1.6.3 解三角形应用举例 课时跟踪检测-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第二册配套练习word（湘教版）

1.6.3　解三角形应用举例 [课时跟踪检测] 1.在相距2 km的A,B两点处测量目标点C,若∠CAB=75°,∠CBA=60°,则A,C两点之间的距离为 (　　) A. km B. km C. km D.2 km 解析:选A　如图,在△ABC中,由已知可得∠ACB=45°,∴=.∴AC=2×=(km). 2.如图,D,C,B三点在地面同一直线上,DC=100 m,从C,D两点测得A点仰角分别是60°,30°,则A点离地面的高度AB等于 (　　) A.50 m B.100 m C.50 m D.100 m 解析:选A　因为∠DAC=∠ACB-∠D=60°-30°=30°,所以△ADC为等腰三角形. 所以AC=DC=100 m. 在Rt△ABC中,AB=ACsin 60°=50 m. 3.如图,为测量A,B两地之间的距离,甲同学选定了与A,B不共线的C处,构成△ABC,以下是测量数据的不同方案:①测量∠A,|AC|,|BC|;②测量∠A,∠B,|BC|;③测量∠C,|AC|,|BC|;④测量∠A,∠B,∠C.要求甲同学选择的方案能唯一确定A,B两地之间的距离,这样的方案有 (　　) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 解析:选B　选择方案①,由正弦定理得=,sin B=,B角可能有两解,从而|AB|不一定能唯一确定;选择方案②,∠A,∠B确定后∠C是确定的,由正弦定理可得|AB|是唯一的;选择方案③,直接由余弦定理求解,|AB|是唯一的;选择方案④,三角形只有三个角的大小,没法求得边长,不唯一.因此可选择方案有②和③两个.故选B. 4.如图,某景区为方便游客,计划在两个山头M,N间架设一条索道.为测量M,N间的距离,施工单位测得以下数据:两个山头的海拔高度MC=100 m,NB=50 m,在BC同一水平面上选一点A,测得M点的仰角为60°,N点的仰角为30°,以及∠MAN=45°,则M,N间的距离为 (　　) A.100 m B.120 m C.100 m D.200 m 解析:选A　由题意,可得∠MAC=60°,∠NAB=30°,MC=100,NB=50,∠MAN=45°,且∠MCA=∠NBA=90°,在Rt△ACM中,可得AM==200,在Rt△ABN中,可得AN==100,在△AMN中,由余弦定理得MN2=AM2+AN2-2AM·ANcos∠MAN=20 000,所以MN=100 m.故选A. 5.甲船在岛A的正南方向B处,以每小时4 km的速度向正北方向航行,AB=10 km,同时乙船自岛A出发以每小时6 km的速度向北偏东60°的方向驶去,当甲、乙两船相距最近时,它们所航行的时间为 (　　) A. min B. min C.21.5 min D.2.15 h 解析:选A　如图,设t h后甲行驶到D处,则AD=10-4t,乙行驶到C处,则AC=6t.∵∠BAC=120°,∴由余弦定理得DC2=AD2+AC2-2AD·AC·cos 120°=(10-4t)2+(6t)2-2×(10-4t)×6t×cos 120°=28t2-20t+100=+. 当t=时,DC2最小,即DC最小,此时它们所航行的时间为×60= min. 6.赵爽是我国古代数学家,大约在公元222年,赵爽在为《周髀算经》作序时,介绍了“勾股圆方图”,亦称为“赵爽弦图”.可类似地构造如图所示的图形,由三个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成一个大的等边三角形,设DF=3FA,若AB=3,则DF的长为 (　　) A.9 B.2 C.3 D. 解析:选A　由题可知在△DEF中,∠EDA=,则∠ADB=. 不妨设DF=3k(k>0),由DF=3AF知AF=k,则AD=4k,又因为△AFC与△BDA全等,所以DB=AF=k.在△ABD中,由余弦定理可知 cos∠ADB===-,解得k=3,所以DF=9. 7.(5分)如图,在高速公路建设中需要确定隧道的长度,工程技术人员已测得隧道两端的两点A,B到点C的距离AC=BC=1 km,且C=120°,则A,B两点间的距离为　　　　 km.  