精品解析：安徽省宣城市宁国市2026年九年级一模数学试卷

2026年安徽省初中学业水平模拟考试 数学 注意事项： 1．满分150分，答题时间为120分钟． 2．请将各题答案填写在答题卡上． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 在下列各数中，最小的数为（ ） A. B. C. D. 0 2. 如图是《九章算术》中“堑堵”的立体图形，它的主视图为（ ） A. B. C. D. 3. 截至2025年年底，合肥港核心过闸设施（裕溪船闸、巢湖船闸）累计通行各类船只10.02万艘次，通过船闸总吨位2.06亿吨．将数据“2.06亿”用科学记数法表示为（ ） A B. C. D. 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 关于的一元二次方程无实数根，则的取值范围是（ ） A. 且 B. C. D. 6. 如图，在中，，，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 7. 关于的一次函数，若随的增大而减小，且图象与轴的交点在轴下方，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，，，，，，连接，分别取的中点M，N，连接，则线段的长为（ ） A. 2 B. 2.5 C. D. 9. 二次函数的图象如图所示，则下列结论错误的是（ ） A B. C. D. 10. 如图，在四边形中，，，，，，点P在直线上方，且的面积为4，则下列结论错误的是（ ） A. 的最小值为1 B. 的最小值为 C. 的最大值为 D. 的最小值为 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 计算：_____． 12. 如图，经过圆心且与相交于A，C两点，与相切于点D，连接．若，则的度数为_________． 13. 小芳和爷爷计划乘动车外出旅游．在网上购票时，小芳选定的车厢只剩一排有余座（如图）．若此时C座已售出，其余座位由系统随机分配，则小芳和爷爷相邻而坐的概率是________． 14. 我们知道，任意一个正整数都可以进行这样的分解：（p，q是正整数，且）．在n的所有这种分解中，如果p，q两因数之差的绝对值最小，我们就称是n的最佳分解，并规定：．例如：12可以分解成或或，因为，所以是12的最佳分解，所以． （1）_______． （2）如果一个两位正整数，交换其个位上的数与十位上的数得到的新数减去原来的两位正整数所得的差为54，那么我们称这个数t为“吉祥数”，则所有“吉祥数”中，的最大值为_______． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15 先化简，再求值：，其中． 16. 如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1的正方形，点C的坐标为． （1）把以点A为位似中心放大，使放大前后对应边长的比为，请画出，并写出点的坐标． （2）以直线为对称轴，画出关于直线对称的． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 如图，这是在摄影时常用的一种可调节高度的三脚架，它主要由三根长度相等的支柱构成．小深同学通过测量发现，在保持三脚架稳定的前提下，它的每一根支柱与地面之间的夹角最大能达到，即；最小能达到，即．已知该三脚架的支柱，求该三脚架可调节部分的长．（结果精确到，参考数据：，，，） 18. 观察以下等式： 第1个等式：． 第2个等式：． 第3个等式：． 第4个等式：． … 按照以上规律，解答下列问题． （1）写出第5个等式：______． （2）请写出你猜想的第n个等式（用含n的等式表示），并证明你的猜想． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 如图，反比例函数与一次函数的图象交于A，B两点，一次函数的图象经过点A． （1）求k的值及点B的坐标． （2）连接，求． 20. 如图1，是半圆O的直径，C，D是半圆O上的两点，平分，与交于点E，连接，交于点F． （1）求证：． （2）如图2，若，E为中点，求的长． 六、（本题满分12分） 21. 某学校组织了一次“网络安全知识专题”学习，并进行了一次全校2000名学生都参加的测试．阅卷后，教务处随机抽取了100份答卷进行统计分析，发现这100份答卷中考试成绩x（单位：分）的最低分为50分，最高分为满分100分，并绘制了如下尚不完整的统计图表． 成绩段/分 频数 频率 0.1 18 0.18 35 0.35 12 0.12 请根据图表信息，解答下列问题． （1）填空：_____，______，______． （2）请将频数分布直方图补充完整． （3）请写出中位数落在的成绩段为______． （4）请估计全校2000名学生都参加测试的平均分为多少分．（每组取其组中值，例如：分数在，取55；分数在，取65） 七、（本题满分12分） 22. 如图，在正方形中，E，N分别是，的中点，与交于点G，连接并延长交于点F，与对角线交于点H． （1）求证：． （2）求的值． （3）探究线段，及的数量关系，并说明理由． 八、（本题满分14分） 23. 已知抛物线（a为常数，且）的顶点纵坐标与抛物线的顶点纵坐标相等． （1）求a的值； （2）点在抛物线上，点在抛物线上（t，h为常数），若，求h最大值； （3）点在抛物线上，点在抛物线上（k，m为常数，且），若是一个与无关的定值，求该定值及k的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年安徽省初中学业水平模拟考试 数学 注意事项： 1．满分150分，答题时间为120分钟． 2．请将各题答案填写在答题卡上． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 在下列各数中，最小的数为（ ） A. B. C. D. 0 【答案】A 【解析】 【分析】先求得，再根据正数大于0，负数小于0，两个负数比较大小，绝对值大的反而小即可解答． 【详解】解：∵，， ∴， 故最小的数为． 2. 如图是《九章算术》中“堑堵”的立体图形，它的主视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查简单几何体的三视图，熟练掌握简单几何体的三视图是解答本题的关键． 从正面、上面和左面三个不同的方向看一个物体，并描绘出所看到的三个图形，即几何体的三视图． 根据主视图的意义和画法可以得出答案． 【详解】解：∵该几何体为放倒的三棱柱， ∴根据主视图的画法，从前往后看，看到的是一个长方形， 故选：C． 3. 截至2025年年底，合肥港核心过闸设施（裕溪船闸、巢湖船闸）累计通行各类船只10.02万艘次，通过船闸总吨位2.06亿吨．将数据“2.06亿”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据解答． 【详解】解：∵， ∴． 故选：B． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次根式的性质、同底数幂的乘除运算法则、完全平方公式逐项判断即可解答． 【详解】解：A、，本选项计算错误，不符合题意； B、，本选项计算错误，不符合题意； C、，本选项计算正确，符合题意； D、，本选项计算错误，不符合题意． 5. 关于的一元二次方程无实数根，则的取值范围是（ ） A. 且 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义及根的判别式．根据一元二次方程的定义及根的判别式即可解答． 【详解】解：∵为一元二次方程， ∴， ∵该一元二次方程无实数根， ∴， 解得， ∴， 故选：B． 6. 如图，在中，，，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由等边对等角可得，又，则，所以，，从而得，然后通过三角形的外角性质，等角对等边得出，然后由线段的和与差即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的长为． 7. 关于的一次函数，若随的增大而减小，且图象与轴的交点在轴下方，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是一次函数的性质，熟练掌握一次函数的增减性和图象与坐标轴的交点特征是解题的关键．根据一次函数的增减性得到，再根据图象与轴的交点的位置得到，进而求出实数的取值范围． 【详解】随的增大而减小， ，即． 图象与轴的交点在轴下方， 当时，，即． 的取值范围是且，即． 故选：． 8. 如图，，，，，，连接，分别取的中点M，N，连接，则线段的长为（ ） A. 2 B. 2.5 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】连接，过点作，交的延长线于，可得四边形为矩形，即得，，得到，进而由勾股定理得，再根据三角形中位线的性质得到即可． 【详解】解：如图，连接，过点作，交的延长线于， ∵，， ∴， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴， ∴， ∵点分别为的中点， ∴为的中位线， ∴． 9. 二次函数的图象如图所示，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】观察图象得：抛物线开口向上，函数图象与y轴交于负半轴，对称轴在y轴的左侧，可判断a，b，c的符号，可判断A选项；由抛物线过点，可判断B选项；当时，，可判断C选项；，，可判断D选项． 【详解】解：观察图象得：抛物线开口向上，函数图象与y轴交于负半轴，对称轴在y轴的左侧， ∴，， ∴， ∴，故A选项正确，不符合题意； 根据题意得：抛物线过点， ∴，故B选项正确，不符合题意； 观察图象得：当时，， ∴，故C选项正确，不符合题意； ∵，， ∴，， ∴， ∴，故D选项错误，符合题意； 10. 如图，在四边形中，，，，，，点P在直线上方，且的面积为4，则下列结论错误的是（ ） A. 的最小值为1 B. 的最小值为 C. 的最大值为 D. 的最小值为 【答案】C 【解析】 【分析】先推导出点P在平行于且与的距离为1的直线上运动，过P作直线交于，过点D作于，根据垂线段最短，结合含30度角的直角三角形的性质和矩形的性质可判断选项A、B；在上取点，使 ，则点B与点关于直线l对称，根据轴对称性质结合勾股定理判断选项C、D，进而可得答案． 