精品解析：内蒙古自治区通辽市第四中学2025-2026学年九年级下学期3月阶段检测数学试题

2026年春学期初三年级第一次阶段检测 数学试题 一、单选题 1. 某物体的三视图如图所示，与它对应的物体是（） A. B. C. D. 2. 下列各数：，其中无理数的个数是（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 3. 下列各组单项式中，是同类项的是（ ） A. 与 B. 与 C. m 与 2 D. 与 4. 据了解：2024年甘肃省新能源总装机突破64000000千瓦，位列全国第二，风电成为甘肃最大电源，新能源主体地位基本确立．数据64000000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 5. 在函数中，自变量x的取值范围是（ ） A. B. 且 C. D. 且 6. 如果把分式中的、同时扩大为原来的3倍，那么分式的值（ ） A. 扩大到原来的3倍 B. 缩小到原来的倍 C. 不变 D. 缩小到原来的6倍 7. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 8. 、、三个有理数在数轴上对应点的位置如图所示，化简式子：（ ） A. B. C. D. 二、填空题： 9. 如果代数式的值是7，那么代数式的值等于__________． 10. 若是的平方根，的立方根是，则___________ 11. 因式分解：________． 12. 某商品原价元，连续两次涨价后，售价为元．若平均增长率为，则_____． 13. 如图，河堤横断面迎水坡的坡度是，堤高，则坡面的长度是_______． 14. 如图，一渔船在海上A处测得灯塔C在它的北偏东方向，渔船向正东方向航行 海里到达点B处，测得灯塔C在它的北偏东方向，若渔船继续向正东方向航行，则渔船与灯塔C的最短距离是__________海里． 三、解答题： 15. 计算： （1） （2） （3）先化简，然后从，1，2这三个数中选一个合适的数代入求值． 16. 一农场“粮仓”由一个圆柱和一个圆锥构成，其三视图如图所示（单位：m），求圆锥的母线长，并计算该“粮仓”的表面积． 17. 2026马年央视春晚中，宇树科技的机器人《武》展示了单腿连续后空翻、托马斯全旋等高难度动作，是本届春晚科技与文化融合的巅峰之作．随着人工智能与物联网等技术的快速发展，人形机器人的应用场景不断拓展，某快递企业为提高工作效率．拟购买、两种型号智能机器人进行快递分拣．若买1台型机器人、3台型机器人，共需260万元；若买3台型机器人、2台型机器人，共需360万元． （1）求、两种型号智能机器人的单价． （2）该企业现计划用960万元采购型和型机器人，两种机器人均要购买且预算必须全部用完．请列出所有可能的购买方案． 18. 如图，一艘轮船位于灯塔P的北偏东60°方向，与灯塔P的距离为80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东45°方向的B处，求此时轮船所在的B处与灯塔P的距离．（参考数据：≈2.449，结果保留整数） 19. 综合与实践活动中，要利用测角仪测量塔的高度，如图，塔前有一座高为的观景台，已知，，点，，在同一条水平直线上．某学习小组在观景台处测得塔顶部的仰角为，在观景台处测得塔顶部的仰角为． （1）求、的长； （2）求塔的高度．（参考数据：，，结果取整数） 20. 如图，在中，，以为直径作交于点，过点作，垂足为，延长交的延长线于点． （1）求证：为的切线； （2）若，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年春学期初三年级第一次阶段检测 数学试题 一、单选题 1. 某物体的三视图如图所示，与它对应的物体是（） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了由三视图判断几何体，熟练掌握三视图与几何体各部分形状的对应关系是解题的关键． 通过分析三视图的形状，尤其是俯视图中的圆，判断物体的组成部分（圆柱和长方体的组合），再结合各视图的特征排除不符合的选项． 【详解】解：由俯视图中有圆，得物体上方侧面应为曲面，排除选项A； 由主视图和左视图中下方是长方形，得物体下方应为长方体，排除选项D； 由圆柱的直径与长方体的宽度关系，选项B中圆柱直径过宽，不符合视图特征，选项C符合． 故选：C． 2. 下列各数：，其中无理数的个数是（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】B 【解析】 【分析】根据无理数的定义，即无限不循环小数是无理数，对给出的数逐一判断，统计无理数的个数即可． 【详解】解：开方开不尽，是无理数； 中是无理数，因此是无理数； 是分数，属于有理数； 是有限小数，属于有理数； 是无限不循环小数，是无理数； ∴无理数共有个． 3. 下列各组单项式中，是同类项的是（ ） A. 与 B. 与 C. m 与 2 D. 与 【答案】D 【解析】 【分析】同类项的概念：所含字母相同，且相同字母的指数也相同的项叫做同类项，根据定义逐一判断选项即可． 【详解】解：A． 与中，相同字母的指数不相同，不是同类项，不符合题意． B． 与中，所含字母不相同，不是同类项，不符合题意． C． 与中，所含字母不相同，不是同类项，不符合题意． D． 与中，所含字母都是和，且相同字母的指数都相同，是同类项，符合题意． 4. 据了解：2024年甘肃省新能源总装机突破64000000千瓦，位列全国第二，风电成为甘肃最大电源，新能源主体地位基本确立．数据64000000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为，要求，为整数，解题关键是正确确定和的值． 【详解】解：∵科学记数法要求，为原数的整数位数减1，是位整数， ∴可得，， ∴用科学记数法表示为． 5. 在函数中，自变量x的取值范围是（ ） A. B. 且 C. D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了函数自变量的取值范围的求解，根据分式有意义的条件，二次根式被开方数非负性质，解一元一次不等式组，即可求解． 【详解】解：根据题意得：且， 解得：且， 故选：D． 6. 如果把分式中的、同时扩大为原来的3倍，那么分式的值（ ） A. 扩大到原来的3倍 B. 缩小到原来的倍 C. 不变 D. 缩小到原来的6倍 【答案】A 【解析】 【分析】将扩大后的结果代入原分式，化简后和原分式比较即可得到结论． 【详解】解：将同时扩大为原来的3倍后， 新分式为， 所以新分式的值是原分式的3倍，即分式的值扩大到原来的3倍． 7. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，一元二次方程的根的判别式，解一元一次不等式组，熟练掌握知识点是解题的关键． 根据二次根式被开方数非负，以及得到方程组，求解即可． 【详解】解：由题意得， 解得：， 故选：B． 8. 、、三个有理数在数轴上对应点的位置如图所示，化简式子：（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了绝对值的化简，整式的加减运算，掌握数轴上点的符号化简绝对值，整式的加减运算法则是关键． 根据题意得到，根据整式的加减运算求解即可． 【详解】解：根据题意，，且， ， ． 故选：C． 二、填空题： 9. 如果代数式的值是7，那么代数式的值等于__________． 【答案】15 【解析】 【分析】由题意可得：，然后将原式进行适当的变形后，代入计算求值即可． 【详解】解：由题意可得：， ， 故答案为：15． 【点睛】此题考查了代数式的求值，熟练掌握运用整体代入的思想方法是解答此题的关键． 10. 若是的平方根，的立方根是，则___________ 【答案】或 【解析】 【分析】利用平方根与立方根的含义求解 可得答案． 【详解】解： 是的平方根， 或 的立方根是， 当 当 综上： 故答案为：或． 【点睛】本题考查的是平方根与立方根的含义以及多项式的因式分解，掌握以上知识点是解题的关键． 11. 因式分解：________． 【答案】 【解析】 【分析】先提取公因式，再利用平方差公式进行二次分解即可． 【详解】解： ． 12. 某商品原价元，连续两次涨价后，售价为元．若平均增长率为，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的应用，设平均增长率为，列出方程，求解方程即可，根据题意列出方程是解题的关键． 【详解】设平均增长率为， 根据题意列方程：， 解得：（不合题意，舍去），， 故答案为：． 13. 如图，河堤横断面迎水坡的坡度是，堤高，则坡面的长度是_______． 【答案】16 【解析】 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用—坡度坡比问题，根据坡度的定义求出的长，再根据勾股定理求出的长即可． 【详解】解：∵迎水坡的坡度是， ∴， 又， ∴ 在中，， 故答案为：16． 14. 如图，一渔船在海上A处测得灯塔C在它的北偏东方向，渔船向正东方向航行 海里到达点B处，测得灯塔C在它的北偏东方向，若渔船继续向正东方向航行，则渔船与灯塔C的最短距离是__________海里． 【答案】1 【解析】 【分析】过点C作，交的延长线于点M，根据垂线段最短，可知最短距离为的长，设，则，解答即可． 本题考查了垂线段最短，特殊角的三角函数值，解直角三角形，熟练掌握解直角三角形是解题的关键． 【详解】过点C作，交的延长线于点M，根据垂线段最短，可知最短距离为的长， 根据题意，得，， 设， 则， ∵, ∴, 解得， 故答案为：1． 三、解答题： 15. 计算： （1） （2） （3）先化简，然后从，1，2这三个数中选一个合适的数代入求值． 【答案】（1） （2） （3）；当时，原式=2 【解析】 【分析】（1）直接运用二次根式的混合运算法则计算即可； （2）先利用绝对值、特殊角的三角函数值、零次幂、负整数次幂化简，然后再计算即可； （3）先运用分式的混合运算法则化简，然后选择一个分式有意义的x的值代入求值即可． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解： ． 【小问3详解】 解： ． 当x的值为和2时，原分式无意义； 当时，原式． 16. 一农场“粮仓”由一个圆柱和一个圆锥构成，其三视图如图所示（单位：m），求圆锥的母线长，并计算该“粮仓”的表面积． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查简单组合体的三视图，勾股定理，掌握圆柱、圆锥表面积的计算方法是正确解答的关键．先根据勾股定理求出母线长，再分别求出圆柱和圆锥的表面积，最后求和即可． 【详解】解：母线长为， 其表面积是：． 17. 2026马年央视春晚中，宇树科技的机器人《武》展示了单腿连续后空翻、托马斯全旋等高难度动作，是本届春晚科技与文化融合的巅峰之作．随着人工智能与物联网等技术的快速发展，人形机器人的应用场景不断拓展，某快递企业为提高工作效率．拟购买、两种型号智能机器人进行快递分拣．若买1台型机器人、3台型机器人，共需260万元；若买3台型机器人、2台型机器人，共需360万元． （1）求、两种型号智能机器人的单价． （2）该企业现计划用960万元采购型和型机器人，两种机器人均要购买且预算必须全部用完．请列出所有可能的购买方案． 【答案】（1）A型智能机器人的单价为80万元，B型智能机器人的单价为60万元 （2）共有三种采购方案：①A型机器人9台，B型机器人4台；②A型机器人6台，B型机器人8台；③A型机器人3台，B型机器人12台． 【解析】 【小问1详解】 解：设A型智能机器人的单价为x万元，B型智能机器人的单价为y万元， 得：，解得：． 答：A型智能机器人的单价为80万元，B型智能机器人的单价为60万元； 【小问2详解】 解：设购买A型机器人a台，B型机器人b台，得：， ∵a、b为正整数， ∴此方程的解为：，，． 答：共有三种采购方案：①A型机器人9台，B型机器人4台；②A型机器人6台，B型机器人8台；③A型机器人3台，B型机器人12台． 18. 如图，一艘轮船位于灯塔P的北偏东60°方向，与灯塔P的距离为80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东45°方向的B处，求此时轮船所在的B处与灯塔P的距离．（参考数据：≈2.449，结果保留整数） 【答案】此时轮船所在的B处与灯塔P的距离是98海里． 【解析】 【分析】过点P作PC⊥AB，则在Rt△APC中易得PC的长，再在直角△BPC中求出PB的长即可． 【详解】解：作PC⊥AB于C点， ∴∠APC=30°，∠BPC=45° ，AP=80（海里）， 在Rt△APC中，cos∠APC=， ∴PC=PA•cos∠APC=40（海里）， 在Rt△PCB中，cos∠BPC=， ∴PB==40≈98（海里）， 答：此时轮船所在的B处与灯塔P的距离是98海里． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用举例，正确添加辅助线构建直角三角形是解题的关键. 19. 综合与实践活动中，要利用测角仪测量塔的高度，如图，塔前有一座高为的观景台，已知，，点，，在同一条水平直线上．某学习小组在观景台处测得塔顶部的仰角为，在观景台处测得塔顶部的仰角为． （1）求、的长； （2）求塔的高度．（参考数据：，，结果取整数） 【答案】（1） （2）塔的高度约为 【解析】 【分析】（1）根据，计算即可； （2）过点作于点，在中，设，推出，，在中，结合计算即可． 【小问1详解】 解：由题意，得， ∴， 在中，，，，， ∴， ； 【小问2详解】 解：如图，过点作于点， 在中，设， ∵，， ∴， 易知四边形是矩形， ∴，， ∴， 在中，，， ∴， 即， 解得， 即， ∴塔的高度约为． 20. 如图，在中，，以为直径作交于点，过点作，垂足为，延长交的延长线于点． （1）求证：为的切线； （2）若，求的值． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查的是切线的判定和性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形． （1）连接，根据圆周角定理得到，推出，根据等腰三角形三线合一得，根据三角形的中位线可得，所以得，从而根据切线的判定可得结论； （2）证明，求出，再证明，求出，利用正弦的定义即可求解． 【小问1详解】 证明：如图，连接， 是的直径， ， ， ， ，即点D为中点， ，即点O为中点， ， ， ， 是的半径， 是的切线． 【小问2详解】 解：由（1）知， ， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴ ∵，， ∴， ∵， ， ∴，即， ∴（负值舍去）， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $