课时分层评价12 平面向量的应用举例-【金版新学案】2025-2026学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义配套练习word（湘教版）

课时分层评价12　平面向量的应用举例 (时间：40分钟　满分：80分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—8每小题5分，共40分) 1.已知三个力F1＝(－2，－1)，F2＝(－3，2)，F3＝(7，－3)同时作用于某物体上一点，为使该物体保持平衡，再加上一个力F4，则F4等于(　　) A.(－2，－2) B.(2，－2) C.(－1，2) D.(－2，2) 答案：D　 解析：因为F1＝(－2，－1)，F2＝(－3，2)，F3＝(7，－3)，所以F1＋F2＋F3＝(－2，－1)＋(－3，2)＋(7，－3)＝(2，－2)，要想使该物体保持平衡，只需F4 ＝－(2，－2)＝(－2，2)，故选D. 2.河水的流速为5 m/s，一艘小船想沿垂直于河岸方向以12 m/s的速度驶向对岸，则小船的静水速度大小为(　　) A.13 m/s B.12 m/s C.17 m/s D.15 m/s 答案：A　 解析：设河水的流速｜v2｜＝5 m/s， 静水速度与河水速度的合速度｜v｜＝12 m/s， 小船的静水速度为v1， 为了使船航向垂直河岸，船头必须斜向上游方向， 即静水速度v1斜向上游方向， 河水速度｜v2｜＝5 m/s平行于河岸， 静水速度与河水速度的合速度｜v｜＝12 m/s指向对岸， 所以静水速度｜v1｜＝＝＝13(m/s).故选A. 3.若O为△ABC所在平面内任一点，且满足(－)·(＋－2)＝0，则△ABC的形状是(　　) A.等腰三角形 B.直角三角形 C.正三角形 D.等腰直角三角形 答案：A　 解析：因为(－)·(＋－2)＝0， 所以·(＋)＝0， 所以⊥(＋)， 所以△ABC的中线和底边垂直， 所以△ABC是等腰三角形.故选A. 4.已知O是△ABC所在平面上一点，满足｜｜2＋｜｜2＝＋｜｜2，则点O(　　) A.在与边AB垂直的直线上 B.在角A的平分线所在直线上 C.在边AB的中线所在直线上 D.以上选项都不对 答案：A　 解析：设＝a，＝b，＝c，则＝－＝c－b，＝－＝a－c，又｜｜2＋｜｜2＝｜｜2＋｜｜2，所以｜a｜2＋｜c－b｜2＝｜b｜2＋｜a－c｜2，化简可得b·c＝a·c，即(b－a)·c＝0，即·＝0，所以⊥，AB⊥OC，故选A. 5.已知点O为△ABC所在平面内一点，且＋＝＋＝＋，则O是△ABC的(　　) A.外心 B.内心 C.垂心 D.重心 答案：C　 解析：由＋＝＋， 得－＝－， 即－＝－，故(－)·(＋)＝(－)·(＋)， 故·(＋)＝(＋)·， 所以·(＋－－)＝0， 又＝－，＝－， 所以·(＋＋－＋－)＝0， 所以·＝0，即CO⊥AB， 同理·＝0，·＝0，即OB⊥AC，OA⊥BC，所以O是△ABC的垂心.故选C. 6.已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝90°，AD＝2，BC＝1，P是腰DC上的动点，则｜2＋3｜的最小值为　　　　. 答案：7 解析：以，为x，y轴的正方向建立平面直角坐标系，如图所示： 设C(0，a)，P(0，b)，B(1，a)，A(2，0)，0≤b≤a， 则2＋3＝2(2，－b)＋3(1，a－b) ＝(7，3a－5b)， 所以｜2＋3｜＝ ≥7， 当b＝时取得最小值7. 7.已知A，B是圆心为C，半径为的圆上的两点，且｜AB｜＝，则·＝　　　　. 答案：－ 解析：由题意知，圆C的半径为，且｜AB｜＝，可得∠ACB＝60°， 所以·＝－·＝－｜｜·｜｜·cos ∠ACB＝－××＝－. 8.小船以10 km/h的静水速度按垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为10 km/h，则小船实际航行速度的大小为　　　　km/h. 答案：20 解析：如图，设小船实际航行速度为v0，则v0＝v1＋v2，设船在静水中的速度为｜v1｜＝10 km/h，河水的流速为｜v2｜＝10 km/h， 因为v1⊥v2，所以＋＝，得＋102＝， 所以｜v0｜＝20 km/h，即小船实际航行速度的大小为20 km/h. 9.(15分)在风速为75(－) km/h的西风中，飞机以150 km/h的航速向西北方向飞行，求没有风时飞机的航速和航向. 解：设向量a表示风速，b表示无风时飞机的航行速度，c表示有风时飞机的航行速度，则c＝a＋b. 如图，作向量＝a，＝b，＝c，则四边形OACB为平行四边形， 过C，B分别作OA的垂线，交AO的延长线于D，E两点， 由已知得，｜｜＝75(－)，｜｜＝150，∠COD＝45°， 在Rt△COD中，OD＝OCcos 45°＝75，CD＝75， 又ED＝BC＝OA＝75(－)， 所以OE＝OD＋ED＝75，又BE＝CD＝75， 所以在Rt△OEB中，OB＝＝150，sin ∠BOE＝＝， 所以｜｜＝150，∠BOE＝30°， 故没有风时飞机的航速为150 km/h，航向为西偏北30°. 10.(15分)(1)已知向量a，b满足｜a｜＝，b＝(1，2)，且a∥b，求a的坐标； (2)已知A(－1，－4)，B(5，2)，C(3，4)，判断并证明以A，B，C为顶点的三角形是否为直角三角形，若是，请指出哪个角是直角. 解：(1)设a＝(x，y)，则x2＋y2＝5， 又a∥b，所以2x－y＝0， 联立 于是a＝(1，2)或a＝(－1，－2). (2)△ABC是直角三角形，∠B为直角. 证明如下： 因为＝(－1，－4)－(5，2)＝(－6，－6)，＝(3，4)－(5，2)＝(－2，2)， 所以·＝－6×(－2)＋(－6)×2＝0， 所以⊥，即△ABC为直角三角形，∠B为直角. (11、12每小题5分，共10分) 11.已知△ABC，若对任意m∈R，｜－m｜≥｜｜恒成立，则△ABC为(　　) A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.不确定 答案：C　 解析：在直线AB上取一点D，使得m＝，则－m＝－＝，所以｜｜≥｜｜.因为对于任意m∈R，都有不等式成立，由垂线段最短可知：AC⊥AD，即AC⊥AB，所以△ABC为直角三角形.故选C. 12.△ABC中，⊥，M是BC中点，O是线段AM上任意一点，且｜｜＝｜｜＝2，则·＋·的最小值为(　　) A.－2 B.2 C.－1 D.1 答案：C　 解析：在直角三角形ABC中，AB＝AC＝2，则BC＝2，因为M为BC的中点，所以AM＝.设｜｜＝x(0≤x≤)， 则·＋·＝·(＋) ＝2· ＝－2｜｜·｜｜ ＝－2x(－x)＝2(x2－x) ＝2－1， 所以当x＝，即｜｜＝时，原式取得最小值为－1.故选C. 学科网（北京）股份有限公司 $