专题09正方形期中复习讲义 (11大题型+题型突破) 2025-2026学年人教版八年级数学下册

专题09正方形期中复习讲义 知识目标 能力目标 应试目标 1.牢记正方形定义（邻边相等+有一个直角的平行四边形） 2.掌握边、角、对角线、对称性四大核心性质 3.熟记3种核心判定方法（矩形+邻边相等、菱形+直角、对角线特殊关系） 4.分清正方形与平行四边形、矩形、菱形的从属关系 1.能快速运用性质解决边长、对角线、面积等基础计算 2.能根据题干条件，灵活选择判定方法证明四边形是正方形 3.学会转化思想，破解正方形折叠、简单综合证明题 1.基础题（选择、填空）不丢分，熟练拿满基础分值 2.中档综合题（性质+判定结合）快速破题，提高解题效率 3.规避判定易错点、性质混淆点，减少失分 题型1.正方形性质与判定定理理解 题型2.正方形性质的综合应用 题型3.正方形折叠问题 题型4.求正方形重叠部分面积 题型5.正方形判定应用 题型6.由正方形性质与判定求角度 题型7.由正方形性质与判定求线段长 题型8.由正方形性质与判定求面积 题型9.由正方形性质与判定证明 题型10.利用正方形对称性求阴影面积 题型11.正方形背景下动点与线段最值问题 解答题5题 知识点01:正方形的定义 有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。 定义 1（从矩形出发）有一组邻边相等的矩形是正方形。 定义 2（从菱形出发）有一个角是直角的菱形是正方形。 一句话概括正方形是特殊的平行四边形，特殊的矩形，特殊的菱形。 知识点02:正方形的性质 类别 性质描述 几何语言（以正方形 ABCD 为例，对角线交于 O） 边 四条边都相等；对边平行 AB=BC=CD=DA，AB∥CD，AD∥BC 角 四个角都是直角（90∘） ∠A=∠B=∠C=∠D=90∘ 对角线 1.相等且互相垂直平分 2.每条对角线平分一组对角 3. 分成 4 个全等的等腰直角三角形 1.AC=BD，AC⊥BD，AO=OC，BO=OD 2.∠BAC=∠DAC=45∘∠ABD=∠CBD=45∘ 3.△AOB≅△BOC≅△COD≅△DOA 对称性 既是中心对称图形，又是轴对称图形（4 条对称轴） 中心对称：点 O 是对称中心轴对称：对称轴为直线 AC、BD、过对边中点的两条直线 知识点03:正方形的判定 知识点04.正方形与特殊四边形的关系 图形 与正方形的区别 共性 平行四边形 无邻边相等、无直角 对边平行且相等、对角线互相平分、中心对称 矩形 邻边不一定相等 四个直角、对角线相等、轴对称 菱形 角不一定是直角 四边相等、对角线垂直、对角线平分对角 易错点 1.混淆 “矩形、菱形、正方形” 的判定条件，例如：误认为 “对角线垂直且相等的四边形是正方形”（需先证是平行四边形）； 2.忽略正方形的对称轴数量，误记为 2 条（实际是 4 条）； 3.计算对角线长度时，忘记边长与对角线的比例关系 :1。 题型01.正方形性质与判定定理理解 【典例】如图，的矩形分成四块后可拼成一个正方形，该正方形的周长为____．    【答案】48 【分析】本题主要考查了正方形的拼接，根据面积相等可得正方形的面积，进而得出正方形的边长，即可得出答案． 【详解】解：由题意得：正方形的面积为， ∴正方形的边长为12， ∴周长为． 故答案为：48． 【跟踪专练1】如图，在菱形中，．要使菱形为正方形，则是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查正方形的判定，根据“有一个角是直角的菱形是正方形”，再根据正方形对角线平分一组对角即可解答． 【详解】解：∵四边形是菱形，， 当时，则菱形是正方形， ∴，即． 故选：B． 【跟踪专练2】如图，数学课上老师给出了以下四个条件：a两组对边分别平行；b对角线互相平分；c对角线互相垂直；d一个角是直角．有三位同学给出了不同的组合方式：．你认为能得到正方形的是______．（填写你认为正确的序号） 【答案】①② 【分析】本题考查了正方形的判定，根据对角线互相平分，垂直且相等的四边形正方形，判断即可． 【详解】∵两组对边分别平行， ∴四边形是平行四边形； ∵一个角是直角， ∴平行四边形变成矩形； ∴对角线相等且互相平分， ∵对角线互相垂直， ∴对角线互相平分，垂直且相等， 故四边形是正方形， 故①正确； ∵对角线互相平分， ∴四边形是平行四边形； ∵一个角是直角， ∴平行四边形变成矩形； ∴对角线相等且互相平分， ∵对角线互相垂直， ∴对角线互相平分，垂直且相等， 故四边形是正方形， 故②正确； 组合③只能得到对角线互相平分，垂直，无法得证对角线相等，故错误， 故答案为：①②． 【跟踪专练3】如图，直线l与正方形的边，分别相交于点M，N，如图所示，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】该题考查了正方形的性质和三角形内角和定理，根据正方形的性质得出，根据 三角形内角和得出，结合平角的定义即可求解． 【详解】解：根据正方形可得， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 【跟踪专练4】如图，在四个相同的正方形网格中，分别作一个顶点均在格点上的平行四边形，其中边上的高最小的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查正方形、菱形、平行四边形的面积，网格与勾股定理．分别求出边上的高判断即可． 【详解】解：A、平行四边形的面积， 边上的高； B、平行四边形的面积， 边上的高； C、正方形，边上的高为， D、菱形的面积， 边上的高． ∵， ∴边上的高最小的是A． 故选：A． 题型02.正方形性质的综合应用 【典例】如图，四边形是正方形，是等边三角形，则的度数是（   ） ... A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了正方形的性质，等边三角形的性质．先根据正方形的性质得到，，再根据等边三角形的性质得到，，所以，，然后利用等腰三角形的性质和三角形内角和计算的度数，进而可得出答案． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 故选：D 【跟踪专练1】如图，点为正方形边上一点，若，，则该正方形的对角线长为______． 【答案】 【分析】在中，利用勾股定理求出的长度，再在中，利用勾股定理求出对角线的长度． 【详解】解：连接，如图所示： 四边形是正方形， ，， 在中，，， 由勾股定理得：， 在中，， 由勾股定理得：， 该正方形的对角线长为． 【跟踪专练2】如图，正方形的边长为8，分别交，于点，，在上任取两点，，那么图中阴影部分的面积是（　　） A．48 B．40 C．32 D．24 【答案】C 【分析】本题主要考查了正方形的性质，三角形的面积，理解正方形的性质，熟练掌握矩形的判定和性质，三角形的面积公式是解决问题的关键．过点作直线于点，交于点，过点作于点，证明四边形和是四边形都是矩形得，，则，由三角形面积公式得，，则，根据“”即可得出答案． 【详解】解：过点作直线于点，交于点，过点作于点，如图所示： 四边形是正方形，且边长为8， ，，，， ， ， ，， ，， 四边形和四边形都是矩形， ，， ， 由三角形的面积公式得：，， ， ． 故选：C． 【跟踪专练3】如图，在正方形中，，对角线、相交于点O，过点O作射线、分别交边、于点E、F，且，连结．给出下面四个结论： ①； ②； ③； ④四边形的面积为正方形面积； ⑤若的中点为K，则的最小值为2． 上述结论中，所有正确的序号是________． 