4.3.1 第2课时 异面直线 课时跟踪检测-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第二册配套练习word（湘教版）

4.3.1 第2课时 异面直线 [课时跟踪检测] 1.在正方体ABCD⁃A1B1C1D1中，与直线AA1垂直的棱有 (　　) A.2条 B.4条 C.6条 D.8条 解析：选D　在正方体AC1中，与AA1垂直的棱为A1B1，B1C1，C1D1，D1A1，AB，BC，CD，DA，共8条.故选D. 2.教室内有一根直尺，无论怎样放置，在地面上总有这样的直线与直尺所在的直线 (　　) A.异面 B.相交 C.平行 D.垂直 解析：选D　若直尺与地面相交，则C不正确;若直尺平行于地面，则B不正确;若直尺放在地面上，则A不正确.故选D. 3.设P是直线l外一定点，过点P且与l成30°角的异面直线 (　　) A.有无数条 B.有两条 C.至多有两条 D.有一条 解析：选A　如图所示，过点P作直线l'∥l，以l'为轴，与l'成30°角的圆锥面的所有母线都与l成30°角，除去两条与l共面的母线，其余都符合要求. 4.如图所示，在等边三角形ABC中，D，E，F分别为各边中点，G，H，I，J分别为AF，AD，BE，DE的中点.将△ABC沿DE，EF，DF折成三棱锥后，GH与IJ所成角的度数为 (　　) A.90° B.60° C.45° D.0° 解析：选B　将三角形折成三棱锥.如图所示，GH与IJ为异面直线.在三棱锥A⁃DEF中，IJ∥AD，GH∥DF，所以∠ADF即为所求，因此GH与IJ所成的角为60°. 5.(多选)一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中，下列结论正确的是 (　　) A.AB⊥EF B.AB与CM所成的角为60° C.EF与MN是异面直线 D.MN∥CD 解析：选AC　把正方体的平面展开图还原成原来的正方体可知，AB⊥EF，EF与MN是异面直线，AB∥CM，MN⊥CD，只有A、C正确. 6.(多选)如图，在正方体ABCD⁃A1B1C1D1中，E，F分别是AB1，BC1的中点，则下列结论成立的是 (　　) A.EF与BB1垂直 B.EF与BD垂直 C.EF与CD异面 D.EF与A1C1异面 解析：选ABC　如图所示，连接A1B，易知点E为A1B的中点，由三角形中位线定理可得EF∥A1C1，所以EF，A1C1确定一个平面.显然EF与CD异面.因为A1C1⊥AA1，AA1∥BB1，所以A1C1⊥BB1.又EF∥A1C1，所以EF⊥BB1.连接B1D1，则A1C1⊥B1D1.易知BD∥B1D1，所以A1C1⊥BD.又知EF∥A1C1，所以EF⊥BD.故只有选项D中的结论不成立. 7.(5分)如图，在正方体ABCD⁃A1B1C1D1中，与AD1异面且与AD1所成的角为90°的面对角线(面对角线是指正方体各个面上的对角线)共有　　　　条.  解析：与AD1异面的面对角线分别为A1C1，B1C，BD，BA1，C1D，其中只有B1C和AD1所成的角为90°. 答案：1 8. (5分)如图，空间四边形ABCD的对角线AC=8，BD=6，M，N分别为AB，CD的中点，并且异面直线AC与BD所成的角为90°，则MN=　　　　.  解析：取AD的中点P，连接PM，PN，则BD∥PM，AC∥PN，∴∠MPN即为异面 直线AC与BD所成的角，∴∠MPN=90°.∵PN=AC=4，PM=BD=3，∴MN=5. 答案：5 9. (5分)如图，圆锥的底面直径AB=4，高OC=2，D为底面圆周上的一点，且∠AOD=120°，则直线AD与BC所成角的大小为　　　　　　.  解析：如图，延长DO交底面圆于点E，连接BE，CE，由AB，DE均为圆的直径知AD∥BE，且AD=BE，所以∠CBE即为异面直线AD与BC所成的角(或其补角).在△AOD中，AD=2OAsin 60°=2，在Rt△BOC中，BC==2，所以CB=CE=BE=2，所以△CBE为正三角形，所以∠CBE=60°，即直线AD与BC所成的角为60°. 答案：60° 10.（5分）在三棱锥A⁃BCD中，AB，BC，BD两两互相垂直，AB=BC=BD，E为CD的中点，则异面直线AC与BE所成的角的大小为　　　　.  解析：如图补全A⁃BCD，假设AB=2，平移BE于FC的位置，连接BF，则异面直线AC与BE所成的角，即是直线AC与FC所成的角AC=2，BE=BF=FC=，AF==，根据余弦定理得cos∠ACF===，故直线AC与FC所成的角∠ACF=60°. 答案：60° 11.（5分）如图，在四棱柱ABCD⁃A1B1C1D1中，侧面都是矩形，底面四边形ABCD是菱形，且AB=BC=2，∠ABC=120°，若异面直线A1B和AD1所成的角是90°，则AA1的长度是　　　　.  解析：连接CD1，AC.在四棱柱ABCD⁃A1B1C1D1中，A1D1綉BC，所以四边形A1BCD1是平行四边形.所以A1B∥CD1.所以∠AD1C(或其补角)为A1B和AD1所成的角.因为异面直线A1B和AD1所成的角为90°，所以∠AD1C=90°.因为四棱柱ABCD⁃A1B1C1D1中，AB=BC=2，∠ABC=120°，所以AC=2sin 60°×2=6.所以AD1=AC=3.所以AA1= = =. 答案： 12.(10分)在如图所示的正方体ABCD⁃A1B1C1D1中，设P，Q分别是棱BB1，B1C1的中点.请画出异面直线BD1与PQ所成的角. 解：在正方体ABCD⁃A1B1C1D1中，连接BC1，则∠D1BC1是异面直线BD1与PQ所成的角. 由P，Q分别是棱BB1，B1C1的中点，得PQ∥BC1，则∠D1BC1是异面直线BD1与PQ所成的角或其补角，而△D1BC1是Rt△D1C1B，即∠D1BC1是锐角，所以∠D1BC1是异面直线BD1与PQ所成的角. 13.(10分)如图，已知长方体ABCD⁃A1B1C1D1中，AB=BC=3，AA1=4. (1)求证：A1B与AD1是异面直线;（4分） (2)求异面直线A1B与AD1所成角的余弦值.（6分） 解：(1)证明：因为A1B⊂平面AA1B1B，A∈平面AA1B1B，A∉直线A1B，D1∉平面AA1B1B，由异面直线的判定定理可得A1B与AD1是异面直线. (2)如图，连接BC1，因为AB∥C1D1，AB=C1D1，所以四边形ABC1D1为平行四边形，则AD1∥BC1，即∠A1BC1为异面直线A1B与AD1所成的角(或其补角)，连接A1C1，由已知可得BA1=BC1==5，A1C1=3，则cos∠A1BC1==.所以异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为. 14.(10分)如图，在空间四边形ABCD中，AD=BC=2，E，F分别是AB，CD的中点.若EF=. 求证：AD⊥BC. 证明：取BD的中点H，连接EH，FH.因为E是AB的中点，且AD=2， 所以EH∥AD，EH=1.同理FH∥BC，FH=1. 所以∠EHF(或其补角)是异面直线AD，BC所成的角. 又因为EF=，所以EH2+FH2=EF2. 所以△EFH是等腰直角三角形，EF是斜边. 所以∠EHF=90°，即AD，BC所成的角是90°. 故AD⊥BC. 15.(15分)如图，在空间四边形ABCD中，AB=CD=8，M，N分别是BC，AD的中点.若异面直线AB与CD所成的角为60°，求MN的长. 解：如图所示，取BD的中点E，连接ME，NE.因为M，N分别是BC，AD的中点， 所以ME∥CD且ME=CD=4，NE∥AB且NE=AB=4，从而∠MEN(或其补角)即为AB与CD所成的角. 又异面直线AB与CD所成的角为60°，所以∠MEN=60°或120°. 当∠MEN=60°时，由余弦定理可知 MN= =4. 当∠MEN=120°时，由余弦定理可知 MN= =4. 学科网（北京）股份有限公司 $