15 课时精练(十四) 两角和与差的正弦公式-【正禾一本通】2024-2025学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义配套练习（湘教版2019）

课时精练(十四)　两角和与差的正弦公式 (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) [基础过关] 1．(多选)下列各式正确的是(　　) A．cos 80°cos 20°－sin 80°sin 20°＝cos 100° B．cos 75°＝cos 45°cos 30°－sin 45°sin 30° C．sin(α＋45°)cos α－cos(α＋45°)sin α＝sin 45° D．cos(α＋)＝cos α＋cos α ABC　[A中左边＝cos(80°＋20°)＝cos 100°， B中右边＝cos(45°＋30°)＝cos 75°， C中左边＝sin[(α＋45°)－α]＝sin 45°， D中左边＝cos α－sin α，故D错误．故选ABC．] 2．sin 15°＋sin 75°＝(　　) A． B．1 C． D． C　[sin 15°＋sin 75°＝sin 15°＋cos 15°＝2sin(15°＋30°)＝2sin 45°＝．故选C．] 3．已知sin(＋α)＋sin α＝，则sin(α＋)的值是(　　) A．－ B． C． D． － D　[因为sin(＋α)＋sin α＝， 所以sincos α＋cossin α＋sin α＝， 即cos α＋sin α＝， 所以cos α＋sin α＝， 即sin(α＋)＝， 所以sin(α＋)＝sin(π＋α＋)＝－sin(α＋)＝－， 故选D．] 4．如图，点A，B在圆O上，且点A位于第一象限，圆O与x正半轴的交点是C，点B的坐标为(，－)，∠AOC＝α．若|AB|＝1，则sin α＝(　　) A． B． C． D． B　[∵点B的坐标为(，－)， 设∠BOC的大小为θ，0<θ<， ∴sin θ＝，cos θ＝， ∵∠AOC＝α，|AB|＝1， 则三角形OAB为等边三角形， ∴θ＋α＝． 则α＝－θ． 则sin α＝sin(－θ)＝sincos θ－cossin θ ＝×－×＝． 故选B．] 5．若α，β均为锐角，sin α＝，sin(α＋β)＝，则sin β＝(　　) A． B． C．或 D．－ B　[∵α与β均为锐角，且sin α＝>sin(α＋β)＝， ∴α＋β为钝角． 又由sin(α＋β)＝，得cos(α＋β)＝－． 由sin α＝，得cos α＝． ∴sin β＝sin [(α＋β)－α]＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α＝×－(－)×＝，故选B．] 6．已知sin＝－，则sin x＋sin＝________． 解析：　原式＝sin x＋sin＝sin x＋sin x－cos x＝sin x－cos x ＝×(sin x－cos x) ＝sin＝×(－)＝－1． 答案：　－1 7．设sin(α－)＝2cos α·sin，则的值为________． 解析：　∵sin(α－)＝sin αcos－cos αsin＝2cos α·sin， ∴tan α＝3tan． ∴＝＝＝＝＝． 答案：　 8．在△ABC中，若sin A＝2cos B·sin C，则该三角形的形状一定是____________． 解析：　∵sin A＝2cos B·sin C， A＋B＋C＝π， ∴sin A＝sin[π－(B＋C)]＝sin(B＋C)＝sin B·cos C＋cos B·sin C， ∴sin A＝sin B·cos C＋cos B·sin C＝2cos B·sin C， ∴sin B·cos C＝cos B·sin C， 即sin B·cos C－cos B·sin C＝0， ∴sin(B－C)＝0， ∵B，C∈(0，π)， ∴B－C∈(－π，π)， ∴sin(B－C)＝0，即B－C＝0， ∴B＝C，则△ABC为等腰三角形． 答案：　等腰三角形 9．化简下列各式： (1)sin＋2sin－cos； (2)－2cos(α＋β)． 解析：　(1)原式＝sin xcos＋cos xsin＋2sin xcos－2cos xsin－coscos x－sinsin x ＝sin x＋cos x＋sin x－cos x＋cos x－sin x ＝sin x＋cos x＝0． (2)原式＝ ＝ ＝＝． 10．已知cos α＝，sin(α－β)＝，且α，β∈． 求：(1)sin(2α－β)的值；(2)β的值． 解析：　(1)因为α，β∈， 所以α－β∈， 又sin(α－β)＝>0， 所以0<α－β<， 由题意得，sin α＝＝， cos(α－β)＝＝， sin(2α－β)＝sin[α＋(α－β)] ＝sin αcos(α－β)＋cos αsin(α－β) ＝×＋×＝． (2)sin β＝sin[α－(α－β)] ＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β) ＝×－×＝， 又因为β∈，所以β＝． [能力提升] 11．在△ABC中，若tan B＝，则这个三角形是(　　) A．锐角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰三角形或直角三角形 B　[∵在△ABC中，A＋B＋C＝π，∴tan B＝＝ ＝． 即＝， 化简得cos(B＋C)＝0，即cos(π－A)＝0，∴cos A＝0． ∵0<A<π，∴A＝，又无法判断B是否等于C， ∴△ABC为直角三角形．] 12．“在△ABC中，cos Acos B＝________＋sin Asin B”，已知横线处是一个实数．甲同学在横线处填上一个实数a，这时C是直角；乙同学在横线处填上一个实数b，这时C是锐角；丙同学在横线处填上一个实数c，这时C是钝角，则实数a，b，c的大小关系是____________． 解析：　由题意，横线处的实数等于cos(A＋B)，即cos(π－C)，故当C是直角时，a＝cos(A＋B)＝cos＝0；当C是锐角时，－1<b＝cos(A＋B)<0；当C是钝角时，0<c＝cos(A＋B)<1．故b<a<c． 答案：　b<a<c 学科网（北京）股份有限公司 $$