1.7 平面向量的应用举例 课时跟踪检测-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第二册配套练习word（湘教版）

1.7　平面向量的应用举例 [课时跟踪检测] 1.已知平面内作用于点O的三个力f1,f2,f3,且它们的合力为0,则三个力的分布图可能是 (　　) 解析:选D　因为f1+f2=-f3,所以f1与f2的合力与f3方向相反,长度相等,则由平行四边形法则可知,只有D项满足.故选D. 2.共点力F1=(lg 2,lg 2),F2=(lg 5,lg 2)作用在物体M上,产生位移s=(2lg 5,1),则共点力对物体做的功W为 (　　) A.lg 2 B.lg 5 C.1 D.2 解析:选D　因为F1+F2=(1,2lg 2),所以W=(F1+F2)·s=(1,2lg 2)·(2lg 5,1)=2lg 5+2lg 2=2. 3.在四边形ABCD中,若+=0,·=0,则四边形为 (　　) A.平行四边形 B.矩形 C.等腰梯形 D.菱形 解析:选D　由题可知∥,||=||,所以四边形ABCD是平行四边形.又⊥,故四边形为菱形. 4．(2025·全国Ⅰ卷)帆船比赛中，运动员可借助风力计测定风速的大小和方向，测出的结果在航海学中称为视风风速，视风风速对应的向量是真风风速对应的向量与船行风速对应的向量之和．其中船行风速对应的向量与船速对应的向量大小相等、方向相反，表中给出了部分风力等级、名称与风速大小的对应关系，已知某帆船运动员在某时刻测得的视风风速对应的向量与船速对应的向量如图(线段长度代表速度大小，单位：m/s)，则该时刻的真风为(　　) 级数 名称 风速(单位：m/s) 2 轻风 1.6～3.3 3 微风 3.4～5.4 4 和风 5.5～7.9 5 劲风 8.0～10.7 A．轻风 B．微风 C．和风 D．劲风 解析：选A　∵视风风速a＝(0,2)－(3,3)＝(－3，－1)，船速b＝(3,3)－(2,0)＝(1,3)， ∴真风风速n＝a＋b＝(－3，－1)＋(1,3)＝(－2,2)，真风风速大小|n|＝2≈2.828，∴该时刻的真风为轻风． 5.如图,BC,DE是半径为1的圆O的两条直径,=2,则·的值是 (　　) A.- B.- C.- D.- 解析:选B　因为=+,=+,且=-,所以·=(+)·(+)=-=-1=-. 6.在梯形ABCD中,∥,⊥,||=2,||=2||.若点P在线段BC上,则|+3|的最小值是 (　　) A. B.4 C. D.6 解析:选D　如图所示,以B为原点,为x轴正方向,为y轴正方向建立平面直角坐标系.则B(0,0),A(0,2),C(2d,0),D(d,2),P(p,0)(0≤p≤2d),所以=(2d-p,0),=(d-p,2).所以+3=(5d-4p,6).所以|+3|=≥6(当且仅当5d=4p时等号成立).所以|+3|的最小值是6.故选D. 7.若非零向量与满足·=0,且·=,则△ABC为 (　　) A.三边均不等的三角形 B.直角三角形 C.底边和腰不相等的等腰三角形 D.等边三角形 解析:选C　∵·=0,∴∠A的角平分线与BC垂直.∴AB=AC.∵cos A=·=,∴∠A=30°,则△ABC是顶角为30°的等腰三角形,故选C. 8. (5分)坐标平面内一只小蚂蚁以速度v=(1,2)从点A(4,6)处移动到点B(7,12)处,其所用时间长短为　　　　.  解析:由题意得,速度的大小为|v|==, 又||==3,故所用时间t==3. 答案:3 9. (5分)已知直角梯形ABCD中,AB⊥AD,AB=2,DC=1,AB∥DC,则当AC⊥BC时,AD=　　　　.  解析:建立如图所示的平面直角坐标系,则A(0,0),B(2,0).设AD=a,则C(1,a),=(1,a),=(-1,a).因为AC⊥BC,所以⊥.所以·=-1+a2=0,解得a=1(负值舍去). 答案:1 10. (5分)如图,在矩形ABCD中,AB=2,BC=2,点E为BC的中点,点F在边CD上,若·=2,则·的值是　　　　.  解析:建立如图所示的平面直角坐标系,设DF=x,由图可得A(0,0),B(2,0),E(2,),F(x,2),·=(2,0)·(x,2)=2x=2, 即有x=1.即F(1,2),=(-1,2),则·=(2,)·(-1,2)=2×(-1)+×2=-2+4=2. 答案:2 11..（5分）已知=a+b,=a-2b,|a|=2|b|=2,a,b的夹角为,则三角形ABC的BC边上中线的长为　　　　.  解析:设D为BC的中点,则2=+,所以(2)2=(+)2.所以4=(2a-b)2.所以||===. 答案: 12.(10分)已知两个力F1=5i+3j,F2=-2i+j,F1,F2作用于同一质点,使该质点从点A(8,0)移动到点B(20,15)(其中i,j分别是x轴正方向、y轴正方向上的单位向量,力的单位:N,位移的单位:m).试求: (1)F1,F2分别对质点所做的功;（5分） (2)F1,F2的合力F对质点所做的功.（5分） 解:(1)根据题意,F1=5i+3j=(5,3),F2=-2i+j=(-2,1),=(12,15), 故F1对该质点做的功W1=F1·=60+45=105(J); F2对该质点做的功W2=F2·=-24+15=-9(J). (2)根据题意,F1,F2的合力F=F1+F2=(3,4), 故F1,F2的合力F对该质点做的功W=F·=3×12+4×15=96(J). 13.(10分)已知四边形ABCD是菱形,AC和BD是它的两条对角线.利用向量方法证明:AC⊥BD. 证明:法一:因为=+,=-,所以·=(+)·(-)=||2-||2=0.所以⊥,即AC⊥BD. 法二:以B为原点,BC所在直线为x轴,建立平面直角坐标系,如图所示,则B(0,0),设A(a,b),C(c,0),则由|AB|=|BC|,得a2+b2=c2.因为=-=(c,0)-(a,b)=(c-a,-b),=+=(a,b)+(c,0)=(c+a,b),所以·=c2-a2-b2=0.所以⊥,即AC⊥BD. 14.(10分)已知某人在静水中游泳的速度为4 km/h,河水的流速为4 km/h,现此人在河中游泳.如果他垂直游向河对岸,那么他实际沿什么方向前进?实际前进的速度为多少? 解:如图,设此人在静水中游泳的速度为,水流的速度为, 以OA,OB为邻边作平行四边形OACB,则此人的实际速度为+=. 由题意,⊥且||=4,||=4,所以||==8. 在Rt△OAC中,tan∠AOC==, 所以∠AOC=60°. 故此人沿与河岸成60°的夹角顺着水流的方向前进,速度大小为8 km/h. 15.(15分)如图,在正方形ABCD中,P是对角线BD上的一点,四边形PECF是矩形,用向量证明:PA⊥EF. 证明:设正方形边长为a, 由于P是对角线BD上的一点, 可设=λ(0≤λ≤1). 则=- =-λ=-λ(+) =(1-λ)-λ. 又因为=-=(1-λ)-λ,所以·=[(1-λ)-λ]·[(1-λ)-λ]=(1-λ)2·-(1-λ)λ·-λ(1-λ)·+λ2·=-λ(1-λ)a2+λ(1-λ)a2=0.因此⊥,故PA⊥EF. 学科网（北京）股份有限公司 $