3.3 复数的几何表示 课时跟踪检测-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第二册配套练习word（湘教版）

3.3　复数的几何表示 [课时跟踪检测] 1.(2024·新课标Ⅱ卷)已知z=-1-i，则|z|= (　　) A.0 B.1 C. D.2 解析：选C　由z=-1-i，得|z|==. 2.在复平面内，复数1+i的共轭复数所对应的点位于 (　　) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 解析：选D　∵复数1+i的共轭复数为1-i，∴其对应的点(1，-1)位于第四象限. 3.在复平面内，O是原点，向量对应的复数为5+3i，与关于虚轴对称，则点B对应的复数是 (　　) A.5-3i B.-5-3i C.5+3i D.-5+3i 解析：选D　设向量对应的复数为a+bi，则对应复平面的坐标为.因为向量对应的复数为5+3i，所以对应复平面的坐标为.因为与关于虚轴对称，所以a=-5，b=3，即向量对应的复数为-5+3i.因为点O为坐标原点，所以点B对应的复数是-5+3i.故选D. 4.已知复数3-5i，1-i和-2+ai在复平面内对应的点在同一条直线上，则实数a的值为 (　　) A.5 B.-2 C.-5 D. 解析：选A　设复数3-5i，1-i，-2+ai对应的向量分别为(O为坐标原点)，则=(3，-5)，=(1，-1)，=(-2，a).∵A，B，C三点共线，∴=t，即-=t(-).∴(-2，4)=t(-3，a+1).∴解得故实数a的值为5.故选A. 5.(多选)已知复数z满足z(2-i)=i(i为虚数单位)，复数z的共轭复数为，则 (　　) A.|z|= B.=- C.复数z的实部为-1 D.复数z对应复平面上的点在第二象限 解析：选BD　因为复数z满足z(2-i)=i，所以z===-+i，所以|z|==，故A错误;=--i，故B正确;复数z的实部为-，故C错误;复数z对应复平面上的点在第二象限，故D正确. 6.已知i为虚数单位，a为实数，复数z=a+2+(1-2a)i在复平面内对应的点为M，则“a>”是“点M在第四象限”的 (　　) A.充分而不必要条件 　　　 　B.必要而不充分条件 C.充要条件 　　　 　D.既不充分又不必要条件 解析：选C　当a>时，a+2>>0，1-2a<0，所以点M在第四象限;若点M在第四象限，则解得a>.所以“a>”是“点M在第四象限”的充要条件. 7.已知复数2+i是关于x的方程x2-ax-b=0(a，b∈R)的一个解，则复数z=a+bi在复平面内对应的点位于 (　　) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 解析：选D　因为复数2+i是关于x的方程x2-ax-b=0的一个解，所以方程的另一解为2-i.由根与系数的关系可得解得所以复数z=a+bi在复平面内对应的点为(4，-5)，在第四象限.故选D. 8. (多选)关于x的方程x2=-4的复数解为z1，z2，则 (　　) A.z1·z2=-4 B.z1与z2互为共轭复数 C.若z1=2i，则满足z·z1=2+i的复数z在复平面内对应的点在第二象限 D.若|z|=1，则|z-z1·z2|的最小值是3 解析：选BD　因为(±2i)2=-4，所以不妨令方程x2=-4的复数解z1=2i，z2=-2i.z1·z2=2i·(-2i)=4，A错误;z1与z2互为共轭复数，B正确;z1=2i，由z·z1=2+i，得z====-i，则复数z在复平面内对应的点在第四象限，C错误;设z=x+yi(x，y∈R)，由|z|=1，得x2+y2=1，显然有-1≤x≤1，由选项A知z1·z2=4，因此|z-z1·z2|=|(x-4)+yi|==≥3，当且仅当x=1，即z=1时取等号，D正确. 9.（5分）若复数z的共轭复数是2+3i，则|z|=　　　　.  解析：易得复数z=2-3i，则|z|= =. 答案： 10. （5分）在复平面内表示复数z=(m-3)+2i的点在直线y=x 上，则实数m的值为　　　　.  解析：∵z=(m-3)+2i表示的点在直线y=x上，∴m-3=2，解得m=9. 答案：9 11. （5分）已知复数z满足|z|-z=1-3i，则|z|=　　　　.  解析：设z=a+bi，a，b∈R，则|z|=.因为|z|-z=1-3i，所以-a-bi=1-3i.所以解得即z=4+3i.所以|z|==5. 答案：5 12.（5分）复数2+i与复数在复平面上对应点分别是A，B，则tan∠AOB=　　　　.  解析：根据复数运算法则可得===-i， 所以2+i与对应的点的坐标为A(2，1)，B，如图所示，易知tan α=，tan β=，则tan∠AOB=tan(α+β)===1. 答案：1 13.(10分)在复平面内画出下列复数对应的向量，并求出各复数的模：z1=1-i;z2=-+i;z3=-2;z4=2+2i. 解：在复平面内分别画出点Z1(1，-1)，Z2，Z3(-2，0)，Z4(2，2)，则向量分别为复数z1，z2，z3，z4对应的向量，如图所示. 各复数的模分别为|z1|==; |z2|==1; |z3|==2; |z4|==2. 14.(10分)实数x取什么值时，复平面内表示复数z=x2+x-6+(x2-2x-15)i的点Z： (1)位于第三象限;（3分） (2)位于第四象限; （3分） (3)位于直线x-y-3=0上. （4分） 解：因为x是实数，所以x2+x-6，x2-2x-15也是实数. (1)当实数x满足 即-3<x<2时，点Z位于第三象限. (2)当实数x满足 即2<x<5时，点Z位于第四象限. (3)当实数x满足(x2+x-6)-(x2-2x-15)-3=0，即3x+6=0，x=-2时，点Z位于直线x-y-3=0上.所以x=-2. 15.(15分)在复平面内，点A，B，C对应的复数分别为1+4i，-3i，2，O为复平面的坐标原点. (1)求向量 +对应的复数;（7分） (2)求平行四边形ABCD的顶点D对应的复数.（8分） 解：(1)由复数的几何意义，得=(1，4)，=(0，-3)，=(2，0).所以+=(1，4)+(0，-3)=(1，1)，=-=(2，0)-(1，4)=(1，-4).所以+对应的复数是1+i，对应的复数是1-4i. (2)法一：由已知得点A，B，C的坐标分别为(1，4)，(0，-3)，(2，0)，则AC的中点为.由平行四边形的性质知BD的中点也是.设D(x0，y0)，则解得所以D(3，7).故顶点D对应的复数为3+7i. 法二：由(1)知=(1，4)，=(0，-3)，=(2，0)，所以=(1，7)，=(2，3).由平行四边形的性质得=+=(3，10)，而=(0，-3)，于是D(3，7)，故顶点D对应的复数为3+7i. 学科网（北京）股份有限公司 $