14 课时精练(十三) 两角和与差的余弦公式-【正禾一本通】2024-2025学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义配套练习（湘教版2019）

课时精练(十三)　两角和与差的余弦公式 (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) [基础过关] 1．化简－sin(x＋y)sin(x－y)－cos(x＋y)cos(x－y)的结果为(　　) A．sin 2x B．cos 2x C．－cos 2x D．－cos 2y D　[原式＝－cos[(x＋y)－(x－y)]＝－cos 2y．故选D．] 2．已知cos α＝－，α∈，sin β＝－，β是第三象限角，则cos(β－α)的值是(　　) A．－ B． C． D．－ A　[因为 α∈，则sin α＝，因为β是第三象限角，所以cos β＝－，所以cos(β－α)＝cos αcos β＋sin αsin β＝(－)×(－)＋×(－)＝－．] 3．已知α，β都是锐角，且cos α＝，cos β＝，则α＋β＝(　　) A． B． C．或 D．或 B　[因为α，β都是锐角，且cos α＝，cos β＝， 所以sin α＝，sin β＝， 所以cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝－＝－． 又α＋β∈(0，π)，所以α＋β＝，故选B．] 4．已知锐角α，β满足cos α＝，cos(α＋β)＝－，则cos(2π－β)的值为(　　) A． B．－ C． D．－ A　[因为α，β为锐角，cos α＝，cos(α＋β)＝－， 所以sin α＝，sin(α＋β)＝＝． 所以cos(2π－β)＝cos β＝cos[(α＋β)－α] ＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α ＝(－)×＋× ＝＝．故选A．] 5．若0<α<，－<β<0，cos＝， cos＝，则cos＝(　　) A． B．－ C． D．－ C　[根据条件可得α＋∈，－∈，所以sin＝，sin(－)＝． 所以cos＝cos＝cos(＋α)cos＋sinsin(－)＝×＋×＝．] 6．已知sin(α＋)＝，且<α<，则cos α的值为__________． 解析：　因为<α<， 所以α＋∈(，π)， 又sin(α＋)＝， 所以cos(α＋)＝－＝－， 所以cos α＝cos＝cos(α＋)cos＋sin(α＋)sin＝(－)×＋×＝－． 答案：　－ 7．已知sin α＋sin β＋sin γ＝0，cos α＋cos β＋cos γ＝0，则cos(α－β)的值是__________． 解析：　由 由①、②得2＋2(sin αsin β＋cos αcos β)＝1cos(α－β)＝－． 答案：　－ 8．在△ABC中，C＝90°，AC＝3，BC＝4，则sin(A－B)的值是________． 解析：　在Rt△ABC中，AC＝3，BC＝4，所以AB＝5，∠A>∠B，sin A＝cos B＝，cos A＝sin B＝，cos(A－B)＝cos Acos B＋sin Asin B＝， 所以sin(A－B)＝ ＝． 答案：　 9．若0<α<，－<β<0，cos α＝，cos＝，求cos的值． 解析：　由cos α＝，0<α<，所以sin α＝． 由cos＝，－<<0，所以sin＝－， 所以cos＝cos αcos ＋sin αsin ＝×＋×＝－． 10．已知α，β为锐角且 ＝． (1)求cos(α－β)的值； (2)若cos α＝，求cos β的值． 解析：　(1)∵＝， ∴2－2(cos αcos β＋sin αsin β)＝， ∴cos(α－β)＝． (2)∵cos α＝，cos(α－β)＝，α，β为锐角， ∴sin α＝，sin(α－β)＝±． 当sin(α－β)＝时，cos β＝cos[α－(α－β)] ＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)＝； 当sin(α－β)＝－时，cos β＝cos[α－(α－β)] ＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)＝0． ∵β为锐角，∴cos β＝． [能力提升] 11．设角A，B，C∈(0，)，且cos A＋cos B＝cos C，sin A－sin B＝sin C，则C－A＝(　　) A．－ B．－ C． D．或－ B　[由cos A＋cos B＝cos C，得cos B＝cos C－cos A，所以cos2C－2cos Ccos A＋cos2A＝cos2B　①，同理可得sin2C－2sin Csin A＋sin2A＝sin2B　②，由①②可得，1－2(cos Acos C＋sin Asin C)＝0，即cos(C－A)＝．因为C，A∈，所以C－A∈(－，)，所以C－A＝±．易知sin B>0，所以根据sin A＝sin B＋sin C，得sin A>sin C，又C，A∈(0，)，所以C<A，故C－A＝－，故选B．] 12．无字证明(proof without words)是指仅用图象而无需文字解释就能不证自明的数学命题，如图是某三角恒等式的无字证明，试根据该图写出此三角恒等式________________________． 解析：　如题图左边的三角形的面积a·bsin[－(x－y)]，设为S1＝a·bsin[－(x－y)]， 中间三角形的面积S2＝acos x·bcos y，右边三角形的面积S3＝asin x·bsin y， ∵S1＝S2＋S3，∴a·bsin ＝acos x·bcos y＋asin x·bsin y 即sin＝cos(x－y)＝cos x·cos y＋sin x·sin y． 答案：　cos(x－y)＝cos x·cos y＋sin x·sin y 学科网（北京）股份有限公司 $$