暑假专项提升--正方形的性质与判定专项练 2025-2026学年人教版数学八年级下册

**基本信息** 聚焦正方形性质与判定，通过对称、旋转、全等及中位线等方法体系，构建从基础应用到动态探究的知识逻辑链，培养几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |性质应用|单选1-5、填空13-15|对称求最值、全等证面积、折叠性质转化|以正方形边/角/对角线性质为核心，关联等边三角形、矩形折叠| |判定与综合|单选6-9、解答19-22|中点四边形判定、面积关系转化、勾股计算|从定义判定延伸至与菱形/矩形关系，结合中位线定理推导| |动态与探究|单选10-12、解答23-24|旋转性质分析、动点轨迹探究、分类讨论|通过旋转/动点问题深化性质应用，培养空间观念与创新意识|

暑假专项提升-正方形的性质与判定专项练 2025-2026学年初中数学人教版(2024)八年级下学期 一、单选题 1.如图，在正方形ABCD的外侧，作等边△ADE,则∠BED为() B D A.15° B.20 C.22.5° D.45° 2.如图所示，E为边长是4的正方形ABCD的AB边的中点，M为BC上一点，N为CD上 一点，连接EM、MN、NA,则四边形AEMN周长的最小值为() A D N E B M A.10+2V2 B,12+2V2 C.10 D.12 3.如图，在正方形ABCD中，EF分别为BC、CD的中点，连接AE、BF,将△BCF沿 BF对折，得到△BPF,延长FP交BA延长线于点Q,正方形ABCD的边长为3，下列结论 正确的个数是()①AE=BF:②AE⊥BF:③QF=QB:④AQ=0.75 D A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 4.如图，正方形ABCD的对角线相交于点O,点O又是另一个正方形AB'C'O的一个顶点. 如果两个正方形的边长均为6，则两个正方形重叠部分的面积为() D B A.3 B.6 C.9 D.12 5.如图，在正方形ABCD中，M,V分别是AB,BC的中点，连接DM,AN相交于点 O,AN的延长线交DC的延长线于点P.下列四个结论：①OM L AN;② ∠ADM=∠P;③△CDO为等边三角形；④DP=4AM.其中正确的有() M B D C A.①②③ B.①②④ C.①③④ D.②③④ 6.如图，将正方形ABCD绕点A顺时针旋转38°，得到正方形AEFG,DB的延长线交EF 于点H,则∠DHE的大小为() 0 C G B H A.76° B.97° C.90° D.114° 7.如图，长方形ABCD的长与宽比值为V2,将点B沿AE折叠与点G重合，将点C沿E1 折叠与点H重合，则长方形DG的长与宽的比值为() B A.2 B. C.2 D.3 8.如图，点E为正方形ABCD的对角线AC的中点，在Rt△FEG中，两直角边EF,EG 分别交BC,DC于点M,N,若正方形ABCD的边长为a,则重叠部分四边形EMCN的 面积为() D G E A.3a D. 9.如图，正方形ABCD的边长为1，G是对角线BD上一动点，GE⊥CD于点E, GF⊥BC于点F,连接EF,给出四种情况：①若G为BD的中点，则四边形CEGF是正方 形：②点G在运动过程中，始终满足∠GAD=∠GFE;③点G在运动过程中，GE+GF的 2 值为定值1；④点G在运动过程中，线段EF的最小值为2·其中正确的有() D A.①②③ B.②③④ C.①③④ D.①②③④ ABCD 10.如图：顺次连接矩形 A.B,C.D. 四边的中点得到四边形 再顺次连接四边形 AB,C,D2 AB.CD 四边的中点得四边形 A B.C,D. …,按此规律得到四边形 . 矩形 ABCD 的面积为26，那么四边形 3026B2026C2026D2026 的面积为（) D A D 0 A B B2 C 26 26 26 24 A. 22024 B.22025 C.2206 D.22027 11,如图，在正方形ABCD中，点E是AB边上一个动点（不与点A,点B重合），连接 CE,作BF⊥CE交AD于点F,垂足为点G,连接CF,记△BEG,△CDF,△CFG, △BCG 四边形4EGF 的面积分别为， S,.5.S,S,方方通过探究，得到以下两 个结论：① +8,=3,@5=8 ,则下列选项中，正确的是() S3 B A.①②都正确B.①②都错误 C.①正确②错误D.①错误②正确 12.如图，在边长为8的正方形ABCD中，点E是对角线AC(含端点)上一点，连接DE, 过点E作EF⊥DE交AB于点F,对点E运动的过程中，使EF长度为整数的点 进行探究，有如下结论： 结论1：只存在两个这样的点E; 结论2：EF的长不可能等于4： 结论3：EF的最大长度等于正方形的边长， 以下说法正确的是() F B E D A.