专题3.3 复数的几何表示（高效培优讲义）高一数学湘教版必修第二册

3-3 复数的几何表示 讲义 教学目标 理解复数的几何意义，掌握复数的模、共轭复数的计算，进一步熟悉复数加减法的几何意义，能解决复数有关的范围问题. 教学重点 复数的模、共轭复数、复数的几何意义. 教学难点 复数的模，复数加减法的几何意义. 知识点01 复数的几何意义 1.复平面：用来表示复数的直角坐标系，其中轴叫做实轴，轴叫做虚轴. 2.复数与复平面上的点一一对应， 复数对应平面向量； 复平面内实轴上的点表示实数，除原点外虚轴上的点表示虚数，各象限内的点都表示复数． 【即学即练1-1】(23-24高一下·吉林四平·期末)已知复数满足，则复数在复平面内对应的点位于(   ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】判断复数对应的点所在的象限、复数的除法运算 【分析】利用复数的除法运算求出可得答案. 【详解】因为，所以， 则复数在复平面内对应的点为， 复数在复平面内对应的点位于第二象限. 故选：B. 【即学即练1-2】(24-25高一下·四川成都·期末)若复数 ，则下列说法正确的是(    ) A．当或时，z为实数 B．若z为纯虚数，则或 C．若复数z对应的点位于第二象限，则 D．若复数z是方程的解，则 【答案】ACD 【难度】0.85 【知识点】根据复数对应坐标的特点求参数、复数范围内方程的根、已知复数的类型求参数、复数的分类及辨析 【分析】根据复数的类型、几何意义，复数方程的解，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择. 【详解】对于A，当时，；当时，， 故或时，均为实数，A正确； 对于B，若为纯虚数，则，解得，故B错误； 对于C，复数对应的点位于第二象限，则，解得，故C正确； 对于D，由，则， 则，即， 因为复数z是方程的解， 所以，解得，故D正确. 故选：ACD. 知识点02 复数的模 复数的模表示复平面内的点到原点的距离． 复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模. 【即学即练2-1】(25-26高一下·全国·课堂例题)(   ) A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】求复数的模 【分析】运用复数模的定义进行求解即可. 【详解】. 故选：A 【即学即练2-2】(多选)(24-25高一下·安徽阜阳·期末)已知为复数，为虚数单位，则下列结论正确的是(    ) A．若，则 B． C．若，则为纯虚数 D．若，则的最小值为1 【答案】ABD 【难度】0.65 【知识点】求复数的模、与复数模相关的轨迹(图形)问题、复数代数形式的乘法运算、共轭复数的概念及计算 【分析】选项A，根据复数除法运算，求得，再根据模长运算即可求解；选项B，令，分别计算和，即可判断；选项C，设，由得，可解得，但要注意的取值；选项D，根据复数模长的几何意义即可判断. 【详解】对于A，根据复数除法，， 则，所以A正确； 对于B，令，则， 所以，，所以，故B正确； 对于C，设，则，， 所以，， 因为，即，解得，， 所以当，，不是纯虚数，故C错误； 对于D，当，复数对应的点在单位圆上，即， 表示复数对应的点到点的距离， 最小值为圆心到点的距离减去半径，即最小值为，故D正确. 故选：ABD. 知识点03 共轭复数 共轭复数：复数z＝a＋bi(a，b∈R)的共轭复数＝a－bi； 复数z与表示的点关于实轴对称。 【即学即练3-1】(24-25高一下·甘肃临夏·期末)若，则复平面内复数对应的点位于(   ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】共轭复数的概念及计算、判断复数对应的点所在的象限 【分析】先求得复数的共轭复数，再由复数的几何意义确定对应点所在象限即可. 【详解】由复数可得， 复数对应的点的坐标为，在第三象限. 故选：C. 【即学即练3-2】(多选)(25-26高一下·全国·单元测试)设有下面四个命题，其中正确的有(   ) A．若，则 B．若虚数是方程的根，则也是方程的根 C．已知复数，，则的充要条件是 D．若复数，则， 【答案】ABD 【难度】0.65 【知识点】复数范围内方程的根、共轭复数的概念及计算、复数的相等 【分析】根据共轭复数的乘法的运算结果判断A的真假；解方程可判断B的真假；利用特例说明C错误；根据虚数不能比较大小判断D的真假. 【详解】对于A，若，设，则，所以A是真命题； 对于B，由 ，所以或. 由 或. 所以若虚数()是方程的根，则也一定是方程的一个根，所以B是真命题； 对于C，例如，，有，但，所以C是假命题； 对于D，若，因为虚数不能比较大小，所以必为实数，所以D是真命题． 故选：ABD 题型01 复数的几何意义 【典例1-1】(24-25高一下·陕西·期末)设，那么复数所在的象限为(    ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】判断复数对应的点所在的象限、复数的除法运算 【分析】根据复数除法运算化简，结合复数的几何意义可得. 【详解】因为， 所以复数在复平面内对应点为，位于第四象限. 故选：D 【典例1-2】(24-25高一下·辽宁·期末)已知复数在复平面内对应的向量为(为坐标原点)，在复平面内对应的向量为，则的最大值为(    ) A． B． C． D．2 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】复数的向量表示、数量积的坐标表示、二倍角的正弦公式、sinα±cosα和sinα·cosα的关系 【分析】根据给定条件，求出的坐标，利用数量积的坐标式，结合二倍角的正弦公式及与的关系，换元后化成二次函数即可求出最大值. 【详解】依题意，，则， 令，则，， 因此，则当时，取得最大值为2， 故的最大值为 2. 故选：D 【典例1-3】(多选)(24-25高一下·甘肃平凉·月考)已知复数在复平面上对应的点的坐标为，则下列结论错误的是(    ) A．是实数 B．是纯虚数 C．是实数 D．是纯虚数 【答案】ACD 【难度】0.85 【知识点】复数的分类及辨析、复数加减法的代数运算、根据复数的坐标写出对应的复数 【分析】根据复数的几何意义确定复数，再根据复数运算与复数的基本概念逐项判断即可. 【详解】∵复数在复平面上对应的点的坐标为， ∴复数， ∵是纯虚数，故A项不正确，B项正确； ∵不是实数，也不是纯虚数，故C，D项都不正确. 故选：ACD. 【典例1-4】(25-26高一下·全国·课后作业)在复平面内，O是原点，已知复数，，，它们所对应的点分别是A，B，C．若，则的值是_____________． 【答案】5 【难度】0.65 【知识点】复数的坐标表示、利用平面向量基本定理求参数 【分析】根据向量线性运算的坐标表示和复数对应的向量进行计算即可. 【详解】由已知，得，，， 所以． 由，可得，解得，故． 故答案为：5 【变式1-1】(25-26高一下·全国·课堂例题)复数，，则在复平面内表示的点在(   ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】在各象限内点对应复数的特征、复数加减法的代数运算、判断复数对应的点所在的象限 【分析】计算出复数的表达式，即可求出在复平面内所表示的点的位置. 【详解】由题意得，对应的点在第一象限． 故选：A 【变式1-2】(25-26高一下·全国·课堂例题)复数和在复平面内的对应点关于(   ) A．实轴对称 B．一、三象限的角平分线对称 C．虚轴对称 D．二、四象限的角平分线对称 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】复数的坐标表示 【分析】确定复数对应点的坐标，即可判断. 【详解】由复数的性质得对应的点为，对应的点为， 易知与两点在复平面内关于实轴对称. 故选：A． 【变式1-3】(24-25高一下·海南海口·月考)已知i是虚数单位，则复数在复平面内对应的点位于(    ) A．坐标轴上 B．第一象限 C．第二象限 D．第三象限 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】判断复数对应的点所在的象限、复数的除法运算 【分析】利用两个复数代数形式的乘除法法则化简复数为，由此可得它对应点所在的象限． 【详解】，故它对应点在第二象限. 故选：C. 【变式1-4】(24-25高一下·广东东莞·月考)如图，在复平面内，复数，对应的向量分别是，，则复数对应的点位于(   ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】复数代数形式的乘法运算、复数的坐标表示 【分析】利用复数的几何意义求出，，然后利用复数的乘法法则求出，最后利用复数的几何意义求解即可． 【详解】由题意，．，． 复数所对应的点位于第一象限． 故选：A 【变式1-5】(多选)(24-25高一下·浙江台州·期末)复数，，在复平面内对应的点分别为，其中O为坐标原点，则下列选项正确的是(   ) A． B． C． D．若，则 【答案】ABC 【难度】0.65 【知识点】求复数的模、复数代数形式的乘法运算、根据复数的坐标写出对应的复数、复数的向量表示 【分析】设出对应复数，利用复数的几何意义求出复数所对应的向量的坐标，再代入运算判断A，利用复数三角不等式判断B，利用复数的乘法公式结合模长公式判断C，举反例判断D即可. 【详解】设，，， 对于A，由复数的几何意义得，， ，满足，故A正确； 对于B，由复数三角不等式得， 当且仅当同向共线时取等，故B正确； 对于C，易得 ， 由模长公式得 ， 而， 可得，故C正确； 对于D，令，，则，， 此时满足，但不满足，故D错误. 故选：ABC 【变式1-6】(25-26高一下·全国·期中)如图，在复平面内，复数和对应的点分别是和，则____________． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】复数的除法运算、根据复数的坐标写出对应的复数 【分析】根据题意，得到，，结合复数乘法的运算法则，即可求解. 【详解】由题意得，复数，，则． 故答案为： 题型02 复数的模 【典例2-1】(25-26高一下·全国·单元测试)若，其中，，则(   ) A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】复数的相等、求复数的模、复数代数形式的乘法运算 【分析】由复数的四则运算求出，的值，再由模的概念求解即可. 【详解】因为， 所以，则，， 故， 故选：C． 【典例2-2】(24-25高一下·天津·月考)已知复数的实部为-1，则下列说法正确的是(   ) A．复数z的虚部为5 B．复数z的共轭复数 C． D．z在复平面内对应的点位于第四象限 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】求复数的模、复数代数形式的乘法运算、共轭复数的概念及计算、判断复数对应的点所在的象限 【分析】首先展开复数的乘积，利用实部为求出的值，再代入计算虚部、模、共轭复数和对应点的象限，逐一验证选项即可. 【详解】由的实部为可得，， 解得，则. 复数的虚部为，故A错误； 复数的共轭复数，故B错误； ，故C正确； z在复平面内对应的点为，在第三象限，故D错误. 故选：C. 【典例2-3】(多选)(24-25高一下·浙江杭州·期中)若复数，则(   )． A． B．z在复平面内对应的点位于第三象限 C． D．复数满足，则的最大值为 【答案】ACD 【难度】0.85 【知识点】求复数的模、与复数模相关的轨迹(图形)问题、复数的除法运算、判断复数对应的点所在的象限 【分析】根据复数除法运算化简，结合复数的几何意义和模长公式可判断ABC；利用复数的几何意义可判断D. 【详解】对A，，正确； 对B，对应复平面内的点为，位于第四象限，错误； 对C，由复数模长公式得，正确； 对D，设，则， 又，所以，所以对应复平面上的点在圆心为原点的单位圆上， 又表示点和之间的距离， 所以，的最大值等于原点和之间的距离加1， 即，正确. 