【答案】①②④ 【分析】此题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等，理解正方形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质，勾股定理是解决问题的关键． ①根据正方形性质得，由此得，由此可依据“”判定和全等，据此可对结论①进行判定；②由得，据此可对结论②进行判定；③由得，则，再根据正方形的性质得，据此可对结论④进行判定；④由结论②正确得，在中由勾股定理得，则，再根据为斜边得，则，据此可对结论③进行判定；根据直角三角形斜边中线性质得到，设，利用勾股定理求出，结合完全平方式判断⑤，综上所述即可得出答案． 【详解】解：①∵四边形为正方形，对角线相交于点， ， ， ， ， ， 在和中， ， ，故结论①正确； ②由①的结论正确得：， 故结论②正确； ③结论②正确得：， 在中，由勾股定理得：， ， 在中，为斜边， ， ， ， 故结论③不正确， ④由①的结论正确得：， ， ， ∵四边形为正方形， ， ， ∴， ∴，故结论④正确； ⑤∵， ∴， ∴， ∵的中点为K， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∴， 当时，最小，最小值为， 故⑤错误； 综上所述：正确的结论是①②④． 故答案为：①②④． 【跟踪专练4】正方形，正方形和正方形的位置如图所示，点G在线段上，正方形的边长为2，则的面积为__________． 【答案】4 【分析】连接，易得，平行面积转化，推出的面积等于正方形的面积，即可得出结果． 【详解】解：连接， ∵正方形，正方形和正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵正方形的边长为2， ∴． 【跟踪专练5】，，，四个点位于正方形的四个顶点，现在将这四个点用线段连接，则以下四种方案中，所有线段之和最小的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设正方形边长为，分别求出四种情况下的线段和，比较即可； 【详解】解：设正方形边长为， A、正方形三边之和为； B、∵，∴； C、作， 由题意， ∴， 设， ∵， ∴， 则， （负值舍去）， ∴， 由题意为等腰直角三角形， 设， 则， （负值舍去） ∴， ∵, ∴ ， ∴线段和为：； D、作， 由题意， ∴， 设， ∵， ∴， 则， （负值舍去）， ∴， ∴线段和为：； ∵ ∴所有线段之和最小的应为D． 【跟踪专练6】如图，在正方形中，对角线相交于点O．E、F分别为上一点，且，连接．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用正方形的对角线互相垂直平分且相等，等腰直角三角形的性质，三角形的内角和定理和全等三角形的判定与性质解答即可． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴． ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴． 在和中 ， ∴（SAS）． ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形的内角和定理，熟练掌握正方形的性质是解题的关键． 题型03.正方形折叠问题 【典例】如图，在一次综合实践活动中，小明将一张边长为的正方形纸片，沿着边上一点E与点A的连线折叠，点是点B的对应点，延长交DC于点G，，则的长为______． 【答案】8 【分析】本题考查了勾股定理的应用，正方形的性质，三角形全等的判定和性质，折叠的性质，结合全等的知识找出题中的线段之间的关系是本题的解题关键．根据翻折的性质可知和全等，则，连接，可证，则， ，在中，设，根据勾股定理列出方程，可求出的值，从而求出． 【详解】解：根据翻折的性质可知和全等，， 连接，如图所示， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在中，设，则， ， 根据勾股定理列出方程，， 即, 解得：， ∴，． 故答案为：8． 【跟踪专练1】已知正方形，点E、F、M、N、G、H是正方形边上的点，点P是正方形内一点．如图（1），将正方形沿过P点的线段折叠，使点E落在上点E′，如图（2），展开后沿过P点的线段折叠，使点G落在上点，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了翻折变换（折叠问题），平行线的性质，根据折叠的性质可得：，，然后根据垂直定义可得，从而利用直角三角形的两个锐角互余进行计算可得：，再根据正方形的性质可得，从而利用平行线的性质可得，即可解答． 【详解】解：由折叠得：，， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， 故选：A． 【跟踪专练2】如图，正方形的边长为8，将正方形折叠，使顶点落在边上的点处，折痕为，若，则线段的长为________． 【答案】/ 【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理，折叠的性质等知识．先根据正方形的性质得到，，，再根据折叠的性质得到，设，则，在中，根据勾股定理列出方程，解方程即可求解． 【详解】解：∵正方形的边长为8，， ∴，，， 由折叠的性质得， 设，则， 在中，根据勾股定理得， 解得， 即． 故答案为：． 【跟踪专练3】用一张正方形的纸片按如下方式折叠：如图，先将纸片对折得到折痕，再沿过点的直线翻折纸片，得到折痕，使点落在上的点处，连接，，与交于点．有下列结论：①；②为等边三角形；③；④．其中正确的是（   ） A．①② B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】由折叠得：，垂直平分，，故，那么为等边三角形，即可判断①②；由四边形是正方形得到，那么，由三角形内角和定理可得，故③正确；对于和，通过勾股定理计算说明不相等即可． 【详解】解：由折叠得：，垂直平分， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴； 故①②正确， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴，故③正确； ∵为等边三角形，，， ∴，， 设，则， 由勾股定理得：， ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， ∴ 故④正确， 综上所述正确的有：①②③④； 故选：D． 【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，折叠的性质，三角形的内角和定理等知识点，熟练掌握它们的性质是解题的关键． 题型04.求正方形重叠部分面积 【典例】如图，边长为6cm的正方形ABCD先向上平移3cm，再向右平移1.5cm，得到正方形，此时阴影部分的面积为________cm2 【答案】13.5// 【分析】将边长为6cm的正方形ABCD先向上平移3cm，再向右平移1.5cm，得到正方形，可得阴影部分是矩形，且可求阴影部分的长和宽，则面积能求出． 【详解】∵将边长为6cm的正方形ABCD先向上平移3cm，再向右平移1.5cm，得到正方形， ∴由平移的性质可得阴影部分是矩形， ∵根据题意得：阴影部分的宽为6-3=3（cm），长为6-1.5=4.5（cm）， ∴S阴影部分=3×4.5=13.5 （cm2）， 故答案为13.5cm2． 【点睛】本题考查正方形的性质，平移的性质，关键是理解图形变化的所表达的意义． 【跟踪专练1】如图，正方形、、、的边长分别为2、4、6、4，四个正方形按照如图所示的方式摆放，点、、分别位于正方形、、、对角线的交点，则阴影部分的面积和为（　　） A．12 B．13 C．14 D．18 【答案】C 【分析】根据正方形的中心对称性，得到每一个阴影部分的面积为其所在的小正方形的面积的，即可解答． 【详解】解：∵正方形具有中心对称性，则每一个阴影部分的面积为其所在的小正方形的面积的， ∴ = =14 故选：C． 【点睛】本题考查了正方形的中心对称性，根据中心对称性得到每一个阴影部分的面积为其所在的小正方形的面积的是解题的关键． 【跟踪专练2】现有①②③三种不同的矩形木板（边长如图（1）所示），取①②③木板各一块，按如图（2）所示的方式摆放（木板②③无重叠，无缝隙），则木板①没有被覆盖的面积为________；在图（2）摆放的基础上再放置一块木板②，如图（3）所示，则此时的木板①没有被覆盖的面积为________． 【答案】 【分析】此题考查正方形的性质，整式的混合运算，掌握基本平面图形的面积计算方法是解决问题的关键． 图（2）木板①没有被覆盖的是长为，宽为的矩形，利用矩形的面积公式直接求解即可；图（3）木板①没有被覆盖的部分可以用长为，宽为的矩形面积减去长为，宽为的矩形，化简后合并同类项即可． 【详解】解：图（2）木板①没有被覆盖的面积为， 图（3）木板①没有被覆盖的面积为， 故答案为：，． 【跟踪专练3】如图所示：正方形的对角线相交于点O，点O又是另一个正方形的一个顶点．如果两个正方形的边长相等，若正方形的边长为4，则两个正方形重叠部分的面积为（    ） A．16 B．8 C．4 D．1 【答案】C 【分析】本题考查了正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，等腰三角形的判定和性质，掌握相关知识点是解题关键．过点作，，和的交点为，和的交点为，根据正方形的性质可证，四边形是正方形，得到，再证明，得到，从而得出两个正方形重叠部分的面积，即可得解． 【详解】解：如图，过点作，，和的交点为，和的交点为， ， 四边形和是正方形， ，，， 四边形是矩形， ，，，， ，， 四边形是正方形， ，， ，即， 又，， ， ， 两个正方形重叠部分的面积， 故选：C． 题型05.正方形判定应用 【典例】如图，四边形为菱形，添加一个条件：____，可使它成为正方形． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据正方形的性质及判定方法在菱形的基础上只要四个角是直角就可以，由菱形的性质只需要有一个角是直角即可． 【详解】解：当∠BAD＝90°时，菱形ABCD是正方形． 理由：∵四边形ABCD是菱形， ∴∠BAD＝∠BCD，∠ADC＝∠ABC，AB∥CD， ∴∠BAD+∠ADC＝180°． ∵∠BAD＝90°， ∴∠ADC＝90°，∠BCD＝90°， ∴四边形ABCD是矩形． ∵四边形ABCD是菱形， ∴四边形ABCD是正方形． 【点睛】本题考查了菱形的性质的运用，矩形的判定及性质的运用，正方形的判定，解答时结合条件和结论确定合适的添加条件是关键． 【跟踪专练1】如图，已知四边形的对角线相交于O，则下列条件能判断它是正方形的是（　　） A．，， B． C．， D．， 【答案】C 【分析】本题考查正方形的判定，掌握正方形的判定定理是解题的关键． 【详解】解：对于A、∵，， ∴四边形是平行四边形. ∵， ∴四边形是菱形，故不符合题意； 对于B、只能判断出四边形是菱形，故不符合题意； 对于C，∵， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形，故符合题意； 对于D、不能判定四边形是正方形，故不符合题意； 故选C． 【跟踪专练2】如图，在中，．再添加一个条件，可以判定四边形是正方形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了正方形的判定，平行四边形的性质，解答本题的关键是熟练掌握正方形的判定定理．根据正方形的判定定理即可解答． 【详解】解：在平行四边形中，，利用对角线互相垂直且相等即可证明四边形是正方形． A．当时，四边形是菱形，不一定是正方形，选项错误，不符合题意； B．当时，四边形一定不是正方形，选项错误，不符合题意； C．当时，平行四边形角线互相垂直且相等，则四边形是正方形，选项正确，符合题意； D．当时，四边形不一定是正方形，选项错误，不符合题意； 故选：C． 【跟踪专练3】如图，已知四边形的对角线相交于，则下列条件能判断它是正方形的是（   ）      A．，，， B．， C．， D．，，， 【答案】C 【分析】本题考查正方形的判定，掌握正方形的判定定理是解题的关键． 【详解】解：A、，， 四边形是平行四边形. ， 四边形是菱形，故不符合题意； B、只能判断出四边形是菱形，故不符合题意； C、，， 四边形是菱形， ， 四边形是正方形，故符合题意； D、不能判定四边形是正方形，故不符合题意； 故选：C． 题型06.由正方形性质与判定求角度 【典例】如图，正方形中，为边上一点，为延长线上一点，且，若，则____________． 【答案】64° 【分析】由正方形的性质得出BC=DC，∠BCE=∠DCF=90°，由SAS证明△BCE≌△DCF，得出对应角相等即可求出∠BEC的度数． 【详解】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴BC=DC，∠BCE=90°， ∴∠DCF=90°， 在△BCE和△DCF中， ， ∴△BCE≌△DCF（SAS）， ∴∠BEC＝∠DFC， ∵CE=CF，∠ECF=90°， ∴△ECF为等腰直角三角形， ∴∠EFC=45°， 则∠DFC=∠EFD+∠EFC=19°+45°=64°， ∴∠BEC＝64°， 故答案为：64°. 【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、三角形内角和定理；熟练掌握正方形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键． 【跟踪专练1】如图，在正方形ABCD中，以对角线BD为边作菱形BDFE，连接BF，则∠AFB＝（　　） A．22.5° B．25° C．30° D．不能确定 【答案】A 【分析】根据正方形的对角线平分一组对角可得∠ADB=45°，再根据菱形的四条边都相等可得BD=DF，根据等边对等角可得∠DBF=∠DFB，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和进行计算即可得解． 【详解】解：在正方形ABCD中，∠ADB=∠ADC=×90°=45°， 在菱形BDFE中，BD=DF， 所以，∠DBF=∠AFB， 在△BDF中，∠ADB=∠DBF+∠AFB=2∠AFB=45°， 解得∠AFB=22.5°． 故选：A． 【点睛】本题考查了正方形的四个角都是直角，对角线平分一组对角的性质，菱形的四条边都相等的性质，以及等边对等角，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，难度不大，熟记各性质是解题的关键． 【跟踪专练2】如图，在中，，以斜边为边向外作正方形，且对角线交于点，连．若，，则与的和为______度；且另一条直角边的长为______．    【答案】 180 5 【分析】作于点，交的延长线于点，由正方形的性质得，，而，所以；再证明，得，，则四边形是正方形，所以，则，所以，，则，于是得到问题的答案． 【详解】解：作于点，交的延长线于点，则， 四边形是正方形， ，，，， ，， ， ； ， 四边形是矩形， ， ， 在和中， ， ， ，， 四边形是正方形， ， ，， ， ， ， ， 故答案为：180，5．    【点睛】此题重点考查正方形的判定与性质、四边形的内角和等于、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 【跟踪专练3】如图，将正方形绕点A顺时针旋转，得到正方形，的延长线交于点H，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据旋转的性质，求得∠BAE=38°，根据正方形的性质，求得∠DBA=45°，∠ABH=135°，利用四边形的内角和定理计算即可． 【详解】根据旋转的性质，得∠BAE=38°， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠DBA=45°，∠ABH=135°， ∵四边形AEFG是正方形， ∴∠E=90°， ∴∠DHE=360°-90°-38°-135°=97°， 故选B． 【点睛】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，四边形的内角和定理，熟练掌握正方形的性质，旋转的性质是解题的关键． 题型07.由正方形性质与判定求线段长 【典例】如图，在正方形中，点在对角线上，分别为垂足，连结，若，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正方形的性质即可得到四边形是矩形，四边形是正方形，再利用矩形和正方形的性质得到和 ，进而得到，从而得到的长度． 【详解】解：延长于交于点， ∵在正方形中， ∴，，， ∴， ∴， ∵为垂足， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴，，四边形是正方形， ∴， ∴， ∴在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选． 【点睛】本题考查了正方形的判定与性质，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 【跟踪专练1】小智根据四边形的不稳定性制作了一个探究特殊四边形的学具，他用四根长度相同的木条在两端用螺栓两两连接，构成一个可以活动的四边形．他先将学具成为图1所示的四边形，并测得，对角线，再将学具成为图2所示四边形，并测得，则图2中对角线的长为（    ） A．20cm B．40cm C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了菱形的判定和性质，正方形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，掌握特殊四边形的性质是关键．连接、，由题意可知，图1中四边形是菱形，图2中四边形是正方形，进而证明是等边三角形，得出，再根据勾股定理求出的长即可． 【详解】解：如图，连接、， 由题意可知，图1中四边形是菱形，图2中四边形是正方形， ， ， 是等边三角形， ， ， 在中，， 故选：C． 【跟踪专练2】如图，中，，，垂足为点D，，，现将和分别沿着、翻折，得到和，延长、交于点G，则四边形的面积是 _______ ． 【答案】36 【分析】由，，，，得，，由翻折得，，，，，，则，求得，则四边形是矩形，而，所以四边形是正方形，设正方形的边长为m，则，，由勾股定理得，求得符合题意的m值为6，所，于是得到问题的答案． 【详解】解：中，，，，， ，， 由翻折得，，，，，， ， ， ， ∴四边形是矩形， ， ，， ， ∴四边形是正方形， 设正方形的边长为m，则，， ， ， 解得，（不符合题意，舍去）， ， 故答案为：36． 【点睛】此题重点考查翻折变换的性质、矩形的判定与性质、正方形的判定与性质、勾股定理等知识，证明四边形是正方形是解题的关键． 【跟踪专练3】如图，小浙同学用长度相等的四根木条制作了可活动的四边形学具，改变其内角度数，四边形可变为四边形，若，，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了正方形，菱形的判定与性质，勾股定理，含角直角三角形的性质，分母有理化等知识，解题的关键是掌握以上知识点．首先证明出四边形是正方形，设正方形的边长为a，然后利用勾股定理求出，连接，过点作交的延长线于点E，得到，然后利用勾股定理求出，进而求解即可． 【详解】解：∵小浙同学用长度相等的四根木条制作了可活动的四边形学具， ∴四边形是菱形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴设正方形的边长为a ∴ ∴ 如图所示，连接，过点作交的延长线于点E ∵， ∴ ∴ ∴ ∴， ∴ ∴． 故选：A． 题型08.由正方形性质与判定求面积. 【典例】如图，用4个全等的正八边形进行拼接，使相邻的两个正八边形有一条公共边，若正八边形的边长为2，则中间空白四边形的面积为______． 【答案】4 【分析】本题考查正方形的判定，正多边形的性质，多边形内角和定理．正确判定出中间空白四边形为正方形是解题的关键． 先根据正八边形边长为2得出中间空白四边形的边长为2，再根据多边形内角和与正多边形的性质，得出中间空白四边形的每个内角为 【详解】解：∵正八边形的边长为2， ∴中间空白四边形的边长为2， ∵中间空白四边形的每个内角为：， ∴中间空白四边形为正方形， ∴中间空白四边形的面积为， 故答案为：4． 【跟踪专练1】如图，是我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理构造的图形，后人称之为“赵爽弦图”．该图形由四个全等的直角三角形拼接而成，若，，则四边形的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用勾股定理求出的长，再证明四边形是正方形，即可作答． 【详解】在中，，，则：， ∵，，，全等， ∴，， ∴， 同理可得：， ∴， 又∵， ∴， ∴四边形是正方形， 则四边形面积为：， 故选：B． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质，勾股定理，正方形的判定与性质等知识，掌握全等三角形的性质是解答本题的关键． 【跟踪专练2】如图，在矩形中，交于点O，且，，将绕点C顺时针旋转至，连接，且、分别为、的中点，则四边形的面积是__________． 【答案】 【分析】根据矩形的性质，三角形中位线定理可得，，再根据平行四边形的判定可得四边形为平行四边形，根据旋转的性质可得，，得，从而知四边形为正方形由此即可求解． 【详解】解：四边形为矩形，，， ， ， 、分别为、的中点， ，， ， 四边形为平行四边形， 将绕点顺时针旋转至， ，， ， 四边形为正方形， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，中位线的判定与性质，平行四边形的判定，正方形的判定与性质，正方形面积公式等知识，需要较强的推理能力，正确判断出四边形为正方形是解题的关键． 【跟踪专练3】北京举行的第二十四届国际数学家大会会徽的设计基础是多年前中国古代数学家赵爽的“弦图”，如图，在由四个全等的直角三角形（、、、）拼成大正方形，中空的部分是四边形，连接，相交于点，与相交于点，若，且大正方形边长为，则四边形的面积为（     ）      A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、正方形的判定与性质、勾股定理，灵活运用知识点推理证明是解题的关键． 记和交于点，根据正方形的性质，利用证明，利用证明，设，结合勾股定理推出，根据大正方形边长为，得出，求出，即为四边形的面积． 【详解】解：如图，记和交于点，    ∵四个全等的直角三角形（、、、）拼成大正方形， ∴，，，， ∴， ，即， ∴四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴， ∵大正方形边长为， ∴， ∴， ∴四边形的面积为， 故选：D． 题型09.由正方形性质与判定证明 【典例】如图，在正方形ABCD中，AB＝4，E为对角线AC上与A，C不重合的一个动点，过点E作EF⊥AB于点F，EG⊥BC于点G，连接DE，FG，下列结论：①DE＝FG；②DE⊥FG；③∠BFG＝∠ADE；④FG的最小值为3．其中正确结论的序号为__． 