只有结论1错误 B.结论1和结论2都错误 C.3个结论都正确 D.只有结论3正确 二、填空题 13.如图，正方形和正n边形的两条邻边相交，若∠1+∠2=150°，则n的值是 14.如图，正方形ABCD和正方形EFGH的对称中心都是点O,其边长分别是4和3，则 图中阴影部分的面积是 A D B 15.如图，将5个边长都为4cm的正方形按如图所示的方法摆放，点AB、CD是正方 形的中心，则正方形重叠的部分（阴影部分）面积和为一 16.如图，在正方形ABCD中，点M在边BC上，点N在对角线BD上，连接DM,CN, PO P,Q分别为CN,DM的中点，若BN=V2CM'BC=3CM,则AB的值为一 D M 17.如图，矩形ABCD,点E,F分别是边BC,CD上的动点，且BE=CF,连接BF, DE.若AB=2,BC=3,则BF+DE的最小值是 D B 18.勾股定理又称毕达哥拉斯定理、商高定理、百牛定理，是人类早期发现并证明的重要 数学定理之一.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，以Rt△ABC各边为边向外作正方形 ABFG 、 正方形 ACHI、正方 BCDE 连接GI、BF、DH,若EF=VS4,DH=4, 则这个六边形EDHIGF的面积为. B E D 三、解答题 19.如图，四边形ABCD中，AD‖BC,点O是AC、BD的交点，且点O为AC的中点 E B (I)求证AB=CD: (2)若E为AB的中点，F为CD的中点，当AC⊥CB,∠BAC=∠ADC时，四边形AECF是 否为正方形，若是，请证明；若不是，请说明理由， 20.如图，在四边形ABCD中，AB=CD,E、F、G、H分别为AD、BC、BD、AC的 中点，顺次连接E、G、F、H. D (①)猜想四边形EGFH是什么特殊的四边形，并说明理由： (2)当∠ABC与∠DCB满足什么关系时，四边形EGFH为正方形，并说明理由. 2L.如图，在正方形ABCD中，M为AB的中点，MN⊥MD,MD=MN D (I)求证：BN平分∠CBE: (2)连接DN,若AB=2,求DN的长： 22.解决问题 E B 3 图① 图② (I)如图①，在△ABC中，点D和点E分别是AB、AC的中点.则DE与BC的关系是 (2)如图②，已知E,F,G,H分别是四边形ABCD各边的中点，AC与BD是四边形 ABCD的对角线. ①求证：四边形EFGH是平行四边形： ②若AC⊥BD,AC=6,BD=8,则EG= ③直接写出当AC与BD满足怎样的关系时，四边形EFGH是正方形 23.如图1，在平面直角坐标系中，四边形OBCD是正方形， D(0,3) 点E是OB延长线 上一点，M是线段OB上一动点（不包括O、B)作MN⊥DM,交∠CBE的平分线于点 N. VA 图1 图2 图3 (1)①直接写出点C的坐标： ②求证：MD=MN: (②如图2，若M(2,0),在OD上找一点D,使四边形NCP是平行四边形，直接写出点P 的坐标： (3)如图，连接DN交BC于F,连接FM,求证：MN平分∠FMB 24.在学完有关中点的复习课后，陈老师带领同学们探究这样一道几何题：正方形ABCD 和正方形AEFG共顶点A,连接CF,取CF的中点M,连接BM,GM.试探究△BGM的形 状 以下是智慧小组的探究过程， 【特例探究】如图1，点G在边AB上. B 图1 小明认为此时△BGM是等腰直角三角形，并给出了如下证明思路： 从M是CF的中点入手，延长GM交BC于点N,如图2. 图2 D 通过证明△FGM≌△CNM,得到GM=NM,FG=CN, 由于AB=BC,AG=FG=CN,故BG= 所以△BGN是 再结合M是GN的中点从而可得结论. (1)横线处应填： 【类比探究】 (2)如图3，将正方形AEFG绕点A旋转，其他条件不变，在旋转过程中，试探究△BGM 的形状是否发生变化，并就图3的情形说明理由. 图3 D 备用图 【拓展应用】 (3)在(2)的条件下，己知AB=4,AG=2,当点A,G,M在同一条直线上时，请直 接写出线段BM的长. 参考答案 题号 1 2 3 6 6 7 8 9 10 答案 D D D B B B D B 题号 11 12 答案 A 1.D 先根据正方形、等边三角形的性质，得出∠BAE=150,AB=AE,结合三角形内角和，列 式计算，即可作答 解：四边形ABCD是正方形，△ADE是等边三角形， .∠BAD=90,∠DAE=60,AB=AD,AD=AE, .∠BAE=150°，AB=AE :∠AEB=∠ABE=)×180°-150°)=15°， .∠BED=60°-15°=45° 2.D 如图：延长AD至A',使AD=DA',延长AB至E,使BE=BE,连接AE,交BC于 M,交DC于N,根据线段垂直平分线的性质得到AN=A'N,EM=E'M,根据两点之间 线段最短可知，AE'+AE就是四边形AEMN周长的最小值，再根据勾股定理计算即可. 