故选：ACD 【典例2-4】(24-25高一下·甘肃定西·期末)已知是虚数单位，是关于的方程(其中)的一个根，则=__________. 【答案】 【难度】0.65 【知识点】复数的相等、求复数的模、复数范围内方程的根 【分析】根据题意，得到，列出方程组，求得，结合复数模的计算公式，即可求解. 【详解】由是关于的方程的一个根， 可得，整理得， 所以，解得，所以， 则. 【变式2-1】(25-26高一下·全国·课后作业)使成立的x的取值范围是(   ) A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】求复数的模、由对数函数的单调性解不等式 【分析】根据复数模的公式，列不等式求出实数的取值范围. 【详解】由，得，即， 或，解得或. 故选：C. 【变式2-2】(24-25高一下·江西南昌·期末)设复数z满足，则( ) A． B．2 C． D．1 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】求复数的模、复数代数形式的乘法运算 【分析】根据复数乘法化简，再根据复数模的定义求解. 【详解】因为，所以， 故选：A. 【变式2-3】(24-25高一下·山东青岛·期末)在复平面内，复数，，，对应的点，，，在同一个圆周上，则实数(    )． A． B． C．或2 D．或2 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】求复数的模、与复数模相关的轨迹(图形)问题 【分析】由题意得点，，，在以原点为圆心、半径为的圆上，进一步列方程即可求解. 【详解】在复平面内与题中所给四个复数对应的点依次为， 得到对应的以原点为始点的向量依次为， 则， 可得，同理可得， 因为复数，，，对应的点，，，在同一个圆周上， 所以这些点都在以原点为圆心、半径为的圆上， 所以，解得. 【变式2-4】(24-25高一下·上海宝山·期末)复数、分别对应复平面内的点、，若，则(其中为坐标原点)，是(    ) A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．等腰直角三角形 D．有一个锐角为的直角三角形 【答案】C 【难度】0.4 【知识点】求复数的模、与复数模相关的轨迹(图形)问题 【分析】本题考查复数运算与复平面几何意义，通过对等式变形分析复数关系，判断三角形形状. 【详解】依题意，，若，则(反之亦成立)， 则与原点重合，与已知能组成三角形矛盾，所以. 由，两边除以()，设，则方程变为：，解得 由，得；所以， ，故. 在中：，，即(等腰). 由勾股定理：，而，故(直角). 综上，是等腰直角三角形. 故选：C 【变式2-5】(多选)(23-24高一下·福建泉州·期中)在复数域内，大小成为了没有意义的量，那么我们能否赋予它一个定义呢，在实数域内，我们通常用绝对值来描述大小，而复数域中也相应的有复数的模长来代替绝对值，于是，我们只需定义复数的正负即可，我们规定复数的“长度”即为模长，规定在复平面轴上方的复数为正，在轴下方的复数为负，在轴上的复数即为实数大小.“大小”用符号+“长度”表示，我们用来表示复数的“大小”，例如：，则下列说法正确的是(    ) A．在复平面内表示一个圆 B．若，则方程无解 C．若为虚数，且，则 D．复数满足，则的取值范围为 【答案】BCD 【难度】0.4 【知识点】共轭复数的概念及计算、与复数模相关的轨迹(图形)问题、求复数的模 【分析】根据已知条件，理解的意义，结合复数的几何意义，模长计算，逐一判断即可. 【详解】A：根据已知条件表示模长为1，在复平面位于轴上方的复数，所以并不是一个圆，故A错误； B：若，则方程为一个实数，所以无解，故B正确； C：若为虚数，且，设，则， 所以，所以，故C正确； D：设，根据复数的新定义有， 所以，且，所以， 所以是，所以，故D正确； 故选：BCD. 【变式2-6】(25-26高一下·全国·课后作业)已知复数，则复数的模的最大值为_____________，最小值为_____________． 【答案】 6 4 【难度】0.4 【知识点】定点到圆上点的最值(范围)、复数的坐标表示、求复数的模、与复数模相关的轨迹(图形)问题 【分析】根据复数的几何意义及两点间的距离公式求解即可. 【详解】令，则． 因为，所以， 所以复数在复平面内对应的点的轨迹是以为圆心，1为半径的圆，如图， 易知，圆上的点A所对应的复数的模最大，为， 圆上的点B所对应的复数的模最小，为， 所以复数的模的最大值和最小值分别为6和4． 故答案为：6；4 题型03 共轭复数 【典例3-1】(23-24高一下·福建厦门·月考)已知复数z满足(i是虚数单位)，则(   ) A．15 B．16 C．17 D．25 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】共轭复数的概念及计算、复数的除法运算、复数代数形式的乘法运算 【分析】根据复数的乘除法运算法则和共轭复数的概念即可得到答案. 【详解】因为，所以， 所以. 故选：C. 【典例3-2】(25-26高一下·全国·单元测试)设，是复数，则下列命题中的真命题有(   ) A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】ABC 【难度】0.65 【知识点】判断命题的真假、求复数的模、复数的相等、共轭复数的概念及计算 【分析】对于A，由得到，故，从而得到结论；对于B，根据共轭复数的定义求解；对于C，设，，，，，，根据复数的模的定义得解；对于D，根据复数的模的定义求解． 【详解】对于A，若，则，，所以为真； 对于B，若，则和互为共轭复数，所以为真； 对于C，设，，，，，， 若，则，，，所以为真； 对于D，若，，则为真，而，，所以为假． 故选：ABC. 【典例3-3】(多选)(25-26高一下·全国·单元测试)设，为复数，则下列结论中正确的是(   ) A．若，则 B． C．是纯虚数或零 D． 【答案】CD 【难度】0.65 【知识点】求复数的模、复数代数形式的乘法运算、复数的乘方、共轭复数的概念及计算 【分析】举例，，判断A；分别计算等式的左边和右边判断B；利用复数的运算法则判断C；设两个复数，计算出乘积模长，再计算出模长乘积即可比较大小判断D. 【详解】举例说明：若，，则，，， 但与都是虚数，不能比较大小，故A错； ，令， 则， ，与不一定相等，B错； 设，则，故， 当时是零，当时，是纯虚数，C正确； 设， 则， =，D正确． 故选：CD 【典例3-4】(24-25高一下·北京朝阳·月考)已知复数满足，其中i为虚数单位，则复数的共轭复数的虚部为____. 【答案】 【难度】0.65 【知识点】求复数的实部与虚部、复数的除法运算、共轭复数的概念及计算 【分析】由复数的乘法、除法运算求得，再结合共轭复数的概念即可求解. 【详解】由，得， 故，则复数的虚部为， 故答案为： 【变式3-1】(25-26高一下·全国·课后作业)已知i为虚数单位，z为复数，下面叙述正确的是(   ) A．为纯虚数 B．任何数的偶数次幂均为非负数 C．的共轭复数为 D．的虚部为3 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】复数的基本概念、复数的分类及辨析、求复数的实部与虚部、共轭复数的概念及计算 【分析】根据复数的基本概念，包括共轭复数、纯虚数、虚部以及虚数单位的幂运算，逐一分析每个选项即可. 【详解】当 为实数时，也为实数，故 A 错误；由 ，可知B错误； 由共轭复数的定义知， 的共轭复数为 ，故C错误； 的虚部为3，故D正确． 故选：D． 【变式3-2】(25-26高一下·全国·单元测试)若复数满足，其中i为虚数单位，则(   ) A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】复数加减法的代数运算、共轭复数的概念及计算 【分析】由复数运算和共轭复数定义即可计算求解. 【详解】设，则， 故， 所以，解得，所以. 故选：A 【变式3-3】(25-26高一上·北京·期末)已知复数，则的共轭复数在复平面内对应的点的坐标为(   ) A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】复数的坐标表示、共轭复数的概念及计算、复数的除法运算 【分析】先根据复数的乘除运算计算，然后得到其共轭复数，进而得到其对应的点的坐标. 【详解】因为复数. 所以共轭复数. 所以共轭复数在复平面内对应的点的坐标为. 故选：B. 【变式3-4】(24-25高一下·江苏·月考)已知复数(，为虚数单位)，在复平面上对应的点在虚轴上.在中，复数，且，在复平面上对应的点分别为，，则的面积最大值为(   ) A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】共轭复数的概念及计算、判断复数对应的点所在的象限、三角形面积公式及其应用、复数的坐标表示 【分析】先得到，再根据在复平面上对应的点在虚轴上，由求解，得到各复数在复平面上对应的点分别为，及，然后利用余弦定理及基本不等式可得，再利用三角形面积公式求解. 【详解】∵， ∴，， ∴，(不符合题意舍去)； ∴，，， ∴，， ∴. 在复平面上对应的点分别为，，∴，， 由余弦定理可得，得 ， 因为，即，当且仅当时，此时为等边三角形，等号成立， ∴三角形面积最大值为. 故选：D 【变式3-5】(多选)(24-25高一下·河南驻马店·月考)已知复数，(，，，2，i为虚数单位)，，的共轭复数分别为，，定义运算，记任意复数z的实部为，虚部为，则下列说法正确的有(    )． A．若，则 B．若，在复平面内所对应的向量所成的夹角为锐角，则 C． D． 【答案】ACD 【难度】0.4 【知识点】用定义求向量的数量积、向量夹角的计算、共轭复数的概念及计算、复数的向量表示 【分析】根据复数、运算新定义求参数判断A；由复数的向量表示，及向量数量积的坐标运算判断B；将不等式作等价转化有，应用换元法并化简判断C；结合复数的乘法运算判断D. 【详解】若，则，，解得，故A正确； 设对应的向量为，对应的向量为，，的夹角为， 若， 则，其所成角为钝角，故B错误； ，原选项等价于， 令，，则原式等价于， 整理得，所以原式恒成立，故C正确； ，当且仅当时，等号成立， 由，两边平方， 整理得，故D正确． 故选：ACD 【变式3-6】(23-24高一上·新疆乌鲁木齐·期末)已知复数满足(表示的共轭复数)，则的所有可能值的积为_______________. 【答案】 【难度】0.4 【知识点】复数的相等、复数代数形式的乘法运算、共轭复数的概念及计算 【分析】设，结合题中条件复数相等解得的值，再计算所有可能值的积； 【详解】设，由，得， 整理得， 比较实部、虚部得，即 又知，从而有，进而， 于是，满足条件的复数的积为， 故答案为：. 题型04 复数加减法的几何意义 【典例4-1】(24-25高一下·重庆沙坪坝·期中)已知复数满足，则的最大值为(   ) A． B． C． D．4 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】复数加减法几何意义的运用 【分析】确定表示复数的几何意义，再结合的几何意义求解作答. 【详解】由，得复数对应的点在以为圆心，半径的圆上， 表示复数对应的点到的距离， 点到点的距离， 所以的最大值为. 故选：C. 【典例4-2】(22-23高一下·云南保山·期中)下列命题中，正确的个数为(   ) ①设是坐标原点，向量、对应的复数分别为、，那么向量对应的复数是； ②复数是的根，则； ③若复数是关于的方程的一个根，则； ④已知复数满足，则复数对应的点的轨迹是以为圆心，半径为的圆. A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】求复数的模、复数加减法几何意义的运用、复数范围内方程的根、复数的向量表示 【分析】利用复数的几何意义可判断①④；求出方程的虚根，利用复数的模长公式可判断②；利用韦达定理可判断③. 【详解】对于①，因为，则向量对应的复数是，①错； 对于②，由可得，解得，故，②对； 对于③，由题意可知，关于的方程的两个虚根分别为、， 所以，，解得，故，③对； 对于④，因为， 所以，复数对应的点的轨迹是以为圆心半径为的圆，④错. 故选：B. 【典例4-3】(多选)(23-24高一下·重庆·期中)已知复数的共轭复数记为，对于任意的两个复数，，与下列结论错误的是(    ) A．若复数，则其对应复平面上的点在第二象限 B．若复数满足，则 C． D． 【答案】ABD 【难度】0.85 【知识点】复数的模、复数加减法几何意义、共轭复数的概念及计算、判断复数对应的点所在的象限 【分析】对于A：根据复数的几何意义分析判断；对于B：根据复数的除法和共轭复数的定义分析判断；对于C：根据复数模长的性质分析判断；对于D：举反例说明即可. 【详解】对于选项A：因为复数在复平面上对应的点为，位于第四象限，故A错误； 对于选项B：因为，则，所以，故B错误； 对于选项C：因为，所以，故C正确； 对于选项D：例如，则，则， 即，故D错误； 故选：ABD. 【典例4-4】(24-25高一下·广西柳州·期末)已知复数，，在复平面内对应的点分别为，，，且点，，连接后构成三角形.若复数满足，则在复平面内对应的点为的________.(填“外心”“重心”或“垂心”) 【答案】外心 【难度】0.65 【知识点】求复数的模、复数加减法几何意义的运用、根据向量关系判断三角形的心、复数的向量表示 【分析】设对应点为，根据复数的向量表示及向量减法的几何意义得，即可得结论. 【详解】设对应点为，且， 根据向量减法的几何意义知，即到三角形三个顶点的距离相等， 所以在复平面内对应的点为的外心. 故答案为：外心 【变式4-1】(22-23高一下·河南郑州·月考)复数与分别表示向量与，则表示向量的复数为(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】复数的坐标表示、复数加减法几何意义的运用 【分析】根据及向量的复数表示，运算得到答案. 【详解】复数与分别表示向量与， 因为，所以表示向量的复数为. 故选：D. 【变式4-2】(21-22高一下·全国·课后作业)若向量分别表示复数，则=(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】复数加减法几何意义的运用 【分析】根据复数减法的几何意义求得，再根据模长公式即可求解. 【详解】因为，又向量分别表示复数， 所以表示复数，所以. 故选：B 【变式4-3】(24-25高一下·河北邢台·月考)设复数满足，且，则(    ) A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】求复数的模、复数加减法几何意义的运用 【分析】根据复数加减的几何意义可求. 【详解】设在复平面内对应的向量分别为. 由题意可知，， 由于，则以为邻边的平行四边形为矩形， 由于矩形的对角线相等，故. 故选：C. 【变式4-4】(2023·全国·模拟预测)设是复数且，则的最小值为(    ) A．1 B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】与复数模相关的轨迹(图形)问题、复数加减法几何意义的运用 【分析】根据复数模的几何意义，结合图象，即可求解. 【详解】根据复数模的几何意义可知，表示复平面内以为圆心，1为半径的圆，而表示复数到原点的距离， 由图可知，. 故选：C 【变式4-5】(多选)(24-25高一下·重庆·期末)已知复数满足，则下列结论正确的是(    ) A．在复平面内对应的点可能是 B． C．的实部与虚部之积小于等于3 D．复数，则的最大值为 【答案】ACD 【难度】0.65 【知识点】与复数模相关的轨迹(图形)问题、复数加减法几何意义的运用、共轭复数的概念及计算 【分析】根据复数的几何意义，可知在复平面对应的点为以原点为中心，半径为的圆上，从而判断AB；利用基本不等式判断C；由复数减法的几何意义判断D. 【详解】，则在复平面对应的点为以原点为中心，半径为的圆上， 复平面的点，其模为正确；错误； 令，则有，所以实部与虚部之积，C正确； ，则，D正确. 故选：ACD. 【变式4-6】(23-24高一下·山西长治·期末)已知复数满足，则的取值范围是______． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】求复数的模、与复数模相关的轨迹(图形)问题、复数加减法几何意义的运用 【分析】利用复数的几何意义，将转化为点到圆上的距离问题，进而利用圆心到点距离可得的取值范围. 【详解】表示对应的点是以原点为圆心，半径的圆上的点, 的几何意义表示圆上的点和之间的距离， 于是，的最大值为， 最小值为， 所以的取值范围是. 故答案为：. 一、单选题 1.(24-25高一下·辽宁葫芦岛·期末)若复数满足，则对应的点位于复平面的(    ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】判断复数对应的点所在的象限、复数的除法运算 【分析】由题利用复数的除法运算可求复数，根据复数几何意义即可求解. 【详解】根据题意，，在复平面对应的点为位于第三象限. 故选：C. 2.(24-25高一下·甘肃定西·期末)复数在复平面内对应的点位于(    ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】判断复数对应的点所在的象限、复数代数形式的乘法运算 【分析】先化简复数，进而判断出对应点所在象限. 【详解】，对应点，对应点在第一象限. 故选：A 3.(23-24高一下·四川达州·期末)已知复数，则(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】求复数的模、共轭复数的概念及计算、复数的除法运算 【分析】先对复数进行化简，再求出其共轭复数，最后利用复数模的公式求解． 【详解】，， ，故C正确． 故选：C． 4.(25-26高一下·全国·单元测试)复数(i为虚数单位)的共轭复数在复平面内对应的点在(   ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】复数的除法运算、判断复数对应的点所在的象限、共轭复数的概念及计算 【分析】由复数乘法的规律可得，再得到共轭复数及复平面内对应的点即可判断． 【详解】∵，∴， 则在复平面内对应的点在第二象限． 故选：B． 5.(22-23高一下·江苏常州·期末)已知，，，则(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】复数加减法几何意义的运用 【分析】根据复数加减运算的几何意义运算求解. 【详解】在复平面中，设分别与向量对应， 由题意可得，， 因为， 即，解得，即. 故选：B. 6.(24-25高一下·上海·期末)若复数在复平面上所对应的向量分别是、，则与的大小关系是(   ) A． B． C． D．无法判定 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】数量积的坐标表示、由基本不等式证明不等关系、求复数的模、复数代数形式的乘法运算 【分析】由题可得， ，然后由基本不等式结合题意可判断选项正误. 【详解】， 则 ， 则. 由基本不等式，. 当，且时，等号成立，则. 故选：C 7.(24-25高一下·福建福州·期末)已知复数是方程的一个根，且在复平面内对应的点位于第四象限．复数，若为纯虚数，则为(    ). A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】复数的除法运算、复数范围内方程的根、求复数的模、已知复数的类型求参数 【分析】由求根公式求出，由为纯虚数求出，确定. 【详解】由已知，因为在复平面内对应的点位于第四象限，所以. 所以， 因为为纯虚数，所以，解得，所以，所以. 故选：C. 8.(24-25高一下·山东济宁·月考)设复数，满足，则(    ) A．1 B． C． D．2 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】求复数的模、复数加减法的代数运算 【分析】用参数设出两个复数，根据复数模长的计算公式，用参数表示出所有模长，求出结果. 【详解】设，， 因为，所以， 由可得， 带入解得， 则. 故选：C. 二、多选题 9.(24-25高一下·广东深圳·期中)设复数，则下列命题中正确的是( ) A． B．在复平面上对应的点在第四象限 C．是纯虚数 D．的虚部为 【答案】ABC 【难度】0.85 【知识点】判断复数对应的点所在的象限、复数的除法运算、求复数的模 【分析】根据复数代数形式的除法运算化简，再一一判断即可. 【详解】因为，所以复数的虚部为1，故D错误； 对于A：，故A正确； 对于B：因为，所以在复平面上对应的点为，位于第四象限，故B正确； 对于C：是纯虚数，故C正确. 故选：ABC. 10.(23-24高一下·广东·期末)下列说法中正确的是(    ) A．若复数，则复数在复平面内对应的点位于第一象限 B．已知复数满足，则 C．是关于的方程(为实数)在复数集内的一个根，则实数的值为26 D．若复数满足，则的最小值为4 【答案】BCD 【难度】0.65 【知识点】求复数的模、与复数模相关的轨迹(图形)问题、复数范围内方程的根、复数的除法运算 【分析】对于A，利用复数除法运算及共轭复数的概念求出后，利用复数几何意义判断即可；对于B，求出复数的代数形式，求模即可；对于C，求出另一根，利用韦达定理求解即可；对于D，利用复数的几何意义，转化为求圆外的点到圆上的点的距离的最小值即可. 【详解】对于A：，则， 其在复平面对应的点为，在第四象限，A错误； 对于B：由题意， 所以，B正确； 对于C：因为是关于的方程(为实数)在复数集内的一个根， 则另一个根为，则，解得，C正确； 对于D：由得复数在复平面对应的点的轨迹为以原点为圆心，1为半径的圆， 表示点到点的距离，则最小值为，D正确. 故选：BCD 11.(22-23高一下·广东云浮·月考)已知复数z，，，是z的共轭复数，则下列说法正确的是(    ) A． B．若，则 C． D．若，则的最小值为1 【答案】ACD 【难度】0.4 【知识点】复数代数形式的乘法运算、与复数模相关的轨迹(图形)问题、求复数的模、用两点间的距离公式求函数最值 【分析】结合复数的四则运算，共轭复数的定义及复数模长的公式可判断A；结合特殊值法可判断B；结合复数模长的性质可判断C；结合复数的几何意义可判断D. 【详解】对于A，设，则，故A正确； 对于B，令，满足，故B错误； 对于C，设，，则 ，所以 ，故C正确； 对于D，设，则， 即，表示以为圆心，半径为1的圆， 表示圆上的点到的距离，故的最小值为，故D正确. 故选：ACD 三、填空题 12.(25-26高一下·全国·课后作业)已知，复平面内表示复数的点在虚轴上，则_____________． 【答案】或. 【难度】0.85 【知识点】复数的坐标表示、实轴、虚轴上点对应的复数、根据复数对应坐标的特点求参数 【分析】根据复数的几何意义可得出关于实数的等式，即可得解. 【详解】由复数表示的点的坐标为：， 又该复数对应的点在虚轴上，所以，解得或， 故答案为：或. 13.(22-23高一下·广东佛山·期末)设复数、，满足，，则______． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】复数加减法的代数运算、由复数模求参数、求复数的模、复数的相等 【分析】设，，利用复数的模长公式、复数的运算以及复数相等可得出、以及的值，再利用复数的加法以及复数的模长公式可求得的值. 【详解】设，， 因为，则， 又因为， 所以，，即， 由，可得，故，解得， 由，可得， 所以，，所以，. 故答案为：. 14.(24-25高一下·上海·月考)已知复数，满足且，则对于任意的复数， 的最小值为______． 