【答案】①②③ 【分析】①连接BE，可得四边形EFBG为矩形，可得BE＝FG；由△AEB≌△AED可得DE＝BE，所以DE＝FG；②由矩形EFBG可得OF＝OB，则∠OBF＝∠OFB；由∠OBF＝∠ADE，则∠OFB＝∠ADE；由四边形ABCD为正方形可得∠BAD＝90°，即∠AHD+∠ADH＝90°，所以∠AHD+∠OFH＝90°，即∠FMH＝90°，可得DE⊥FG；③由②中的结论可得∠BFG＝∠ADE；④由于点E为AC上一动点，当DE⊥AC时，根据垂线段最短可得此时DE最小，最小值为2，由①知FG＝DE，所以FG的最小值为2． 【详解】解：①连接BE，交FG于点O，如图， ∵EF⊥AB，EG⊥BC， ∴∠EFB＝∠EGB＝90°． ∵∠ABC＝90°， ∴四边形EFBG为矩形． ∴FG＝BE，OB＝OF＝OE＝OG． ∵四边形ABCD为正方形， ∴AB＝AD，∠BAC＝∠DAC＝45°． 在△ABE和△ADE中， ， ∴△ABE≌△ADE（SAS）． ∴BE＝DE． ∴DE＝FG． ∴①正确； ②延长DE，交FG于M，交FB于点H， ∵△ABE≌△ADE， ∴∠ABE＝∠ADE． 由①知：OB＝OF， ∴∠OFB＝∠ABE． ∴∠OFB＝∠ADE． ∵∠BAD＝90°， ∴∠ADE+∠AHD＝90°． ∴∠OFB+∠AHD＝90°． 即：∠FMH＝90°， ∴DE⊥FG． ∴②正确； ③由②知：∠OFB＝∠ADE． 即：∠BFG＝∠ADE． ∴③正确； ④∵点E为AC上一动点， ∴根据垂线段最短，当DE⊥AC时，DE最小． ∵AD＝CD＝4，∠ADC＝90°， ∴AC＝＝4． ∴DE＝AC＝2． 由①知：FG＝DE， ∴FG的最小值为2， ∴④错误． 综上，正确的结论为：①②③． 故答案为：①②③． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，正方形的性质，勾股定理，垂线段最短，掌握正方形的性质是解题的关键． 【跟踪专练1】如图，在正方形中，点P是对角线上一点，，垂足分别为E，F，连接．若，则一定等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查正方形，矩形的性质及应用，解题的关键是掌握正方形的对称性和矩形的判定定理和性质定理，连接交于O，可知，根据四边形是正方形，，，可得四边形是矩形，故，从而，即得，故． 【详解】解∶连接交于O．如图∶ 正方形的对称性可知，， 四边形是正方形， ， 四边形是矩形， ． ． ． 故选∶A． 【跟踪专练2】如图，点E为正方形对角线上一点，连结，过点E作，交延长线于点F，以为邻边作矩形，连结．给出下列四个结论：①；②；③；④．上述结论中，正确结论的序号有______． 【答案】①②③ 【分析】本题考查了正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，正确的作出辅助线是解题的关键． ①过E作于M点，过E作于N点，如图所示：根据正方形的性质得到，，推出四边形为正方形，由矩形的性质得到，，根据全等三角形的性质得到，故①正确； ②利用已知条件可以推出矩形为正方形；根据正方形的性质得到，，推出，故②正确； ③根据②的结论可得，所以，故③正确； ④根据②中，得出，则可得出，在中，根据勾股定理得出，得出，故④错误． 【详解】解：①过E作于M点，过E作于N点，如图所示： ∵四边形是正方形， ，， ， ， ∴四边形为正方形， ，， ∵四边形是矩形， ， ， ， 又， 在和中，， ， ， 故①正确； ②∵矩形为正方形； ，， ∵四边形是正方形， ，， ， 在和中，， ， 故②正确； ③根据②得， ， ， 故③正确； ④根据②中， ， ， 在中，，， ， ， 故④错误， 故答案为：①②③． 【跟踪专练3】如图，正方形的中心互相重合，边分别与边交于点I，J，K，L，连接．若，，正方形的面积比正方形的面积大4，则四边形的面积为（　　） A．16 B．18 C．20 D．24 【答案】C 【分析】本题主要考查了正方形的性质与判定，勾股定理，等腰直角三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，设，则，，利用正方形的性质、等腰直角三角形性质可得，根据正方形的面积比正方形的面积大4，建立方程求解即可求得，再运用勾股定理可得，再证得，进而推出四边形是正方形，即可求得答案． 【详解】解：设，则，     ∵正方形的中心互相重合， ∴， ∵， ∴， ∴均为等腰直角三角形， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∵正方形的面积比正方形的面积大4， ∴， 解得：或（舍去）， ∴， ∴， ∴， 同理可得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理可得， ∴四边形是正方形， ∴四边形的面积为， 故选：C． 题型10.利用正方形对称性求阴影面积 【典例】如图，三个边长为的正方形按如图所示的方式重叠在一起，点O是其中一个正方形的中心，则重叠部分（阴影）的面积为________． 【答案】 【分析】本题主要考查正方形的性质，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．连接，，由正方形的性质可得，证明△△可得，进而可求解． 【详解】解：连接，， 由题意知：四边形，四边形都是正方形， ，，，， ， △△， ， ， ． 故答案为：． 【跟踪专练1】如图，正方形的对角线相交于点，以为顶点的正方形的两边，分别交正方形的边，于点，．记的面积为，的面积为，若正方形的边长，，则的大小为（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】B 【分析】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，证明是解题的关键．由正方形的性质得，，，，则，，，，所以，因为，所以，可证明，则，推导出，求得，于是得到问题的答案． 【详解】解：四边形是正方形，，对角线相交于点， ，，，， ，，，， ， 四边形是正方形， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， 故选：B． 【跟踪专练2】如图，四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成了一个大正方形，连结，若正方形的面积为，．则的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查正方形的性质，勾股定理，平行线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形的面积，，则，由勾股定理可得，即得，再证明，可得，，即可得，由可得，据此即可求解，正确识图是解题的关键 【详解】解：∵正方形的面积为， ∴， 设， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形EFGH拼成的一个大正方形， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵， ， ， ， ， ， ∴， 故选：． 【跟踪专练3】如图，点F为正方形对角线的中点，将以点F为直角顶点的直角绕点F旋转（的边EG始终在正方形外），若正方形边长为3，则在旋转过程中与正方形重叠部分的面积为（　　）    A．9 B．3 C．4.5 D．2.25 【答案】D 【分析】如图，连接，由点F是的中点，然后结合正方形的性质得到、、，进而结合得到，从而得证，再由全等三角形的性质得到重叠部分四边形的面积与的面积相等，最后由正方形的边长求得结果． 【详解】解：如图，连接， ∵点F是的中点，四边形是正方形， ∴， ， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴（ASA）， ∴， ∴， ∵正方形的边长为3， ∴， ∴， ∴， ∴重叠部分四边形的面积为． 故选：D．    【点睛】此题考查了正方形的性质、三角形全等的性质、三角形面积、解题的关键是熟知正方形的性质、三角形全等的性质、三角形面积的知识并会应用． 