解：如图：延长AD至A,使AD=DA',延长AB至E,使BE=BE,连接AE',交BC 于M,交DC于N, ,四边形ABCD是正方形， .AD=AB=4,∠ABC=∠ADC=90° ∴.CD垂直平分AA',BC垂直平分EE, .AN=A'N,EM=E'M, ∴.四边形AEMN周长=AN+MN+ME+AE=A'N+MN+ME'+AE≥A'E'+AE, 根据两点之间线段最短可知，A'E'+AE就是四边形AEMN周长的最小值. :E为边长是4的正方形ABCD的中点， .'AE BE=2, .A'D=AD=4,BE BE'=2, ,AE'=6,AA=8, 4E=V4E2+442=10 .四边形AEMN周长的最小值为10+2=12， 3.D △BCF≌△ABE(SAS) 首先证明 再利用角的关系求得∠BGB=90°，即可判断①2， ABCF沿BF对折，得到△BPF,利用角的关系求出 F=OB ③AQ=x ,从而判断；设 则B0=3+x=QF,QP=2+x,利用勾股定理可得OP+Bp=BO,即 (3+=6+,解得x075·从而斯0. 解：四边形ABCD是正方形， .'CD=BC=AB ,E、F分别为BC、CD的中点， .CF=DF=BE=3 2 又∠C=∠ABE=90° △BCF≌△ABE(SAS) .AE=BF,①正确： ,△BCF≌△ABE, .∠BFC=∠AEB, ,∠FBC+LBFC=90°， .∠FBC+∠AEB=90°， 即∠EGB=90°， 所以AE⊥BF,②正确： 根据折叠的对称性可知∠CFB=∠QFB】 DC∥QB, .ZCFB=ZOBF, ∠QFB=LQBF, .OF=QB,③正确： 设AQ=x,则BQ=3+x=QF FC=FP=3 2 33 :.0P=3+x-22 +x Rt△QPB OP2+BP2=BO2 在 中，利用勾股定理可得 3)2 即(2+x+3=(3+x 解得x=0.75,即40=0.75，④正确， 综上可得：①②③④正确，共4个. 4.C 根据题意可得∠AOE=∠BOF,结合正方形的性质证明△AOE≌aBOF,则两个正方形重叠 部分的面积等于 S,即正方形16CD面积的四分之一，己知正方形的边长，可据此求出 重叠部分的面积. 解：如图，设AB与AO交于点E,BC与CO交于点F, 正方形 、正方形 ABCD AB'CO .∠AOB=∠AOB=90° :∠AOE=LBOF, 四边形ABCD是正方形， ∴A0=B0,∠OAE=∠OBF=45° 在△AOE和△BOF中， ∠OAE=∠OBF A0=BO ∠AOE=∠BOF' :∴.△AOE≌ABOF(ASA) .SAAOE=S△BOF 则两个正方形重叠部分的面积为： 1 S.mOE+S.BOF =S.BOE+S.40E=S.408= SE方形0 x6=9 4 5.B 本题考查的是正方形的性质、全等三角形的判定与性质，灵活运用正方形的性质和全等三 角形的判定定理是解题的关键.根据正方形的性质得到边相等、角为直角，再利用中点条 件得到对应边相等，通过SAS、AAS证明三角形全等，进而推导角的关系、线段的位置关 系与数量关系，对四个结论逐一判断正误 解：四边形ABCD为正方形， ∴.AD=AB=BC=CD,∠DAB=∠B=∠ADC=∠BCD=90°， M,N分别是AB,BC的中点， :AM BN, 在△AMD和△ANB中， AD=AB ∠DAB=∠B AM=BN .△AMD≌△ANB(SAS) ∠BAN=∠ADM, ∠ADM+∠AMD=90°， .∠BAN+∠AMD=90°， ∠AOM=90°，即DM⊥AW, ①正确； .∠AOD=90° .∠OAD+∠ADM=90°」 又∠DA0+∠P=90°， .∠ADM=∠P, ②正确： OD≠AD, OD≠DC, △CDO不是等边三角形， ③错误： AB∥DP, .∠BAN=∠P」 在△BAN和△CPN中， 「∠BAM=∠P ∠ANB=∠CNP BN=CN :∴.△BAN≌ACPN(AAS) :CP=AB, .DP=2AB=4AM, ④正确： 综上所述，正确的为①②④ 故选：B. 6.B 根据旋转的性质，求得∠BAE=38°，根据正方形的性质，求得∠DBA=45°，∠ABH=135°， 利用四边形的内角和定理计算即可. 根据旋转的性质，得∠BAE=38°， ,四边形ABCD是正方形， .∴.∠DBA=45°，∠ABH=135°， ,四边形AEFG是正方形， ∴.∠E=90, .∴.∠DHE=360°-90°-38°-135=97°， 故选B, 本题考查了旋转的性质，正方形的性质，四边形的内角和定理，熟练掌握正方形的性质， 旋转的性质是解题的关键。 7.B 设B=1,则D=V5 根据折養性质得出四边形485C为正方形，求出GD和GE的长。 再根据第二次折叠求出EH,进而得出GH的长，最后计算长方形DGⅢ的长宽比. 解：设AB=1, “长方形 ABCD 2 的长与宽比值为 .AD=BC=2 由折叠可知，AB=AG=1,BE=GE,∠AGE=∠B=90°， ∠DAB=∠B=90° ∴四边形ABEG为正方形， ∴.GE=AB=1,BE=1, ,长方形DGHI .∠DGH=90% ∴.∠DGH+∠AGE=180°， “点A,G,D共线， .DG=AD-AG=2-1, 同理可得，G,H,E三点共线， HE=CE=BC-BE=√2-1 由折叠可得， :GH=GE-EH=1-(V2-)=2-2 GH2-2_55--2】 长与宽的比值为GD2-1√2-1 8.B 过点E作EG⊥DC于点G,EH⊥BC于点H,证明△GEN≌△HEM,得到 1 1 S形EwCv=SE方彩0G=4SE方形cD=40计算即可. 4 解：过点E作EG⊥DC于点G,EH⊥BC于点H, (G) B H M ,四边形ABCD是正方形， AC平分∠BCD,AD⊥CD,AB⊥BC,∠BCD=90° ∴.EG=EH, “.四边形EHCG是正方形， ∠HEG=90°， :∠MEN=90°， ∴.∠HEM=∠GEN=90°-∠MEG. ∴.AGEN≌△HEM(ASA) S.GEN =S.HEM AE=EC, 之aow=Sew-55un-a】 1 4 4 9.D 先证明四边形GFCE是矩形，再证明GE=GF,则四边形CEGF是正方形，即可判定①正 确，连接GC,由四边形GFCE是矩形，符EF=-GC,再证明△1DG2 CDG(SAS),得 ∠DAG=∠DCG,再证明 EFG≌AGCE(SSS ,推出∠GAD=∠GFE,即可判定2正确： 证明GE=ED,GF=CE,从而得GE+GF=ED+CE=CD=1,即可判定③正确；根据 EF=GC,所以当CG最小时，EF最小，所以当CG⊥BD时，CG最小， CD BD-CG-BC.CD CG= 2 ，求得 2,即得线段EF的最小值为2，即可判定④ 正确. 解：：四边形ABCD是正方形， ∠C=90°，AD=DC,∠CBG=∠CDG=∠ADG=45°， GE⊥CD,GF⊥BC, .∠GEC=∠GED=∠GFC=∠GFB=90° ∴.四边形GFCE是矩形，∠EGD=∠EDG=45°，∠FGB=∠CBG=45°. DG-VGE BG-GF :G为BD的中点， ∴DG=BG, .'.GE=GF, ∴四边形GFCE是正方形，故①正确； 连接GC, D ,四边形GFCE是矩形， ∴EF=GC, 在△ADG与△CDG中， AD=CD ∠ADG=∠CDG DG=DG △ADG≌ACDG(SAS) .∠DAG=∠DCG」 ,矩形CFGE, ·CE=FG,CG=EF 又.EG=EG, 、△EFG≌aGCE(SSS) .∠EFG=∠ECG ∠GAD=∠GFE,故②正确； :∠EGD=∠EDG=45°， ..GE=ED ·四边形GFCE是矩形， .'.GF CE, .GE+GF=ED+CE=CD=1,即GE+GF的值为定值1，故③正确： .EF=GC, 当CG最小时，EF最小， ∴当CG⊥BD时，CG最小，在RtaBCD中，BD=√2CD=√2， S.aCD= 上BDCG=BCCD ixxCG-1xlxl. .2 2 CG② 2, √2 ∴线段EF的最小值为2，故④正确： ∴.正确的有①②③④ 故选：D 此题考查了正方形的判定与性质，垂线段最短，三角形三边关系，全等三角形的判定与性 质，矩形的判定与性质，熟练掌握正方形的判定与性质、矩形的判定与性质是解题的关键」 10.B 根据顺次连接任意四边形各边中点所得到的新四边形的面积是原四边形面积的一半，由此 26 得出面积变化的规律S边%G,=2,代入n=2026求解即可. 解：四边形 ABCD 是矩形， ∴.AB=CDAD=BC “顺次连接矩形 BCD AB2C2D 四边的中点得到四边形 ∴.4D2=AB2=B2C2=C2D2 ·四边形 B,C,D, 是菱形， 1 S边形4GA=24C,B,D,= 四边形4BGD= 26 2 2, 1 由此得到，顺次连接任意四边形四边中点得到的新四边形，面积是原四边形的2， 26 26 .S四边形4B,CD 边形BG2=2= 22, 26 .S四边形么B,CD,= 2, 2626 当n=2026时，S边形hwa,Cma6 22026= 22025. 11.A 本题主要考查了正方形的性质，解题关键是面积关系的正确变形.由正方形ABCD, BF LCE, △ABF≌△BCE(ASA) 得 ),得8+8=8+5，得8，=8，由5+5+=5+， S+S2=S3 即可得 解：BF⊥CE, ∠CGB=90°， ∠GCB+∠CBG=90°， 四边形ABCD是正方形 ∴∠CBE=90°=∠A,BC=AB, ∠FBA+∠CBG=90°， ∠GCB=∠FBA, 在△ABF和△BCE中， [∠A=∠CBE AB=BC ∠ABF=∠BCE' .△ABF≌△BCE(ASA), 得S+S=S+S4, Sa=Ss 得 S+S2+Ss=S3+S 由 得+=9 故选：A 12.A 过点E作MN⊥CD分别交AB、CD于点N、M,证明△DEM≌aEFN,得到DE=EF, 进而得到DE⊥AC时，DE取得最小值，即EF取得最小值；点E与点C重合时，DE取得 最大值，，即EF取得最大值，求出DE的取值范围，即可得到EF的取值范围，进行判断 即可 解：如图，过点E作MN⊥CD分别交AB、CD于点N、M, N A G M ,∠DEF=90°， .∠FEN+∠DEM=90°，∠DEM+∠EDM=90°， .∠FEN=∠EDM, ,AC平分∠DAB, .∠EAN=∠AEN=45°， .AN=NE, AN DM. .NE =DM, 又.∠ENF=∠DME=90°. .△DEM≌aEFN, .DE EF .当DE⊥AC时，DE取得最小值，即EF取得最小值： 当点E与点C重合时，DE取得最大值，即EF取得最大值，最大值为8 如图，过点D作DG L AC于点G, 则 Dc=46-94D-45 42s DES8 4V2≤EF≤8 ，即 .EF的长度为整数时分别为6,7,8， 使EF长度为整数的点E有三个， ∴结论1错误，结论2,3正确. 故选：A 本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是添加辅助线 构造全等三角形. 13. 6 由正方形的性质得其内角为90°，结合对顶角相等及四边形内角和定理，可计算出正n边形 的一个内角为120°，再利用正多边形内角公式构造方程，求解出n的值 解：由正方形的性质可知，正方形的每个内角均为90°， ,正方形和正边形的两条邻边相交构成一个四边形，根据对顶角相等，该四边形的两个 内角分别等于∠1和∠2， 360°-90°-（∠1+∠2） ∴，由四边形内角和定理可知，正”边形的一个内角为： =360°-90°-150°=120° (n-2)×180° 根据正多边形内角公式得： =120°， 解得n=6。 14.4 本题考查的是中心对称，正方形的性质，连接AF,BG,根据中心对称的定义可知，阴影 的面积等于正方形面积差的四分之一 解：连接AF,BG, D :正方形ABCD和正方形EFGH的对称中心都是点O,其边长分别是4和3， ∴.正方形的面积分别为16和9， 六图中阴影部分的面积4x16-9)= 4· 15.16cm2 如图，连接AB,AG,证明出 EAB≌aF1G(SA）,得到SEe=SG,推出每一个阴影 部分的面积等于正方形的4，再根据正方形的面积公式列式计算即可得解. 解：如图，连接AB,AG, 由正方形的性质得，∠EAF=∠BAG=90°，∠EBA=∠FGA=45°，AB=AG ·.∠EAB=∠FAG ,△EAB≌△FAG(ASA) S.-.o 1 ∴.S0边形EAFB=S,BB+S,FB=S.FMG+SFaB=S,BMG=×4=4(cm2）， 1 .每一个阴影部分的面积等于正方形的4， .正方形重叠的部分（阴影部分）面积和=4×4=16cm2. 16. 05 先通过赋值法确定正方形边长及相关线段长度，再利用中位线定理得到线段的平行关系与 长度，结合正方形的性质构造等腰直角三角形，最后用勾股定理求出PQ的长度，进而得 PO 到AB的值. 解：如图，取DC中点为E,连接PE、QE, A D 9 设 B M CM=a .BN=2CM BC=3CM /,四边形1BCD是正方形. .AB=AD=DC=BC=3a BN=2a .BD=BC2+CD2=32a ∴.DN=BD-BN=2√2a 、分别是DMDC O 的中点， swcw且Qe-cw-0, ∴.∠DEQ=∠DCB=90° 又“P、E分别是CN、DC的中点， PE∥BD且PE=)DN=Va 2 :在正方形ABCD中，∠BDC=)∠ADC=45, 2 .∠PEC=∠BCD=45°」 ∴.∠PEQ=45° 过点P作PH LEO交EO延长线于点H, ∴△PHE为等腰直角三角形， :PH=HE PH2+EH2=PE2 =2a2 :PH=HE=a, 11 ∴.HQ=HE-QE=a 2=20, 在Rt△PHg中， Pe-VPH+Ho-5。 a 5 :-2a5 AB 3a 6 1734 以点B为原点建立平面直角坐标系，设BE=CF=4其中0≤1≤2，则E(,0),F(3),则 BF+DB的最小值转化为F+9+亿-3+4的最小值，进一步求解即可. 解：以点B为原点建立平面直角坐标系，如图， 3G B E E' ,矩形ABCD,AB=2,BC=3, ,B(0,0),D(3,2),C(3,0),A(0,2) 设BE=CF=其中0≤1≤2，则E.0,F3） 所以BF=3-0+-0=P+9,DE=3-+(2-0=V-3y+4」 :BF+DE的最小值转化为NP+9+亿-3)'+4的最小值， VP+9+Vu-3}+4 =u-0+(0-3)+-3}'+[0-(（-2)]i 表示E,0到16-2)距离与E6.0)到G0,3 的距离之和， 当E,0),H3-2),G0,3)=点共线时，取得最小值，即为GH的长度， GH=V3-0)2+(-2-3)2=V34 即BF+DE的最小值是V网 18.28 设AB=a,AC=b，,BC=C,则a2+b=c2,连接FC、AE交于点M连接AF、CE, 证明△CBF≌△EBA,得出∠EAB=∠CFB,证明AE⊥CF,得出4a2+b=34①，连接AD, a2=8 BH交于点N,同理可得：∠DNH=90°，得出a2+4b2=16②，求出b2=2, c=+=10,从面符出a=8=25,b=5,延长B作P1EP于点P,作 AQ⊥B C于点Q,证明△PBF201,得出FP=40,证明 ,得出 E S.EBF=SABC S.CDH=S.A0C Sa=S·求出5=5m=加=5度b-×22x2-2,最后求出 1 2 2 S六故形EDHIGF=8+2+10+2×4=2 即可. 解：设AB=a,AC=b,BC=c,则a2+b2=c2, 连接FC、AE交于点M,连接AF、CE,如图所示： ,四边形ABFG和BCDE为正方形， .AB=BF,BC=BE,∠ABF=∠CBE=90°， .∠CBF=∠ABE, .△CBF≌AEBA, .∠EAB=∠CFB, ,∠FPB=∠APM, .∠AMP=∠FBP=90°， .AE⊥CF, 根据勾股定理得：FM2+EM2=EF2,AM2+MC2=AC2,FM2+AM2=AF2, MC2+EM2=CE2 ..EF2+AC2=AF2+CE2. 即34+b2=2c2+2a2, a2+b2=c2, 34+b2=2a2+2b2+2a2, 即4a2+b2=34①. 连接AD,BH交于点N, 同理可得：∠DNH=90°， .AD⊥BH, .AB2 AN2+BN2,DH2=DN2+HN2, AH2=AN2+NH2 BD2=BN2+DN2 :AB2+DH2=AH2+BD2, 即a2+16=2b2+2c2, .a2+16=2b2+2a2+2b2, 即a2+4b2=16② ①+②得： 5(a2+b2)=50 解得：a2+b2=10, ①-②得.3(a-b）=18 即a2-b2=6, [a2+b2=10 解方程组： a2-b2=6, [a2=8 解得：b2=2, .c2=a2+b2=10, .a、b、c为正数， :a=8=25b=V2 延长EB作FP⊥EP于点P,作A0⊥BC于点O,如图所示： A H 则∠FPB=∠AQB=90° ,四边形ABFG为正方形， .BF=AB,∠ABF=90°， ,四边形CDEB为正方形， ∠CBE=90°， .∠PBC=90°， .∠PBF+∠PBA=∠PBA+∠ABQ=90°， .∠PBF=∠ABQ. .△PBF≌△QBA .FP=A0 S8R,5r-8C×40, 2 S.EBF =SABC S.CDH=S.ABC S.AGI=S.ABC 同理： S.-S.cM=.G-S.c= ab=x22xN2=2. 2 2 S六故形DGF=8+2+10+2×4=28 故答案为：28 本题主要考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，勾股定理，三角形面积的计算， 解题的关键是作出辅助线，数形结合，熟练掌握勾股定理. 19.(1)见解析 (2)四边形AFCE是正方形，证明见解析 (1)先证△AOD≌△COB,得到AD=BC,即可求证四边形ABCD是平行四边形：得到 AB=CD: (2)先证得四边形AECF是平行四边形，再证得CE=AE,可得四边形AECF是菱形，进 而根据菱形的性质求得AC=BC,根据等腰三角形的性质进一步求得∠EAF=90°即可. (1)证明：AD‖BC, ∴∠DAC=∠BCA: :点O为AC的中点， .A0=C0, '∠AOD=∠COB, :△AOD≌aCOB, :.AD=BC, ∴四边形ABCD是平行四边形： :.AB=CD: (2)解：四边形AECF是正方形： 由(1)可知：AE∥FC,AB=CD E为AB的中点，F为CD的中点， 4E-14B-CD=CF 1 四边形AECF是平行四边形： AC⊥CB :CE=AB=AE】 2 .四边形AECF是菱形： '∠BAC=∠ADC,∠ABC=∠ADC .∠BAC=∠ABC, ∴AC=BC, ∴△ACB是等腰直角三角形： .∠CAB=45°」 ∴.∠EAF=2∠CAB=90°， ∴四边形AECF是正方形 20.(1)菱形，理由见解析 (2)当∠ABC+∠DCB=90°时，四边形EGFH为正方形；理由见解析 (1)根据三角形中位线的性质得到EG=4,BH-CD,F-B,EG/B HF∥AB,进而得到HF∥EG,HF=EG,即可得四边形EGFH是平行四边形，又由 AB=CD得EG=EH,即可得到四边形EGFH是菱形： (2)根据平行线的性质得到∠DCB=∠GFB,∠ABC=∠HFC,根据平角的定义，得到 ∠GFH=90°，根据正方形的判定即可得到结论。 (I)解：四边形EGFH是菱形，理由如下： 由条件可知EG、EH、HF分别为△ABD、△ADC、△ABC的中位线， A5G-方4，BH=CD,F=号4B,EG/A:HEA8: .HF∥EG,HF=EG. :.四边形EGFH是平行四边形， AB=CD. .EG=EH, ∴平行四边形EGFH是菱形： (2)解：当∠ABC+∠DCB=90°时，四边形EGFH为正方形.理由如下： 由(1)同理可证GF∥CD, .∠DCB=∠GFB. :HF∥AB, ∴.∠ABC=∠HFC. 由条件可知∠HFC+∠GFB=∠ABC+∠DCB=90°】 ∠GFH=180°-（∠HFC+∠GFB)=180°-90°=90° ∴菱形EGFH是正方形. 21.(1)见解析 2)f0 (1)取AD的中点F,连接MF,根据正方形的性质，结合中点的定义得到 AF=DF=AM=BM,进而LAFM=45°，根据同角的余角相等得到∠ADM=∠NME, DFM≌aMBN(SAS) 即可证明 ,得到∠MBN=∠DFM=135°，从而∠CBN=∠NBE=45° 得证结论： (2)东根据中点的定文得到AM-4B=1,再根据勾股定理在R1AADy中求出DM 再在Rt△DMN中求出DN即可. (1)证明：取AD的中点F,连接MF, 0 M B E ,四边形ABCD是正方形， ∴.AD=AB,∠A=∠ABC=90°， ,点F是AD的中点，点M是AB的中点， &4F=DF-4D,M=aM=号 .AF=DF=AM=BM, ∴.∠AFM=∠AMF, :∠AFM+∠AMF=180°-∠A=90°， .∠AFM=45°， .∠DFM=180°-∠AFM=135° :MN⊥MD, .∠DMN=90° .∠AMD+∠NME=180°-∠DMN=90°， :∠AMD+∠ADM=180°-∠A=90°， .∠ADM=∠NME, ,在△DFM和△MBN中 DM=MN ∠MDF=∠NMB DF=MB ,△DFM≌△MBN(SAS) .∠MBN=∠DFM=135°， .∠CBN=∠MBN-∠ABC=135°-90°=45°， ∠NBE=180°-∠MBN=180°-135°=45° .∠CBN=∠NBE BN平分LCBE. (2)解：如图， D M B :点M是AB的中点， 4M-54B-x2=l, 1 .AD=AB=2,∠A=90°， DM-ADM5 MN=DM=5.∠DMW=90 DN=DM2+MN=10 2.0DE∥BC,DE=)BC 2 (2)①见解析；②5：③AC⊥BD,AC=BD (1)运用中位线的判定与性质，即可作答 (2)①先结合中位线的判定与性质得出EF4C,EF=4C,HG4C,HG=4C受后由 一组对边平行且相等得出四边形EFGH是平行四边形 ②根据先结合中位线的判定与性质得出∠FEH=90°，又因为四边形EFGH是平行四边形， 故四边形ABCD是矩形，再结合勾股定理列式计算，即可作答】 ③与②同理得出四边形ABCD是矩形，再结合一组邻边相等的矩形是正方形，即可作答. (I)解：：点D和点E分别是AB、AC的中点， ∴，DE是△ABC的中位线， 六DE∥BC,DE=BC 2 (2)解：①，E,F,G,H分别是四边形ABCD各边的中点， EF,HG分别是△ABC,△ADC的中位线， EF AC,EF=AC,HGI AC,HG= EF∥HG,EF=HG. ∴.四边形EFGH是平行四边形： ②由①得四边形EC是平行四边形，EF∥HG∥4C,1C=24C=)x6=3 ,AC⊥BD .EF⊥BD,HG⊥BD :E,F,G,H分别是四边形ABCD各边的中点， ∴.EH是△ABD的中位线， EHIBD:EH-3BD-3x8=4 2 .EH⊥EF, .∠FEH=90°， ∴，四边形ABCD是矩形： 即∠EHG=90°， 连接EG, EG=EH2+HG2=5 ③依题意，当AC⊥BD,AC=BD时，四边形EFGH是正方形，过程如下： 与②同理，由AC⊥BD得出四边形ABCD是矩形： :E,F,G,H分别是四边形ABCD各边的中点， EF,EH分别是△ABC,aABD的中位线， .AC=BD. :EF =EH, ,四边形ABCD是矩形，EF=EH, .四边形ABCD是正方形 23.1033) ②证明见解析 aP(0) (3)见解析 (1)①根据正方形的性质求解即可： ②在OD上取点P,使得OP=OM,证明△PDM≌aBMN即可： (2)过点N分别作NH⊥x轴于点H,N№⊥BC于点Q,连接DM,先证明 ADOM≌aMHN ,得到OM=N=2 RtAPOM≌RtACON OP=OC 然后证明 ,得到 ,再 计算QC的长即可： (3)延长MN到点A,使得OA=CF,连接AD,先证明△AOD≌△FCD,再证明 △ADM≌aFDM,得到∠A=∠DFM,进一步推得∠DFM=∠DFC,然后过点M作 MP⊥DN于点P,即可逐步证明LFMN=∠NMB 1)解：① D(0,3) .0D=3, 四边形OBCD是正方形， ∴.CD=OD=3,CDI‖x 轴， 点C的坐标是83) ②证明：在OD上取点P,使得OP=OM, .OB=OD, :DP=BM, 四边形OBCD是正方形， .