【答案】 【难度】0.4 【知识点】与复数模相关的轨迹(图形)问题、复数加减法几何意义的运用 【分析】根据题意可得，简化运算，不妨设，利用复数的几何意义转化为，根据加权费马定理求最小值即可. 【详解】设，因为， 所以，， 根据对称性，不妨取， 则，，的几何意义为复平面中到点的距离， ， 如图，将顺时针旋转得到，， 则，所以， 又，所以， 所以. 故答案为：. 四、解答题 15.(23-24高一下·江苏无锡·期中)(1)已知，若为纯虚数，求m的值． (2)已知复数z满足，求z． 【答案】(1)；(2) 【难度】0.94 【知识点】复数代数形式的乘法运算、已知复数的类型求参数、共轭复数的概念及计算 【分析】(1)利用乘法运算并结合纯虚数定义可得； (2)依题意可设，由复数相等解方程可得结果. 【详解】(1)因为为纯虚数， 所以且， 解得； (2)因为，且，因此可设， 则， 由题意可得，所以， 解得，即. 16.(25-26高二上·湖南·开学考试)已知复数． (1)求；(2)求的最小值；(3)若的实部大于，求的取值范围． 【答案】(1)2；(2)1；(3) 【难度】0.85 【知识点】求复数的模、复数代数形式的乘法运算、共轭复数的概念及计算、求复数的实部与虚部 【分析】(1)结合题意求出，再利用共轭复数的定义得到，最后得到即可. (2)利用复数的减法得到，再结合复数的模长公式求解模长，最后利用完全平方式的性质求解最小值即可. (3)利用复数的乘法运算求出，再结合题意建立不等式，求解参数范围即可. 【详解】(1)因为，所以， 解得，则， 故. (2)因为， 所以， 由复数的模长公式得， 而，得到，即， 故当时，原式取得最小值． (3)因为， 所以， 而的实部大于，则，解得， 故的取值范围为． 17.(25-26高一下·全国·单元测试)已知复数，，求： (1)；(2)若，且，求的最大值． 【答案】(1)；(2)2 【难度】0.65 【知识点】求复数的模、与复数模相关的轨迹(图形)问题、复数的除法运算 【分析】(1)使用复数的除法运算法则即可求得，进而由复数的乘法运算即可求的值； (2)由复数减法的几何性质，可确定点的轨迹为，在复平面内对应的点为，由复数减法的几何性质，当最大值，点到的距离最大，结合圆的几何性质，即可求解. 【详解】(1)因为， 所以． (2)设在复平面上的点为， 因为，由复数减法的几何意义可得：在以为圆心，以1为半径的圆上， 即点的轨迹是以为圆心，半径为1的圆，即， 在复平面内对应的点为，在圆上，如图： 若要取的最大值，则动点与定点的距离最大， 所以当对应的点为时，的最大值为． 18.(23-24高一下·山东·期中)复数和满足关系式，其中A为不等于0的复数．证明： (1)；(2)；(3)． 【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3)证明见解析 【难度】0.4 【知识点】复数的相等、求复数的模、共轭复数的概念及计算 【分析】(1)设，利用共轭复数的定义及复数的相关概念计算即可； (2)根据条件式及共轭复数的意义变形得，再结合第一问的结论证明即可； (3)利用第一问与第二问结论证明即可. 【详解】(1)设， 则，， 显然，得证； (2)由已知， 又由(1)知， 所以 ，得证； (3)因为，所以，即有， 所以， 由(2)知， 所以，得证. 【点睛】思路点睛：利用共轭复数的定义及几何意义并注意设问之间的递进关系一一证明即可. 19.(23-24高一下·浙江杭州·期末)对于，记为关于的“差比模”.若取遍，记关于的“差比模”的最大值为，最小值为，若，则称关于的“差比模”是协调的. (1)若，求关于的“差比模”； (2)若，是否存在，使得关于的“差比模”是协调的？若存在，求出的值；若不存在，说明理由； (3)若且，若关于的“差比模”是协调的，求的值. 【答案】(1)；(2)不存在，理由见解析；(3) 【难度】0.4 【知识点】由一元二次不等式的解确定参数、求复数的模、共轭复数的概念及计算、复数的除法运算 【分析】(1)由“差比模”定义代入复数，由复数的代数运算及求模可得； (2)由，利用共轭复数的性质与模的性质可得，利用基本不等式可得可知不存在，使得关于的“差比模”是协调的； (3)设，由平方整理再结合辅助角公式可得，利用三角函数有界性可得关于的不等式，由此可解得，结合韦达定理与题意关于的“差比模”是协调的，化简可求. 【详解】(1)由题意得 ， 故关于的“差比模”为. (2)先证明共轭复数有如下性质：若任意，则. 证明：设， 则， 而， 故. ； ； 故. 综上，共轭复数的性质得证. 记当“差比模”取最大值时的复数为，即. 由已知发现， 由已证明共轭复数的性质与复数模的性质可得 因为， 所以若当时取得，则时取到， 故可知， 由取遍，不恒为常数，则， 故由基本不等式可得， 故不存在，使得关于的“差比模”是协调的. (3)且，设， 则， 平方整理可得： 所以， 即， 平方整理得：， 令，设方程， 则， 故方程有两个不等的实数根，设为，不妨设. 由题意知， ， 则，且， 故方程有两不等的正实数根， 由关于的不等式， 解得， 则，， 由已知关于的“差比模”是协调的，则， 所以， 利用韦达定理，， 则有， 化简可得， 故． 【点睛】结论点睛：有关共轭复数及模的常用性质有： (1)任意，则； (2)任意，则. 第 1 页 共 19 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 3-3 复数的几何表示 讲义 教学目标 理解复数的几何意义，掌握复数的模、共轭复数的计算，进一步熟悉复数加减法的几何意义，能解决复数有关的范围问题. 教学重点 复数的模、共轭复数、复数的几何意义. 教学难点 复数的模，复数加减法的几何意义. 知识点01 复数的几何意义 1.复平面：用来表示复数的直角坐标系，其中轴叫做实轴，轴叫做虚轴. 2.复数与复平面上的点一一对应， 复数对应平面向量； 复平面内实轴上的点表示实数，除原点外虚轴上的点表示虚数，各象限内的点都表示复数． 【即学即练1-1】(23-24高一下·吉林四平·期末)已知复数满足，则复数在复平面内对应的点位于(   ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【即学即练1-2】(24-25高一下·四川成都·期末)若复数 ，则下列说法正确的是(    ) A．当或时，z为实数 B．若z为纯虚数，则或 C．若复数z对应的点位于第二象限，则 D．若复数z是方程的解，则 知识点02 复数的模 复数的模表示复平面内的点到原点的距离． 复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模. 【即学即练2-1】(25-26高一下·全国·课堂例题)(   ) A．1 B．2 C．3 D．4 【即学即练2-2】(多选)(24-25高一下·安徽阜阳·期末)已知为复数，为虚数单位，则下列结论正确的是(    ) A．若，则 B． C．若，则为纯虚数 D．若，则的最小值为1 知识点03 共轭复数 共轭复数：复数z＝a＋bi(a，b∈R)的共轭复数＝a－bi； 复数z与表示的点关于实轴对称。 【即学即练3-1】(24-25高一下·甘肃临夏·期末)若，则复平面内复数对应的点位于(   ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【即学即练3-2】(多选)(25-26高一下·全国·单元测试)设有下面四个命题，其中正确的有(   ) A．若，则 B．若虚数是方程的根，则也是方程的根 C．已知复数，，则的充要条件是 D．若复数，则， 题型01 复数的几何意义 【典例1-1】(24-25高一下·陕西·期末)设，那么复数所在的象限为(    ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【典例1-2】(24-25高一下·辽宁·期末)已知复数在复平面内对应的向量为(为坐标原点)，在复平面内对应的向量为，则的最大值为(    ) A． B． C． D．2 【典例1-3】(多选)(24-25高一下·甘肃平凉·月考)已知复数在复平面上对应的点的坐标为，则下列结论错误的是(    ) A．是实数 B．是纯虚数 C．是实数 D．是纯虚数 【典例1-4】(25-26高一下·全国·课后作业)在复平面内，O是原点，已知复数，，，它们所对应的点分别是A，B，C．若，则的值是_____________． 【变式1-1】(25-26高一下·全国·课堂例题)复数，，则在复平面内表示的点在(   ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式1-2】(25-26高一下·全国·课堂例题)复数和在复平面内的对应点关于(   ) A．实轴对称 B．一、三象限的角平分线对称 C．虚轴对称 D．二、四象限的角平分线对称 【变式1-3】(24-25高一下·海南海口·月考)已知i是虚数单位，则复数在复平面内对应的点位于(    ) A．坐标轴上 B．第一象限 C．第二象限 D．第三象限 【变式1-4】(24-25高一下·广东东莞·月考)如图，在复平面内，复数，对应的向量分别是，，则复数对应的点位于(   ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式1-5】(多选)(24-25高一下·浙江台州·期末)复数，，在复平面内对应的点分别为，其中O为坐标原点，则下列选项正确的是(   ) A． B． C． D．若，则 【变式1-6】(25-26高一下·全国·期中)如图，在复平面内，复数和对应的点分别是和，则____________． 题型02 复数的模 【典例2-1】(25-26高一下·全国·单元测试)若，其中，，则(   ) A． B． C． D． 【典例2-2】(24-25高一下·天津·月考)已知复数的实部为-1，则下列说法正确的是(   ) A．复数z的虚部为5 B．复数z的共轭复数 C． D．z在复平面内对应的点位于第四象限 【典例2-3】(多选)(24-25高一下·浙江杭州·期中)若复数，则(   )． A． B．z在复平面内对应的点位于第三象限 C． D．复数满足，则的最大值为 【典例2-4】(24-25高一下·甘肃定西·期末)已知是虚数单位，是关于的方程(其中)的一个根，则=__________. 【变式2-1】(25-26高一下·全国·课后作业)使成立的x的取值范围是(   ) A． B． C． D． 【变式2-2】(24-25高一下·江西南昌·期末)设复数z满足，则( ) A． B．2 C． D．1 【变式2-3】(24-25高一下·山东青岛·期末)在复平面内，复数，，，对应的点，，，在同一个圆周上，则实数(    )． A． B． C．或2 D．或2 【变式2-4】(24-25高一下·上海宝山·期末)复数、分别对应复平面内的点、，若，则(其中为坐标原点)，是(    ) A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．等腰直角三角形 D．有一个锐角为的直角三角形 【变式2-5】(多选)(23-24高一下·福建泉州·期中)在复数域内，大小成为了没有意义的量，那么我们能否赋予它一个定义呢，在实数域内，我们通常用绝对值来描述大小，而复数域中也相应的有复数的模长来代替绝对值，于是，我们只需定义复数的正负即可，我们规定复数的“长度”即为模长，规定在复平面轴上方的复数为正，在轴下方的复数为负，在轴上的复数即为实数大小.“大小”用符号+“长度”表示，我们用来表示复数的“大小”，例如：，则下列说法正确的是(    ) A．在复平面内表示一个圆 B．若，则方程无解 C．若为虚数，且，则 D．复数满足，则的取值范围为 【变式2-6】(25-26高一下·全国·课后作业)已知复数，则复数的模的最大值为_____________，最小值为_____________． 题型03 共轭复数 【典例3-1】(23-24高一下·福建厦门·月考)已知复数z满足(i是虚数单位)，则(   ) A．15 B．16 C．17 D．25 【典例3-2】(25-26高一下·全国·单元测试)设，是复数，则下列命题中的真命题有(   ) A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【典例3-3】(多选)(25-26高一下·全国·单元测试)设，为复数，则下列结论中正确的是(   ) A．若，则 B． C．是纯虚数或零 D． 【典例3-4】(24-25高一下·北京朝阳·月考)已知复数满足，其中i为虚数单位，则复数的共轭复数的虚部为____. 【变式3-1】(25-26高一下·全国·课后作业)已知i为虚数单位，z为复数，下面叙述正确的是(   ) A．为纯虚数 B．任何数的偶数次幂均为非负数 C．的共轭复数为 D．的虚部为3 【变式3-2】(25-26高一下·全国·单元测试)若复数满足，其中i为虚数单位，则(   ) A． B． C． D． 【变式3-3】(25-26高一上·北京·期末)已知复数，则的共轭复数在复平面内对应的点的坐标为(   ) A． B． C． D． 【变式3-4】(24-25高一下·江苏·月考)已知复数(，为虚数单位)，在复平面上对应的点在虚轴上.在中，复数，且，在复平面上对应的点分别为，，则的面积最大值为(   ) A． B． C． D． 【变式3-5】(多选)(24-25高一下·河南驻马店·月考)已知复数，(，，，2，i为虚数单位)，，的共轭复数分别为，，定义运算，记任意复数z的实部为，虚部为，则下列说法正确的有(    )． A．若，则 B．若，在复平面内所对应的向量所成的夹角为锐角，则 C． D． 【变式3-6】(23-24高一上·新疆乌鲁木齐·期末)已知复数满足(表示的共轭复数)，则的所有可能值的积为_______________. 题型04 复数加减法的几何意义 【典例4-1】(24-25高一下·重庆沙坪坝·期中)已知复数满足，则的最大值为(   ) A． B． C． D．4 【典例4-2】(22-23高一下·云南保山·期中)下列命题中，正确的个数为(   ) ①设是坐标原点，向量、对应的复数分别为、，那么向量对应的复数是； ②复数是的根，则； ③若复数是关于的方程的一个根，则； ④已知复数满足，则复数对应的点的轨迹是以为圆心，半径为的圆. A． B． C． D． 【典例4-3】(多选)(23-24高一下·重庆·期中)已知复数的共轭复数记为，对于任意的两个复数，，与下列结论错误的是(    ) A．若复数，则其对应复平面上的点在第二象限 B．若复数满足，则 C． D． 【典例4-4】(24-25高一下·广西柳州·期末)已知复数，，在复平面内对应的点分别为，，，且点，，连接后构成三角形.若复数满足，则在复平面内对应的点为的________.(填“外心”“重心”或“垂心”) 【变式4-1】(22-23高一下·河南郑州·月考)复数与分别表示向量与，则表示向量的复数为(    ) A． B． C． D． 【变式4-2】(21-22高一下·全国·课后作业)若向量分别表示复数，则=(    ) A． B． C． D． 【变式4-3】(24-25高一下·河北邢台·月考)设复数满足，且，则(    ) A．3 B．4 C．5 D．6 【变式4-4】(2023·全国·模拟预测)设是复数且，则的最小值为(    ) A．1 B． C． D． 【变式4-5】(多选)(24-25高一下·重庆·期末)已知复数满足，则下列结论正确的是(    ) A．在复平面内对应的点可能是 B． C．的实部与虚部之积小于等于3 D．复数，则的最大值为 【变式4-6】(23-24高一下·山西长治·期末)已知复数满足，则的取值范围是______． 一、单选题 1.(24-25高一下·辽宁葫芦岛·期末)若复数满足，则对应的点位于复平面的(    ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2.(24-25高一下·甘肃定西·期末)复数在复平面内对应的点位于(    ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3.(23-24高一下·四川达州·期末)已知复数，则(    ) A． B． C． D． 4.(25-26高一下·全国·单元测试)复数(i为虚数单位)的共轭复数在复平面内对应的点在(   ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 5.(22-23高一下·江苏常州·期末)已知，，，则(    ) A． B． C． D． 6.(24-25高一下·上海·期末)若复数在复平面上所对应的向量分别是、，则与的大小关系是(   ) A． B． C． D．无法判定 7.(24-25高一下·福建福州·期末)已知复数是方程的一个根，且在复平面内对应的点位于第四象限．复数，若为纯虚数，则为(    ). A． B． C． D． 8.(24-25高一下·山东济宁·月考)设复数，满足，则(    ) A．1 B． C． D．2 二、多选题 9.(24-25高一下·广东深圳·期中)设复数，则下列命题中正确的是( ) A． B．在复平面上对应的点在第四象限 C．是纯虚数 D．的虚部为 10.(23-24高一下·广东·期末)下列说法中正确的是(    ) A．若复数，则复数在复平面内对应的点位于第一象限 B．已知复数满足，则 C．是关于的方程(为实数)在复数集内的一个根，则实数的值为26 D．若复数满足，则的最小值为4 11.(22-23高一下·广东云浮·月考)已知复数z，，，是z的共轭复数，则下列说法正确的是(    ) A． B．若，则 C． D．若，则的最小值为1 三、填空题 12.(25-26高一下·全国·课后作业)已知，复平面内表示复数的点在虚轴上，则_____________． 13.(22-23高一下·广东佛山·期末)设复数、，满足，，则______． 14.(24-25高一下·上海·月考)已知复数，满足且，则对于任意的复数， 的最小值为______． 四、解答题 15.(23-24高一下·江苏无锡·期中)(1)已知，若为纯虚数，求m的值． (2)已知复数z满足，求z． 16.(25-26高二上·湖南·开学考试)已知复数． (1)求；(2)求的最小值；(3)若的实部大于，求的取值范围． 17.(25-26高一下·全国·单元测试)已知复数，，求： (1)；(2)若，且，求的最大值． 18.(23-24高一下·山东·期中)复数和满足关系式，其中A为不等于0的复数．证明： (1)；(2)；(3)． 19.(23-24高一下·浙江杭州·期末)对于，记为关于的“差比模”.若取遍，记关于的“差比模”的最大值为，最小值为，若，则称关于的“差比模”是协调的. (1)若，求关于的“差比模”； (2)若，是否存在，使得关于的“差比模”是协调的？若存在，求出的值；若不存在，说明理由； (3)若且，若关于的“差比模”是协调的，求的值. 第 1 页 共 19 页 学科网（北京）股份有限公司 $丽学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 3-3复数的几何表示讲义 内容概览 教学目标、教学重难点 知识点01复数的几何意义 题型01复数的几何意义 3-3复数的几何表示 题型02复数的模 题型03共轭复数 知识点02复数的模 题型04复数幼加减法的几何意义 知识点03共轭复数 教学目标、教学重难点 理解复数的几何意义，掌握复数的模、共轭复数的计算，进一步熟悉复数加减法的几何 教学目标 意义，能解决复数有关的范围问题 教学重点 复数的模、共轭复数、复数的几何意义， 教学难点 复数的模，复数加减法的几何意义， 知识清单 知识点01复数的几何意义 1.复平面：用来表示复数的直角坐标系，其中x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴 2.复数==a+bi(a,beR)与复平面上的点Z(a,b)一一对应， 复数==a+bi(a,beR)对应平面向量OZ: 复平面内实轴上的点表示实数，除原点外虚轴上的点表示虚数，各象限内的点都表示复数， 置即学即练1-1】(23-24高一下.吉林四平.期末)已知复数z满足(2-)z=i,则复数z在复平面内对应的点位 于() A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】判断复数对应的点所在的象限、复数的除法运算 【分析】利用复数的除法运算求出z可得答案 【详解】因为2-02=1所以z=六-石8- 则复数z在复平面内对应的点为() 复数z在复平面内对应的点位于第二象限 故选：B 【即学即练1-2】(24-25高一下四川成都期末)若复数z=m2-2m-3+(m2-1)i(m∈R),则下列说法 第1页共30页 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 正确的是() A.当m=1或m=-1时，z为实数 B.若z为纯虚数，则m=-1或m=3 C.若复数z对应的点位于第二象限，则1<m<3 D.若复数z是方程x2+6x+18=0的解，则m=2 【答案】ACD 【难度】0.85 【知识点】根据复数对应坐标的特点求参数、复数范围内方程的根、已知复数的类型求参数、复数的分类 及辨析 【分析】根据复数的类型、几何意义，复数方程的解，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择 【详解】对于A,当m=1时，z=-4:当m=-1时，z=0, 故m=1或m=-1时，z均为实数，A正确； 对于B,若z为纯虚数，观mm2”100,解得m=3,故B错误： 对于C,复数2对应的点位于第二象限，则m2-2m,-3<0,解得1<m<3,故c正确： (m2-1>0 对于D,由x2+6x+18=0,则(x+3)2=-9=9i2, 则x+3=士3i,即x=-3士3i 因为复数z是方程x2+6x+18=0的解， 所以m2-2m,333,解得m=2,故D正确。 (m2-1=±3 故选：ACD. 知识点02复数的模 复数二=a+bi(a,b∈R)的模|表示复平面内的点=(a,b)到原点的距离. 复数z=a十bi(a,b∈R)的模|z=la+bi=√a2+b2 【即学即练2-1】(25-26高一下全国课堂例题}-1=() A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】求复数的模 【分析】运用复数模的定义进行求解即可. 【详解】传-=√+(9=1 故选：A 【即学即练2-2】（多选）24-25高一下·安徽阜阳期末)已知z为复数，1为虚数单位，则下列结论正确的是() A.若2=石则=9 B.lz2=z·z C.若z+1|=|z-1,则z为纯虚数 D.若1z=1,则z-2的最小值为1 第2页共30页 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【答案】ABD 【难度】0.65 【知识点】求复数的模、与复数模相关的轨迹（图形）问题、复数代数形式的乘法运算、共轭复数的概念及计 算 【分析】选项A,根据复数除法运算，求得2=+1，再根据模长运算即可求解：选项B,令2=a+1, 分别计算|z2和z·z,即可判断；选项c,设z=a+bi,由lz+1=|z-1得(a+1)2+b2=(a-1)2+b2, 可解得a=0,但要注意b的取值；选项D,根据复数模长的几何意义即可判断. 【详解】对于A根搭复数除法，z=六一0一告-号-+ 则z=、 ③+- ,所以A正确： 对于B,令z=a+bi,则z=a-bi, 所以z=a2+b2,z·z=(a+bi(a-bi)=a2+b2,所以z2=z·z,故B正确： 对于C,设z=a+bi,则z+1=a+bi+1=(a+1)+bi,z-1=a+bi-1=(a-1)+bi, 所以2+1=J(a+1)2+b2,l2-1=J(a-1)2+b2, 因为lz+1=z-1,即(a+1)2+b2=(a-1)2+b2,解得a=0,b∈R, 所以当b=0,z=0,不是纯虚数，故C错误： 对于D,当|z=1,复数z对应的点在单位圆上，即a2+b2=1, |z-2表示复数z对应的点到点(20)的距离， 最小值为圆心到点(2,0)的距离减去半径，即最小值为2-1=1，故D正确， 故选：ABD. 知识点03共轭复数 共轭复数：复数z=a十bi(a,b∈R)的共轭复数z=a一bi; 复数z与豆表示的点关于实轴对称。 【即学即练3-1】(24-25高一下.甘肃临夏·期末)若z=-2+5i,则复平面内复数z对应的点位于() A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】共轭复数的概念及计算、判断复数对应的点所在的象限 【分析】先求得复数z=-2+5i的共轭复数，再由复数的几何意义确定对应点所在象限即可. 【详解】由复数z=-2+5i可得z=-2-5i, 复数z对应的点的坐标为(-2，-5)，在第三象限 故选：C 【即学即练3-2】（多选）25-26高一下·全国.单元测试)设有下面四个命题，其中正确的有() A.若z∈C,则z·z∈R B.若虚数a+bi(a∈R,b∈R)是方程x3+x2+x+1=0的根，则a-bi也是方程的根 第3页共30页 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 C.已知复数21，z2,则z1=2Z2的充要条件是2122∈R D.若复数z1>z2,则z1,22∈R 【答案】ABD 【难度】0.65 【知识点】复数范围内方程的根、共轭复数的概念及计算、复数的相等 【分析】根据共轭复数的乘法的运算结果判断A的真假；解方程可判断B的真假：利用特例说明C错误： 根据虚数不能比较大小判断D的真假 【详解】对于A,若z∈C,设z=a+bi(a,b∈R),则z·z=a2+b2∈R,所以A是真命题： 对于B,由x3+x2+x+1=0→x2(x+1)+x+1=0→(x+1)(x2+1)=0,所以x=-1或x2+1=0. 由x2+1=0→x=i或x=-i 所以若虚数a+bi(a=0,b=1)是方程的根，则a-bi也一定是方程的一个根，所以B是真命题： 对于C,例如z1=i,z2=-i,有z122=1∈R,但z1≠z2,所以C是假命题； 对于D,若z1>z2,因为虚数不能比较大小，所以z1,z2必为实数，所以D是真命题. 故选：ABD 题型精讲 题型01复数的几何意义 【典例1-1】(24-25高一下-陕西期末)设z=2 14 ,那么复数z所在的象限为) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】判断复数对应的点所在的象限、复数的除法运算 【分析】根据复数除法运算化简，结合复数的几何意义可得」 【详解1因为g=品-名==， 1+i(1+0(1-) 2 所以复数z在复平面内对应点为（经，一引 ,位于第四象限。 故选：D 【典例1-2】(24-25高一下辽宁.期末)已知复数z1=2+isim2θ在复平面内对应的向量为0Z1(0为坐标原点)， z2=sin6-cos6+i在复平面内对应的向量为0Z2,则0Z·0Z2的最大值为) A.2W2-1 B.V2+1 C.3V2-2 D.2 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】复数的向量表示、数量积的坐标表示、二倍角的正弦公式、sinatcosa和sina-cosal的关系 【分析】根据给定条件，求出OZ,OZ2的坐标，利用数量积的坐标式，结合二倍角的正弦公式及si0cos8 与sin6一cos8的关系，换元后化成二次函数即可求出最大值 【详解】依题意，0Z1=(2,sin28),0Z2=(sin6-cos0,1),则0Z1·0Z2=2(sin6-cos+sin28, 第4页共30页 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 令sin6-cos6=t,则t=V2sin(6-)∈[-V2,V2],sin26=2sin8cos9=1-t, 因此0Z·0Z2=2t+1-t2=-t-1)2+2,则当t=1时，0Z0Z2取得最大值为2， 故0Z·0Z2的最大值为2. 故选：D 【典例1-3】（多选)24-25高一下.甘肃平凉月考)已知复数z在复平面上对应的点的坐标为(-1,1)，则下列结 论错误的是() A.z+1是实数 B.z+1是纯虚数C.z+i是实数 D.z+i是纯虚数 【答案】ACD 【难度】0.85 【知识点】复数的分类及辨析、复数加减法的代数运算、根据复数的坐标写出对应的复数 【分析】根据复数的几何意义确定复数z,再根据复数运算与复数的基本概念逐项判断即可. 【详解】，复数z在复平面上对应的点的坐标为(-1,1)： .复数z=-1+1, ,z+1=-1+i+1=i是纯虚数，故A项不正确，B项正确： ,z+i=-1+i+i=-1+2i不是实数，也不是纯虚数，故C,D项都不正确， 故选：ACD 【典例1-4(25-26高一下.全国课后作业)在复平面内，0是原点，己知复数z1=-1+2i,z2=1-i,23=3- 2i,它们所对应的点分别是A,B,C.若OC=xOA+yOB(x,y∈R),则x+y的值是 【答案】5 【难度】0.65 【知识点】复数的坐标表示、利用平面向量基本定理求参数 【分析】根据向量线性运算的坐标表示和复数对应的向量进行计算即可. 【详解】由已知，得0A=(-1,2),0B=(1,-1),0C=(3,-2), 所以x0A+y0B=x(-1,2)+y(1,-1)=(-x+y,2x-y). 由c=0M+o.可22y二2·解间化三 y=4 ,故x+y=5. 故答案为：5 【变式1-1】(25-26高一下.全国课堂例题)复数z1=3+i,z2=i2+i,则z1+z2在复平面内表示的点在() A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】在各象限内点对应复数的特征、复数加减法的代数运算、判断复数对应的点所在的象限 【分析】计算出复数的表达式，即可求出在复平面内所表示的点的位置 【详解】由题意得z1+z2=(3+i)+(i2+)=(3+)+(-1+)=2+2i,对应的点在第一象限. 故选：A 第5页共30页 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【变式1-2】(25-26高一下.全国课堂例题)复数z1=1+V3i和z2=1-√3i在复平面内的对应点关于() A.实轴对称 B.一、三象限的角平分线对称C.虚轴对称 D.二、四象限的角平分线对称 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】复数的坐标表示 【分析】确定复数对应点的坐标，即可判断 【详解】由复数的性质得z1=1+V3i对应的点为(1，√3，z2=1-V3i对应的点为(1，-V3, 易知(1，V3与(1，-V3两点在复平面内关于实轴对称. 故选：A. 【变式13】(24-25高一下海南海口月考)已知1是虚数单位，则复数z=在复平面内对应的点位于() A.坐标轴上 B.第一象限 C.第二象限 D.第三象限 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】判断复数对应的点所在的象限、复数的除法运算 【分析】利用两个复数代数形式的乘除法法则化简复数为z=一1+i,由此可得它对应点所在的象限. 【详解】z=二=10=4=一1+i,故它对应点在第二象限。 -1 -1 故选：C 【变式1-41(24-25高一下广东东莞月考)如图，在复平面内，复数z1,z2对应的向量分别是0A,0B,则复 数z1·22对应的点位于() 3 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】复数代数形式的乘法运算、复数的坐标表示 【分析】利用复数的几何意义求出z1,22,然后利用复数的乘法法则求出z1·22,最后利用复数的几何意义 求解即可。 【详解】由题意0A=(2,-1),0B=(1,1).z1=2-i,z2=1+i. 复数z1·z2=(2-)(1+)=3+所对应的点(3,1)位于第一象限. 故选：A 【变式1-5】（多选）(24-25高一下·浙江台州期末)复数21,22,21+z2在复平面内对应的点分别为P,Q,S,其 第6页共30页 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 中O为坐标原点，则下列选项正确的是() A.OS=OP+00 B.lz1+z2l≤lz1l+lz2l C.Iz1Z21=Izllz2l D.若0P100,则z122=0 【答案】ABC 【难度】0.65 【知识点】求复数的模、复数代数形式的乘法运算、根据复数的坐标写出对应的复数、复数的向量表示 【分析】设出对应复数，利用复数的几何意义求出复数所对应的向量的坐标，再代入运算判断A,利用复数 三角不等式判断B,利用复数的乘法公式结合模长公式判断C,举反例判断D即可. 【详解】设z1=a+bi,22=c+di,z1+22=a+c+(b+d)i, 对于A,由复数的几何意义得OP=(a,b),O0=(c,d), O=(a+c,b+d,满足O=0P+O0,故A正确： 对于B,由复数三角不等式得引z1+22≤|21+|22， 当且仅当z1,Z2同向共线时取等，故B正确： 对于C,易得z122=(a+bi(c+d=ac+bci+adi+bdi=ac-bd+(bc+ad)i, 由模长公式得|z1z2l=√(ac-bd)2+bc+ad) va2c2-2acbd b2d2 a2d2 2acbd b2c2 va2c2 +b2d2+a2d2 b2c2, 而lz1llz2l=Va2+b×Vc2+d2=√a2c2+b2d2+a2d2+b2c2, 可得|z1z2z=z1z2,故C正确： 对于D,令0P=(1,0),00=(0,1),则z1=1,z2=i, 此时满足0P10Q,但不满足z1z2=0,故D错误。 故选：ABC 【变式1-6】(25-26高一下·全国·期中)如图，在复平面内，复数z1和z2对应的点分别是A和B,则 2-1 【答案】- 【难度】0.65 【知识点】复数的除法运算、根据复数的坐标写出对应的复数 【分析】根据题意，得到z1=-2-1,z2=1,结合复数乘法的运算法则，即可求解。 【详解】由题意得，复数一2-1=i则号=一六20-器=- 故答案为：- 第7页共30页 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 题型02复数的模 【典例2-1】(25-26高一下.全国·单元测试)若(1+2ai)i=1-bi,其中a,b∈R,则a+bi=() A月 B.V5 c.9 0. 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】复数的相等、求复数的模、复数代数形式的乘法运算 【分析】由复数的四则运算求出α，b的值，再由模的概念求解即可. 【详解】因为(1+2ai)i=1-bi, 所以-2a+i=1-bi,则a=-之b=-1, a+创=子=受 故选：C 【典例2-2】(24-25高一下·天津.月考)已知复数z=(a-)(3+2)(a∈R)的实部为-1，则下列说法正确的是 () A.复数z的虚部为5 B.复数z的共轭复数z=1-5i C.lzl=√26 D.z在复平面内对应的点位于第四象限 【答案】c 【难度】0.65 【知识点】求复数的模、复数代数形式的乘法运算、共轭复数的概念及计算、判断复数对应的点所在的象 限 【分析】首先展开复数的乘积，利用实部为-1求出α的值，再代入计算虚部、模、共轭复数和对应点的象 限，逐一验证选项即可 【详解】由z=(a-0(3+2i)=(3a+2)+(2a-3)i的实部为-1可得，3a+2=-1, 解得a=-1,则z=-1-51 复数z=-1-5i的虚部为-5，故A错误： 复数z=-1-5i的共轭复数z=-1+5i,故B错误： 2=(-1)2+(-5)2=V26,故c正确： z在复平面内对应的点为(-1，-5)，在第三象限，故D错误 故选：C 【典例231（多选）2425高一下浙江杭州期中)若复数2=，则( A.z=4-i B.z在复平面内对应的点位于第三象限 C.z=v17 D.复数ω满足|w=1,则w-z的最大值为V17+1 【答案】ACD 【难度】0.85 【知识点】求复数的模、与复数模相关的轨迹（图形）问题、复数的除法运算、判断复数对应的点所在的象限 第8页共30页 品学科网·上好课 www zxx k com 上好每一堂课 【分析】根据复数除法运算化简，结合复数的几何意义和模长公式可判断ABC:利用复数的几何意义可判断 D 【详解】对A,2=3=i-3-50+0=331-1-=4-,正确； 1-1(1-0(1+i) 2 对B,z=4-i对应复平面内的点为(4，-1)，位于第四象限，错误： 对C,由复数模长公式得2=√4+(-1)2=V17,正确： 对D,设w=x+yi,则ω-z=x-4+y+1)i, 又|w=1,所以x2+y2=1,所以w对应复平面上的点在圆心为原点的单位圆上， 又|w-z= x-④2+0y+1)表示点(x,y)和(4-1)之间的距离， 所以，w-z的最大值等于原点和(4，-1)之间的距离加1， 即ω-2mx=√4+(-1)2+1=7+1，正确. 故选：ACD 【典例2-41(24-25高一下.甘肃定西期末)已知i是虚数单位，2+i是关于x的方程x2+ax+b=0(其中a,b∈ R)的一个根，则a+bi= 【答案】√41 【难度】0.65 【知识点】复数的相等、求复数的模、复数范围内方程的根 【分析】根据题意，得到3+2a+b)+(a+4)i=0,列出方程组，求得a=一4，b=5,结合复数模的计算 公式，即可求解， 【详解】由2+i是关于x的方程x2+ax+b=0的一个根， 可得(2+i)2+a(2+i)+b=0,整理得(3+2a+b)+(a+4)i=0, 所以t。0,解得a=46=5,所以a+i=4+5列 则|a+bi=√(-4)2+52=√4 【变式21】(25-26高一下.全国课后作业)使lgx-41≥3+4成立的x的取值范围是() A.B,8 B.(0,1]U[8,+o) C.(0,U[8+o)D.(0,1)U8,+∞) 【答案】c 【难度】0.65 【知识点】求复数的模、由对数函数的单调性解不等式 【分析】根据复数模的公式，列不等式求出实数x的取值范围 【详解】邮g-4到≥3+4，得(log)+4≥32+， 即ogx≥9 gx≤-3或ogx≥3，解得x≥8或0<x≤看 故选：C 第9页共30页 品学科网·上好课 www zxx k co m 上好每一堂课 【变式2-2】(24-25高一下江西南昌期末)设复数z满足z=(1+)i,则z=() A.v2 B.2 C.5 D.1 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】求复数的模、复数代数形式的乘法运算 【分析】根据复数乘法化简，再根据复数模的定义求解， 【详解】因为z=(1+)i=i+i2=-1+i,所以z=】 (-1)2+12=√2， 故选：A 【变式2-31(24-25高一下山东青岛期末)在复平面内，复数1+2i,√2+V3i,V3-V2i,Q+i对应的点Z1, Z2,Z3,Z4在同一个圆周上，则实数a=() A.-2 B.-1 C.-1或2 D.-2或2 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】求复数的模、与复数模相关的轨迹（图形）问题 【分析】由题意得点Z1,Z2,Z3,Z4在以原点为圆心、半径为V5的圆上，进一步列方程即可求解。 【详解】在复平面内与题中所给四个复数对应的点依次为Z1(1,2),Z2(W2,√3)，Z3(W5,-√2)，Z4a,1), 得到对应的以原点为始点的向量依次为0Z1,0Z2,0Z3,0Z4 则071=(1,2)，0z2=(W2,3),073=(3-√2,0Z4=(a,1), 可得oZ=√12+2z=√5，同理可得0Z=V5,0Z=√5， 因为复数1+2i,√2+V3i,3-√2i,a+i对应的点Z1,Z2,Z3,Z4在同一个圆周上， 所以这些点都在以原点为圆心、半径为√的圆上， 所以a2+1=5,解得a=±2. 【变式2-4】(24-25高一下.上海宝山期末)复数a、B分别对应复平面内的点P、Q,若a2-2aB+2β2=0， 则△P0Q(其中0为坐标原点)，是() A.锐角三角形B.钝角三角形 C.等腰直角三角形D.有一个锐角为60的直角三角形 【答案】C 【难度】0.4 【知识点】求复数的模、与复数模相关的轨迹（图形）问题 【分析】本题考查复数运算与复平面几何意义，通过对等式变形分析复数关系，判断三角形形状， 【详解】依题意，a2-2aB+2β2=0，若a=0,则B=0(反之亦成立)， 则P,Q与原点重合，与已知P,O,Q能组成三角形矛盾，所以a≠0，B≠0. 由Q2-2B+2p2=0,两边除以B2B≠01，设2=台则方程变为：2-2z+2=0,解得z=2生-1士i 2 由z=1±i,得a=(1±i)B;所以川a=|1±ilBl=V2lBl, a-B=±iB,故|a-Bl=I±I=ll 第10页共30页丽学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 3-3复数的几何表示讲义 内容概览 教学目标、教学重难点 知识点01复数的几何意义 题型01复数的几何意义 3-3复数的几何表示 题型02复数的模 题型03共轭复数 知识点02复数的模 题型04复数幼加减法的几何意义 知识点03共轭复数 教学目标、教学重难点 理解复数的几何意义，掌握复数的模、共轭复数的计算，进一步熟悉复数加减法的几何 教学目标 意义，能解决复数有关的范围问题 教学重点 复数的模、共轭复数、复数的几何意义， 教学难点 复数的模，复数加减法的几何意义 知识清单 知识点01复数的几何意义 1.复平面：用来表示复数的直角坐标系，其中x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴 2.复数==a+bi(a,beR)与复平面上的点Z(a,b)一一对应， 复数==a+bi(a,beR)对应平面向量OZ; 复平面内实轴上的点表示实数，除原点外虚轴上的点表示虚数，各象限内的点都表示复数， 【即学即练1-1】(23-24高一下·吉林四平期末)已知复数z满足(2-)z=i,则复数z在复平面内对应的点位 于() A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【即学即练1-2】(24-25高一下四川成都期末)若复数z=m2-2m-3+(m2-1)i(m∈R),则下列说法 正确的是() A.当m=1或m=-1时，z为实数 B.若z为纯虚数，则m=-1或m=3 C.若复数z对应的点位于第二象限，则1<m<3 D.若复数z是方程x2+6x+18=0的解，则m=2 知识点02复数的模 复数==a+b(a,b∈R)的模|=表示复平面内的点=(a,b)到原点的距离. 第1页共10页 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 复数z=a+bi(a,b∈R)的模|z=la+bi=Va2+b 【即学即练21(2526高一下全国课堂例题)--() A.1 B.2 C.3 D.4 【即学即练2-2】（多选）24-25高一下·安徽阜阳·期末)已知z为复数，1为虚数单位，则下列结论正确的是() A.若2=六则=写 B.lz2=z·z C.若引z+1川=|z-1,则z为纯虚数 D.若z=1,则z-2的最小值为1 知识点03共轭复数 共轭复数：复数z=a十bi(a,b∈R)的共轭复数z=a一bi: 复数z与五表示的点关于实轴对称。 【即学即练3-1】(24-25高一下·甘肃临夏期末)若z=-2+5i,则复平面内复数z对应的点位于() A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【即学即练3-2】（多选）25-26高一下…全国.单元测试)设有下面四个命题，其中正确的有() A.若z∈C,则z·z∈R B.若虚数a+bi(a∈R,b∈R)是方程x3+x2+x+1=0的根，则a-bi也是方程的根 C.己知复数z1,Z2,则z1=Z2的充要条件是z1Z2∈R D.若复数z1>Z2,则z1,Z2∈R 题型精讲 题型01复数的几何意义 【典例1-1】(24-25高一下陕西期末)设2= ,那么复数z所在的象限为) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【典例1-2】(24-25高一下.辽宁·期末)已知复数z1=2+isn2θ在复平面内对应的向量为0Z1(0为坐标原点)， z2=sin6-cos6+i在复平面内对应的向量为0Z2,则0Z0Z2的最大值为) A.2W2-1 B.V2+1 C.3W2-2 D.2 【典例1-3】（多选）(24-25高一下.甘肃平凉月考)已知复数z在复平面上对应的点的坐标为(-1,1)，则下列结 论错误的是() A.z+1是实数 B.z+1是纯虚数C.z+i是实数 D.z+i是纯虚数 《典例1-4(25-26高一下…全国课后作业)在复平面内，0是原点，已知复数z1=-1+2i,z2=1-i,23=3- 第2页共10页 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 2i,它们所对应的点分别是A,B,C.若OC=xOA+yOB(x,y∈R),则x+y的值是 【变式1-1】(25-26高一下·全国课堂例题)复数z1=3+i,z2=2+i,则z1+z2在复平面内表示的点在() A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 凰变式1-2】(25-26高一下·全国课堂例题)复数z1=1+V3i和z2=1-V3i在复平面内的对应点关于() A.实轴对称 B.一、三象限的角平分线对称C.虚轴对称D.二、四象限的角平分线对称 【变式1-31(24-25高一下海南海口，月考)已知1是虚数单位，则复数2=在复平面内对应的点位于() A.坐标轴上 B.第一象限 C.第二象限 D.第三象限 《变式1-4】(24-25高一下广东东莞月考)如图，在复平面内，复数z1,22对应的向量分别是0A,0B,则复 数z1·z2对应的点位于() 3 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【变式1-5】（多选）(24-25高一下浙江台州期末)复数z1,z2,Z1+z2在复平面内对应的点分别为P,Q,S,其 中O为坐标原点，则下列选项正确的是() A.0=OP+00 B.lz1+z2l≤lz1l+lz2l C.Iz1221=lzllz2l D.若0p10Q,则z122=0 【变式1-6】(25-26高一下·全国期中)如图，在复平面内，复数z1和z2对应的点分别是A和B,则 22 题型02复数的模 【典例2-1】(25-26高一下·全国·单元测试)若(1+2ai)i=1-bi,其中a,b∈R,则|a+bi训=() A B.V5 c.9 0. 第3页共10页 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【典例2-2】(24-25高一下·天津.月考)已知复数z=(a-)(3+2)(a∈R)的实部为-1，则下列说法正确的是 () A.复数z的虚部为5 B.复数z的共轭复数z=1-5i C.Iz=v26 D.z在复平面内对应的点位于第四象限 【典例2-3】（多选）24-25高一下浙江杭州期中若复数z=票则(1 A.z=4-i B.z在复平面内对应的点位于第三象限 C.z=v17 D.复数ω满足|ω=1，则|ω-z的最大值为V17+1 【典例2-4】(24-25高一下.甘肃定西·期末)已知i是虚数单位，2+i是关于x的方程x2+ax+b=0(其中a,b∈ R)的一个根，则川a+bi训= 《变式2-1】(25-26高一下·全国：课后作业)使1gx-41≥3+4成立的x的取值范围是() A.B,8] B.(0,1U[8+∞)c.(0,周U[8+∞)D.(0,1)U8,+∞) 【变式2-2】(24-25高一下江西南昌·期末)设复数z满足z=(1+)i,则lz=() A.V2 B.2 C.V5 D.1 凰变式2-31(24-25高一下山东青岛期末)在复平面内，复数1+2i,V2+√3i,V3-√2i,a+i对应的点Z1, Z2,Z3,Z4在同一个圆周上，则实数a=() A.-2 B.-1 C.-1或2 D.-2或2 【变式2-4】(24-25高一下.上海宝山期末)复数a、B分别对应复平面内的点P、Q,若2-2aB+2β2=0， 则△P0Q(其中0为坐标原点)，是() A.锐角三角形B.钝角三角形C.等腰直角三角形 D.有一个锐角为60°的直角三角形 变式2-5】（多选）23-24高一下.福建泉州期中)在复数域内，大小成为了没有意义的量，那么我们能否赋 予它一个定义呢，在实数域内，我们通常用绝对值来描述大小，而复数域中也相应的有复数的模长来代替 绝对值，于是，我们只需定义复数的正负即可，我们规定复数的“长度”即为模长，规定在复平面x轴上方的 复数为正，在x轴下方的复数为负，在x轴上的复数即为实数大小“大小”用符号+“长度”表示，我们用[z来表 示复数的“大小”，例如：[1+21=√5，[1-21=-V5,[1]=1,[-3]=-3,[-1-2]=-√5，则下列说法正 确的是() A.[z]=1在复平面内表示一个圆 B.若z∈C,则方程[z2=-1无解 C.若21,22为虚数，且z1=22,则[21]+[z2]=0 第4页共10页 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 D.复数z满足[z-1=1,则z的取值范围为[V2,2] 【变式2-6(25-26高一下·全国课后作业)已知复数z=1,则复数3+4i+z的模的最大值为 最小值为 题型03共轭复数 【典例3-1】(23-24高一下，福建厦门月考)已知复数z满足(1+)z=3+5i1是虚数单位)，则z·z=() A.15 B.16 C.17 D.25 【典例3-2】(25-26高一下·全国单元测试)设z1,z2是复数，则下列命题中的真命题有() A.若引z1-Z2=0,则z1=z2 B.若z1=z2,则z1=Z2 C.若z1=1z2l,则z1·z1=z2·z2 D.若引z1l=lz2,则z1=z 【典例3-3】（多选）25-26高一下，全国.单元测试)设z1,z2为复数，则下列结论中正确的是() A.若z1+z经>0，则z>-z2 B.lz1-z2=√(21+z2)2-4z122 C.z1-z1是纯虚数或零 D.lz1·z2l=lz1·lz2l 【典例3-4】(24-25高一下北京朝阳·月考)已知复数z满足(1一)z=2-4i,其中i为虚数单位，则复数z 的共轭复数z的虚部为· 《变式31】(25-26高一下·全国·课后作业)己知i为虚数单位，z为复数，下面叙述正确的是() A.z为纯虚数 B.任何数的偶数次幂均为非负数 C.i+1的共轭复数为i-1 D.2+3i的虚部为3 【变式32】(25-26高一下.全国单元测试)若复数z满足2z+3z=5-3i,其中i为虚数单位，则z=() A.1+3i B.1-3i C.-1+31 D.-1-3i 【变式33】(25-26高一上北京·期末)已知复数z-3亡则z的共轭复数在复平面内对应的点的坐标为) A.(层) B(层) c.层-) D.作) 【变式3-4】(24-25高一下-江苏月考)已知复数z=cos9+isin9(0∈(-艺，0)，i为虚数单位)，z2+z在复平 面上对应的点在虚轴上.在△ABC中，复数z=cosB+isinB,且2z,z2-z+1在复平面上对应的点分别为A, C,则△ABC的面积最大值为) A.43 3 B.23 c+日 D.V3 第5页共10页 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【变式35】（多选）24-25高一下河南驻马店·月考)已知复数z1=a1+b1i,22=a2+b2i(a,b。≠0，s=1, 2,i为虚数单位)，Z1,z2的共轭复数分别为z,z2,定义运算z1⊙z2=Q1a2+b1bi,记任意复数z的实部 为Re(z),虚部为Im(z),则下列说法正确的有(). A.若z1⊙z2=z,则z2=1-i B.若z1,z2在复平面内所对应的向量所成的夹角为锐角，则R(z1⊙z2)+Im(z1⊙z2)<0 C.2(z1⊙z2)·(z1⊙z2)≥Re(z1⊙22)+Im(z1⊙z2)]2 D.z12221Z≥[R(z1⊙z2)+Im(z1⊙z2]2 【变式36】(23-24高一上新疆乌鲁木齐·期末)已知复数z满足z2+2z=2≠zz表示z的共轭复数)，则z的所 有可能值的积为 题型04复数加减法的几何意义 【典例41】(24-25高一下·重庆沙坪坝.期中)已知复数z满足|z+2-i=2,则z+的最大值为() A.2+2W3 B.2+V10 C.2+2V2 D.4 【典例42】(22-23高一下·云南保山期中)下列命题中，正确的个数为()】 ①设0是坐标原点，向量0A、0B对应的复数分别为2一3i、-3+2i,那么向量BA对应的复数是-5+5i: ②复数z是x2-2x+3=0的根，则lz=V3: ③若复数2+3i是关于x的方程x2+2px+q=0(p,q∈R)的一个根，则p+q=11: ④已知复数z满足引z-1+=3,则复数z对应的点的轨迹是以(1,1)为圆心，半径为3的圆， A.1 B.2 C.3 D.4 【典例43】（多选）(23-24高一下.重庆，期中)已知复数z的共轭复数记为z,对于任意的两个复数z1,z2,与下 列结论错误的是() A.若复数z=2-i,则其对应复平面上的点在第二象限 B.若复数z满足z(2-)=i,则z=1+24 5 C.z+z≤2z D.z1-72=Z+z2l 【典例44】(24-25高一下广西柳州期末)己知复数z1,z2,z3在复平面内对应的点分别为A,B,C,且点A, B,C连接后构成三角形.若复数z满足|z-Z1=|z-Z2l=|z-23,则z在复平面内对应的点为△ABC的 (填“外心”“重心”或“垂心”) 【变式41】(22-23高一下河南郑州·月考)复数6+5i与-3+4i分别表示向量0A与0B,则表示向量BA的复 数为) A.3+9i B.2+8i c.-9-i D.9+i 第6页共10页 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【变式42】(21-22高一下.全国·课后作业)若向量AB,AC分别表示复数z1=2-i,z2=3+i,则BC=() A.5 B.V5 c.2W5 D.2√2 【变式43】(24-25高一下·河北邢台·月考)设复数z1,22满足|z1=3,22l=4,且z1-22=3-4i,则21+ 22l=() A.3 B.4 C.5 D.6 【变式44】(2023全国·模拟预测)设z是复数且|z-1+2i=1,则z的最小值为） A.1 B.V5-1 c.V5-1 D.V5 〖变式45】（多选）24-25高一下.重庆·期末)已知复数z满足|z=V6,则下列结论正确的是() A.z在复平面内对应的点可能是(2，V2B.z·z=4 C.z的实部与虚部之积小于等于3 D.复数z1=1+i,则|z-z1l的最大值为V6+V2 【变式46】(23-24高一下.山西长治期末)已知复数z满足引z=1,则z+2+V5的取值范围是 强化训练 一、单选题 1.(24-25高一下辽宁葫芦岛·期末)若复数z满足(3+z)i=5,则z对应的点位于复平面的() A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2.(24-25高一下.甘肃定西·期末)复数(1-2)在复平面内对应的点位于() A.第一象限B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 323-24高一下四川达州：期末已知复数z=-京则以=() A B.21 c.号 . 42526高一下全国单元测试复数2=为嘘数单位)的共钷复数在复平面内对应的点在() A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 5.(22-23高一下…江苏常州·期末)已知z1,z2∈C,|z1l=|z2=1,z1+z2=V3,则z1-z2l=(） A.0 B.1 C.v2 D.√3 第7页共10页 品学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 6.(24-25高一下.上海·期末)若复数z1=a+bi、z2=c+di(a、b、c、d∈R)在复平面上所对应的向量分别 是0Z、0Z2,则z1·z2与0Z1·0Z2的大小关系是(） A.l21·z2l≤|0Z·0Z2 B.l21·22l=0z1·0z2 C.lz1·z2l≥0Z1·0Z D.无法判定 7.(24-25高一下福建福州·期末)已知复数2是方程x2-2x+5=0的一个根，且在复平面内对应的点位于第 四象限.复数21=Q-i,若为纯虚数，则z A.2 B.v2 C.V5 D.5 8.(24-25高一下山东济宁.月考)设复数z1,22满足|21l=22=|21-22l=1,则|21+22=() A.1 号 C.V3 D.2 二、多选题 9.(4-25高一下广东深圳期中)设复数z=忌，则下列命题中正确的是() A.zl=V2 B.z在复平面上对应的点在第四象限 C.z-1是纯虚数 D.z的虚部为i 10.(23-24高一下·广东·期末)下列说法中正确的是() A.若复数z二本则复数z在复平面内对应的点位于第一象限 B.已知复数z满足(1+2)z=2+i,则z=1 C.3+2i是关于x的方程2x2+mx+n=0(m,n为实数)在复数集内的一个根，则实数n的值为26 D.若复数z满足|z=1,则z-3-4的最小值为4 11.(22-23高一下广东云浮·月考)已知复数z,z1,z2,z是z的共轭复数，则下列说法正确的是() A.z·z=lz2 B.若|z=1,则z=士1 C.lz1·z2l=|z1lz2l D.若1z-1川=1，则|z+1的最小值为1 三、填空题 12.(25-26高一下·全国·课后作业)已知m∈R,复平面内表示复数(m2-5m-6)+(m2+m)i的点在虚轴上， 则m= 13.(22-23高一下广东佛山期末)设复数21、22，满足|z1l=|z2=1,21-22=V3i,则z1+22= 14.(24-25高一下·上海·月考)已知复数z1,z2满足z1=iz2且z1z=1,则对于任意的复数z,V2z-z1+z- 第8页共10页 而学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 22l+2+z2的最小值为 四、解答题 15.(23-24高一下.江苏无锡期中)(1)已知m∈R,若z=(m+i)(-2+mi)为纯虚数，求m的值. (2)已知复数z满足z+|z=8+4i,求z. 16.(25-26高二上湖南·开学考试)己知复数z1=2+ai(aER),i(1-z2)=1. (1)求z2+z2:(2)求|z1-z2的最小值：(3)若z1z2的实部大于0，求a的取值范围. 2+,求： 17(25-26高一下·全国单元测试)已知复数a1=2-31,2=5 (1)z1·22:(2)若z∈C,且|z-z1=1,求|z-z2的最大值. 第9页共10页 而学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 18.(23-24高一下山东·期中)复数z1和z2满足关系式z1Z2+Az1+A22=0,其中A为不等于0的复数.证明： az+五=可+z五：2z+4l2+A=4:- 21+4 19.23-24高一下浙江杭州期末)对于20,2，z2∈C,记k=为z,z2关于z0的“差比模”若取遍z0= r(r>0),记z1,z2关于zo=r的“差比模”的最大值为kmax,最小值为kmim,若kmax+kmin=2,则称Z1,Z2 关于r的“差比模"是协调的， 1若-+121=122=-1，求2,2关于2的"差比模 (2)若z1=1+V3iz2=1-V3i,是否存在r<2,使得z1,z2关于r的“差比模"是协调的？若存在，求出r的值： 若不存在，说明理由； (3)若1=a,22=bi,ab∈R且a,b>r,若z,22关于的"差比模"是协调的，求的值。 第10页共10页