1.5.1 第1课时 向量的数量积 课时跟踪检测-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第二册配套练习word（湘教版）

1.5.1 第1课时 向量的数量积 [课时跟踪检测] 1.已知a，b是互相垂直的单位向量，若c=a-2b，则b·c= (　　) A.-2 B.-1 C.0 D.2 解析：选A　b·c=b·(a-2b)=b·a-2b2=0-2=-2.故选A. 2.已知|a|=3，|b|=4，a·b=-6，则向量a与b的夹角为 (　　) A. B. C. D. 解析：选B　设向量a与b的夹角为θ，θ∈[0，π]，因为cos θ===-，所以θ=. 3.若|a|=4，|b|=2，a和b的夹角为30°，则a在b的方向上的投影长为 (　　) A.2 B. C.2 D.4 解析：选C　因为a在b的方向上的投影向量为|a|cos 30°×=4××=b，所以a在b的方向上的投影长为|b|=2，故选C. 4.对于非零向量a与b，下列不等式恒成立的是 (　　) A.a·b≥|a|·|b| B.a·b≤|a|·|b| C.a·b>|a|·|b| D.a·b<|a|·|b| 解析：选B　设非零向量a与b的夹角为θ，则θ∈[0，π]，cos θ∈[-1，1]，则a·b=|a|·|b|·cos θ≤|a|·|b|，故选B. 5.已知平面向量a，b，c满足a+b+c=0，|a|=2，|b|=3，|c|=4，则cos<a，b>= (　　) A. B. C.- D. 解析：选D　因为a+b+c=0，所以c=-a-b，则c2=(-a-b)2=a2+2a·b+b2，即4+2|a||b|·cos<a，b>+9=16，从而12cos<a，b>=3，解得cos<a，b>=. 6.在四边形ABCD中，=，且(+)·()=0，那么四边形ABCD为 (　　) A.平行四边形 B.矩形 C.菱形 D.正方形 解析：选C　由=，可得四边形ABCD是平行四边形.由(+)·()=0，得=0，即=，所以||=||.所以四边形ABCD为菱形.故选C. 7.已知|a|=|b|=1，向量a与b的夹角为60°，则|3a-4b|= (　　) A.5 B.13 C.3 D. 解析：选D　|3a-4b|= = ==，故选D. 8.若向量a，b，c满足a∥b且a⊥c，则c·(a+2b)= (　　) A.4 B.3 C.2 D.0 解析：选D　∵a∥b，a⊥c，∴b⊥c， ∴a·c=0，b·c=0， ∴c·(a+2b)=a·c+2b·c=0+0=0. 9.已知非零向量m，n满足4|m|=3|n|，设m与n的夹角为θ，若cos θ=，n⊥(t m+n)，则实数t的值为 (　　) A.4 B.-4 C. D.- 解析：选B　由题意知，cos θ===，所以m·n=|n|2=n2，因为n·(t m+n)=0，所以t m·n+n2=0，即t n2+n2=0，所以t=-4. 10.“平面向量a，b平行”是“平面向量a，b满足a·b=|a||b|”的 (　　) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 解析：选B　若平面向量a，b平行，则向量a，b方向相同或相反，所以a·b=|a||b|或a·b=-|a||b|；若a·b=|a||b|，则cos＜a，b＞=1，即向量a，b方向相同，以及向量a，b平行.综上，“平面向量a，b平行”是“平面向量a，b满足a·b=|a||b|”的必要而不充分条件.故选B. 11.（5分）已知平面向量α，β，|α|=1，|β|=2，α⊥(α-2β)，则|2α+β|的值是　　　　.  解析：由α⊥(α-2β)知，α·(α-2β)=0，则2α·β=1，所以|2α+β|2=4α2+4α·β+β2=4+2+4=10.故|2α+β|=. 答案： 12. （5分）在△ABC中，M是BC的中点，AM=1，点P在AM上，且满足=2，则·(+)=　　　　.  解析：因为M是BC的中点，=2，AM=1，所以·(+)=·2=·===. 答案： 13.(15分)在△ABC中，已知||=5，||=4，||=3，求： (1)·；（5分） (2)在上的投影向量；（5分） (3)在上的投影向量. （5分） 解：(1)因为||=5，||=4，||=3， 所以||2+||2=||2，即AC⊥BC， 所以cos B==. 所以·=||||cos(π-B)=5×4×=-16. (2)由(1)知，AC⊥BC，所以cos A==， 所以在上的投影向量为||cos A·=3××=. (3)由(1)知，cos B=，所以在上的投影向量为||cos (π-B)·=5××=-. 14.(15分)已知向量e1与e2是夹角为的单位向量，且向量a=3e1+4e2，b=2e1+λe2. (1)求|a|；（5分） (2)若a⊥(a+b)，求实数λ的值.（10分） 解：(1)由题意知，e1·e2=1×1×cos=.因为a=3e1+4e2，所以|a|====. (2)因为向量a=3e1+4e2，b=2e1+λe2，所以a·b=(3e1+4e2)·(2e1+λe2)=6+(3λ+8)e1·e2+4λ=10+λ.因为a⊥(a+b)，所以a·(a+b)=a2+a·b=37+10+λ=0，解得λ=-. 学科网（北京）股份有限公司 $