1.5.1 数量积的定义及计算（同步练习）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高一数学必修第二册（湘教版）

1.5　向量的数量积 1.5.1　数量积的定义及计算 基础过关练 题组一　向量数量积的运算及运算律 1.下列说法错误的是(　　) A.对于任意向量a,有0·a=0 B.若a·b=0,则a=0或b=0 C.对于任意向量a·b,有|a·b|≤|a||b| D.若a,b共线,则a·b=±|a||b| 2.(多选题)(2025甘肃天水第一中学月考)关于平面向量a,b,c,下列说法正确的是(　　) A.(a-b)·(a+b)=a2-b2 B.(a+b)·c=a·c+b·c C.若a·b=a·c,且a≠0,则b=c D.(a·b)·c=a·(b·c) 3.(2025四川凉山民族中学月考)已知两个单位向量e1,e2的夹角为120°,则e1·(2e1+3e2)=(　　) A.　　B.1　　C.　　D. 4.如图,在△ABC中,已知AB=2,AC=6,∠BAC=60°,点D,E分别在边AB,AC上,且=2,=5. (1)若F为DE的中点,用向量和表示; (2)在(1)的条件下,求·的值. 题组二　投影 5.已知|a|=8,e为单位向量,当它们的夹角为时,a在e方向上的投影长为(　　) A.4　　B.4　　 C.4　　D.8+ 6.(2025甘肃张掖民乐第一中学月考)已知向量a,b满足|a|=1,|b|=2,a与b的夹角为,则b在a方向上的投影向量为(　　) A.-　　B.a　　 C.-a　　D.-a 7.(2025甘肃定西岷县第一中学月考)已知两个单位向量a与b的夹角为60°,则向量a-b在向量a方向上的投影为　　　　.  8.已知a·b=16,若向量a在b方向上的投影向量为4b,则|b|=　　　　.  题组三　利用数量积求向量的模 9.若向量a与b的夹角为60°,|b|=4,(a+2b)·(a-3b)=-72,则|a|=(　　) A.2　　B.4　　C.6　　D.12 10.(2025陕西西安第一中学月考)若平面向量a,b,c两两的夹角为120°,且|a|=|b|=1,|c|=3,则|a+b+c|=　　　　.  题组四　利用数量积求向量的夹角 11.(2025天津咸水沽第一中学月考)若a与a+2b的数量积为6,|a|=2,|b|=1,则<a,b>=(　　) A.　　B.　　C.　　D. 12.(多选题)已知e1,e2是两个单位向量,λ∈R时,|e1+λe2|的最小值为,则下列结论正确的是(　　) A.e1,e2的夹角可能是 B.e1,e2的夹角可能是 C.|e1+e2|=1或 D.|e1+e2|=1或 13.(2025河北沧州段考)已知向量a,b满足|b|=1,且(a+2b)·(a-2b)=2,a·(a-b)=4. (1)求向量a与2a-b的夹角θ的余弦值; (2)若向量a-3tb与ta-3b的夹角为锐角,求实数t的取值范围. 题组五　向量的垂直 14.已知向量a,b满足|a|=5,|b|=4,a与b的夹角为120°,若(ka-2b)⊥(a+b),则实数k=(　　) A.　　B.　　C.1　　D.2 15.已知O,A,B,C,D在同一平面内,|OA|=|OB|=|OC|=|OD|=1,且·=0,则|+|的最大值为(　　) A.2　　B.2+ C.1+　　D.4 16.若非零向量a,b满足|a+b|=|b|,a⊥(a+λb),则λ=　　　　.  17.已知向量a,b,c满足a+b+c=0,(a-b)⊥c,a⊥b,若|a|=1,则|a|2+|b|2+|c|2的值是　　　　.  18.(2025四川内江第一中学月考)已知O为坐标原点,e1,e2是两个夹角为60°的单位向量,=2e1+e2,=-3e1+2e2. (1)求||; (2)求与的夹角; (3)设=te1,若△ABC是以AC为斜边的直角三角形,求实数t的值. 能力提升练 题组一　向量数量积的运算及其运算律 1.(2025辽宁大连滨城高中联盟期中)已知△ABC中,AB=3,AC=4,·=6,O为△ABC所在平面内一点,且+2+3=0,则·的值为(　　) A.-4　　B.-1　　C.1　　D.4 2.(创新题)(新情境·以化学分子结构式为背景考查向量数量积的运算)(2025陕西十七校期中联考)C60是一种由60个碳原子构成的分子,形似足球,又名足球烯,其分子结构由12个正五边形和20个正六边形组成.如图,将足球烯上的一个正六边形和相邻正五边形展开放平,若正多边形的边长为1,A,B,C为正多边形的顶点,则·=(　　) A.1　　B.2　　C.3　　D.4 题组二　向量的夹角和模 3.(2025安徽庐巢联盟期中)已知向量a,b,c满足a+b+c=0,|a|=2,|b|=2,|c|=1,则cos<a,c>=(　　) A.-　　B.　　C.　　D.- 4.(2025湖北武汉华师一附中月考)已知a,b是两个不共线的向量,且a·b的最小值为4,若对任意的m,n∈R,|a+mb|的最小值为1,|na+b|的最小值为2,则|b|的最小值为(　　) A.2　　B.4　　C.　　D.5 5.已知平面向量a,b满足a·b=-2,已知a方向上的单位向量为e,向量b在向量a方向上的投影向量为-e. (1)若a+2b与a-b垂直,求|b|的大小; (2)若a与b的夹角为,求向量b与2a+3b夹角的余弦值. 题组三　向量数量积的综合应用 6.(2025甘肃天水第一中学月考)如图,有两个具有公共顶点且全等的正六边形,若C,D,K三点共线,且X∈{C,D,E,F,G,H,I,J,K},则·的结果中不同正值的个数为(　　) A.8　　B.7　　C.6　　D.5 7.如图,在△ABC中,CA=1,CB=2,∠ACB=60°. (1)求||; (2)已知D是边AB上一点,满足=λ,E是边CB上一点,满足=λ. ①当λ=时,求·; ②是否存在非零实数λ,使得⊥?若存在,求出λ的值;若不存在,请说明理由. 答案与分层梯度式解析 1.5　向量的数量积 1.5.1　数量积的定义及计算 基础过关练 1.B 2.AB 3.A 5.B 6.C 9.C 11.B 12.ABD 14.A 15.B 1.B　根据数量积的定义,得0·a=|0||a|cos<0,a>=0,故A中说法正确;当a,b都是非零向量,且a⊥b时,a·b=0也成立,故B中说法错误;由|a·b|=||a||b|cos<a,b>|≤|a||b|,知C中说法正确;当a,b共线时,<a,b>=0或<a,b>=π,则cos<a,b>=±1,所以a·b=±|a||b|,故D中说法正确. 2.AB　根据向量数量积的运算律知A,B正确; 对于C,当b,c反向且都与a垂直时满足题设,但b≠c,故C错误; 对于D,(a·b)·c是与c共线的向量,a·(b·c)是与a共线的向量,故D错误. 3.A　e1·(2e1+3e2)=2+3e1·e2=+3|e1|·|e2|cos 120°=2+3×=. 4.解析　(1)=+=-+ =-+(-) =-+ =-+. (2)==(-), ∵=2,=5,∴=-, ∴·=-· =-+· =-×4+×2×6×cos 60° =-. 5.B　设a,e的夹角为α,则α=,a在e方向上的投影长为|a||cos α|=4. 6.C　b在a方向上的投影向量为·a=·a=·a=-a. 7.答案　 解析　由两个单位向量a与b的夹角为60°, 可得a·b=1×1×=, (a-b)·a=a2-a·b=1-=, 则向量a-b在向量a方向上的投影为==. 8.答案　2 解析　设a,b的夹角为θ,则a·b=|a||b|cos θ=16, 因为向量a在b方向上的投影向量为|a|cos θ·=4b, 所以|a|cos θ=4|b|,所以4|b|2=16,所以|b|=2. 9.C　∵(a+2b)·(a-3b)=-72, ∴a2-a·b-6b2=-72, ∴|a|2-|a||b|cos 60°-6|b|2=-72, ∴|a|2-2|a|-24=0.又∵|a|≥0,∴|a|=6. 10.答案　2 解析　由题意可得a·b=-,a·c=b·c=-, 则|a+b+c|= = ==2. 11.B　因为a·(a+2b)=6,所以a2+2a·b=6, 即|a|2+2|a||b|cos<a,b>=6, 即4+4cos<a,b>=6,解得cos<a,b>=, 又因为<a,b>∈[0,π],所以<a,b>=. 12.ABD　∵e1,e2是两个单位向量,且|e1+λe2|的最小值为, ∴(e1+λe2)2的最小值为, 即(e1+λe2)2=1+2λe1·e2+λ2的最小值为, ∴λ2+2λe1·e2+=0在λ∈R上有两个相等的实数根, ∴Δ=(2e1·e2)2-1=0,∴e1·e2=±, ∴e1与e2的夹角为或,故A,B正确; |e1+e2|2=1或|e1+e2|2=3, ∴|e1+e2|=1或|e1+e2|=,故C错误,D正确. 13.解析　因为(a+2b)·(a-2b)=2, 所以a2-4b2=2,即|a|2-4|b|2=2, 又|b|=1,所以|a|=. 因为a·(a-b)=4,所以a2-a·b=4,所以a·b=2. (1)a·(2a-b)=2a2-a·b=12-2=10, |2a-b|===, 所以cos θ===. (2)(a-3tb)·(ta-3b)=ta2-(3t2+3)a·b+9tb2=-6t2+15t-6, 由题意知(a-3tb)·(ta-3b)>0且向量a-3tb与ta-3b不共线, 所以-6t2+15t-6>0,且t≠±1, 解得<t<2,且t≠±1, 故实数t的取值范围为∪(1,2). 解题模板 　　若向量a与b的夹角为锐角,则a·b>0且a≠λb(λ∈R),若向量a与b的夹角为钝角,则a·b<0且a≠λb(λ∈R),注意结果要排除两向量共线的情况. 14.A　a·b=|a||b|cos 120°=5×4×=-10. 因为(ka-2b)⊥(a+b), 所以(ka-2b)·(a+b)=ka2-2b2+(k-2)a·b=25k-2×16-10(k-2)=15k-12=0,解得k=. 15.B　∵·=0,∴⊥,又∵|OA|=|OB|=1, ∴|+|=,∴|+|=|-+-|=|+-(+)|, ∴当,同向,且,与+反向时,|+|取得最大值,最大值为2+. 16.答案　2 解析　∵|a+b|=|b|,∴|a+b|2=|b|2, ∴a2+2a·b=0.① ∵a⊥(a+λb),∴a·(a+λb)=0, ∴a2+λa·b=0.② 由①②可得λ=2. 17.答案　4 解析　如图,令=a,=b,以AD,AB为邻边作平行四边形ABCD,连接AC,BD, 由a⊥b,可得AD⊥AB,∴四边形ABCD为矩形. ∵a+b+c=0,∴c=-(a+b)=. ∵(a-b)⊥c,=a-b,∴CA⊥BD, ∴四边形ABCD为正方形, ∴|a|=|b|=1,|c|=,∴|a|2+|b|2+|c|2=4. 18.解析　(1)=-=-5e1+e2, 因为|e1|=|e2|=1,e1·e2=|e1||e2|cos 60°=, 所以||===. (2)·=(2e1+e2)·(-3e1+2e2)=-6+2+e1·e2=-, ||===, ||===, 所以cos<,>==-, 又<,>∈[0,π],所以<,>=. (3)由题意可知⊥,由(1)知=-5e1+e2, 又=-=(t+3)e1-2e2, 所以·=(-5e1+e2)·[(t+3)e1-2e2]=-5(t+-2+(t+13)e1·e2=0, 即-5(t+3)-2+(t+13)=0,解得t=-. 能力提升练 1.D 2.B 3.D 4.B 6.D 1.D　因为+2+3=0, 所以+2(+)+3(+)=0, 所以6+2+3=0, 所以=--,所以=+, 因此·=·(-)=--·=×42-×32-×6=4. 方法点睛 　　向量运算的技巧 (1)构造向量加、减法的三角形法则和平行四边形法则; (2)树立“基”的意识,利用基向量进行运算. 2.B　连接BC,由对称性可知BA=BC,取AC的中点H,连接BH,则AC⊥BH,AH=AC, 因为正六边形的边长为1,所以AC=2, 所以·=||·||cos∠BAC=||·||=2. 方法技巧 　　若已知向量b的模及a在b方向上的投影向量c的模,则可根据a·b=±|b||c|求数量积,这种方法避免了求a与b的夹角. 3.D　由a+b+c=0,可得b=-(a+c), 对b=-(a+c)两边同时平方可得b2=a2+2a·c+c2, 即4=4+2a·c+1, 则a·c=-, 所以|a||c|cos<a,c>=-,即2×1×cos<a,c>=-, 则cos<a,c>=-. 4.B　设a,b的夹角为θ, 因为a,b不共线,且a·b的最小值为4,所以0<θ<, 易知当b⊥(a+mb)时,|a+mb|取得最小值,为1,当a⊥(na+b)时,|na+b|取得最小值,为2, 所以|a|sin θ=1,|b|sin θ=2, 两式相乘可得|a||b|sin2θ=2,所以|a||b|=(*), 又a·b=|a||b|cos θ≥4,结合(*)式可得≥4, 所以cos θ≥2sin2θ=2(1-cos2θ), 所以(2cos θ-)(cos θ+2)≥0,所以1>cos θ≥, 又0<θ<, 所以0<sin θ≤,所以|b|=≥4, 所以|b|的最小值为4. 5.解析　设向量a,b的夹角为θ, 由题意得|b|cos θ==-1, 所以a·b=-|a|,又a·b=-2,所以|a|=2. (1)因为a+2b与a-b垂直, 所以(a+2b)·(a-b)=0, 所以|a|2+a·b-2|b|2=0, 所以4-2-2|b|2=0,所以|b|=1. (2)由题意得|b|cos=-1,所以|b|=, |2a+3b|===, b·(2a+3b)=2a·b+3|b|2=2, 设向量b与2a+3b的夹角为α, 则cos α===. 6.D　如图,过C,D,E,G,H,I,J,K分别作AB的垂线, 结合正六边形的性质可得,垂足分别为M2,B,A,M3,M4,M3,B,M1. 易得在方向上的投影向量可以是0,,,,,. 由数量积的几何意义可得, ·=0,·=||||,·=·=,·=||||,·=·=||||,·=||||,又易知·<0, 所以·的结果中共有5个不同的正值. 7.解析　(1)∵=-,且=4,=1,·=2×1×cos 60°=1, ∴||=|-|= ==. (2)①当λ=时,=,=, ∴D,E分别是边AB,BC的中点, ∴=+=+, =(+), ∴·=·(+) =·+·+·+ =-×12+×1×2×cos 120°+×2×1×cos 60°+×22=. ②存在非零实数λ,使得⊥.理由如下: 假设存在非零实数λ,使得⊥, 由=λ,得=λ(-), ∴=+=+λ(-)=λ+(1-λ), ∵=λ, ∴=+=(-)+λ(-)=(1-λ)-, ∴·=λ(1-λ)-λ·+(1-λ)2·-(1-λ)=4λ(1-λ)-λ+(1-λ)2-(1-λ)=-3λ2+2λ=0, 解得λ=或λ=0(不合题意,舍去). 故存在非零实数λ=,使得⊥. 7 学科网（北京）股份有限公司 $