2026年四川省德阳市市中考数学自编模拟卷（3）

2026届四川省德阳市市中考数学自编模拟卷（3） 一、选择题(本大题共12个小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，有且仅有一项是符合题目要求的) 1．小于10的自然数共有（    ） A．8个 B．9个 C．10个 D．11个 2．在实数，，，中，无理数是（   ） A． B． C． D． 3．如图，根据尺规作图的痕迹，可以判断是的（   ） A．中线 B．角平分线 C．高线 D．中垂线 4．一组数据：75、95、85、100、125的中位数是（　　） A．85 B．95 C．96 D．100 5．二次函数的图象上有两点，，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D．无法确定 6．公司研发的两个模型和共同处理一批数据．已知单独处理数据的时间比少2小时．若两模型合作处理，仅需小时即可完成．设单独处理需要小时，则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 7．如图，在中，，，，垂足为D，若，则的长为（     ） A． B． C． D． 8．如图所示，在矩形中，，，将矩形沿折叠，点落在点处，与交于点，则重叠部分的面积是(      ) A．20 B．16 C．12 D．10 9．如图所示，河旁有一座小山，从山顶A处测得河对岸点C的俯角为，测得岸边点D的俯角为，C，D，B在同一水平线上，又知河宽为50 m，则山高是（    ） A．50 m B．25 m C．m D．75 m 10．如图，在边长为2的正六边形中，分别以点A，D为圆心，长为半径画，，则两弧与边围成图形（图中阴影部分）的面积为（   ） A． B． C． D． 11．如图，一次函数的图象与坐标轴分别交于点，反比例函数的图象经过点，是等腰直角三角形，，，则的值为（   ） A． B． C． D． 12．已知抛物线（b，c为常数）经过点，且不经过第三象限．当时，函数的最大值与最小值之差为16，则b的值为（ ） A．3 B．2 C．3或1 D．2或6 二、填空题(本大题共6个小题，每小题4分，共24分，将答案填在答题卡对应的题号后的横线上) 13．根据某次安全知识竞赛成绩，笑笑绘制了所有参赛学生成绩的统计图如图所示，则本次安全知识竞赛成绩的优秀率是____________． 14．若分式的值为0，则整数x的值为_______． 15．等腰三角形的腰长，底长，则底边上的高为______． 16．已知关于x的一元一次方程的解是，关于y的一元一次方程的解是_________． 17．如图，在四边形中，，，，点P从点D出发，以的速度向点A运动，点M从点B同时出发，以相同的速度向点C运动，当其中一个动点到达端点时，两个动点同时停止运动．设点P的运动时间为t（单位：s），下列结论中：①当时，四边形为矩形；②当时，四边形为平行四边形；③当时，或；④当时，或．正确的是______（填序号） 18．如图，直角三角形纸片中，，，为斜边中点，第1次将纸片折叠，使点与点重合，折痕与交于点；设的中点为，第2次将纸片折叠，使点与点重合，折痕与交于点；设的中点为，第3次将纸片折叠，使点与点重合，折痕与交于点则：当折叠2026次之后， _____ 第II卷(非选择题，共90分) 三、解答题(本大题共7个小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤.) 19．计算与化简∶ (1)（7分）计算：． (2)（7分）先化简，再求值，其中，． 20．（11分）某班为了选拔一名学生参加学校举办的诗词大赛，组织了五次测试，其中甲、乙两名学生的成绩较为优秀，他们在这五次测试中的成绩（单位：分）如下： 【数据收集】 甲：； 乙：． 【数据分析】 学生 众数/分 中位数/分 平均数/分 甲 乙 根据上述收集、分析的结果，解答下列问题： (1)上表中_________，_________； (2)求乙同学这五次测试成绩的平均数； (3)计算甲、乙两名学生这五次测试成绩的离差平方和，若班主任张老师要选一名成绩比较稳定的学生去参加学校举办的诗词大赛，选择哪名学生更合适？ 21． （11分）重装之都·德阳国际会展中心位于四川省德阳市广汉市，总建筑面积近5万平方米，由展馆、展厅及室外广场等功能区域构成。该中心以“互联网+大会展”、“产展融合”为发展思路，立足成德绵，服务西部，面向全国。 【综合与实践】如图，工人师傅要在墙壁上的点处用电钻打孔，墙壁厚（即），与墙面垂直，要使钻头从墙壁对面的点处打出，且满足点与点的竖直距离长． 【方法】 先在点处作一直线平行于地面，并在直线上截取___________，再过点作___________，在射线上截取，连接，然后沿着的方向打孔，就能使钻头正好从满足要求的点处打出． 【任务】 (1)将上面做法中横线处补充完整； (2)利用所学的全等三角形的知识说明的理由． 22．（12分）如图，直线与反比例函数（k为常数，且，）的图象交于点，分别与x轴、y轴交于点C、B，连接OA． (1)求反比例函数的解析式； (2)点P在反比例函数（k为常数，且，）的图象上，连接BP、OP，若，求点P的坐标． 23．（13分）2025年央视晚会主舞台选址四川德阳玄珠湖，巧妙融合德阳玄珠湖自然景观，以蜀道为媒、明月为核，呈现“月从蜀道升，人向镜中圆”的沉浸式中秋幻境，主持人身着特色的服饰，受到广大观众的喜爱．某服装厂设计了甲、乙两种款式，已知甲、乙两款服装的生产成本和售价如表： 款式 成本（元/件） 售价（元/件） 甲 700 1000 乙 800 1200 根据以上信息，解答下列问题： (1)列方程（组）解应用题 若该厂投入230000元来生产甲、乙两款服装共300件，并且投入的资金刚好用完，可以生产甲、乙两款服装各多少件？ (2) 工厂在生产前进行了市场调查，发现甲款服装更受欢迎．工厂计划生产甲、乙两款服装共500件，要求甲款服装的数量至少是乙款服装的2倍．假设能全部售完，该工厂应如何安排生产才能获得最大利润？ 24．（14分）如图，点A，C在上，连接，并延长，分别与的切线相交于点，点，切点为E，与交于点，连接，垂足为点． (1)求证：平分； (2)设，求的值； (3)求的值． 25．（15分）如图，已知抛物线与轴的两个交点分别为，与轴交于点，直线过点和点．点是第一象限内抛物线上的点，设点的横坐标为，过点作于点，连接． (1)求的值； (2)求的最大值； (3)当时，的取值范围是，且，求的值． 第 2 页 共 7 页 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026届四川省德阳市市中考数学自编模拟卷（3） 一、选择题(本大题共12个小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，有且仅有一项是符合题目要求的) 1．小于10的自然数共有（    ） A．8个 B．9个 C．10个 D．11个 【答案】C 【分析】本题主要考查了自然数的定义，掌握自然数包含0是解题的关键． 根据自然数的定义即可解答． 【详解】解：小于10的自然数有0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，共10个． 故选：C． 2．在实数，，，中，无理数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】无理数是指无限不循环小数，且不能表示为分数形式的实数，据此逐项判断即可． 【详解】解：A、是开方开不尽的数，属于无理数，符合题意； B、，是整数，属于有理数，不符合题意； C、是有限小数，属于有理数，不符合题意； D、是分数，属于有理数，不符合题意． 3．如图，根据尺规作图的痕迹，可以判断是的（   ） A．中线 B．角平分线 C．高线 D．中垂线 【答案】A 【分析】根据三角形中线的定义和线段垂直平分线作图法判断即可． 【详解】由作图的痕迹可知：点是线段的中点， 线段是的中线． 4．一组数据：75、95、85、100、125的中位数是（　　） A．85 B．95 C．96 D．100 【答案】B 【分析】将一组数据按照由小到大（或由大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数，据此求解即可． 【详解】解：将数据从小到大排列为：75、85、95、100、125 ∴中位数是95． 5．二次函数的图象上有两点，，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】先求出抛物线的对称轴，结合开口方向，根据点到对称轴的距离即可比较函数值大小． 【详解】∵二次函数解析式为，其中， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线， ∵点A横坐标为1，到对称轴的距离为，点B横坐标为4，到对称轴的距离为， 又∵开口向上的抛物线上，点离对称轴越远，对应函数值越大，且， ∴． 6．公司研发的两个模型和共同处理一批数据．已知单独处理数据的时间比少2小时．若两模型合作处理，仅需小时即可完成．设单独处理需要小时，则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式方程的应用，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 根据工作效率和合作时间列方程． 【详解】解：设单独处理需x小时，则单独处理需小时， ∵总工作量为1， ∴的工作效率为，的工作效率为， 合作工作效率为， 合作时间小时完成， ∴， 即， 故选：D． 7．如图，在中，，，，垂足为D，若，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查直角三角形的两个锐角互余、直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半等知识，推导出，进而证明是解题的关键． 由，，得，，由于点D，得，则，所以，而，求得，则，即可得答案． 【详解】解：在中，，， ，， 于点，， ， ， ， ， ， 故选：D． 8．如图所示，在矩形中，，，将矩形沿折叠，点落在点处，与交于点，则重叠部分的面积是(      ) A．20 B．16 C．12 D．10 【答案】D 【分析】根据折叠的性质可得∠ADB=∠EDB，由平行可得∠ADB=∠CBD，推出∠CBD=∠EDB，设BF为x，在Rt△DCF中，根据勾股定理列出方程求出x，再根据面积公式求出△BDF的面积即可． 【详解】∵AD∥BC， ∴∠ADB=∠CBD， ∵△BDE是△BDA折叠后的图形， ∴∠ADB=∠EDB， ∴∠CBD=∠EDB， 设BF为x，则DF为x，CF为8－x， 在Rt△DCF中， 解得：x=5， ∴S△BDF=． 故选D． 【点睛】本题考查折叠中矩形的性质，关键在于利用勾股定理列出方程求解． 9．如图所示，河旁有一座小山，从山顶A处测得河对岸点C的俯角为，测得岸边点D的俯角为，C，D，B在同一水平线上，又知河宽为50 m，则山高是（    ） A．50 m B．25 m C．m D．75 m 【答案】C 【分析】本题考查运用三角函数的定义解直角三角形．应用含的式子表示出，．根据得方程即可求出山高． 【详解】解：设山高为x， 在中有：， 在中有：， 而， 解得米． 故选：C． 10．如图，在边长为2的正六边形中，分别以点A，D为圆心，长为半径画，，则两弧与边围成图形（图中阴影部分）的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设圆心为O，连接，设与交点为G，根据正六边形性质，证明都是等边三角形，四边形是菱形，与互相垂直平分，求出，，，，由，得，得是等边三角形，，求出，由，得 ．即得 ． 【详解】解：如图，设圆心为O，连接，设与交点为G，    ∵边长为2的正六边形中，内角为，中心角为， ∴， ∵， ∴都是等边三角形， ∴， ∴四边形是菱形， ∴与互相垂直平分，， ∴， ∴， ∴，， 由旋转对称知，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， 由轴对称知，点O在直线上，， ∴ ． ∵， ∴ ． 故选：A． 【点睛】设圆心为O，连接，设与交点为G，构造等腰三角形，等边三角形，菱形，轴对称图形，旋转对称图形，全等三角形． 11．如图，一次函数的图象与坐标轴分别交于点，反比例函数的图象经过点，是等腰直角三角形，，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数综合，全等三角形的判定和性质，先利用一次函数可得，，即得，，过点作轴于点，可证，得到，，进而求出点坐标即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：∵一次函数的图象与坐标轴分别交于点， ∴，， ∴，， 如图，过点作轴于点，则， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵反比例函数的图象经过点， ∴， 故选：． 12．已知抛物线（b，c为常数）经过点，且不经过第三象限．当时，函数的最大值与最小值之差为16，则b的值为（ ） A．3 B．2 C．3或1 D．2或6 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的最值问题，二次函数的图象与性质，利用待定系数法可得到，求出对称轴为直线，当时，则抛物线的顶点在x轴上或在x轴的上方，利用判别式可得，则，根据二次函数的性质确定对应的最大值和最小值，进而建立方程求解；．当时，此时函数图象一定经过第三象限，不符合题意；当时，则抛物线解析式为，求出此时的最大值与最小值即可得到结论． 【详解】解：∵抛物线（b，c为常数）经过点， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为， ∴抛物线的对称轴为直线，且开口向上， 当时，，即此时抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴， ∵抛物线不经过第三象限， ∴抛物线的顶点在x轴上或在x轴的上方， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵抛物线开口向上， ∴当，且当时，函数有最小值，最小值为， 当时，则，解得， 此时当时，函数有最大值，最大值为， ∴， 解得或（舍去）； 当时，则，解得， 此时当时，函数有最大值，最大值为， ∴， 解得或（舍去）； 当时，，即此时抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴，且对称轴在y轴右侧，故此时函数图象一定经过第三象限，不符合题意； 当时，则抛物线解析式为， ∵， ∴当时，函数有最大值，最大值为，当时，函数有最小值，最小值为0， 此时不满足函数的最大值与最小值之差为16； 综上所述，b的值为1或3， 故选：C． 二、填空题(本大题共6个小题，每小题4分，共24分，将答案填在答题卡对应的题号后的横线上) 13．根据某次安全知识竞赛成绩，笑笑绘制了所有参赛学生成绩的统计图如图所示，则本次安全知识竞赛成绩的优秀率是____________． 【答案】 【分析】先根据条形统计图计算出本次参赛学生的总人数，再结合条形统计图和扇形统计图算出成绩优秀的学生人数．再用优秀学生人数除以总人数即可得本次参赛成绩的优秀率． 【详解】解：由条形统计图可知本次参赛学生一共有（人）， 其中成绩合格的学生有400人， 成绩优秀的学生人数为（人）， ∴本次安全知识竞赛成绩的优秀率为：． 14．若分式的值为0，则整数x的值为_______． 【答案】 【分析】本题考查分式值为0的条件，解题关键是明确分式值为0需满足分子为0且分母不为0． 先求解分子为0时的x值，再排除使分母为0的x值，从而确定整数x的值． 【详解】解：根据分式的值为0得，， 解得或， 又∵， 即， ∴， 故答案为：． 15．等腰三角形的腰长，底长，则底边上的高为______． 【答案】5 【分析】根据等腰三角形三线合一的性质，可得底边一半的长度，再利用勾股定理即可求出底边上的高． 【详解】解：等腰三角形的腰长，底长， 根据等腰三角形三线合一的性质，可得底边的一半长：， 由勾股定理得： 底边上的高为， 故答案为：5． 16．已知关于x的一元一次方程的解是，关于y的一元一次方程52的解是_________． 【答案】8 【分析】将第二个方程变形，使其与已知一元一次方程结构一致，利用已知方程的解求解即可． 【详解】解：对关于的一元一次方程变形， 移项得， 6， ， 两边同乘得， 关于的一元一次方程的解是6， ， 解得8． 17．如图，在四边形中，，，，点P从点D出发，以的速度向点A运动，点M从点B同时出发，以相同的速度向点C运动，当其中一个动点到达端点时，两个动点同时停止运动．设点P的运动时间为t（单位：s），下列结论中：①当时，四边形为矩形；②当时，四边形为平行四边形；③当时，或；④当时，或．正确的是______（填序号） 【答案】④ 【分析】用含t的式子表示出，，，的长度，当四边形为矩形时，根据列方程；当四边形为平行四边形时，根据列方程；当时分两种情况：一是四边形为平行四边形，二是四边形为等腰梯形，分别列方程求解即可． 【详解】解：由题意得，， ， ，， 当四边形为矩形时，， 即， 解得，故①错误； 当四边形为平行四边形时，， 即， 解得，故②错误； 当时分两种情况： 当四边形为平行四边形时，； 当四边形为等腰梯形时，过点M作于点G，过点C作于点H，如图所示， 则， ，， ， ， ， ，， 四边形为矩形， ， ， 解得， 综上可得，当时，或， 故③错误，④正确． 综上所述，正确的是④． 18．如图，直角三角形纸片中，，，为斜边中点，第1次将纸片折叠，使点与点重合，折痕与交于点；设的中点为，第2次将纸片折叠，使点与点重合，折痕与交于点；设的中点为，第3次将纸片折叠，使点与点重合，折痕与交于点则：当折叠2026次之后， _____ 【答案】 【分析】先写出，，，的长度，然后可发现规律推出的表达式，继而根据即可得出的表达式，也可得出的长． 【详解】解：由题意得：， ，，，，， ，，， ， ，． 第II卷(非选择题，共90分) 三、解答题(本大题共7个小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤.) 19．计算与化简∶ (1)（7分）计算：． (2)（7分）先化简，再求值，其中，． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）先计算算术平方根、立方根、乘方、绝对值，再计算加减即可； （2）先计算乘法公式、单项式乘以多项式，再合并同类项，然后计算多项式除以单项式，最后将，代入化简结果计算即可． 【详解】（1）解： = =； （2）解： ， 当，时， 原式． 20．（11分）某班为了选拔一名学生参加学校举办的诗词大赛，组织了五次测试，其中甲、乙两名学生的成绩较为优秀，他们在这五次测试中的成绩（单位：分）如下： 【数据收集】 甲：； 乙：． 【数据分析】 学生 众数/分 中位数/分 平均数/分 甲 乙 根据上述收集、分析的结果，解答下列问题： (1)上表中_________，_________； (2)求乙同学这五次测试成绩的平均数； (3)计算甲、乙两名学生这五次测试成绩的离差平方和，若班主任张老师要选一名成绩比较稳定的学生去参加学校举办的诗词大赛，选择哪名学生更合适？ 【答案】(1)， (2)乙同学这五次测试成绩的平均数是分 (3)甲的离差平方和是，乙的离差平方和是；选择学生甲去参加学校举办的诗词大赛更合适 【分析】本题考查了众数、中位数、离差平方和、平均数，关键是熟练应用特征数的算法进行数据的整理和分析； （1）根据众数及中位数的定义计算即可； （2）根据平均数的求法计算即可； （3）根据离差平方和的求法计算出两名学生的成绩，利用离差平方和越小成绩越稳定来选择参赛学生即可． 【详解】（1）解：∵甲成绩中出现次数最多， ∴， ∵乙成绩按从小到大排序中间位置的数是， ∴； 故答案为：． （2）解：∵， 乙同学这五次测试成绩的平均数是分． （3）解：甲的离差平方和，      乙的离差平方和，            ∵， 选择学生甲去参加学校举办的诗词大赛更合适． 21． （11分）重装之都·德阳国际会展中心位于四川省德阳市广汉市，总建筑面积近5万平方米，由展馆、展厅及室外广场等功能区域构成。该中心以“互联网+大会展”、“产展融合”为发展思路，立足成德绵，服务西部，面向全国。 【综合与实践】如图，工人师傅要在墙壁上的点处用电钻打孔，墙壁厚（即），与墙面垂直，要使钻头从墙壁对面的点处打出，且满足点与点的竖直距离长． 【方法】 先在点处作一直线平行于地面，并在直线上截取___________，再过点作___________，在射线上截取，连接，然后沿着的方向打孔，就能使钻头正好从满足要求的点处打出． 【任务】 (1)将上面做法中横线处补充完整； (2)利用所学的全等三角形的知识说明的理由． 【答案】(1)； (2)见解析 【分析】本题考查全等三角形的实际应用，掌握好全等三角形的判定定理与性质是关键． （1）根据全等三角形的判定定理进行填空即可； （2）结合条件容易证明，从而证明． 【详解】（1）解：由题意可知，需构造， ∴，． 故答案为：；． （2）解：由题意可知、、三点共线，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 22．（12分）如图，直线与反比例函数（k为常数，且，）的图象交于点，分别与x轴、y轴交于点C、B，连接OA． (1)求反比例函数的解析式； (2)点P在反比例函数（k为常数，且，）的图象上，连接BP、OP，若，求点P的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解决问题的关键是掌握待定系数法求函数解析式． （1）由点在一次函数的图象上，可求得点的坐标，再由点在反比例函数的图象上，可求得k的值，进而得到反比例函数的解析式； （2）先求出点C、点B的坐标，进而求出，设点的坐标为，表示出，由列关于m的等量关系式，求出m，即可求出点P的坐标． 【详解】（1）解：点在直线上， ， 解得，， 在反比例函数（k为常数，且，）上， ， 解得，， 反比例函数的解析式为：； （2）解：直线与x轴、y轴交于点C、B， 令得，，解得， ， 令得，，，， 由（1）得，， ， 设点的坐标为， 则， ， ， ， 的坐标为． 23．（13分）2025年央视晚会主舞台选址四川德阳玄珠湖，巧妙融合德阳玄珠湖自然景观，以蜀道为媒、明月为核，呈现“月从蜀道升，人向镜中圆”的沉浸式中秋幻境，主持人身着特色的服饰，受到广大观众的喜爱．某服装厂设计了甲、乙两种款式，已知甲、乙两款服装的生产成本和售价如表： 款式 成本（元/件） 售价（元/件） 甲 700 1000 乙 800 1200 根据以上信息，解答下列问题： (1)列方程（组）解应用题 若该厂投入230000元来生产甲、乙两款服装共300件，并且投入的资金刚好用完，可以生产甲、乙两款服装各多少件？ (2)工厂在生产前进行了市场调查，发现甲款服装更受欢迎．工厂计划生产甲、乙两款服装共500件，要求甲款服装的数量至少是乙款服装的2倍．假设能全部售完，该工厂应如何安排生产才能获得最大利润？ 【答案】(1)生产甲、乙两款服装分别为件，件； (2)生产甲款服装件，生产乙款服装件，可获得最大利润． 【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用，一次函数的应用，不等式组的应用，正确理解题意列得方程及函数解析式，掌握一次函数的性质是解题的关键． （1）设生产甲、乙两款服装分别为件，件，根据该工厂共投入230000元来生产两款服装共300件，列方程组解题即可； （2）设生产甲款服装件，则生产乙款服装件，获得的总利润为元，根据甲款服装的数量至少是乙款服装的2倍，列出一元一次不等式组求出，再列出函数关系式，结合为正整数，根据函数的增减性解答即可． 【详解】（1）解：设生产甲、乙两款服装分别为件，件， 根据题意得， 解得：， 答：生产甲、乙两款服装分别为件，件； （2）解：设生产甲款服装件，则生产乙款服装件， 根据题意得， 解得， 设获得的总利润为元， ∴， ∵，且为正整数， ∴当时，最大利润为（元）， 则（件）， 答：生产甲款服装件，生产乙款服装件，可获得最大利润． 24．（14分）如图，点A，C在上，连接，并延长，分别与的切线相交于点，点，切点为E，与交于点，连接，垂足为点． (1)求证：平分； (2)设，求的值； (3)求的值． 【答案】(1)证明过程见解析 (2) (3) 【分析】本题综合考查圆周角定理，切线的性质和勾股定理，借助圆的背景，灵活运用圆周角定理找出角度关系，和运用勾股定理解三角形是解题关键． （1）连接，通过切线的性质得到，从而推出，再利用平行线的性质和等边对等角推理论证即可； （2）连接，借助，利用勾股定理求出（即半径）的长，再利用平行线分线段成比例（或证明相似三角形），用k表示出和，借助，利用勾股定理求解即可； （3）借助圆周角定理，推得，作的平行线，借助，利用角平分线的性质和勾股定理求解即可． 【详解】（1）证明：如图，连接， 由题意，得与相切于点E， ∴， 又， ∴， ∴， ∵和都是的半径， ∴， ∴， ∴， ∴平分； （2）解：由（1），得， ∵点F在上， ∴， ∴， 在中，，即， 解得， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， 在中，，即， 设，则， 解得（负值已舍去）， ∴， ∴； （3）解：由圆周角定理，得， 如图，过点O作平分，交于点M，连接 由（2），得， ∵平分， ∴， 又， ∴， ∴，， ∴， 在中，，即， 解得， ∴在中，， ∴， ∴． 25．（15分）如图，已知抛物线与轴的两个交点分别为，与轴交于点，直线过点和点．点是第一象限内抛物线上的点，设点的横坐标为，过点作于点，连接． (1)求的值； (2)求的最大值； (3)当时，的取值范围是，且，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）把代入即可求得，把代入即可求得； （2）过点作交于，交于点，先求出的最大值，再证明，可得，即可求解； （3）先求得抛物线的顶点坐标，可得抛物线的对称轴和最大值，根据二次函数的图象与性质对进行分类讨论，即可求解． 【详解】（1）解：把代入得，， 解得， 把代入得，， 解得， ∴． （2）解：过点作交于，交于点， ∵点的横坐标为， ∴，， ∴ ∴当时，有最大值为． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵抛物线与轴交于点， 当时，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴当有最大值时，取到最大值， ∴的最大值为． （3）解：由得， ∴顶点为，即当时，有最大值4， ∵抛物线对称轴为， ∴当时或时，值相等，即， ①当时，则在时，取得最大值，时取得最小值，即，， ∵， ∴， 解得（舍），； ②当时，则在时，取得最大值，时取得最小值，即， ∴，不符合题意； ③当时，则在时，取得最大值，时取得最小值，即，， ∵， ∴， 解得， ∵， ∴都不符合，舍去； 综上所述，． 第 2 页 共 7 页 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 $