ，即， ∴. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河南省天立教育2027届高二年级阶段教学质量监测（一） 数学试题卷 本试题卷共4页，四大题，19小题，满分150分.考试时间120分钟. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知曲线在点处的切线与抛物线相切，则（ ） A. 18 B. 16 C. 12 D. 8 2. 已知函数与其导函数的图象如图所示，则（ ） A. 曲线为函数的图象 B. C. 在单调递增 D. 在单调递减 3. 若，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知三次函数，若不等式的解集为，则的值为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 4 5. 已知函数在区间上单调递减，则实数a的最小值为（ ） A. B. C. D. e 6. 已知函数是函数的极值点，下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 过作函数的切线恰好能作两条，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数的导函数为，若存在使得，则称是的一个“巧值点”.下列四个函数中，没有“巧值点”的是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数，下列结论中正确的是（ ） A. B. 函数的值域为R C. 若是的极值点，则 D. 若是的极小值点，则在区间单调递减 10. 已知方程在上有两个不同的实根，则实数a的取值可以是（ ） A. B. C. D. 11. 设函数与直线交于两点，，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 设函数，则曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形面积为______． 13. 若函数有极值点，，且，则关于的方程的不同实根个数是______个. 14. 已知函数，对任意，都有，则的取值范围为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若，且存在，使得成立，求的取值范围． 16. 已知函数. （1）求函数的单调区间和极值； （2）求证：当且时，. 17. 已知函数. （1）讨论的单调性； （2）若存在，，，使得，求的最大值. 18. 设函数． （1）若，求的图象在处的切线方程； （2）若在上恒成立，求a的取值范围； （3）当时，若满足，求证：． 19. 已知函数. （1）讨论函数的单调性； （2）设，若对任意，恒成立，求实数的取值范围； （3）当时，函数有两个零点，，求证：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $