4.3.1 第2课时 异面直线（同步练习）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高一数学必修第二册（湘教版）

第2课时　异面直线 基础过关练 题组一　空间两条直线垂直 1.(2024广东东莞海逸外国语学校质检)直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB⊥AC,则在三棱柱所有的棱中,与AC垂直且异面的有(　　) A.1条　　B.2条　　C.3条　　D.4条 2.如图,在三棱锥A-BCD中,E,F,G,H分别是棱AB,BC,CD,DA的中点,则当AC,BD满足条件:　　　　时,四边形EFGH为菱形,当AC,BD满足条件:　　　　　　　　时,四边形EFGH是正方形.  3.如图,在空间四边形ABCD中,AC=8,BD=6,M,N分别为AB,CD的中点,且异面直线AC与BD所成的角为90°,则MN=　　　　.  题组二　异面直线所成的角 4.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G,H分别为AA1,AB,BB1,B1C1的中点,则异面直线EF与GH所成的角等于(　　) A.45°　　B.60°　　 C.90°　　D.120° 5.(2025北京十一学校月考)如图,已知正四棱锥P-ABCD的所有棱的长均为2,E为棱PA的中点,则异面直线BE与PC所成角的余弦值为(　　) A.　　B.　　 C.　　D. 6.在正四面体ABCD中,E,F分别为AB,CD的中点,则下列命题不正确的是(　　) A.EF⊥AB B.EF⊥CD C.EF与AC所成的角为 D.EF与BD所成的角为 7.(2024甘肃兰州第一中学期末)在四面体ABCD中,AB=CD,且异面直线AB与CD所成的角为50°,M,N分别是边BC,AD的中点,则异面直线MN和AB所成的角为(　　) A.25°或50°　　B.25°或65°　　 C.50°　　D.65° 能力提升练 题组一　两直线的位置关系 1.(2024甘肃武威期末)某正方体的平面展开图如图所示,如果将它还原为正方体,那么在该正方体中,下列结论正确的是(　　) A.AB与GH所在的直线异面 B.CD与EF所在的直线平行 C.CD与GH所在的直线所成的角为60° D.AB与EF所在的直线相交 2.(2025北京交大附中期中)如图,在正方形ABCD中,E,F分别为边BC,AD的中点.将△ABF沿BF所在直线进行翻折,将△CDE沿DE所在直线进行翻折,在翻折的过程中,下列说法正确的是(　　) A.点A与点C在某一位置可能重合 B.点A与点C之间的距离最大为AB C.AB与DE可能垂直 D.AF与CE可能垂直 题组二　异面直线所成角及其应用 3.如图,某圆锥的轴截面ABC是等边三角形,D是线段AB的中点,点E在底面圆周上,且弧的长度等于弧的长度,则异面直线DE与BC所成角的余弦值是(　　) A.　　B.　　C.　　D. 4.(2025云南红河检测)在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,PA是四棱锥P-ABCD的高,E为PC的中点,AB=PA=2,若四棱锥P-ABCD的外接球的半径为2,则AE与BC所成角的正弦值为(　　) A.　　B.　　C.　　D. 5.(2025安徽合肥肥东一中质检)已知两异面直线a,b所成的角为80°,过空间一点P作直线l,使得l与a,b的夹角均为50°,则这样的直线l的条数为(　　) A.1　　B.2　　C.3　　D.4 6.(2025河北邢台期末)在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,侧面都是矩形,底面ABCD是菱形且AB=BC=2,∠ABC=120°,若异面直线A1B和AD1所成的角为90°,求AA1的长度. 答案与分层梯度式解析 第2课时　异面直线 基础过关练 1.B 4.B 5.B 6.D 7.B 1.B　直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB⊥AC, 则与AC垂直且异面的棱为A1B1和BB1,共2条. 2.答案　AC=BD;AC=BD且AC⊥BD 解析　易知EH∥BD∥FG,且EH=FG=BD,EF∥AC∥HG,且EF=HG=AC,所以四边形EFGH为平行四边形.要使平行四边形EFGH为菱形,需满足EF=EH,所以AC=BD;要使平行四边形EFGH为正方形需满足EF=EH且EF⊥EH,所以AC=BD且AC⊥BD. 3.答案　5 解析　取AD的中点P,连接PM,PN,则BD∥PM,AC∥PN,∴∠MPN(或其补角)为异面直线AC与BD所成的角,∴∠MPN=90°,易知PN=AC=4,PM=BD=3,∴MN=5. 4.B　取A1B1的中点M,连接MG,MH,则易知MG∥EF,所以EF与GH所成的角等于MG与GH所成的角. 易知△MGH为等边三角形,所以∠MGH=60°,所以异面直线EF与GH所成的角等于60°. 5.B　连接AC,取AC的中点O,连接OE,OB,则EO∥PC,EO=PC=1,故异面直线BE与PC所成的角为∠BEO(或其补角), 在△BEO中,EO=1,BO=,BE=,则由余弦定理得cos∠BEO==, 故异面直线BE与PC所成角的余弦值为. 解题模板 　　求异面直线所成角的一般步骤: (1)作:通过作平行线或平移其中一条直线,构造异面直线所成角或其补角; (2)证:证明所作的角或其补角为异面直线所成角; (3)计算:一般在三角形中求角. 6.D　如图所示, 将正四面体ABCD放入正方体中,则正四面体的每一条棱都是正方体的面对角线,E,F分别是上、下底面的中心,∴EF与正方体中垂直于底面的棱平行, ∴EF⊥AB,EF⊥CD,且EF与AC,BD所成的角都是. 7.B　取AC的中点G,连接GM,GN, ∵M,N分别为边BC,AD的中点, ∴GM∥AB,GN∥CD, 且GM=AB,GN=CD, ∴异面直线AB与CD所成的角是∠MGN或其补角, 异面直线MN和AB所成的角是∠GMN或其补角. 由GM=AB,GN=CD,AB=CD,得GM=GN. 因为异面直线AB与CD所成的角为50°,所以∠MGN为50°或130°, 若∠MGN=50°,则∠GMN=65°,所以异面直线MN和AB所成的角是65°; 若∠MGN=130°,则∠GMN=25°,所以异面直线MN和AB所成的角是25°. 综上,异面直线MN和AB所成的角为25°或65°. 能力提升练 1.C 2.D 3.A 4.B 5.C 1.C　由正方体的平面展开图还原的正方体如图所示. AB与GH所在的直线相交,故A错误; CD与EF所在的直线异面,故B错误; 连接HM,GM,由正方体的性质可知HM∥CD,△HMG为等边三角形, 所以CD与GH所在的直线所成的角为∠GHM=60°,故C正确; AB与EF所在的直线异面,故D错误. 2.D　由题意知,在翻折的过程中,点A与点C的运动轨迹均为圆,且两圆所在平面平行,所以点A与点C不可能重合,故A错误; 点A与点C之间的距离最大为正方形ABCD的对角线AC的长,为AB,故B错误; 易知BF与DE平行,所以AB所在直线与DE所在直线所成的角即为AB所在直线与BF所在直线所成的角,显然AB与BF不垂直,故C错误; 当平面ABF⊥平面BEDF,平面ECD⊥平面BEDF时,由等角定理可知AF⊥CE,所以AF与CE可能垂直,故D正确. 3.A　如图,过点A作AO⊥BC于点O,过点D作DG⊥BC于点G,取AO的中点F,连接DF,GE,OE,EF,则DF∥BC,且DF=BO,所以∠FDE(或其补角)就是异面直线DE与BC所成的角. 设圆锥的底面半径为2,则DF=GO=1,OE=2,AO=2,所以DG=OF=, 由题意知∠BOE=90°, 在Rt△GOE中,GE==, 则在Rt△GDE中,DE==2, 在Rt△FOE中,FE==. 因为DF2+FE2=DE2,所以∠DFE=90°, 所以cos∠FDE===. 4.B　如图,将四棱锥P-ABCD补成长方体ABCD-PB1C1D1,则四棱锥P-ABCD的外接球的半径等于长方体ABCD-PB1C1D1的外接球的半径,即长方形ABCD-PB1C1D1的体对角线长的一半. 设AD=m,又AB=PA=2,所以=2,所以m=2,所以AD=2. 因为BC∥AD,所以AE与BC所成的角即为AE与AD所成的角,即∠EAD(或其补角). 由题意及长方体的结构特征知△PAC和△PDC均为直角三角形,∠PAC=,∠PDC=, 又E为PC的中点,所以AE=ED=PC=2. 在△ADE中,由余弦定理得,cos∠EAD===, 所以AE与BC所成的角为, 所以AE与BC所成角的正弦值为. 5.C　在空间取一点P,经过点P分别作a∥a',b∥b', 设直线a',b'确定平面α, 当直线PM满足它的射影PQ在a',b'所成角的平分线上时, PM与a'所成的角等于PM与b'所成的角. 因为直线a,b所成的角为80°,所以a',b'所成的角为80°. 当PM的射影PQ在a',b'所成角的平分线上时, PM与a',b'所成角的范围是[40°,90°], 此时,过点P有两条直线与a',b'所成的角都是50°(如图1). 当PM的射影PQ在a',b'所成角的补角平分线上时, PM与a',b'所成角的范围是[50°,90°], 此时,过点P有且只有一条直线(即PM⊂平面α)与a',b'所成的角都是50°(如图2). 综上,满足题意的直线l有3条. 　　 6.解析　如图,连接AC,CD1, 在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,A1D1∥BC且A1D1=BC, 所以四边形A1BCD1为平行四边形,所以A1B∥CD1, 所以异面直线A1B和AD1所成的角为∠AD1C,故∠AD1C=90°, 因为四边形ADD1A1,四边形CDD1C1均为矩形, 所以DD1⊥AD,DD1⊥CD, 设DD1=a,则AD1=CD1==, 在△ABC中,由余弦定理可得AC==6, 因为∠AD1C=90°,所以A+C=AC2,即2(a2+12)=36,解得a=(负值舍去). 故AA1=DD1=. 7 学科网（北京）股份有限公司 $