精品解析：2024年安徽省宁国市中考一模数学试卷

2023-2024学年九年级调研考试数学 注意事项： 1．满分150分，答题时间为120分钟． 2．请将各题答案填写在答题卡上． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分，每小题都给出A、B、C、D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的） 1. 有理数2024的相反数是（ ） A. 2024 B. C. D. 2. 2023年，安徽电动载人汽车，锂电池，太阳能电池等“新三样”合计出口390.6亿元，增长，数据“390.6亿”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 安徽大鼓是安徽省的一种传统戏曲剧种．如图，这是表演乐器之一鼓的立体图形，该立体图形的主视图是（ ） A B. C. D. 4. 下列各式正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 向某容器中匀速注水，容器中水的高度与时间的函数图象大致如图所示，则这个容器可能是（ ） A. B. C. D. 6. 下列化简运算不正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，如图，点表示筒车的一个盛水桶．如图，当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心为圆心的圆，且圆心在水面上方．若圆被水面截得的弦的长为，圆心到的距离为，则的值是（ ） A. B. C. D. 8. 从，，，1，2，4这6个数中任取一个数作为a的值，则抛物线的对称轴在y轴右侧的概率是（ ） A. B. C. D. 9. 一次函数图象如图所示，则函数与在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A B. C. D. 10. 正方形的边长为，，分别是边，上的动点，且，连接，，交于点，连接，当的值最小时，点到的距离是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 若关于x一元二次方程的一个根是，则代数式的值为____． 12. 已知关于x的方程的解是负数，则a的取值范围是_____． 13. 如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于A，B两点，若点A的坐标为，则的面积为_____． 14. 如图，在矩形中，连接，点E，F分别在边，上，连接，分别交于点M，N，且． （1）求______． （2）若，，，则______． 三、解答题（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 计算：． 16. 2023年，安徽科技“名场面”越来越多，一系列原创性，标志性科技成果令人振奋．为把科技融入课程，某校开设智能机器人编程的校本课程，购买了A，B两种型号的机器人模型．已知A型号机器人模型的单价比B型号机器人模型的单价多200元，购买4台A型号机器人模型的费用比购买5台B型号机器人模型的费用多500元．现在需要购买A型号机器人模型4台，B型号机器人模型5台，问一共需要花费多少钱？ 四、解答题（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 如图，在由边长均为1个单位长度的小正方形组成的网格中，A，B，C均为格点（网格线的交点）． （1）将绕点C按顺时针方向旋转得到，请画出． （2）请画一个格点，使，且． （3）将线段向右平移得到线段，使四边形面积为4，在网格中作出四边形． 18. 如图，将形状，大小完全相同的“●”和线段按照一定的规律摆成下列图形，第1个图案中“●”的个数为3，第2个图案中“●”的个数为8，第3个图案中“●”的个数为15，…，以此类推． （1）第5个图案中“●”的个数是________． （2）请用含n的代数式表示第n个图案中“●”的个数． （3）请用含n的代数式表示第n个图案中最长的线段上“●”的个数． 五、解答题（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 为积极响应绿色出行的号召，骑车出行已经成为人们的新风尚．如图1，这是一辆自行车的实物图．图2是其平面示意图，测得一些数据，如表所示． 目标 自行车 图形 测得数据 ，，， 求车链横档的长．（结果保留整数．参考数据：，，） 20. 如图，，是的切线，切点分别为A，B，是的直径，交于点E，连接交于点F，连接交于点D，． （1）求的长． （2）连接，求证：． 六、解答题（本题满分12分） 21. 2024年央视总台春晚以“龘（dá）”字为主视觉符号，体现了中国传统篆刻艺术．某校为了弘扬中国传统文化，举办了以“传承文明”为主题的竞赛，并从七、八年级各随机选取了20名学生的竞赛成绩进行了整理，描述和分析（成绩得分用表示，其中A．；B．；C．；D．，得分在90分及以上为优秀）．下面给出了部分信息． 七年级C组学生的分数分别为94，92，92，91． 八年级C组学生的分数分别为91，92，93，93，94，94，94，94，94． 七、八年级选取的学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 七 91 a 95 八 91 93 b （1）填空：________，________． （2）根据以上数据，你认为该校七、八年级学生在以“传承文明”为主题的竞赛中，哪个年级的学生对“传承文明”的了解情况更好？请说明理由．（写出一条理由即可） （3）该校现有七年级学生1200名，请估计七年级竞赛成绩为优秀的学生人数． 七、解答题（本题满分12分） 22. 如图1，在中，，，DE是的中位线．将绕点A按顺时针方向旋转，射线BD与射线CE交于点P，如图2所示． （1）求证：． （2）在这个旋转过程中，的度数是否发生改变？若不变，求出的度数；若改变，请说明理由． （3）当时，求BP的长． 八、解答题（本题满分14分） 23. 如图，抛物线与直线交于点，B，抛物线与y轴交于点C，与x轴交于点E，N是线段上一动点（不与点A，B重合），过点N的直线交抛物线于点M，且轴，连接，，，． （1）求拋物线和直线的函数表达式． （2）四边形的面积是否存在最大值？若存在，求出四边形的面积的最大值；若不存在，请说明理由． （3）求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023-2024学年九年级调研考试数学 注意事项： 1．满分150分，答题时间为120分钟． 2．请将各题答案填写在答题卡上． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分，每小题都给出A、B、C、D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的） 1. 有理数2024的相反数是（ ） A. 2024 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了求一个数的相反数，只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是0，据此求解即可． 【详解】解：有理数2024的相反数是， 故选：B． 2. 2023年，安徽电动载人汽车，锂电池，太阳能电池等“新三样”合计出口390.6亿元，增长，数据“390.6亿”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查科学记数法的表示方法，解题的关键是掌握科学记数法的形式（其中为整数）并正确确定和的值． 先将390.6亿转化为数字形式，再根据科学记数法的规则确定和的值． 【详解】解：390.6亿， 故选：B． 3. 安徽大鼓是安徽省的一种传统戏曲剧种．如图，这是表演乐器之一鼓的立体图形，该立体图形的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查简单几何体的三视图，熟练主视图是从几何体的正前方看到的图形是解答本题的关键． 根据主视图的定义解答即可． 【详解】解：安徽大鼓的主视图是 ， 故选：D． 4. 下列各式正确的是（ ） A. B. C D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据同底数幂相乘，积的乘方，幂的乘方，完全平方公式，单项式乘多项式等知识逐项判断解答即可． 【详解】解：A、，故A选项错误； B、，故B选项错误； C、，故C选项错误； D、，故D选项正确； 故选：D． 【点睛】本题考查了同底数幂相乘，积的乘方，幂的乘方，完全平方公式，单项式乘多项式等知识，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 5. 向某容器中匀速注水，容器中水的高度与时间的函数图象大致如图所示，则这个容器可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了从函数图象获取有效信息，能从函数图象获取有效信息是解答本题的关键． 由函数图象可知，水面高度增加的速度逐渐变慢，逐项判断即可解答． 【详解】解：由函数图象可知，水面高度增加的速度逐渐变慢，只有C选项的容器满足， 故选：C． 6. 下列化简运算不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是分式的基本性质，掌握分式的基本性质是解题的关键．利用分式的基本性质，逐一分析各选项，即可得到答案． 【详解】解：，故项计算正确，不符合题意； ，故B项计算错误，符合题意； 故项计算正确，不符合题意； ，故项计算正确，不符合题意； 故选：B 7. 筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，如图，点表示筒车的一个盛水桶．如图，当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心为圆心的圆，且圆心在水面上方．若圆被水面截得的弦的长为，圆心到的距离为，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理、勾股定理，正弦的定义，连接交于点，由题意得：，，，由垂径定理可得，由勾股定理可得，最后由正弦的定义即可求解．熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图，连接交于点， ， 由题意得：，，， ， ∵圆心到的距离为， 即 ， ， 故选：C． 8. 从，，，1，2，4这6个数中任取一个数作为a的值，则抛物线的对称轴在y轴右侧的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查概率公式及二次函数的性质，二次函数的对称轴在y轴的右侧得出，从所列6个数中找到的个数，再根据概率公式求解可得． 【详解】解：抛物线的对称轴为， 若抛物线的对称轴在y轴右侧， 则，即， ∴从，，，1，2，4这6个数中任取一个数，共有6种等可能结果，其中使该二次函数的对称轴在y轴的右侧的有，这2种结果， ∴该二次函数的对称轴在y轴的右侧的概率为． 故答案为：C． 9. 一次函数的图象如图所示，则函数与在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一次函数、反比例函数、二次函数图象性质，解题的关键是根据一次函数图象确定k的取值范围，再据此分析反比例函数与二次函数图象特征． 先由一次函数图象得出的取值范围，再分别根据反比例函数和二次函数性质，判断其图象所在象限和开口方向等特征，从而确定符合条件的选项． 【详解】解：对于一次函数，其图象经过一，二，四象限．根据一次函数（为斜率，为截距）性质，斜率，即；截距， 当时，根据反比例函数为常数且性质，反比例函数的图象在一，三象限， ，二次函数图象开口向下；又因为截距，所以二次函数图象与轴正半轴相交． 综上，反比例函数图象在一，三象限，二次函数图象开口向下且与轴正半轴相交，对比选项，A正确， 故选：A． 10. 正方形的边长为，，分别是边，上的动点，且，连接，，交于点，连接，当的值最小时，点到的距离是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，正方形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键； 根据题意，判定，进而判定点P在以为直径的圆上，从而利用勾股定理，即可求解； 【详解】解：在正方形中， ，，， ， ， ， 点P在以为直径的圆上． 如图，设的中点为，当点，，在同一条直线上时，有最小值． ，， ． 过点作于点， ， ， ， ， ， 故选：A 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 若关于x的一元二次方程的一个根是，则代数式的值为____． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解．已知式子的值求代数式的值，先把把代入，得，再整体代入计算即可作答． 【详解】解：把代入， 得， 则， 则， 故答案为：4． 12. 已知关于x的方程的解是负数，则a的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次方程，解一元一次不等式，以及一元一次方程的解，解题的关键是熟练掌握运算法则进行解题． 先求出方程的解，然后结合解是负数，解一元一次不等式即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵方程的解是负数， ∴， ∴． 13. 如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于A，B两点，若点A的坐标为，则的面积为_____． 【答案】16 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数图象的交点问题，涉及面积的求解，正确求出交点坐标是解题的关键． 先求出，再求出反比例函数解析式，与一次函数解析式联立求得，然后利用求解即可． 【详解】解：将代入得， 解得：， ∴ 将代入得， ∴反比例函数解析式为：， ∴， 解得：或 ∴， 记直线与轴交于点，如图： 当，， ∴， ∴， 故答案为：16． 14. 如图，在矩形中，连接，点E，F分别在边，上，连接，分别交于点M，N，且． （1）求______． （2）若，，，则______． 【答案】 ①. 135 ②. 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质、相似三角形的判定与性质、解直角三角形、三角形内角和定理等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． （1）由矩形的性质可得，结合题意得出，再结合三角形内角和定理计算即可得解； （2）证明，由相似三角形的性质可得，解直角三角形得出，求出，，再证明，由相似三角形的性质计算即可得解． 【详解】解：（1）∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：135； （2）∵四边形是矩形， ∴，，，，， 在中，，， ． ， ∴， ， ． 在中，，， ． ， ， ． ， ， ． ， ， ， ，． ， ∴， ， ， 故答案为：． 三、解答题（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 计算：． 【答案】1 【解析】 【分析】此题主要考查了实数的运算，先计算乘方、特殊角的三角函数值、绝对值、负整数指数幂和开立方，再合并同类二次根式即可． 【详解】解：原式 ． 16. 2023年，安徽科技“名场面”越来越多，一系列原创性，标志性科技成果令人振奋．为把科技融入课程，某校开设智能机器人编程的校本课程，购买了A，B两种型号的机器人模型．已知A型号机器人模型的单价比B型号机器人模型的单价多200元，购买4台A型号机器人模型的费用比购买5台B型号机器人模型的费用多500元．现在需要购买A型号机器人模型4台，B型号机器人模型5台，问一共需要花费多少钱？ 【答案】3500元 【解析】 【分析】本题主要考查二元一次方程组的应用，解题的关键是理解题意；设A型号机器人模型的单价为x元，B型号机器人模型的单价为y元，然后根据题意可得方程组，进而求解即可 【详解】解：设A型号机器人模型的单价为x元，B型号机器人模型的单价为y元． 根据题意，得， 解得． 购买A型号机器人模型4台，B型号机器人模型5台需要花费（元）． 答：一共需要花费3500元． 四、解答题（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 如图，在由边长均为1个单位长度的小正方形组成的网格中，A，B，C均为格点（网格线的交点）． （1）将绕点C按顺时针方向旋转得到，请画出． （2）请画一个格点，使，且． （3）将线段向右平移得到线段，使四边形的面积为4，在网格中作出四边形． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转作图，平移作图，相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质．熟练掌握旋转的性质，相似三角形的性质，是解题的关键． （1）根据旋转的性质，作点A、B的对应点、，然后顺次连接即可； （2）根据相似三角形的判定，作，，即可； （3）将线段向右平移2个单位，得出线段，连接，即可． 【小问1详解】 解：如图，即为所求作的三角形； 【小问2详解】 解：如图，即为所求作的三角形； 【小问3详解】 解：如图，四边形即为所求作的四边形． 根据平移可知：，， ∴四边形为平行四边形， ∴． 18. 如图，将形状，大小完全相同的“●”和线段按照一定的规律摆成下列图形，第1个图案中“●”的个数为3，第2个图案中“●”的个数为8，第3个图案中“●”的个数为15，…，以此类推． （1）第5个图案中“●”的个数是________． （2）请用含n代数式表示第n个图案中“●”的个数． （3）请用含n的代数式表示第n个图案中最长的线段上“●”的个数． 【答案】（1）35 （2）或个 （3）个 【解析】 【分析】本题考查了图形的变化规律． （1）根据每组图形规律列出点数即可求得； （2）根据第一问列出的点数特点总结规律即可； （3）根据每组图形规律列出每个图案中最长的线段上“●”的个数，即可得解． 【小问1详解】 解：观察图形： 第1个图案中“●”的个数是个， 第2个图案中“●”的个数是个， 第3个图案中“●”的个数是个， 第4个图案中“●”的个数是个， ∴第5个图案中“●”的个数是个， 故答案为：35； 【小问2详解】 解：， ， ， ， …… 由上规律知，第n个图案中“●”的个数为或； 【小问3详解】 解：第1个图案中最长的线段上“●”的个数为2， 第2个图案中最长的线段上“●”的个数为3， 第3个图案中最长的线段上“●”的个数为4，…， ∴第n个图案中最长的线段上“●”的个数为． 五、解答题（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 为积极响应绿色出行的号召，骑车出行已经成为人们的新风尚．如图1，这是一辆自行车的实物图．图2是其平面示意图，测得一些数据，如表所示． 目标 自行车 图形 测得数据 ，，， 求车链横档的长．（结果保留整数．参考数据：，，） 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了解直角三角形的应用，过点A作，垂足为H，根据平行线的性质得，再由三角形内角和定理得，解等腰直角三角形得，再根据三角函数的定义得，代入计算即可得解． 【详解】解：如图，过点A作，垂足为H． ， ， ， ， 在中，， 在中，， ． 答：车链横档的长约为． 20. 如图，，是的切线，切点分别为A，B，是的直径，交于点E，连接交于点F，连接交于点D，． （1）求的长． （2）连接，求证：． 【答案】（1）2 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）由切线长的定理得出，得出是的垂直平分线，再由直径所对的圆周角等于90度得出，再证明为的中位线，进而可得出的长． （2）由切线的定义得出，由直径所对的圆周角等于90度进一步得出 ，等量代换可得出，由线段垂直平分线的性质以及等弧所对的圆周角相等可得出，等量代换可得出． 【小问1详解】 解：连接， ，是的切线， ． ，， 是的垂直平分线， ， 是的直径， ， ． 小问2详解】 证明：是的切线， ． 是的直径， ∴， ， ． 是的垂直平分线， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理，切线的定义和性质，切线长的定义和性质，线段垂直平分线的判定以及性质，三角形中位线的判定以及性质等知识，掌握这些性质是解题的关键． 六、解答题（本题满分12分） 21. 2024年央视总台春晚以“龘（dá）”字为主视觉符号，体现了中国传统篆刻艺术．某校为了弘扬中国传统文化，举办了以“传承文明”为主题的竞赛，并从七、八年级各随机选取了20名学生的竞赛成绩进行了整理，描述和分析（成绩得分用表示，其中A．；B．；C．；D．，得分在90分及以上为优秀）．下面给出了部分信息． 七年级C组学生的分数分别为94，92，92，91． 八年级C组学生的分数分别为91，92，93，93，94，94，94，94，94． 七、八年级选取的学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 七 91 a 95 八 91 93 b （1）填空：________，________． （2）根据以上数据，你认为该校七、八年级学生在以“传承文明”为主题的竞赛中，哪个年级的学生对“传承文明”的了解情况更好？请说明理由．（写出一条理由即可） （3）该校现有七年级学生1200名，请估计七年级竞赛成绩为优秀的学生人数． 【答案】（1）92；94 （2）八年级，见解析 （3）720人 【解析】 【分析】本题考查了中位数、众数、条形统计图、扇形统计图． （1）结合条形统计图、扇形统计图、七、八年级C组同学的分数，可得； （2）通过对比优秀率可得结论； （3）用总人数乘以七年级优秀人数的占比即可． 【小问1详解】 解：中位数是第10位、第11位的平均数，观察条形统计图可得，中位数在C组， ∴， 观察扇形统计图和八年级C组同学的分数可得，， 故答案为：92，94； 【小问2详解】 解：（答案不唯一）八年级的学生对“传承文明”的了解情况更好．理由如下： 选取的七年级的学生竞赛成绩优秀人数的百分比为； 选取的八年级的学生竞赛成绩优秀人数的百分比为． ， 八年级的学生对“传承文明”的了解情况更好； 【小问3详解】 解：七年级优秀人数约为， 七年级竞赛成绩为优秀的学生人数约为720． 七、解答题（本题满分12分） 22. 如图1，在中，，，DE是的中位线．将绕点A按顺时针方向旋转，射线BD与射线CE交于点P，如图2所示． （1）求证：． （2）在这个旋转过程中，的度数是否发生改变？若不变，求出的度数；若改变，请说明理由． （3）当时，求BP的长． 【答案】（1）见解析 （2）不变， （3） 【解析】 【分析】此题考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． （1）证明，，．即可证明； （2）由得到，又由即可证明结论； （3）由勾股定理得到．由得到，，证明四边形是正方形，得到，即可求出答案． 【小问1详解】 证明：，，DE是的中位线， ，， ． 在和中， ． 【小问2详解】 不变． 如图1，设AB与CP交于点G． ， ， ， ． 【小问3详解】 如图2，中，，， ． ， ，， 四边形是正方形， ， ． 八、解答题（本题满分14分） 23. 如图，抛物线与直线交于点，B，抛物线与y轴交于点C，与x轴交于点E，N是线段上一动点（不与点A，B重合），过点N的直线交抛物线于点M，且轴，连接，，，． （1）求拋物线和直线的函数表达式． （2）四边形的面积是否存在最大值？若存在，求出四边形的面积的最大值；若不存在，请说明理由． （3）求证：． 【答案】（1）， （2）存在， （3）见解析 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）求出点、，得到．设点N的横坐标为，则点，．再由结合二次函数的性质即可得解； （3）证明是等腰三角形，过点A作，交于点D，过点B作，交于点F．则是平分线，得出，从而得出，再由平行线的性质得出，即可得证． 【小问1详解】 解：将点代入抛物线与直线中，得，， 解得，， 抛物线和直线的函数表达式分别为，； 【小问2详解】 解：存在． 对于，令，得， 点． ，解得或， 点， ∴． 设点N的横坐标为，则点，． ，， ， 当时，的值最大，最大值为． 的最大值为． 【小问3详解】 证明：由点，， ， ， 是等腰三角形． 如图，过点A作，交于点D，过点B作，交于点F． 是等腰三角形， 是的平分线， ． ， ． ，， ． ， ， ． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式、二次函数综合—面积问题、等腰三角形的判定与性质、求一次函数的解析式、勾股定理等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$