【详解】解：过点作于， ∵， ∴，则点P在平行于且与的距离为1的直线上运动， 如图，过P作直线交于，过点D作于， 则， 当时，最小，最小值，故选项A正确，不符合题意； 当时，最小，最小值为的长， 过D作延长线于K，则四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴，则， ∴， ∴，即最小值为，故选项B正确，不符合题意； 在上取点，使 ，则点B与点关于直线l对称，连接交直线l于点，此时的值最小，最小值为的长， ∵， ∴的最小值为，故选项D正确，不符合题意； 连接并延长交直线l于点，此时最大，最大值为的长， ∵，， ∴， ∴的最大值为，故选项C错误，符合题意． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 计算：_____． 【答案】 【解析】 【详解】解：． 12. 如图，经过圆心且与相交于A，C两点，与相切于点D，连接．若，则的度数为_________． 【答案】##32度 【解析】 【分析】先根据等腰三角形的性质和圆周角定理得到，再利用切线的性质得到，然后利用直角三角形的两个锐角互余求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵与相切于点D， ∴，即， ∴． 13. 小芳和爷爷计划乘动车外出旅游．在网上购票时，小芳选定的车厢只剩一排有余座（如图）．若此时C座已售出，其余座位由系统随机分配，则小芳和爷爷相邻而坐的概率是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了列表法求概率，熟练掌握列表法求概率是解题的关键． 根据题意，根据列表法求概率即可求解． 【详解】解：列表如下， A B D F A A，B A，D A，F B B，A B，F D D，A D，B D，F F F，A F，B F，D 共有12种等可能结果，其中小芳和爷爷相邻而坐的有4种， 小芳和爷爷相邻而坐的概率是． 14. 我们知道，任意一个正整数都可以进行这样的分解：（p，q是正整数，且）．在n的所有这种分解中，如果p，q两因数之差的绝对值最小，我们就称是n的最佳分解，并规定：．例如：12可以分解成或或，因为，所以是12的最佳分解，所以． （1）_______． （2）如果一个两位正整数，交换其个位上的数与十位上的数得到的新数减去原来的两位正整数所得的差为54，那么我们称这个数t为“吉祥数”，则所有“吉祥数”中，的最大值为_______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】（1）把48分解，然后找出两因数之差的绝对值最小值，即可得到结果． （2）根据“吉祥数”的定义知，可得，结合x的范围可得两位数的“吉祥数”，然后求出每个“吉祥数”的值． 【详解】解：（1）可分解为，，，，， ∵， ∴是48的最佳分解， ∴； （2）设交换的个位上的数与十位上的数得到的新数为， 则， ∵是“吉祥数”， ∴，则， ∵，，均为自然数， ∴“吉祥数”有：17，28，39， ∴，，， ∵， ∴的最大值为． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 先化简，再求值：，其中． 【答案】m2+2m ；15 【解析】 【详解】试题分析：括号内先通分进行加减运算，然后再进行除法运算，最后代入数值进行计算即可. 试题解析：原式====， 当时，原式=15． 16. 如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1的正方形，点C的坐标为． （1）把以点A为位似中心放大，使放大前后对应边长的比为，请画出，并写出点的坐标． （2）以直线为对称轴，画出关于直线对称的． 【答案】（1）见解析，点的坐标为 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）根据位似图形的性质得到对应点的位置，再顺次连接即可画出对应图形，由图可得点的坐标； （2）根据轴对称性质得到对应点的位置，再顺次连接即可画出对应图形． 【小问1详解】 解：如图，即为所求，点的坐标为； 【小问2详解】 解：如图，即为所求． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 如图，这是在摄影时常用的一种可调节高度的三脚架，它主要由三根长度相等的支柱构成．小深同学通过测量发现，在保持三脚架稳定的前提下，它的每一根支柱与地面之间的夹角最大能达到，即；最小能达到，即．已知该三脚架的支柱，求该三脚架可调节部分的长．（结果精确到，参考数据：，，，） 【答案】该三脚架可调节部分的长为 【解析】 【分析】利用锐角三角函数解直角三角形，分别求得和即可解答． 【详解】解：在中，∵， ∴， 在中，∵， ∴， ∴， 答：该三脚架可调节部分的长为． 18. 观察以下等式： 第1个等式：． 第2个等式：． 第3个等式：． 第4个等式：． … 按照以上规律，解答下列问题． （1）写出第5个等式：______． （2）请写出你猜想的第n个等式（用含n的等式表示），并证明你的猜想． 【答案】（1） （2）第n个等式：，见解析 【解析】 【分析】（1）根据前四个等式的规律即可求解； （2）根据前几个等式的规律可猜想结论，利用分式的运算法则证明即可． 【小问1详解】 解：由题意，； 【小问2详解】 解：第n个等式：. 证明：右边， ∴左边右边， ∴． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 如图，反比例函数与一次函数图象交于A，B两点，一次函数的图象经过点A． （1）求k的值及点B的坐标． （2）连接，求． 【答案】（1），点B的坐标为 （2） 【解析】 【分析】（1）先求得点A坐标，进而可求得k值，得到，联立方程组可求得点B坐标； （2）设直线与轴交于点D，先求得点D坐标，再利用求解即可． 【小问1详解】 解：由题意，得，解得， ∴点A的坐标为， ∵反比例函数的图象经过点A， ∴， ∴， 联立方程组，解得或， ∴点B的坐标为； 【小问2详解】 解：如图，设直线与轴交于点D， 令，则， ∴点D的坐标为，则， ∴． 20. 如图1，是半圆O的直径，C，D是半圆O上的两点，平分，与交于点E，连接，交于点F． （1）求证：． （2）如图2，若，E为的中点，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）6 【解析】 【分析】（1）先由直径所对的圆周角是直角得到，再根据角平分线的定义得到，则，利用垂径定理的推论得到，进而利用平行线的判定可得结论； （2）先根据垂径定理得到，再根据三角形的中位线定理得到，证明得到即可求解． 【小问1详解】 证明：∵是半圆O的直径， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：由（1）得垂直平分，， ∴， ∵， ∴是的中位线， ∴， ∵E为的中点， ∴， 和中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 六、（本题满分12分） 21. 某学校组织了一次“网络安全知识专题”学习，并进行了一次全校2000名学生都参加的测试．阅卷后，教务处随机抽取了100份答卷进行统计分析，发现这100份答卷中考试成绩x（单位：分）的最低分为50分，最高分为满分100分，并绘制了如下尚不完整的统计图表． 成绩段/分 频数 频率 0.1 18 018 35 0.35 12 0.12 请根据图表信息，解答下列问题． （1）填空：_____，______，______． （2）请将频数分布直方图补充完整． （3）请写出中位数落在的成绩段为______． （4）请估计全校2000名学生都参加测试的平均分为多少分．（每组取其组中值，例如：分数在，取55；分数在，取65） 【答案】（1）10；25；0.25 （2）见解析 （3） （4）估计全校2000名学生都参加测试的平均分为77.1分 【解析】 【分析】（1）由频数和频率的关系式求解即可； （2）由（1）中数据补全统计图即可； （3）根据中位数的定义，找到从小到大排列后第50个和第51个数据所在位置即可求解； （4）求出样本的平均成绩即可． 【小问1详解】 解：， ， ； 【小问2详解】 解：补全频数分布直方图如下： 【小问3详解】 解：∵，， ∴从小到大排列后第50个和第51个数据在内， 故中位数落在成绩段； 【小问4详解】 解：（分） 答：估计全校2000名学生都参加测试的平均分为77.1分． 七、（本题满分12分） 22. 如图，在正方形中，E，N分别是，的中点，与交于点G，连接并延长交于点F，与对角线交于点H． （1）求证：． （2）求的值． （3）探究线段，及的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）见解析 （2） （3），见解析 【解析】 【分析】（1）证明得到即可解答； （2）证明得到，设，则，过点H作，交于点J，交于点K，则，，进而得到即可解答； （3）过点B作于点I，作，交的延长线于点M，先证明四边形是正方形，得到可得答案． 【小问1详解】 证明：∵四边形是正方形， ∴，， ∵E，N分别是，的中点， ∴，， ∴； 在和中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， 设，则， 如图1，过点H作，交于点J，交于点K， ∴，， ∴，， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：． 理由：如图2，过点B作于点I，作，交的延长线于点M， 则， ∴四边形是矩形， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∴，， ∴四边形是正方形， ∴， ∴． 八、（本题满分14分） 23. 已知抛物线（a为常数，且）的顶点纵坐标与抛物线的顶点纵坐标相等． （1）求a的值； （2）点在抛物线上，点在抛物线上（t，h为常数），若，求h的最大值； （3）点在抛物线上，点在抛物线上（k，m为常数，且），若是一个与无关的定值，求该定值及k的值． 【答案】（1） （2）h最大值为 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数图象的性质，最值的计算，理解题意，掌握二次函数图象的性质是关键． （1）根据顶点坐标的计算方法求解； （2）分别把点代入对应函数解析中计算，得到，结合二次函数图象的性质即可求解； （3）分别把点代入对应函数解析中计算，得到，结合题意即可求解． 【小问1详解】 解：由题意得：， 所以； 【小问2详解】 解：在抛物线上， ， 在抛物线上， ， ， ， ． ， 当时，h有最大值； 【小问3详解】 解：点在抛物线上，点在抛物线上， ，， 是一个与无关的定值且， ． ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $