2.1.2 两角和与差的正弦公式分层同步练习-2025-2026学年高一下学期数学湘教版必修第二册

2.1.2　两角和与差的正弦公式 一、必备知识基础练 1.cossin+cossin的值等于(　　) A. B.1 C.0 D. 2.若sin α+cos α=,则sin(α+)=(　　) A. B. C. D. 3.(2025甘肃兰州高一期中)已知cos(α-)=,其中α∈(),则sin α的值为(　　) A. B. C. D. 4.已知tan A=2tan B,sin(A+B)=,则sin(A-B)=(　　) A. B. C. D.- 5.(2025甘肃兰州高一期中)若0<α<,-<β<0,cos α=,sin(α+β)=,则sin β=　　　　. 6.化简:=　　　　　.  7.化简求值: (1)sin(α+β)cos(α-β)+cos(α+β)sin(α-β); (2)cos(70°+α)sin(170°-α)-sin(70°+α)cos(10°+α). 二、关键能力提升练 8.已知<β<α<,若cos(α-β)=,sin(α+β)=-,则sin 2β=(　　) A. B.- C. D.- 9.在△ABC中,如果sin A=2sin Ccos B,那么这个三角形是(　　) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等边三角形 10.已知sin α+cos α=,α∈,则sin(α-)=　　　　　.  11.若cos α=-,sin β=-,α∈(,π),β∈(,2π),则sin(α+β)的值为　　　　　.  三、学科素养创新练 12.已知α,β为锐角,cos α=,cos(α+β)=-. 求:(1)sin(α+β)的值; (2)sin β的值. 参考答案 1.B　cossin+cos(-θ)sin(+θ)=sin=sin=1.故选B. 2.A　因为sin α+cos α=, 所以sin(α+)=sin α+cos α=(sin α+cos α)=.故选A. 3.A　由α∈(),可得α-∈(0,), 所以sin(α-)=, sin α=sin[(α-)+]=sin(α-)cos+cos(α-)sin.故选A. 4.C　由tan A=2tan B得, 即sin Acos B=2cos Asin B. ∵sin(A+B)=, ∴sin Acos B+cos Asin B=. ∴sin Acos B=,cos Asin B=. 则sin(A-B)=sin Acos B-cos Asin B=. 故选C. 5.-　因为0<α<,-<β<0, 则-<α+β<, 所以cos(α+β)=, sin α=. 因此,sin β=sin[(α+β)-α]=sin(α+β)cos α-cos(α+β)sin α==-. 6.-1　原式= ==-1. 7.解(1)原式=sin(α+β+α-β)=sin 2α. (2)原式=cos(70°+α)sin(10°+α)-sin(70°+α)cos(10°+α)=sin [(10°+α)-(70°+α)]=sin(-60°)=-. 8.D　∵已知<β<α<, ∴α-β∈,α+β∈, 若cos(α-β)=,sin(α+β)=-,∴sin(α-β)=,cos(α+β)=-=-, 则sin 2β=sin [(α+β)-(α-β)]=sin(α+β)cos(α-β)-cos(α+β)sin(α-β)=-=-. 故选D. 9.C　∵∠A+∠B+∠C=π, ∴∠A=π-(∠B+∠C). 由已知可得sin(B+C)=2sin Ccos B, ∴sin Bcos C+cos Bsin C=2sin Ccos B, 即sin Bcos C-cos Bsin C=0,即sin(B-C)=0. ∵0<∠B<π,0<∠C<π,∴-π<∠B-∠C<π, ∴∠B=∠C.故△ABC为等腰三角形. 10.　sin=sin αcos-cos αsin =cos α-sin α =(cos α-sin α). ∵α∈,∴cos α>sin α, ∴(sin α+cos α)2=,(sin α-cos α)2=, ∴cos α-sin α=. ∴sin. 11.　∵cos α=-,α∈(,π),∴sin α=.∵sin β=-,β∈(,2π), ∴cos β=. ∴sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β=+(-)×(-)=. 12.解(1)∵α,β为锐角,cos(α+β)=-, ∴<α+β<π, ∴sin(α+β)=. (2)∵α为锐角,cos α=, ∴sin α=. ∴sin β=sin[(α+β)-α]=sin(α+β)cos α-cos(α+β)sin α=. 5 学科网（北京）股份有限公司 $