∠POM=∠OBC=90°， ∴.∠OPM=45°， ∴.∠DPM=180°-45°=135° :BN平分∠CBE,∠CBE=∠OBC=90°， ·∠CBN=1∠CBE=45°T ∴.∠MBN=90°+45°=135° ∴.∠DPM=∠MBN」 :∠DOM=90°， ∴.∠PDM+∠OMD=90°， :MN⊥DM, ∴.∠BMN+∠OMD=90° .∠PDM=∠BMN, .APDM≌△BMN(SAS) :.MD MIN D C P B E (2)解：过点N分别作NH⊥x轴于点H,N№⊥BC于点Q,连接DM, M(2,0) ∴.OM=2 由(I)知DM=MN,∠ODM=∠HMN 又'∠DOM=∠MHN=90° ∴.△DOM≌△MHN(AAS) ..OM=HN=2 '∠CBN=∠HBE=45o ∴.BH=HN=2 :∠QBH=∠BDN=∠BHN=90° BHNO “四边形 是正方形 ∴QN=BH=BQ=2∠CON=90° ∴.OM=QW∠POM=∠CQN=90° :四边形MNCP是平行四边形， ..PM=CN .∴RtAPOM≌RtaCON(HL) ∴.OP=QC .BC=3.BO=2 .QC=3-2=1 ∴.OP=1 ·点P的坐标为 0,1) M B HE主 (3)证明：如图，延长MN到点A,使得OA=CF,连接AD, 在△AOD和△FCD中， DO=DO ∠DOA=∠C=90° OA=CF ∴.△AOD≌AFCD(SAS) .AD=DF,∠ADO=∠CDF,∠A=∠DFC, :∠MDN=45°， :∠CDF+∠0DM=45°， ∴.∠AD0+∠ODM=45°， ∴.∠ADM=∠FDM, 在△ADM和△FDM中， DM=DM ∠ADM=∠FDM AD=FD ,∴.△ADM≌△FDM(SAS) ∴.∠A=∠DFM, :∠A=∠DFC, .∠DFM=∠DFC, 过点M作MP⊥DN于点P, :∠C=90°， .∠FMP=∠CDF, ∠PWM=45°， ∴.∠PMN=∠FMP+∠FMN=45° 由(1)知∠ODM=∠NMB, 又'：∠CDF+∠ODM=45°， ∴.∠FMN=∠NMB, 即MN平分∠FMB, yA D D C A OM BE衣 24.(1)BN,等腰直角三角形 (2)不发生改变，理由如下： 过点C作FG的平行线，交GM的延长线于点P,连接BP,如图所示. B 3 O FG∥CP, ∴.∠PCM=∠GFM, 又：CM=FM,∠PMC=∠GMF, .△PMC≌aGMF, .'PM=GM,PC=GF :四边形ABCD,AEFG都是正方形， .'.BC=AB,AG=FG .PC=AG, 过点F作FH⊥AB于点H,则：FH∥BC,设FG与AB的交点为O, :FH∥BC, .∠2=∠3， :∠1+∠2=∠3+∠4， .∠1=∠4 '∠FH0=∠QGA=90°，∠FOH=∠G0A, .∠4=∠5， .∠1=∠5， 又.PC=GA,BC=BA」 ∴.△PCB≌AGAB BP=BG,∠6=∠7， .∠PBG=∠CBA=90°， ∴“.△BGP为等腰直角三角形， 又.PM=GM, .BM⊥BG,且BM=MG, .△BGM为等腰直角三角形； 3)万-l或度5+1 (1)根据给定的信息，填空作答即可； (2)过点C作FG的平行线，交GM的延长线于点P,连接BP,证明△PMC≌aGMF,得 到PM=GM,PC=GF,推出PC=AG,过点F作FH⊥AB于点H,则：FH∥BC,设 FG与AB的交点为Q,证明△PCB≌△GAB,推出△BGP为等腰直角三角形，得到 BM⊥BG,且BM=MG,即可得证： (3)分点M在线段AG的延长线上和点M在线段GA的延长线上，两种情况进行讨论求解 即可. 解：(I)由于AB=BC,AG=FG=CN,故BG=BN, 所以△BGN是等腰直角三角形， 故答案为：BN,等腰直角三角形； (2)略 (3)①当点M在线段AG的延长线上时，如图所示. D 由(2)，可知△BMG是等腰直角三角形， .设BM=MG=x,则AM=x+2, 在R△4BM中，由勾股定理，得+(+2=4 解得=7-l或=万- (舍去)· :BM=7-1 ②当点M在线段GA的延长线上时，如图所示. B BM=V万+1 同理，可得 综上所述，BM=V7-l或BM=7+1 本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理 等知识点，综合性强，难度较大，添加辅助线构造全等三角形和特殊图形，是解题的关键，