精品解析：北京市平谷区第五中学2025-2026学年度第二学期第一次月考试卷高二数学

平谷五中2025-2026学年度第二学期第一次月考试卷 高二（数学） 2026.3 一、选择题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 在复平面内，复数对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 在中，若，，，则（ ） A. B. 4 C. D. 3 4. 若双曲线的一条渐近线方程为，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 2 5. 已知椭圆的短轴长是焦距的2倍，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 6. 已知等差数列的前项和为．若，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知是公差不为零的等差数列，，若成等比数列，则（ ） A. B. C. 16 D. 18 8. 现有包括甲在内的名志愿者在五一放假三天里到公园去服务，每人服务一天且每天都有人服务，那么在这三天里甲在第一天服务的概率为（ ） A. B. C. D. 9. 已知直线（为常数）与圆交于点，当变化时，若的最小值为2，则 A. B. C. D. 10. 若曲线上的两点满足且，则称这两点为曲线上的一对“双胞点”．下列曲线中： ①②； ③；④． 存在“双胞点”的曲线序号是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②④ D. ①③④ 二、填空题共4小题，每小题4分，共16分． 11. 已知抛物线的顶点到焦点的距离为3，则________． 12. 在数列中，，，且，则___________． 13. 已知双曲线，则过且和双曲线只有一个交点的直线的斜率为______. 14. 设函数（a为常数）．若为奇函数，则a=________；若是R上的增函数，则a的取值范围是___________． 三、解答题5小题，，共54分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15. 某次考试中，只有一道单项选择题考查了某个知识点，甲、乙两校的高一年级学生都参加了这次考试．为了解学生对该知识点的掌握情况，随机抽查了甲、乙两校高一年级各100名学生该题的答题数据，其中甲校学生选择正确的人数为80，乙校学生选择正确的人数为75．假设学生之间答题相互独立，用频率估计概率． （1）估计甲校高一年级学生该题选择正确的概率 （2）从甲、乙两校高一年级学生中各随机抽取名，设为这名学生中该题选择正确的人数，分别估计的概率． 16. 如图，在四棱锥中，与均为等腰直角三角形，，E为BC的中点． （1）若分别为的中点，求证：平面PAB； （2）若平面ABCD，，求直线AB与平面PCD所成角的正弦值． 17. 已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求函数的零点和极值． 18. 已知椭圆过点，离心率为． （1）求椭圆的方程； （2）设椭圆的右顶点为，过点的直线与椭圆交于不同的两点，（均异于点），直线，分别与直线交于点，． 求证：为定值． 19. 已知函数． （1）求曲线在函数零点处的切线方程； （2）求函数的单调区间； （3）若关于的方程恰有两个不同的实根，且，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 平谷五中2025-2026学年度第二学期第一次月考试卷 高二（数学） 2026.3 一、选择题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用数轴求两个集合的并集. 【详解】在数轴上表示出集合A，B，如图：则 故选：A 2. 在复平面内，复数对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【详解】利用复数的四则运算化简，再根据复数的几何意义即可得解. 【分析】因为， 所以对应的点为，它位于第二象限. 故选：B 3. 在中，若，，，则（ ） A. B. 4 C. D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】利用余弦定理求解. 【详解】因为， 所以， 又，， 由余弦定理得：， ， 所以， 故选：A 4. 若双曲线的一条渐近线方程为，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】根据渐近线方程求出的值，再根据可求结果. 【详解】因为渐近线方程为，所以， 所以. 故选：C. 5. 已知椭圆的短轴长是焦距的2倍，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 由题意及椭圆的简单性质易得，，结合离心率的概念即可得结果. 【详解】∵椭圆的短轴长是焦距的2倍，∴， 又∵，∴，可得， ∴椭圆的离心率为， 故选：D. 6. 已知等差数列的前项和为．若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由，判断，结合前项和公式解出，进而得解. 【详解】由知，，解得，故. 故选：A 7. 已知是公差不为零的等差数列，，若成等比数列，则（ ） A. B. C. 16 D. 18 【答案】C 【解析】 【分析】由等比中项的性质结合等差数列的基本量运算即可求解. 【详解】设等差数列的公差为， 因为成等比数列，且， 所以，即，解得或（舍去）， 所以. 故选：C. 8. 现有包括甲在内的名志愿者在五一放假三天里到公园去服务，每人服务一天且每天都有人服务，那么在这三天里甲在第一天服务的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用排列原理，求解概率. 【详解】甲在第一天服务的所有排列情况为， 名志愿者在放假三天里服务的所有排列情况为， 所以，甲在第一天服务的概率为. 9. 已知直线（为常数）与圆交于点，当变化时，若的最小值为2，则 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求得圆心到直线距离，即可表示出弦长，根据弦长最小值得出 【详解】由题可得圆心为，半径为2， 则圆心到直线的距离， 则弦长为， 则当时，取得最小值为，解得. 故选：C. 10. 若曲线上的两点满足且，则称这两点为曲线上的一对“双胞点”．下列曲线中： ①②； ③；④． 存在“双胞点”的曲线序号是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②④ D. ①③④ 【答案】D 【解析】 【分析】根据“双胞点”的定义对曲线进行分析，从而确定正确答案. 【详解】由题意， ①,在第一象限单调递减,第三象限单调递减,满足题意； ②,在第一象限单调递增,第三象限单调递增,不满足题意； ③,存在“双胞点”比如,满足题意； ④,存在“双胞点”比如,满足题意. 所以存在“双胞点”的曲线序号是①③④. 二、填空题共4小题，每小题4分，共16分． 11. 已知抛物线的顶点到焦点的距离为3，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据抛物线的几何性质可求的值. 【详解】因为抛物线的顶点到焦距的距离为，故，故， 故答案为：. 12. 在数列中，，，且，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】通过列举数列的项，可得数列是周期为的周期数列，由此可得. 【详解】因为，，且，所以 ，，，，， 所以数列是周期为的周期数列. 所以. 13. 已知双曲线，则过且和双曲线只有一个交点的直线的斜率为______. 【答案】 【解析】 【分析】首先说明直线斜率存在，然后设出方程，联立双曲线方程，根据交点个数与方程根的情况列式即可求解. 【详解】联立与，解得，这表明满足题意的直线斜率一定存在， 设所求直线斜率为，则过点且斜率为的直线方程为， 联立，化简并整理得：， 由题意得或， 解得或无解，即，经检验，符合题意. 故答案为：. 14. 设函数（a为常数）．若为奇函数，则a=________；若是R上的增函数，则a的取值范围是___________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】首先由奇函数的定义得到关于的恒等式，据此可得的值，然后利用导函数的解析式可得a的取值范围. 【详解】若函数为奇函数,则， 对任意的恒成立，； 若函数是上的增函数,则恒成立,. 即实数的取值范围是 【点睛】本题考查函数的奇偶性､单调性､利用单调性确定参数的范围.解答过程中,需利用转化与化归思想,转化成恒成立问题.注重重点知识､基础知识､基本运算能力的考查. 三、解答题5小题，，共54分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15. 某次考试中，只有一道单项选择题考查了某个知识点，甲、乙两校的高一年级学生都参加了这次考试．为了解学生对该知识点的掌握情况，随机抽查了甲、乙两校高一年级各100名学生该题的答题数据，其中甲校学生选择正确的人数为80，乙校学生选择正确的人数为75．假设学生之间答题相互独立，用频率估计概率． （1）估计甲校高一年级学生该题选择正确的概率 （2）从甲、乙两校高一年级学生中各随机抽取名，设为这名学生中该题选择正确的人数，分别估计的概率． 【答案】（1） （2），，. 【解析】 【分析】（1）由频率估计概率可得结论； （2）先分别求甲校，乙校抽取一人选择正确和选择错误的概率，再利用独立事件概率乘法公式计算相应概率即可； 【小问1详解】 因为甲校所抽查的100名学生中选择正确的人数为80， 所以甲校所抽查的学生该题选择正确的频率为， 故估计甲校高一年级学生该题选择正确的概率； 【小问2详解】 设事件为“从甲校抽取1人做对”，则，， 设事件为“从乙校抽取1人做对”，则，， 依题意可知， ， . 16. 如图，在四棱锥中，与均为等腰直角三角形，，E为BC的中点． （1）若分别为的中点，求证：平面PAB； （2）若平面ABCD，，求直线AB与平面PCD所成角的正弦值． 【答案】（1） 取PA的中点N，PB的中点M，连接FN、MN， 与为等腰直角三角形且， 不妨设，.. E、F分别为BC、PD的中点， ，且. ，， ，∴四边形FGMN为平行四边形， ， 平面PAB，平面PAB，平面PAB； （2） 【解析】 【分析】（1）取PA的中点N，PB的中点M，连接FN、MN，只需证明即可； （2）建立适当的空间直角坐标系，求出直线AB的方向向量与面PCD的法向量，根据向量夹角公式即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 平面ABCD，以A为原点，AC、AB、AP所在直线分别为x、y、z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 设，则， ， 设平面PCD的一个法向量为， ，， 取，，. 设AB与平面PCD所成角为， 则， 即AB与平面PCD所成角的正弦值为. 17. 已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求函数的零点和极值． 【答案】（1） （2）函数的零点为，极小值为，没有极大值. 【解析】 【分析】（1）先求的导函数，再求，结合导数的几何意义可得切线斜率，再由点斜式求切线方程， （2）根据零点定义求函数的零点，利用导数判断函数的单调性，结合极值定义求极值. 【小问1详解】 由，得. 从而，. 故曲线在处的切线经过点，且斜率为， 故切线方程为，即. 【小问2详解】 函数的定义域为， 令可得，解得， 时，， 当时，， 故在上单调递减，在上单调递增. 所以的极小值，没有极大值. 18. 已知椭圆过点，离心率为． （1）求椭圆的方程； （2）设椭圆的右顶点为，过点的直线与椭圆交于不同的两点，（均异于点），直线，分别与直线交于点，． 求证：为定值． 【答案】（1） （2） 由题意知，直线的斜率存在． 设直线的方程为（），，， 由，得， 则，， 依题意，解得． 因为点的坐标为，所以直线的方程为． 令，得点的纵坐标为， 所以． 同理，可得． 于是 ， 所以为定值6. 【解析】 【分析】(1)根据椭圆的离心率,以及椭圆过点,列出相应的等式,解方程组可得答案. （2）设直线l的方程，与椭圆方程联立，得到根与系数的关系式，，然后求出点P,Q的坐标，进而表示出，将，代入化简即可得结论. 【小问1详解】 由题意得 解得，， 所以椭圆的方程是. 【小问2详解】 略 19. 已知函数． （1）求曲线在函数零点处的切线方程； （2）求函数的单调区间； （3）若关于的方程恰有两个不同的实根，且，求证：． 【答案】（1） （2）函数的单调递增区间为，单调递减区间为 （3）由（2）可得函数在区间上单调递增，在区间上单调递减. 所以在处取得极大值，即最大值，最大值为. 当时，，所以； 当时，，所以. 所以若关于的方程恰有两个不同的实根，且，则，且. 由，得，所以. 【解析】 【分析】（1）先求出函数的零点，再根据导数的几何意义求得曲线在函数零点处的斜率，从而得到曲线在函数零点处的切线方程； （2）利用导数分析函数的单调区间； （3）利用导数，分析函数的单调性，得的取值范围，从而得的取值范围，并由证得. 【小问1详解】 函数的定义域为， 令，得，解得. 因为. 所以. 所以曲线在函数零点处的切线方程为，即. 【小问2详解】 函数的定义域为， . 因为，所以当时，，；当时，，. 所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $