4.5.2 第1课时 柱、锥、台的体积 课时跟踪检测-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第二册配套练习word（湘教版）

4.5.2 第1课时 柱、锥、台的体积 [课时跟踪检测] 1.若正方体的表面积为96，则正方体的体积为 (　　) A.48 B.64 C.16 D.96 解析：选B　设正方体的棱长为a，则6a2=96，∴a=4.∴其体积V=a3=43=64.故选B. 2.已知圆锥的母线长为5，底面半径为3，则其体积为 (　　) A.15π B.30π C.12π D.36π 解析：选C　设圆锥的高为h，如图，则h==4.所以其体积V=Sh=×π×32×4=12π.故选C. 3.已知圆台的体积为7π，上、下底面的半径分别为1和2，则圆台的高为 (　　) A.3 B.4 C.5 D.6 解析：选A　设圆台的体积为V，高为h.由题意得，V=(π+2π+4π)h=7π，所以h=3. 4.小明有一卷纸，纸非常的薄且紧紧缠绕着一个圆柱体轴心卷成一卷，它的整体外貌如图，纸卷的直径为12 cm，轴的直径为4 cm，当小明用掉的纸后，则剩下的这卷纸的直径最接近于 (　　) A.6 cm B.7 cm C.8 cm D.9 cm 解析：选B　设小明用掉的纸后，剩下的这卷纸的直径为x cm，卷纸高为h cm，则由题可知(π×62-π×22)h×=h， 解得x2=48.所以剩下的这卷纸的直径最接近于7 cm.故选B. 5.如图，正方体ABCD⁃A'B'C'D'的棱长为4，动点E，F在棱AB上，且EF=2，动点Q在棱D'C'上，则三棱锥A'⁃EFQ的体积 (　　) A.与点E，F的位置有关 B.与点Q的位置有关 C.与点E，F，Q的位置都有关 D.与点E，F，Q的位置均无关，是定值 解析：选D　因为点Q到平面A'EF的距离为正方体的棱长4，A'到EF的距离为正方体的棱长4，所以VA'⁃QEF=VQ⁃A'EF=××2×4×4=，是定值，因此与点E，F，Q的位置均无关. 6.(多选)如图，四边形ABCD为正方形，ED⊥平面ABCD，FB∥ED，AB=ED=2FB，记三棱锥E⁃ACD，F⁃ABC，F⁃ACE的体积分别为V1，V2，V3，则 (　　) A.V3=2V2 B.V3=V1 C.V3=V1+V2 D.2V3=3V1 解析：选CD　设AB=ED=2FB=2a，因为ED⊥平面ABCD，FB∥ED，所以V1=·ED·S△ACD=·2a··(2a)2=a3， V2=·FB·S△ABC=·a··(2a)2=a3.连接BD交AC于点M，连接EM，FM，易得BD⊥AC，又ED⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD， 则ED⊥AC.又ED∩BD=D，ED，BD⊂平面BDEF，则AC⊥平面BDEF. 过F作FG⊥DE于G，易得四边形BDGF为矩形，则FG=BD=2a，EG=a， 又BM=DM=BD=a， 则EM==a， FM==a，EF==3a， EM2+FM2=EF2，则EM⊥FM，S△EFM=EM·FM=a2，AC=2a， 则V3=VA⁃EFM+VC⁃EFM=AC·S△EFM=2a3，则2V3=3V1，V3=3V2，V3=V1+V2，故A、B错误，C、D正确.故选CD. 7.（5分）(2024·全国甲卷)已知圆台甲、乙的上底面半径均为r1，下底面半径均为r2，圆台的母线长分别为2(r2-r1)，3(r2-r1)，则圆台甲与乙的体积之比为　　　　.  解析：两圆台的上、下底面积对应相等，则两圆台的体积之比为高之比，根据母线与半径的关系可得圆台甲与乙的体积之比为==. 答案： 8. （5分）将4×6的矩形铁皮作为圆柱的侧面卷成一个圆柱，则圆柱的最大体积是　　　　　　.  解析：当矩形的边长4作为圆柱的底面周长时，圆柱的高为6，设底面半径为r，由2πr=4，可得r=，此时圆柱的体积为πr2h1=π··6=.当矩形的边长6作为圆柱的底面周长时，圆柱的高为4，设底面半径为R，由2πR=6，可得R=，此时圆柱的体积为πR2h2=π··4=.故圆柱的最大体积为. 答案： 9. （5分）如图，在△ABC中，AB=8，BC=10，AC=6，DB⊥平面ABC，且AE∥FC∥BD，BD=3，FC=4，AE=5.则此几何体的体积为　　　　　　.  解析：如图，用“补形法”把原几何体补成一个直三棱柱，使AA'=BB'=CC'=8.因为AB2+AC2=BC2，所以AB⊥AC.所以S△ABC=×8×6=24.所以V几何体=V三棱柱=·S△ABC·AA'=×24×8=96. 答案：96 10.（5分）已知圆柱的全面积为80π，圆柱内有一平行于圆柱轴的截面，截面面积为24，且截面上的两条母线将圆柱侧面分成两部分的表面积之比为1∶2，则圆柱的体积是　　　　　.  解析：因为截面上的两条母线将圆柱侧面分成两部分的表面积之比为1∶2，所以由圆柱底面圆心向截面与底面的两个交点连线形成的圆心角，即弦AB所对的圆心角为×2π=. 设底面半径为r，则弦AB===r. 设圆柱的高为h，则 解得或(舍去). 所以圆柱的体积V=πr2h=96π. 答案：96π 11.（5分）中国古代计时器的发明时间不晚于战国时代，其中沙漏就是古代利用机械原理设计的一种计时装置，它根据细沙从一个容器漏到另一个容器的时间来计量时间.如图，某沙漏由上、下两个圆锥容器组成，圆锥的底面直径和高均为8 cm，细沙全部在上部时，其高度为圆锥高度的(两圆锥连接处长度忽略不计).若细沙全部漏入下部后，恰好堆成一个盖住沙漏底部的圆锥形沙堆，则此圆锥形沙堆的高为　　　cm.  解析：由题意可知，开始时，沙漏上部分圆锥中的细沙的高H=×8=， 底面半径r=×4=，故细沙的体积V=πr2H=π××=. 当细沙漏入下部后，圆锥形沙堆的底面半径为4，设高为H'， 则π×42×H'=，解得H'=.故此圆锥形沙堆的高为 cm. 答案： 12.(10分)有一堆规格相同的铁制(铁的密度为7.8 g/cm3)六角螺帽共重6 kg，已知该种规格的螺帽底面是正六边形，边长是12 mm，内孔直径为10 mm，高为10 mm. (1)求一个六角螺帽的体积;(精确到0.001 cm3)（5分） (2)问这堆六角螺帽大约有多少个?（5分） (参考数据：π取3.14，取1.73，2.952×7.8≈23，1.083×7.8≈8.45) 解：(1)由题得V=×122×6×10-3.14××10=3 736.8-785=2 951.8≈2 952(mm3)=2.952(cm3)，所以一个六角螺帽的体积为2.952 cm3. (2)这堆螺帽的个数为6×1 000÷(7.8×2.952)≈261.即这堆六角螺帽大约有261个. 13.(10分)如图，甲、乙是边长为4a的两块正方形钢板，现在将甲裁剪焊接成一个正四棱柱，将乙裁剪焊接成一个正四棱锥，使它们的全面积都等于原正方形的面积.(不计焊接缝的面积) (1)将你的裁剪方法用虚线标示在图中，并作简要说明;（5分） (2)试比较你所制作的正四棱柱与正四棱锥体积的大小.（5分） 解：(1)如图甲所示，将正方形按图中虚线剪，以两个边长为2a的小正方形为底面，以四个小矩形为侧面，焊接成一个底面边长为2a，高为a的正四棱柱. 如图乙所示，将正方形沿图中虚线剪开，把两个小长方形焊接成边长为2a的正方形作为底面，三个等腰三角形为侧面，两个边上的小直角三角形，焊接成与其他侧面相同的等腰三角形为第四个侧面，这样就可焊成一个底面边长为2a，斜高为3a的正四棱锥. (2)由上面的裁剪焊接方式可得V柱=(2a)2·a=4a3，V锥=(2a)2·2a=a3. 又∵42-=>0，∴4a3>a3. ∴正四棱柱的体积比正四棱锥的体积大. 14.(15分)(2023·全国乙卷)如图，在三棱锥P⁃ABC中，AB⊥BC，AB=2，BC=2，PB=PC=，BP，AP，BC的中点分别为D，E，O，点F在AC上，BF⊥AO. (1)求证：EF∥平面ADO.（7分） (2)若∠POF=120°，求三棱锥P⁃ABC的体积.（8分） 解：(1)证明：因为AB⊥BC，AB=2，BC=2，O是BC的中点，所以==. 所以△OBA∽△ABC.所以∠CAB=∠AOB. 记BF⊥AO的垂足为H，则△BHA∽△OBA， 所以∠HBA=∠AOB. 所以∠HBA=∠CAB.所以BF=AF，∠BCF=∠CBF.所以CF=BF. 故CF=AF，F是AC的中点. 因为E，F分别是AP，AC的中点，所以EF∥PC. 因为D，O分别是BP，BC的中点，所以DO∥PC. 所以EF∥DO.又DO⊂平面ADO，EF⊄平面ADO，所以EF∥平面ADO. (2)由(1)得FO∥AB， 因为AB⊥BC，所以FO⊥BC.又PO⊥BC， 所以∠POF是二面角P⁃BC⁃F的平面角. 所以二面角P⁃BC⁃F的大小为120°. 如图，过点P作PM⊥平面ABC于点M，连接MO，MB，则∠POM是二面角P⁃BC⁃M的平面角， 所以∠POM=60°. 在△PBC中，由PB=PC=，BC=2，得PO=2，所以PM=. 所以三棱锥P⁃ABC的体积VP⁃ABC=S△ABC×PM=××2×2×=. 15.(15分)(2022·全国甲卷)小明同学参加综合实践活动，设计了一个封闭的包装盒.包装盒如图所示：底面ABCD是边长为8(单位：cm)的正方形，△EAB，△FBC，△GCD，△HDA均为正三角形，且它们所在的平面都与平面ABCD垂直. (1)证明：EF∥平面ABCD;（10分） (2)求该包装盒的容积.(不计包装盒材料的厚度)（5分） 解：(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，△EAB和△FBC是正三角形， ∴分别取AB，BC的中点K，I，连接EK，FI，KI，则EK⊥AB，FI⊥BC，如图. ∵平面EAB⊥平面ABCD，平面EAB∩平面ABCD=AB，EK⊂平面EAB， ∴EK⊥平面ABCD.同理FI⊥平面ABCD， ∴EK∥FI.易知△EAB≌△FBC，∴EK=FI. ∴四边形EKIF是平行四边形.∴EF∥KI. 又EF⊄平面ABCD，KI⊂平面ABCD， ∴EF∥平面ABCD. (2)可补形成长方体，如图，易得长方体的高为4cm.故所求包装盒的容积V=82×4-4×××42×4=(cm3). 学科网（北京）股份有限公司 $