2.1.1 两角和与差的余弦公式分层同步练习-2025-2026学年高一下学期数学湘教版必修第二册

2.1.1　两角和与差的余弦公式 一、必备知识基础练 1.化简cos 16°cos 44°-cos 74°sin 44°的值为(　　) A. B.- C. D.- 2.计算的值是(　　) A. B.- C. D.- 3.(2025甘肃临夏高一阶段测试)已知sin α-sin β=1-,cos α-cos β=,则cos(α-β)=(　　) A.- B.- C. D. 4.函数f(x)=cos(x+)-cos(x-)是(　　) A.周期为π的偶函数 B.周期为2π的偶函数 C.周期为π的奇函数 D.周期为2π的奇函数 5.已知cos(α+β)=,cos(α-β)=-,则cos αcos β=　　　　　.  6.若cos(α-β)=,则(sin α+sin β)2+(cos α+cos β)2=　　　　　.  7. (人教B版教材习题)已知sin α=,cos β=-,且α∈,β∈,求cos(α+β),cos(α-β)的值. 8.已知cos(α-β)=-,cos(α+β)=,且α-β∈(,π),α+β∈(,2π),求角β的值. 二、关键能力提升练 9.(2025甘肃白银高一检测)在△ABC中,内角∠A,∠B,∠C所对的边分别为a,b,c,且sin2Asin2B+cos2Acos2B-cos2C=,∠A=π,则∠C=(　　) A. B. C. D. 10.(2024新高考Ⅰ,4)已知cos(α+β)=m,tan αtan β=2,则cos(α-β)=(　　) A.-3m B.- C. D.3m 11.(多选题)下列满足sin αsin β=-cos αcos β 的有(　　) A.α=β=90° B.α=-18°,β=72° C.α=130°,β=40° D.α=140°,β=40° 12.(多选题)已知α,β,γ∈(0,),sin α+sin γ=sin β,cos β+cos γ=cos α,则下列说法正确的是(　　) A.cos(β-α)= B.cos(β-α)=- C.β-α= D.β-α=- 13.化简:=　　　　　.  14.已知向量a=(sin α,cos α-sin α),b=(cos β-sin β,cos β),且a·b=2. (1)求cos(α+β)的值; (2)若0<α<,0<β<,且sin α=,求2α+β的值. 三、学科素养创新练 15.已知函数f(x)=Asin(x+)(x∈R),且f(0)=1. (1)求A的值; (2)若f(α)=-,α是第二象限角,求cos α. 参考答案 1.C　cos 16°cos 44°-cos 74°sin 44°=cos 16°cos 44°-sin 16°sin 44° =cos(16°+44°)=cos 60°=,故选C. 2.C　=. 3.D　因为sin α-sin β=1-,所以(sin α-sin β)2=sin2α-2sin αsin β+sin2β=. 因为cos α-cos β=,所以(cos α-cos β)2=cos2α-2cos αcos β+cos2β=. 所以(cos2α+sin2α)+(cos2β+sin2β)-2(cos αcos β+sin αsin β)=+(), 所以1+1-2(cos αcos β+sin αsin β)=2-,所以2-2cos(α-β)=2-,故cos(α-β)=.故选D. 4.D　因为f(x)=cos-cos=-sin x, 所以函数f(x)的最小正周期为=2π. 又f(-x)=-sin(-x)=sin x=-f(x),x∈R, 所以函数f(x)为奇函数.故选D. 5.0　由已知得cos αcos β-sin αsin β=,cos αcos β+sin αsin β=-,两式相加得2cos αcos β=0, 故cos αcos β=0. 6.　原式=2+2(sin αsin β+cos αcos β)=2+2cos(α-β)=. 7.解 因为sin α=,α∈,所以cos α=-.因为cos β=-,β∈,所以sin β=.所以cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β=-=-,cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β=-. 8.解由α-β∈(,π),且cos(α-β)=-,得sin(α-β)=.由α+β∈(,2π),且cos(α+β)=,得sin(α+β)=-. ∴cos 2β=cos[(α+β)-(α-β)] =cos(α+β)cos(α-β)+sin(α+β)sin(α-β) =×(-)+(-)× =-1. 又α+β∈(,2π),α-β∈(,π), ∴2β∈().∴2β=π,则β=. 9.A　cos2C=cos2(A+B)=(cos Acos B-sin Asin B)2=cos2Acos2B+sin2Asin2B-2cos Acos Bsin Asin B, 则2sin2Asin2B+2cos2Acos2B-cos2C =cos2Acos2B+sin2Asin2B+2cos Acos Bsin Asin B =(cos Acos B+sin Asin B)2=cos2(A-B)=, 则cos(A-B)=±. 因为∠A=π,所以0<∠B<π,则-π<∠A-∠B<π,则cos(A-B)=, 得∠A-∠B=,∠B=, 故∠C=π-.故选A. 10.A　∵tan αtan β=2,∴sin αsin β=2cos αcos β. ∵cos(α+β)=m, 即cos αcos β-sin αsin β=cos αcos β-2cos αcos β=m, ∴cos αcos β=-m,sin αsin β=-2m. ∴cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β=-m-2m=-3m. 11.BC　由sin αsin β=-cos αcos β可得cos(α-β)=0,因此α-β=k·180°+90°,k∈Z,B,C项符合. 12.AC　由已知,得sin γ=sin β-sin α,cos γ=cos α-cos β.两式分别平方相加,得(sin β-sin α)2+(cos α-cos β)2=1, ∴-2cos(β-α)=-1,∴cos(β-α)=, ∴A正确,B错误. ∵α,β,γ∈(0,), ∴sin γ=sin β-sin α>0, ∴β>α,∴β-α=,∴C正确,D错误. 13.　原式== ===. 14.解(1)因为a=(sin α,cos α-sin α),b=(cos β-sin β,cos β), 所以a·b=sin α(cos β-sin β)+(cos α-sin α)cos β=cos αcos β-sin αsin β=cos(α+β). 因为a·b=2,所以cos(α+β)=2,即cos(α+β)=. (2)因为0<α<,sin α=,所以cos α=. 因为0<α<,0<β<,所以0<α+β<π. 因为cos(α+β)=,所以sin(α+β)=, 所以cos(2α+β)=cos[α+(α+β)]=cos αcos(α+β)-sin αsin(α+β)=.因为0<α<,0<β<, 所以0<2α+β<,所以2α+β=. 15.解(1)依题意得f(0)=AsinA=1,故A=. (2)由(1)得f(x)=sin(x+), 由f(α)=-可得f(α)=sin(α+)=-, 则sin(α+)=-,∵α是第二象限角, ∴2kπ+<α<2kπ+π(k∈Z), ∴2kπ+<α+<2kπ+(k∈Z), 又∵sin(α+)=-<0,∴α+是第三象限角, ∴cos(α+)=-=-, ∴cos α=cos =cos(α+)cos+sin(α+)sin =-=-. 4 学科网（北京）股份有限公司 $