题型11.正方形背景下动点与线段最值问题 【典例】如图，在面积为12的正方形中，以为一边向正方形内作等边，点是对角线上的动点，连接、，则的最小值为_________． 【答案】 【分析】本题主要考查了轴对称，最短路线问题，根据正方形的性质得出A关于的对称点是C是解题的关键． 由四边形是正方形，可得、关于对称，则当、、共线时，的最小值为的长． 【详解】解：∵正方形的面积为12， ∴， ∵为等边三角形， ∴， ∵四边形是正方形， ∴、关于对称， ∴， ∴， ∴当、、共线时，的最小值为的长， ∴的最小值为． 故答案为：． 【跟踪专练1】如图，正方形的边长为12，点E在AB上，且，点F是上一动点，则的最小值是（    ） A．15 B． C． D．12 【答案】A 【分析】本题主要考查了最短路线问题、勾股定理以及正方形的性质的运用，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点． 连接，依据，可得，当在同一直线上时，的最小值等于的长，再根据勾股定理即可得到的长即为的最小值． 【详解】如图所示，连接， ∵点与点关于对称， ， 当在同一直线上时， 的最小值等于的长， ∴的最小值等于15， 故选：A． 【跟踪专练2】如图，正方形的边长为4，点，分别在边，上运动，且，连接，过点作交于点，连接，则线段长度的最小值为_____． 【答案】 【分析】延长交的延长线于点，连接，，容易证明，则．结合正方形的性质可得，，则点是直角斜边上的中点，因此是定值．由可知，当点、、三点共线时，最短，计算此时的长即可． 【详解】解：如图，延长交的延长线于点，连接，， 在正方形中，，， ∴， ∵， ∴， 又∵． ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴，即点为的中点， 在直角中，点是斜边的中点， ∴， 在直角中，， ∵， ∴当点、、三点共线时，取到最小值． 故答案为：． 【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，线段最值问题与勾股定理，添加辅助线构造全等三角形是解题关键． 【跟踪专练3】如图，为正方形中边上的一点，且，、分别为边、上的动点，且始终保持，则的最小值为(   )                                         A．5 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理的应用等．过点作，过点作交于点，连接，则四边形为平行四边形，证得当、、三点在同一直线上时，有最小值，即为的长，过点作于点，设与相交于点，证明，得到是等腰直角三角形，再利用勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，过点作，过点作交于点，连接，则四边形为平行四边形， ， ， 当、、三点在同一直线上时，有最小值，即为的长， 过点作于点，设与相交于点， 四边形是正方形，， ， ， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， 由勾股定理得， ， 即的最小值为． 故选：D． 【解答题】 1．如图，将边长为4的正方形沿着折痕折叠，使点B落在边中点G处． (1)求线段的长； (2)连接，求证： 【答案】(1) (2)见解析 【分析】对于本题，重点掌握折叠的不变性，即对应边相等，以及正确利用方程的思想解决问题． （1）根据折叠得到，，再设，然后对运用勾股定理建立方程求解； （2）直接根据折叠得到对应边相等即可证明． 【详解】（1）解：由题意得，， 设，则， 四边形是正方形， ， ， 落在边的中点处， ， ， 解得：， ； （2）证明：如图，由折叠可得． 2．如图，中，，，外角平分线交于点A，过点A分别作直线，的垂线，B，D为垂足． (1)___________°（直接写出结果不写解答过程）； (2)①求证：四边形是正方形； ②若，求的值． 【答案】(1)45 (2)①证明见解析；②72 【分析】（1）先根据三角形的内角和定理和邻补角的定义求出，然后根据角平分线的定义，三角形内角和定理求解即可； （2）①作于G，先证明四边形是矩形，根据角平分线的性质定理可得出，然后根据正方形的判定即可得证； ②过A作于H，证明，得出，同理：，在中，根据勾股定理可求出，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴； （2）①证明：作于G，如图1所示： 则， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∵，外角平分线交于点A， ∴，， ∴， ∴四边形是正方形； ②解：过A作于H， 由①可得：四边形是正方形， ∴， ∵，， ∴， ∴， 同理：， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴． 3．如图，已知正方形 的边长为1，P，E分别是上的点，且，． (1)求证：四边形是正方形； (2)若点P在线段上移动，其他条件不变，设，求y关于x的表达式，并写出自变量x的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了正方形的性质与判定、勾股定理、等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质；熟练掌握正方形的性质，证明三角形全等是解决问题（2）的关键． （1）由正方形的性质得出，平分，由角平分线的性质定理得，根据正方形的判定定理即可证明； （2）作于点F．先证是等腰直角三角形，进而证明四边形为矩形，得出，．再证，由全等三角形的性质得出，再由正方形的性质得出，代入即可得出答案． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形，为其对角线， ∴，平分． 又∵， ∴，． ∴四边形是正方形． （2）解：如图，作于点F． ∵四边形是边长为1的正方形， ∴． ∴， ∴是等腰直角三角形． ∵， ∴， ． ∵， ∴， 又∵，， ∴四边形为矩形， ∴，． ∴， ∴． 又∵，， ∴． ∴． 由（1）知四边形是正方形， ∴ ∴， 即 整理得， 其中自变量x的取值范围为． 4．已知：如图，在边长为12的正方形中，点在边上，，将沿折叠至，延长交于点，连接． (1)求的度数； (2)求的长度． 【答案】(1) (2)6 【分析】本题考查了正方形的性质，折叠的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，熟练掌握各知识点是解题的关键． （1）根据正方形的折叠证明，则得到，而折叠得到，再由即可求解； （2）由已知可得，由，可设，则，，在中，由勾股定理建立方程求解即可． 【详解】（1）解：∵四边形是正方形， ∴， ∵折叠， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵正方形的边长为12，， ∴， ∵， ∴， 设，则， ∵在中，由勾股定理得 ∴， 解得， ∴． 5．如图是人教版八年级上册数学教材第79页的部分内容． 把一张长方形纸片纸片沿对角线折叠，重合部分是一个等腰三角形吗？为什么？ 问题解决： （1）如图1，已知矩形（），将矩形纸片沿对角线折叠，使点落在点的位置，交于点Q．请判断的形状，并进行证明； 拓展延伸： （2）如图2，折叠矩形使点落在上的点处，折痕为，过点作交于点，连接，发现四边形是特殊四边形，请先写出是哪种特殊四边形，并进行证明； 类比迁移： （3）在（2）的基础上，若，，当点在边上移动时，折痕的端点，也随着移动，若限定，分别在线段，上移动，求四边形面积的变化范围． 