2.1.1 两角和与差的余弦公式 课时跟踪检测-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第二册配套练习word（湘教版）

2.1.1　两角和与差的余弦公式 [课时跟踪检测] 1.cos 20°= (　　) A.cos 30°cos 10°-sin 30°sin 10° B.cos 30°cos 10°+sin 30°sin 10° C.sin 30°cos 10°-sin 10°cos 30° D.cos 30°cos 10°-sin 30°cos 10° 解析：选B　cos 20°=cos(30°-10°)=cos 30°cos 10°+sin 30°sin 10°. 2.设α∈，若sin α=，则cos等于 (　　) A. B. C.- D.- 解析：选A　由α∈，sin α=，得cos α==，所以cos=cos αcos-sin αsin=×-×=. 3.cos 80°cos 35°+cos 10°cos 55°的值等于 (　　) A. B.- C. D.- 解析：选A　cos 80°cos 35°+cos 10°cos 55° =cos 80°cos 35°+cos(90°-80°)cos(90°-35°) =cos 80°cos 35°+sin 80°sin 35°=cos(80°-35°) =cos 45°=. 4.已知cos α=-，α∈，sin β=-，β是第四象限角，则cos(β-α)的值是 (　　) A.- B. C.- D.- 解析：选C　由条件可得sin α=，cos β=，则cos(β-α)=cos βcos α+sin βsin α=×+×=-. 5.(2024·新课标Ⅰ卷)已知cos(α+β)=m，tan αtan β=2，则cos(α-β)= (　　) A.-3m B.- C. D.3m 解析：选A　法一：因为cos(α+β)=m，所以cos αcos β-sin αsin β=m，而tan αtan β=2，所以sin αsin β=2cos αcos β，故cos αcos β-2cos αcos β=m， 即cos αcos β=-m，从而sin αsin β=-2m， 故cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β=-3m，故选A. 法二：设cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β=t， 因为cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β=m， 所以==-3=，故t=-3m. 6.(多选)若α，β为两个锐角，则 (　　) A.cos(α+β)>cos α+cos β B.cos(α+β)<cos α+cos β C.cos(α-β)>cos αcos β D.cos(α-β)<sin αsin β 解析：选BC　cos(α+β)-(cos α+cos β) =cos αcos β-sin αsin β-cos α-cos β =cos α(cos β-1)-sin αsin β-cos β. 因为α，β是锐角，所以cos β-1<0，cos α(cos β-1)<0，-sin αsin β<0，-cos β<0. 所以cos(α+β)<cos α+cos β，故A错误，B正确. 因为cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β，α，β均为锐角，所以cos αcos β>0，sin αsin β>0.所以cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β>cos αcos β，同理cos(α-β)>sin αsin β，故C正确，D错误. 7.(多选)已知cos(α+β)=-，cos 2α=-，其中α，β为锐角，则以下命题正确的是 (　　) A.sin 2α= B.cos=- C.cos αcos β= D.tan αtan β= 解析：选AC　因为 cos(α+β)=-，cos 2α=-(α，β为锐角)，所以 sin(α+β)=，sin 2α==，故A正确.cos(α-β)=cos[2α-(α+β)]=cos 2αcos(α+β)+sin 2αsin(α+β)=×+×=， 故B错误.由 cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β=，cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β=-，得cos αcos β=[cos(α+β)+cos(α-β)]==，sin αsin β=[cos(α-β)-cos(α+β)]==.所以tan αtan β=3.故C正确，D错误. 8.（5分）若α∈[0，2π]，sinsin+coscos=0，则α的值是　　　　.  解析：因为α∈[0，2π]，sinsin+coscos=cos α=0，所以α=或α=. 答案：或 9.（5分）=　　　　.  解析：===. 答案： 10. （5分）已知△ABC中，sin(A+B)=，cos B=-，则sin B=　　　　，cos A=　　　　.  解析：在△ABC中，因为cos B=-<0，所以B为钝角，则sin B=.所以A+B∈.由sin(A+B)=，得cos(A+B)=-.所以cos A=cos[(A+B)-B]=cos(A+B)cos B+sin(A+B)sin B=-×+×=. 答案：　 11. （5分）在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于x轴对称，若sin α=-，则cos(α-β)=　　　　.  解析：因为sin α=-，所以α的终边在第三或第四象限. 当α的终边在第三象限时，β的终边在第二象限， 且cos α=-，sin β=，cos β=-， 所以cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β=. 当α的终边在第四象限时，β的终边在第一象限， 且cos α=，sin β=，cos β=， 所以cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β=. 答案： 12.(10分)已知cos α-cos β=，sin α-sin β=-，求cos(α-β). 解：由cos α-cos β=两边平方，得 (cos α-cos β)2=cos2α+cos2β-2cos αcos β=.① 由sin α-sin β=-两边平方，得 (sin α-sin β)2=sin2α+sin2β-2sin αsin β=.② 由①+②，得2-2(cos αcos β+sin αsin β)=. ∴cos αcos β+sin αsin β=，即cos(α-β)=. 13.(10分)求证：(1)=1; （5分） (2)cos(α+β)cos(α-β)=cos2β-sin2α. （5分） 证明：(1) = ==1， 即=1. (2)cos(α+β)cos(α-β)=(cos αcos β-sin αsin β)·(cos αcos β+sin αsin β)=cos2αcos2β-sin2αsin2β=(1-sin2α)cos2β-sin2α(1-cos2β)=cos2β-sin2α，即cos(α+β)cos(α-β)=cos2β-sin2α. 14.(10分)在一个圆形波浪实验水池中有三个振动器，在t时刻，它们引发水面波动，振幅分别用cos t，cos和cos表示.如果其中两个振动器同时启动，则水面波动由对应振幅之和表示.现在某一时刻这三个振动器同时开始工作，则原来平静的水面会呈现怎样的状态，试说明理由. 解：由题意得cos t+cos+cos =cos t+coscos t+sinsin t+coscos t-sinsin t=cos t-cos t-cos t=0， 即三个振动源产生的振动被相互抵消，所以原本平静的水面仍保持平静. 15.(15分)已知a=(cos α，sin α)，b=(cos β，sin β)(0<α<β<π). (1)求证：a+b与a-b互相垂直;(5分) (2)若ka+b与a-kb的模相等(其中k为非零实数)，求β-α的值.（10分） 解：(1)证明：∵a=(cos α，sin α)，b=(cos β，sin β)， ∴|a|2=cos2α+sin2α=1，|b|2=cos2β+sin2β=1. ∴(a+b)·(a-b)=a2-b2=|a|2-|b|2=0. ∴(a+b)⊥(a-b). (2)∵ka+b=(kcos α，ksin α)+(cos β，sin β)=(kcos α+cos β，ksin α+sin β)， ∴|ka+b|2=(kcos α+cos β)2+(ksin α+sin β)2=k2cos2α+2kcos αcos β+cos2β+k2sin2α+2ksin αsin β+sin2β=k2+2kcos(α-β)+1. 同理可求|a-kb|2=k2-2kcos(α-β)+1. 又∵|ka+b|=|a-kb|， ∴|ka+b|2=|a-kb|2. ∴2kcos(α-β)=-2kcos(α-β). ∵k≠0，∴cos(α-β)=0.∴cos(β-α)=0. 又∵0<α<β<π， ∴0<β-α<π.∴β-α=. 学科网（北京）股份有限公司 $