3.3 复数的几何表示-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第二册教师用书word（湘教版）

3.3　复数的几何表示(教学方式：深化学习课——梯度进阶式教学) [课时目标] 1.了解复平面的概念，理解复数、复平面内的点、复平面内的向量之间的对应关系. 2.掌握用向量的模来表示复数的模的方法，会求复数的模，并能解决相关的问题. 3.理解共轭复数的概念，并会求共轭复数.了解复数加减法的几何意义，并能解一些简单的应用问题. 1.复平面的定义 建立直角坐标系与全体复数建立一一对应关系的平面叫作复平面，x轴叫作实轴，y轴叫作虚轴.实轴上的点都表示实数.除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数. 2.复数的几何意义 3.复数的模 对任意复数z=a+bi(a，b∈R)，我们将它在复平面上所对应的向量的模称为复数z的模，也称为z的绝对值，记作|z|，即|a+bi|=. 4.模的几何意义 |z|=表示点(a，b)到原点的距离. 5.共轭复数 (1)定义 对任意复数z=a+bi(a，b∈R)，如果保持它的实部a不变，将虚部b变成它的相反数-b，得到的复数a-bi称为原复数z的共轭复数，记为.即=a-bi. (2)性质 ①=z. ②复平面上两点P，Q关于x轴对称⇔它们所对应的复数相互共轭. 6.复数加减法的几何意义 如图，设复数z1，z2对应向量分别为，四边形OPSQ为平行四边形，则与z1+z2对应的向量是，与z1-z2对应的向量是. 基础落实训练 1.已知复数z=-i，复平面内对应点Z的坐标为 (　　) A.(0，-1) B.(-1，0) C.(0，0) D.(-1，-1) 答案：A 2.(多选)下面关于z=1-i的四个命题，正确的是 (　　) A.|z|= B.z2=2i C.=1+i D.z的虚部为-i 答案：AC 3.在复平面内，O是原点，对应的复数分别为-2+i，3+2i，1+5i，那么对应的复数为　　　　.   解析：=-=-(+)=3+2i-(-2+i+1+5i)=(3+2-1)+(2-1-5)i=4-4i. 答案：4-4i 题型(一)　复数与复平面内的点、向量的关系 [例1]　(1)已知z=(2+i)i，其中i为虚数单位，则在复平面内z的共轭复数对应的点位于 (　　) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 (2)复数4+3i与-2-5i分别表示向量与，则向量表示的复数是　　　　.  解析：(1)因为z=2i+i2=-1+2i，所以=-1-2i.所以对应的点(-1，-2)位于第三象限.故选C. (2)因为复数4+3i与-2-5i分别表示向量与，所以=(4，3)，=(-2，-5).又=-=(-2，-5)-(4，3)=(-6，-8)，所以向量表示的复数是-6-8i. 答案：(1)C　(2)-6-8i |思|维|建|模| 1.利用复数与点的对应关系解题的步骤 (1)找对应关系：复数的几何表示法即复数z=a+bi(a，b∈R)可以用复平面内的点Z(a，b)来表示，是解决此类问题的根据. (2)列出方程：此类问题可建立复数的实部与虚部应满足的条件，通过解方程(组)或不等式(组)求解. 2.复数与平面向量的对应关系 (1)根据复数与平面向量的对应关系，可知当平面向量的起点在原点时，向量的终点对应的复数即为向量对应的复数.反之，复数对应的点确定后，从原点引出的指向该点的有向线段，即为复数对应的向量. (2)解决复数与平面向量一一对应的题目时，一般以复数与复平面内的点一一对应为工具，实现复数、复平面内的点、向量之间的转化. 　　[针对训练] 1.已知i为虚数单位，实数m为何值时，复数z=(m2-8m+15)+(m2+3m-28)i在复平面内对应的点： (1)位于第四象限; (2)在实轴负半轴上; (3)位于上半平面(含实轴)? 解：(1)要使复数z在复平面内对应的点位于第四象限，需满足 ∴∴-7<m<3. 故满足条件的实数m的取值范围为(-7，3). (2)要使复数z在复平面内对应的点在实轴负半轴上，需满足 ∴∴m=4. (3)要使复数z在复平面内对应的点位于上半平面(含实轴)，需满足m2+3m-28≥0，解得m≥4或m≤-7. 故满足条件的实数m的取值范围为(-∞，-7]∪[4，+∞). 题型(二)　复数的模的计算及其应用 [例2]　已知复数z1=+i，z2=-+i. (1)求|z1|及|z2|并比较大小; (2)设z∈C，满足条件|z|=|z1|的复数z对应的点Z的集合是什么图形? 解：(1)因为|z1|=|+i|==2，|z2|== =1， 所以|z1|>|z2|. (2)法一：设z=x+yi(x，y∈R)，则点Z的坐标为(x，y).由|z|=|z1|=2，得 =2， 即x2+y2=4.所以满足条件的点Z的集合是以原点为圆心，2为半径的圆. 法二：由|z|=|z1|=2知||=2(O为坐标原点)， 所以Z到原点的距离为2. 所以满足条件的点Z的集合是以原点为圆心，2为半径的圆. |思|维|建|模| 　　解决复数的模的几何意义的问题，应把握两个关键点：一是|z|表示点Z到原点的距离，可依据|z|满足的条件判断点Z的集合表示的图形;二是利用复数的模的概念，把模的问题转化为几何问题来解决. 　　[针对训练] 2.设z∈C，则在复平面内3≤|z|≤5所表示的区域的面积是 (　　) A.5π　　　　　　　　　　　　 B.9π C.16π D.25π 解析：选C　满足条件|z|=3的复数z在复平面内对应的点的轨迹是以原点为圆心，半径为3的圆.满足条件|z|=5的复数z在复平面内对应的点的轨迹是以原点为圆心，半径为5的圆，则在复平面内3≤|z|≤5所表示的区域为圆环，如图中阴影部分区域所示，在复平面内3≤|z|≤5所表示的区域的面积是π×(52-32)=16π.故选C. 3.(多选)已知z1，z2是复数，以下结论正确的是 (　　) A.若z1+z2=0，则z1=0，且z2=0 B.若|z1|+|z2|=0，则z1=0，且z2=0 C.若|z1|=|z2|，则向量和重合 D.若|z1-z2|=0，则= 解析：选BD　z1+z2=0只能说明z1=-z2，A错误;|z1|+|z2|=0说明|z1|=|z2|=0，即z1=z2=0，B正确;|z1|=|z2|说明||=||，但与方向不一定相同，C错误;|z1-z2|=0，则z1=z2，故=，D正确. 题型(三)　共轭复数 [例3]　设z∈C，为z的共轭复数，若z·+iz=，求z. 解：设z=a+bi(a，b∈R)，则=a-bi(a，b∈R). ∵=3-i，∴(a+bi)(a-bi)+i(a+bi)=3-i. ∴解得或 ∴z=-1-i或z=-1+2i. 　　[变式拓展] 　保持例题条件不变，求的值. 解：当z=-1-i时，=-1+i， ∴====-i; 当z=-1+2i时，=-1-2i， ∴====-+i.∴=-i或=-+i. |思|维|建|模| 　　此类题的常规思路为设z=a+bi(a，b∈R)，则=a-bi;代入所给等式，利用复数相等的充要条件，转化为方程(组)求解. 　　[针对训练] 4.已知z∈C，为z的共轭复数，若z·-3=1+3i，求z. 解：设z=a+bi(a，b∈R)，则=a-bi，(a，b∈R)， 由题意得(a+bi)(a-bi)-3i(a-bi)=1+3i， 即a2+b2-3b-3ai=1+3i， 则有解得或 所以z=-1或z=-1+3i. 题型(四)　复数加、减运算的几何意义的应用 [例4]　如图所示，平行四边形OABC的顶点O，A，C对应复数分别为0，3+2i，-2+4i，试求： (1)所表示的复数，所表示的复数; (2)对角线所表示的复数; (3)对角线所表示的复数及的长度. 解：(1)∵=-， ∴所表示的复数为-3-2i. ∵=， ∴所表示的复数为-3-2i. (2)∵=-， ∴所表示的复数为(3+2i)-(-2+4i)=5-2i. (3)对角线=+，它所对应的复数z=(3+2i)+(-2+4i)=1+6i，||==. 　　|思|维|建|模| 1.用复数加减法的几何意义解题的技巧 形转化为数 利用几何意义可以把几何图形的变换转化成复数运算去处理 数转化为形 对于一些复数运算也可以给予几何解释，使复数作为工具运用于几何之中 2.常见结论 在复平面内，z1，z2对应的点分别为A，B(O，A，B不共线)，z1+z2对应的点为C，O为坐标原点，则四边形OACB为平行四边形;若|z1+z2|=|z1-z2|，则四边形OACB为矩形;若|z1|=|z2|，则四边形OACB为菱形;若|z1|=|z2|且|z1+z2|=|z1-z2|，则四边形OACB为正方形. 　　[针对训练] 5.已知△ABC的三个顶点所对应的复数分别为z1，z2，z3，复数z满足|z-z1|=|z-z2|=|z-z3|，则z对应的点P是△ABC的 (　　) A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心 解析：选A　由复数模及复数减法运算的几何意义，结合条件可知复数z的对应点P到△ABC的顶点A，B，C的距离相等，所以P为△ABC的外心. 6.已知平行四边形ABCD中，与对应的复数分别是3+2i与1+4i，两对角线AC与BD相交于O点. (1)求对应的复数; (2)求对应的复数. 解：(1)由于四边形ABCD是平行四边形， 所以=+，于是=-， 而(1+4i)-(3+2i)=-2+2i， 即对应的复数是-2+2i. (2)由于=-，而(3+2i)-(-2+2i)=5，所以对应的复数是5. 学科网（北京）股份有限公司 $