解析:在△ABC中,易得A=30°,由正弦定理=,得AB===(km). 答案: 8. (5分)当太阳光线与水平面的倾斜角为60°时,要使一根长为2 m的竹竿的影子最长,则竹竿与地面所成的角α=　　　　.  解析:如图,设竹竿影子长为x. 依据正弦定理可得 =, 所以x=·sin(120°-α). 因为0°<120°-α<120°,所以要使x最大,只需120°-α=90°,即α=30°时,影子最长. 答案:30° 9. (5分)如图,小明同学在山顶A处观测到一辆汽车在一条水平的公路上沿直线匀速行驶,小明在A处测得公路上B,C两点的俯角分别为30°,45°,且∠BAC=135°.若山高AD=100 m,汽车从C点到B点历时14 s,则这辆汽车的速度为　　　　m/s.(精确到0.1,参考数据:≈1.414,≈2.236)  解析:由题意可知,AB=200 m,AC=100 m, 由余弦定理可得 BC==100≈316.2(m),这辆汽车的速度为316.2÷14≈22.6(m/s). 答案:22.6 10.(6分)《蒙娜丽莎》是意大利文艺复兴时期画家列奥纳多·达·芬奇创作的油画,现收藏于法国卢浮宫博物馆.该油画规格为纵77 cm,横53 cm.油画挂在墙壁上时,其最低点处B离地面237 cm(如图所示).有一身高为175 cm的游客从正面观赏它(该游客头顶T到眼睛C的距离为15 cm),设该游客与墙的距离为x cm,视角为θ,为使观察视角θ最大,x应为　　　 cm.  解析:如图所示,作CD⊥AB,交AB的延长线于点D. ∵TC=15 cm, ∴C到地面的距离为175-15=160(cm). ∴BD=237-160=77(cm),AD=AB+BD=77+77=154(cm). 由图易得,BC==(cm), AC==(cm), 由余弦定理得cos θ= = =×≥ ×=, 当且仅当=,即x=77时,等号成立,此时cos θ取得最小值,θ最大. 答案:77 11.(10分)如图,某货轮在A处看灯塔B在货轮的北偏东75°,距离为12 n mile,货轮由A处向正北航行到D处时,再看灯塔B在北偏东120°,求A与D间的距离. 解:在△ABD中,∠ADB=60°,∠DAB=75°,∴B=45°. ∴AD===24(n mile). 即A与D间的距离为24 n mile. 12.(10分)如图,在社会实践中,小明观察一棵桃树.他在点A处发现桃树顶端点C的仰角大小为45°,往正前方走4 m后,在点B处发现桃树顶端点C的仰角大小为75°. (1)求BC的长;（4分） (2)若小明身高为1.70 m,求这棵桃树顶端点C离地面的高度(精确到0.01 m,其中≈1.732).（6分） 解:(1)因为∠CAB=45°,∠DBC=75°, 所以∠ACB=75°-45°=30°.又AB=4, 由正弦定理得=, 解得BC=4(m). 即BC的长为4 m. (2)在△CBD中,∠CDB=90°,BC=4, 所以DC=4sin 75°=4×=2+2. 所以CE=ED+DC=1.70+2+2≈3.70+3.464≈7.16(m). 即这棵桃树顶端点C离地面的高度约为7.16 m. 13.(15分)如图,某广场有一块不规则的绿地,城建部门欲在该地上建造一个底座为三角形的环境标志,小李、小王设计的底座形状分别为△ABC,△ABD,经测量AD=BD=7 m,BC=5 m,AC=8 m,∠C=∠D. (1)求AB的长度;(6分) (2)若环境标志的底座每平方米造价为5 000元,不考虑其他因素,小李、小王谁的设计使建造费用较低(请说明理由)?较低造价为多少?（9分） 解:(1)在△ABC中,由余弦定理,得cos C==. 在△ABD中,由余弦定理,得cos D==. 由∠C=∠D,得cos C=cos D,所以=,解得AB=7.所以AB长度为7 m. (2)小李的设计符合要求.理由如下: 因为S△ABD=·AD·BD·sin D=sin D,S△ABC=·AC·BC·sin C=20sin C, 又sin D=sin C,所以S△ABD>S△ABC,故选择△ABC建造环境标志费用较低. 因为AD=BD=AB=7,所以△ABD是等边三角形,∠D=∠C=60°.所以S△ABC=20sin C=10. 所以总造价为5 000×10=50 000(元). 学科网（北京）股份有限公司 $