【答案】（1）是等腰三角形，证明见解析；（2）是菱形，证明见解析；（3）四边形面积的变化范围 【分析】本题考查了矩形的折叠问题，等腰三角形的性质判定，菱形、正方形的判定，勾股定理的应用； （1）根据平行线的性质可得，根据折叠的性质可得，等量代换得出，等角对等边得出，即可得出结论； （2）根据折叠的性质得出，根据平行线的性质得出，则，进而得出，根据菱形的判定定理即可得证； （3）根据题意分别求得当重合时，四边形的面积最小，当重合时，重合，四边形的面积最大，分别求得四边形的面积，即可求解． 【详解】（1）是等腰三角形， 证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴， 由折叠的性质可得 ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （2）四边形是菱形， 证明：由折叠的性质可得，， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵ ∴ ∴四边形是平行四边形， 又∵ ∴四边形是菱形， （3）设四边形的面积为， 如图，当重合时，四边形的面积最小， ∵折叠， ∴ ∵四边形是矩形， ∴ ∴ ∴ 设，则， 在中， ∴， 解得： ∴ ∴四边形的面积； 当重合时，重合，四边形的面积最大， ∵四边形是菱形. ∵ ∴四边形是正方形， ∴四边形的面积为 ∴ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09正方形期中复习讲义 知识目标 能力目标 应试目标 1.牢记正方形定义（邻边相等+有一个直角的平行四边形） 2.掌握边、角、对角线、对称性四大核心性质 3.熟记3种核心判定方法（矩形+邻边相等、菱形+直角、对角线特殊关系） 4.分清正方形与平行四边形、矩形、菱形的从属关系 1.能快速运用性质解决边长、对角线、面积等基础计算 2.能根据题干条件，灵活选择判定方法证明四边形是正方形 3.学会转化思想，破解正方形折叠、简单综合证明题 1.基础题（选择、填空）不丢分，熟练拿满基础分值 2.中档综合题（性质+判定结合）快速破题，提高解题效率 3.规避判定易错点、性质混淆点，减少失分 题型1.正方形性质与判定定理理解 题型2.正方形性质的综合应用 题型3.正方形折叠问题 题型4.求正方形重叠部分面积 题型5.正方形判定应用 题型6.由正方形性质与判定求角度 题型7.由正方形性质与判定求线段长 题型8.由正方形性质与判定求面积 题型9.由正方形性质与判定证明 题型10.利用正方形对称性求阴影面积 题型11.正方形背景下动点与线段最值问题 解答题5题 知识点01:正方形的定义 有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。 定义 1（从矩形出发）有一组邻边相等的矩形是正方形。 定义 2（从菱形出发）有一个角是直角的菱形是正方形。 一句话概括正方形是特殊的平行四边形，特殊的矩形，特殊的菱形。 知识点02:正方形的性质 类别 性质描述 几何语言（以正方形 ABCD 为例，对角线交于 O） 边 四条边都相等；对边平行 AB=BC=CD=DA，AB∥CD，AD∥BC 角 四个角都是直角（90∘） ∠A=∠B=∠C=∠D=90∘ 对角线 1.相等且互相垂直平分 2.每条对角线平分一组对角 3. 分成 4 个全等的等腰直角三角形 1.AC=BD，AC⊥BD，AO=OC，BO=OD 2.∠BAC=∠DAC=45∘∠ABD=∠CBD=45∘ 3.△AOB≅△BOC≅△COD≅△DOA 对称性 既是中心对称图形，又是轴对称图形（4 条对称轴） 中心对称：点 O 是对称中心轴对称：对称轴为直线 AC、BD、过对边中点的两条直线 知识点03:正方形的判定 知识点04.正方形与特殊四边形的关系 图形 与正方形的区别 共性 平行四边形 无邻边相等、无直角 对边平行且相等、对角线互相平分、中心对称 矩形 邻边不一定相等 四个直角、对角线相等、轴对称 菱形 角不一定是直角 四边相等、对角线垂直、对角线平分对角 易错点 1.混淆 “矩形、菱形、正方形” 的判定条件，例如：误认为 “对角线垂直且相等的四边形是正方形”（需先证是平行四边形）； 2.忽略正方形的对称轴数量，误记为 2 条（实际是 4 条）； 3.计算对角线长度时，忘记边长与对角线的比例关系 :1。 题型01.正方形性质与判定定理理解 【典例】如图，的矩形分成四块后可拼成一个正方形，该正方形的周长为____．    【跟踪专练1】如图，在菱形中，．要使菱形为正方形，则是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，数学课上老师给出了以下四个条件：a两组对边分别平行；b对角线互相平分；c对角线互相垂直；d一个角是直角．有三位同学给出了不同的组合方式：．你认为能得到正方形的是______．（填写你认为正确的序号） 【跟踪专练3】如图，直线l与正方形的边，分别相交于点M，N，如图所示，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练4】如图，在四个相同的正方形网格中，分别作一个顶点均在格点上的平行四边形，其中边上的高最小的是（   ） A． B． C． D． 题型02.正方形性质的综合应用 【典例】如图，四边形是正方形，是等边三角形，则的度数是（   ） ... A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，点为正方形边上一点，若，，则该正方形的对角线长为______． 【跟踪专练2】如图，正方形的边长为8，分别交，于点，，在上任取两点，，那么图中阴影部分的面积是（　　） A．48 B．40 C．32 D．24 【跟踪专练3】如图，在正方形中，，对角线、相交于点O，过点O作射线、分别交边、于点E、F，且，连结．给出下面四个结论： ①； ②； ③； ④四边形的面积为正方形面积； ⑤若的中点为K，则的最小值为2． 上述结论中，所有正确的序号是________． 【跟踪专练4】正方形，正方形和正方形的位置如图所示，点G在线段上，正方形的边长为2，则的面积为__________． 【跟踪专练5】，，，四个点位于正方形的四个顶点，现在将这四个点用线段连接，则以下四种方案中，所有线段之和最小的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练6】如图，在正方形中，对角线相交于点O．E、F分别为上一点，且，连接．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 题型03.正方形折叠问题 【典例】如图，在一次综合实践活动中，小明将一张边长为的正方形纸片，沿着边上一点E与点A的连线折叠，点是点B的对应点，延长交DC于点G，，则的长为______． 【跟踪专练1】已知正方形，点E、F、M、N、G、H是正方形边上的点，点P是正方形内一点．如图（1），将正方形沿过P点的线段折叠，使点E落在上点E′，如图（2），展开后沿过P点的线段折叠，使点G落在上点，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，正方形的边长为8，将正方形折叠，使顶点落在边上的点处，折痕为，若，则线段的长为________． 【跟踪专练3】用一张正方形的纸片按如下方式折叠：如图，先将纸片对折得到折痕，再沿过点的直线翻折纸片，得到折痕，使点落在上的点处，连接，，与交于点．有下列结论：①；②为等边三角形；③；④．其中正确的是（   ） A．①② B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 题型04.求正方形重叠部分面积 【典例】如图，边长为6cm的正方形ABCD先向上平移3cm，再向右平移1.5cm，得到正方形，此时阴影部分的面积为________cm2 【跟踪专练1】如图，正方形、、、的边长分别为2、4、6、4，四个正方形按照如图所示的方式摆放，点、、分别位于正方形、、、对角线的交点，则阴影部分的面积和为（　　） A．12 B．13 C．14 D．18 【跟踪专练2】现有①②③三种不同的矩形木板（边长如图（1）所示），取①②③木板各一块，按如图（2）所示的方式摆放（木板②③无重叠，无缝隙），则木板①没有被覆盖的面积为________；在图（2）摆放的基础上再放置一块木板②，如图（3）所示，则此时的木板①没有被覆盖的面积为________． 【跟踪专练3】如图所示：正方形的对角线相交于点O，点O又是另一个正方形的一个顶点．如果两个正方形的边长相等，若正方形的边长为4，则两个正方形重叠部分的面积为（    ） A．16 B．8 C．4 D．1 题型05.正方形判定应用 【典例】如图，四边形为菱形，添加一个条件：____，可使它成为正方形． 【跟踪专练1】如图，已知四边形的对角线相交于O，则下列条件能判断它是正方形的是（　　） A．，， B． C．， D．， 【跟踪专练2】如图，在中，．再添加一个条件，可以判定四边形是正方形的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练3】如图，已知四边形的对角线相交于，则下列条件能判断它是正方形的是（   ）      A．，，， B．， C．， D．，，， 题型06.由正方形性质与判定求角度 【典例】如图，正方形中，为边上一点，为延长线上一点，且，若，则____________． 【跟踪专练1】如图，在正方形ABCD中，以对角线BD为边作菱形BDFE，连接BF，则∠AFB＝（　　） A．22.5° B．25° C．30° D．不能确定 【跟踪专练2】如图，在中，，以斜边为边向外作正方形，且对角线交于点，连．若，，则与的和为______度；且另一条直角边的长为______．    【跟踪专练3】如图，将正方形绕点A顺时针旋转，得到正方形，的延长线交于点H，则的大小为（    ） A． B． C． D． 题型07.由正方形性质与判定求线段长 【典例】如图，在正方形中，点在对角线上，分别为垂足，连结，若，则（　　） A． B． C． D． 【跟踪专练1】小智根据四边形的不稳定性制作了一个探究特殊四边形的学具，他用四根长度相同的木条在两端用螺栓两两连接，构成一个可以活动的四边形．他先将学具成为图1所示的四边形，并测得，对角线，再将学具成为图2所示四边形，并测得，则图2中对角线的长为（    ） A．20cm B．40cm C． D． 【跟踪专练2】如图，中，，，垂足为点D，，，现将和分别沿着、翻折，得到和，延长、交于点G，则四边形的面积是 _______ ． 【跟踪专练3】如图，小浙同学用长度相等的四根木条制作了可活动的四边形学具，改变其内角度数，四边形可变为四边形，若，，则的值为（　　） A． B． C． D． 题型08.由正方形性质与判定求面积. 【典例】如图，用4个全等的正八边形进行拼接，使相邻的两个正八边形有一条公共边，若正八边形的边长为2，则中间空白四边形的面积为______． 【跟踪专练1】如图，是我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理构造的图形，后人称之为“赵爽弦图”．该图形由四个全等的直角三角形拼接而成，若，，则四边形的面积为（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，在矩形中，交于点O，且，，将绕点C顺时针旋转至，连接，且、分别为、的中点，则四边形的面积是__________． 【跟踪专练3】北京举行的第二十四届国际数学家大会会徽的设计基础是多年前中国古代数学家赵爽的“弦图”，如图，在由四个全等的直角三角形（、、、）拼成大正方形，中空的部分是四边形，连接，相交于点，与相交于点，若，且大正方形边长为，则四边形的面积为（     ）      A． B． C． D． 题型09.由正方形性质与判定证明 【典例】如图，在正方形ABCD中，AB＝4，E为对角线AC上与A，C不重合的一个动点，过点E作EF⊥AB于点F，EG⊥BC于点G，连接DE，FG，下列结论：①DE＝FG；②DE⊥FG；③∠BFG＝∠ADE；④FG的最小值为3．其中正确结论的序号为__． 【跟踪专练1】如图，在正方形中，点P是对角线上一点，，垂足分别为E，F，连接．若，则一定等于（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，点E为正方形对角线上一点，连结，过点E作，交延长线于点F，以为邻边作矩形，连结．给出下列四个结论：①；②；③；④．上述结论中，正确结论的序号有______． 【跟踪专练3】如图，正方形的中心互相重合，边分别与边交于点I，J，K，L，连接．若，，正方形的面积比正方形的面积大4，则四边形的面积为（　　） A．16 B．18 C．20 D．24 题型10.利用正方形对称性求阴影面积 【典例】如图，三个边长为的正方形按如图所示的方式重叠在一起，点O是其中一个正方形的中心，则重叠部分（阴影）的面积为________． 【跟踪专练1】如图，正方形的对角线相交于点，以为顶点的正方形的两边，分别交正方形的边，于点，．记的面积为，的面积为，若正方形的边长，，则的大小为（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 【跟踪专练2】如图，四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成了一个大正方形，连结，若正方形的面积为，．则的值是（　　） A． B． C． D． 【跟踪专练3】如图，点F为正方形对角线的中点，将以点F为直角顶点的直角绕点F旋转（的边EG始终在正方形外），若正方形边长为3，则在旋转过程中与正方形重叠部分的面积为（　　）    A．9 B．3 C．4.5 D．2.25 题型11.正方形背景下动点与线段最值问题 【典例】如图，在面积为12的正方形中，以为一边向正方形内作等边，点是对角线上的动点，连接、，则的最小值为_________． 【跟踪专练1】如图，正方形的边长为12，点E在AB上，且，点F是上一动点，则的最小值是（    ） A．15 B． C． D．12 【跟踪专练2】如图，正方形的边长为4，点，分别在边，上运动，且，连接，过点作交于点，连接，则线段长度的最小值为_____． 【跟踪专练3】如图，为正方形中边上的一点，且，、分别为边、上的动点，且始终保持，则的最小值为(   )                                         A．5 B． C． D． 【解答题】 1．如图，将边长为4的正方形沿着折痕折叠，使点B落在边中点G处． (1)求线段的长； (2)连接，求证： 2．如图，中，，，外角平分线交于点A，过点A分别作直线，的垂线，B，D为垂足． (1)___________°（直接写出结果不写解答过程）； (2)①求证：四边形是正方形； ②若，求的值． 3．如图，已知正方形 的边长为1，P，E分别是上的点，且，． (1)求证：四边形是正方形； (2)若点P在线段上移动，其他条件不变，设，求y关于x的表达式，并写出自变量x的取值范围． 4．已知：如图，在边长为12的正方形中，点在边上，，将沿折叠至，延长交于点，连接． (1)求的度数； (2)求的长度． 5．如图是人教版八年级上册数学教材第79页的部分内容． 把一张长方形纸片纸片沿对角线折叠，重合部分是一个等腰三角形吗？为什么？ 问题解决： （1）如图1，已知矩形（），将矩形纸片沿对角线折叠，使点落在点的位置，交于点Q．请判断的形状，并进行证明； 拓展延伸： （2）如图2，折叠矩形使点落在上的点处，折痕为，过点作交于点，连接，发现四边形是特殊四边形，请先写出是哪种特殊四边形，并进行证明； 类比迁移： （3）在（2）的基础上，若，，当点在边上移动时，折痕的端点，也随着移动，若限定，分别在线段，上移动，求四边形面积的变化范围． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $