4.3.1 第1课时 平行直线-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第二册配套课件PPT（湘教版）

该高中数学课件聚焦空间中直线与直线的位置关系，核心内容包括异面直线定义、平行直线基本事实及等角定理。通过长方体模型直观导入，课前自主预习落实基础概念，课堂梯度进阶从定义辨析到判定应用，构建平面几何到立体几何的知识支架。 其亮点在于以直观感知培养几何直观与空间观念（数学眼光），通过例题变式训练逻辑推理（数学思维），符号与图形语言结合强化表达（数学语言）。如利用长方体棱判定异面直线，通过平行四边形性质证明线线平行，助力学生形成空间思维，教师可直接用于梯度教学提升效率。

4.3 直线与直线、直线与平面的位置关系 4.3.1 空间中直线与直线的位置关系 平行直线 (教学方式：深化学习课——梯度进阶式教学) 第1课时 课时目标 1.了解基本事实及定理(等角定理)，能利用它们解决一些简单的判定与证明问题. 2.借助长方体，通过直观感知，了解空间中直线与直线平行的关系. 3.能利用基本事实和定理判定和证明空间两条直线的位置关系. CONTENTS 目录 1 2 3 课前预知教材·自主落实基础 课堂题点研究·迁移应用融通 课时跟踪检测 课前预知教材·自主落实基础 01 1.空间两条直线的位置关系 (1)异面直线的定义 我们把不同在__________________的两条直线叫作异面直线. 任何一个平面内 (2)空间两条直线的位置关系 位置关系 共面情况 公共点个数 相交 在同一平面内 ______________________________________ 平行 在同一平面内 _______________ 异面 两条直线不同在 任何一个平面内 ______________ 有且只有一个 没有 没有 2.平行直线 (1)基本事实 名称 文字语言 图形语言 符号语言 作用 基本 事实 平行于同一条直线的两条直线______ ⇒ b∥c　　 判断空间两条直线平行的依据 平行 |微|点|助|解|　 (1)在同一个平面内没有公共点的两条直线叫作平行直线. (2)两个重要结论： ①过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行. ②在同一个平面内，如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行. (2)定理 如果空间中两个角的两条边分别对应______，那么这两个角相等或互补. 平行 基础落实训练 1.判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)在空间中，直线不平行就意味着相交. (　　) (2)没有公共点的两条直线是异面直线. (　　) (3)两条异面直线一定在两个不同的平面内. (　　) ×　 ×　 √ 2.已知直线a∥直线b，直线b∥直线c，直线c∥直线d，则a与d的位置关系是 (　　) A.平行 B.相交 C.异面 D.不确定 √ 解析：∵a∥b，b∥c，∴a∥c.又c∥d，∴a∥d. 3.如图，在四面体S⁃MNP中，E，F，G，H分别是棱SN，SP，MN，MP的中点，则EF与HG的位置关系是 (　　) A.平行 B.相交 C.异面 D.平行或异面 √ 课堂题点研究·迁移应用融通 02 题型(一)　空间中直线与直线的位置关系的判定 [例1]　(多选)下面是长方体ABCD⁃A1B1C1D1的几条棱，其中符合条件“与直线A1D1既不相交也不平行”的是 (　　) A.AB B.B1C1 C.B1B D.CD √ √ √ 解析：如图所示，由题意知与直线A1D1既不相交也不平行，则直线AB，直线B1B，直线CD均与直线A1D1异面，而直线B1C1与直线A1D1平行，所以B不正确， A、C、D正确. |思|维|建|模| (1)判定两条直线平行与相交可用平面几何的方法去判断，而两条直线平行也可以用基本事实判断. (2)判定两条直线是异面直线有定义法和排除法，由于使用定义判断不方便，故常用排除法，即说明这两条直线不平行、不相交，则它们异面. 针对训练 1.如图，正方体ABCD⁃A1B1C1D1中，判断下列直线的位置关系： ①直线A1B与直线D1C的位置关系是______;  ②直线A1B与直线B1C的位置关系是______;  平行 异面 ③直线D1D与直线D1C的位置关系是______;  ④直线AB与直线B1C的位置关系是_______.  相交 异面 解析：根据题目条件知道直线A1B与直线D1C在平面A1BCD1中，且没有交点，则两直线“平行”，所以①应该填“平行”.点A1，B，B1在一个平面A1BB1内，而C不在平面A1BB1内，则直线A1B与直线B1C“异面”.同理，直线AB与直线B1C“异面”.所以②④都应该填“异面”.直线D1D与直线D1C相交于D1点，所以③应该填“相交”. 题型(二)　基本事实及其应用 [例2]　如图，在正方体ABCD⁃A'B'C'D'中，E，F，E'，F'分别是AB，BC，A'B'，B'C'的中点.求证：EE'∥FF'. 证明：因为E，E'分别是AB，A'B'的中点， 所以BE∥B'E'，且BE=B'E'. 所以四边形EBB'E'是平行四边形. 所以EE'∥BB'.同理可证FF'∥BB'. 所以EE'∥FF'. [变式拓展] 　在本例中，若M，N分别是A'D'，C'D'的中点，求证：四边形ACNM是梯形. 证明：在正方体中，MN∥A'C'，且MN=A'C'， 因为A'C'∥AC，且A'C'=AC， 所以MN∥AC，且MN=AC. 又AM与CN不平行，故四边形ACNM是梯形. |思|维|建|模|　 证明空间两条直线平行的方法 平面几何法 三角形中位线、平行四边形的性质等 定义法 用定义证明两条直线平行，要证明两个方面：一是两条直线在同一平面内;二是两条直线没有公共点 基本事实 用基本事实证明两条直线平行，只需找到直线b，使得a∥b，同时b∥c，由基本事实即可得到a∥c 针对训练 2.如图，在正方体ABCD⁃A1B1C1D1中，E，F分别为AA1，CC1的中点，求证：四边形BFD1E是平行四边形. 证明：如图所示，取BB1的中点G，连接GC1，GE. 因为F为CC1的中点， 所以BG∥FC1，且BG=FC1. 所以四边形BFC1G是平行四边形.所以BF∥GC1，BF=GC1. 又因为EG∥A1B1，EG=A1B1，A1B1∥C1D1，A1B1=C1D1， 所以EG∥C1D1，EG=C1D1. 所以四边形EGC1D1是平行四边形. 所以ED1∥GC1，ED1=GC1.所以BF∥ED1，BF=ED1.所以四边形BFD1E是平行四边形. 题型(三)　等角定理及其应用 [例3]　如图，在正方体ABCD⁃A1B1C1D1中，E，F，G分别是AB，BB1，BC的中点，求证：△EFG∽△C1DA1. 证明：如图，连接B1C.因为G，F分别为BC，BB1的 中点，所以GF∥B1C. 又ABCD⁃A1B1C1D1为正方体， 所以CD∥AB，A1B1∥AB. 所以CD∥A1B1. 所以四边形A1B1CD为平行四边形，所以A1D∥B1C. 又B1C∥FG，所以A1D∥FG.同理可证A1C1∥EG，DC1∥EF. 又∠DA1C1与∠EGF，∠A1DC1与∠EFG，∠DC1A1与∠GEF的两条边分别对应平行且方向相同，所以∠DA1C1=∠EGF，∠A1DC1=∠EFG，∠DC1A1=∠GEF. 所以△EFG∽△C1DA1. |思|维|建|模| (1)根据空间中相应的定理证明角的两边分别平行，即先证明线线平行. (2)根据角的两边的方向判定两角相等. 针对训练 3.如图，在平行六面体ABCD⁃A1B1C1D1中，M，N，P分别是CC1，B1C1，C1D1的中点.求证：∠NMP=∠BA1D. 证明：如图，连接CB1，CD1.∵CD綉A1B1， ∴四边形A1B1CD是平行四边形， ∴A1D∥B1C.∵M，N分别是CC1，B1C1的中点.∴MN∥B1C.∴MN∥A1D.∵BC綉A1D1.∴四边形A1BCD1是平行四边形.∴A1B∥CD1.∵M，P分别是CC1，C1D1的中点，∴MP∥CD1.∴MP∥A1B.∴∠NMP和∠BA1D的两边分别平行且方向都相反.∴∠NMP=∠BA1D. 课时跟踪检测 03 1.a∩α=A，则a与平面α内的直线b的位置关系是(　　) A.平行 B.相交 C.异面 D.相交或异面 √ 解析：若b过点A，则a与b相交，若b不过点A，则a与b异面. 2.在三棱锥P⁃ABC中，PB⊥BC，E，D，F分别是AB，PA，AC的中点，则∠DEF等于 (　　) A.30° B.45° C.60° D.90° √ 解析：由题意可知DE∥PB，EF∥BC，所以∠DEF=∠PBC=90°. 3.下列四面体中，直线EF与MN可能平行的是 (　　) √ 解析：根据过平面内一点和平面外一点的直线与平面内不过该点的直线异面，可以判定A、B、D中的MN与EF异面;C中当MN与EF都与中间棱平行时，MN∥EF，故选C. 4.在三棱台A1B1C1⁃ABC中，G，H分别是AB，AC的中点，则GH与B1C1 (　　) A.相交 B.异面 C.平行 D.垂直 √ 解析：如图所示，因为G，H分别是AB，AC的中点， 所以GH∥BC.又由三棱台的性质得BC∥B1C1，所以 GH∥B1C1. 5.若∠AOB=∠A1O1B1，且OA∥O1A1，射线OA与O1A1方向相同，则下列结论正确的是 (　　) A.OB∥O1B1且方向相同 B.OB∥O1B1，方向可能不同 C.OB与O1B1不平行 D.OB与O1B1不一定平行 √ 解析：当∠AOB=∠A1O1B1，且OA∥O1A1，OA与O1A1的方向相同时，OB与O1B1不一定平行，如图所示，故选D. 6.(多选)已知在正方体ABCD-A1B1C1D1中(如图)，l⊂平 面A1B1C1D1，且l与B1C1不平行，则下列说法可能成立 的是(　　) A.l与AD平行 B.l与AD相交 C.l与AC平行 D.l与BD平行 √ √ 解析：假设l∥AD，则由AD∥BC∥B1C1，知l∥B1C1，这与l与B1C1不平行矛盾，∴l与AD不平行.又l在上底面中，AD在下底面中，故l与AD无公共点，故l与AD不相交.C、D可能成立. 7.已知在空间四边形ABCD中，M，N分别是AB，CD的中点，且AC=4，BD=6，则 (　　) A.1<MN<5 B.2<MN<10 C.1≤MN≤5 D.2<MN<5 √ 解析：取AD的中点H，连接MH，NH，则MH∥BD，且MH=BD，NH∥AC，且NH=AC，且M，N，H三点构成三角形，由三角形中三边关系，可得MH-NH<MN<MH+NH，即1<MN<5. 8.(多选)如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，则下列说法正确的是 (　　) A.直线AM与CC1是相交直线 B.直线BN与MB1是异面直线 C.直线AM与BN是平行直线 D.直线AM与DD1是异面直线　 √ √ 解析：∵A，M，C，C1四点不共面，∴直线AM与CC1是异面直线，故选项A说法错误;直线BN与MB1不同在任何一个平面内，是异面直线，故选项B说法正确;取DD1的中点E，连接AE(图略)，易知AE∥BN，而AE与AM相交，故AM与BN不是平行直线，选项C说法错误;直线AM与DD1不同在任何一个平面内，是异面直线，故选项D说法正确. 9.（5分）在长方体ABCD⁃A'B'C'D'中，与AD平行的棱有_________________(填写所有符合条件的棱).  A'D'，B'C'，BC 解析：长方体具有三组互相平行的棱，并且每一组棱都有四条，由图可知与AD平行的棱还有A'D'，B'C'，BC. 10.（5分）在四棱锥P⁃ABCD中，E，F，G，H分别是PA，PC，AB，BC的中点，若EF=2，则GH=____.  2 解析：由题意知EF綉 AC，GH綉 AC，故EF綉 GH，故GH=2. 11.（5分）空间两个角∠ABC和∠A'B'C'，若AB∥A'B'，BC∥B'C'，∠ABC=40°，则∠A'B'C'的大小是_______________.  40°或140° 解析：空间两个角∠ABC和∠A'B'C'，因为AB∥A'B'，BC∥B'C'且∠ABC=40°，则∠A'B'C'=40°或∠A'B'C'=180°-40°=140°. 12.(10分)如图，在正方体ABCD⁃A1B1C1D1中，E，F， G分别是棱CC1，BB1，DD1的中点.求证： (1)GB∥D1F;（4分） 证明：因为正方体ABCD⁃A1B1C1D1中，F，G分别是棱BB1，DD1的中点，所以D1G=BF，且D1G∥BF. 所以四边形D1GBF是平行四边形. 所以GB∥D1F. (2)∠BGC=∠FD1E.（6分） 证明：因为正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，G分别是棱CC1，DD1的中点， 所以D1G=CE，且D1G∥CE. 所以四边形D1GCE是平行四边形. 所以GC∥ED1. 由(1)知GB∥D1F， 由题图可知∠BGC，∠FD1E均为锐角， 所以∠BGC=∠FD1E. 13.(10分)如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，平面A1C1内有 一点P，经过点P作棱BC的平行线，应该怎样画?并说明理由. 解：如图，在平面A1C1内过点P作直线EF∥B1C1， 交A1B1于点E，交C1D1于点F，则直线EF即为所求. 理由如下： 因为EF∥B1C1，BC∥B1C1， 所以EF∥BC. 14.(10分)梯形ABCD中，AB∥CD，E，F分别为BC和AD的中点，将平面DCEF沿EF翻折起来，使CD到C'D'的位置，G，H分别为AD'和BC'的中点. 求证：四边形EFGH为平行四边形. 证明：∵梯形ABCD中，AB∥CD，E，F分别为BC，AD的中点， ∴EF∥AB且EF=(AB+CD). 又C'D'∥EF，EF∥AB，∴C'D'∥AB. ∵G，H分别为AD'，BC'的中点， ∴GH∥AB且GH=(AB+C'D')=(AB+CD). ∴GH綉EF.∴四边形EFGH为平行四边形. 15.(10分)如图，A是△BCD所在平面外一点，M，N 分别是△ABC和△ACD的重心，已知BD=6. (1)判断MN与BD的位置关系，并说明理由;（8分） 解：MN∥BD. 理由如下：连接AM，AN并延长分别与BC，CD交 于点E，F，由重心的定义知E，F分别为BC，CD 的中点，连接EF，则EF∥BD，且EF=BD. 又∵点M为△ABC的重心，点N为△ACD的重心， ∴AM∶ME=AN∶NF=2∶1. ∴MN∥EF，且MN=EF，故MN∥BD. (2)求MN的长.（2分） 解：由(1)知，MN=EF=BD=2. 本课结束 更多精彩内容请登录：www.zghkt.cn $