1.3 第2课时 向量数乘的应用 课时跟踪检测-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第二册配套练习word（湘教版）

1.3 第2课时 向量数乘的应用 [课时跟踪检测] 1.设a，b都是非零向量，下列四个条件，使=成立的充要条件是 (　　) A.a=b B.a=2b C.a∥b且|a|=|b| D.a∥b且方向相同 解析：选D　表示a方向的单位向量，因此=的充要条件是a与b同向即可，故选D. 2.设e1，e2是两个不共线的向量，若向量m=-e1+ke2(k∈R)与向量n=e2-2e1共线，则 (　　) A.k=0 B.k=1 C.k=2 D.k= 解析：选D　若向量m=-e1+ke2(k∈R)与向量n=e2-2e1共线，则存在实数λ，使m=λn， ∴-e1+ke2=λ(e2-2e1)=-2λe1+λe2. ∴解得k=. 3.“赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝，它是由四个全等的直角三角形和一个正方形构成.现仿照赵爽弦图，用四个三角形和一个小平行四边形拼成一个大平行四边形，如图，其中E，F，G，H分别是DF，AG，BH，CE的中点，若=x+y，则2x+y等于 (　　) A. B. C.1 D.2 解析：选D　由题意可得=+=+=+(+)=++，因为四边形EFGH是平行四边形，所以=-.所以=+.所以=+.因为=x+y，所以x=，y=.则2x+y=2×+=2. 4.已知=a+5b，=-2a+8b，=3(a-b)，则 (　　) A.A，B，C三点共线 B.A，C，D三点共线 C.A，B，D三点共线 D.B，C，D三点共线 解析：选C　对于A，因为=a+5b，=-2a+8b，且≠，所以与不共线.所以A，B，C三点不共线，错误；对于B，因为=+=a+5b-2a+8b=-a+13b，且≠，所以与不共线.所以A，C，D三点不共线，错误；对于C，因为=+=-2a+8b+3a-3b=a+5b=，所以A，B，D三点共线.正确；对于D，因为=-2a+8b，=3(a-b)，且≠，所以与不共线.所以B，C，D三点不共线，错误. 5.在△ABC中，已知D是AB边上一点，若=2，3=+λ，则λ= (　　) A.2 B.1 C.-2 D.-1 解析：选C　如图所示，因为=2，所以D为线段AB的三等分点中靠近B的点. 所以=+=+=+()=+=.所以3=-2.所以λ=-2. 6.已知向量a，b，c中任意两个都不共线，并且a+b与c共线，b+c与a共线，那么a+b+c等于 (　　) A.a B.b C.c D.0 解析：选D　∵a+b与c共线， ∴存在实数λ1，使得a+b=λ1c. ① 又∵b+c与a共线， ∴存在实数λ2，使得b+c=λ2a. ② 由①得，b=λ1c-a. ∴b+c=λ1c-a+c=(λ1+1)c-a=λ2a. ∴即 ∴a+b+c=-c+c=0.故选D. 7.(多选)下列命题是真命题的是 (　　) A.若A，B，C，D在一条直线上，则与是共线向量 B.若A，B，C，D不在一条直线上，则与不是共线向量 C.若向量与是共线向量，则A，B，C，D四点必在一条直线上 D.若向量与是共线向量，则A，B，C三点必在一条直线上 解析：选AD　A项为真命题，A，B，C，D在一条直线上，则向量的方向相同或相反，因此与是共线向量；B项为假命题，A，B，C，D不在一条直线上，则的方向不确定，不能判断与是否共线；C项为假命题，因为两个向量所在的直线可能没有公共点，所以A，B，C，D四点不一定在一条直线上；D项为真命题，因为两个向量所在的直线有公共点A，且与是共线向量，所以A，B，C三点共线.故选AD. 8.（5分）在△ABC中，D为AC的中点，E为AB上一点，BD，CE交于一点F，且=2，若=λ，则实数λ的值为　　　　.  解析：因为=2，所以F为三角形的重心.所以E为AB的中点.所以=.所以λ=. 答案： 9. （5分）已知在△ABC中，点M满足++=0，若存在实数m使得+=m成立，则m=　　　　.  解析：∵++=0，∴+=-.又由+=m，得(+)-2=m，即-3=m=-m，∴m=3. 答案：3 10. （5分）已知平面向量e1，e2不共线，且=2e1+ke2，=3e1+2ke2，=e1+e2，若A，B，D三点共线，则k=　　　　.  解析：依题意得，==e1+e2-(3e1+2ke2)=-2e1+(1-2k)e2， 由A，B，D三点共线可知，存在实数λ，使得=λ，即2e1+ke2=λ[-2e1+(1-2k)e2]，由于e1，e2是两个不共线的向量，则解得k=1. 答案：1 11.如图，在△ABC中，延长CB到D，使BD=BC，当点E在线段AD上移动时，若=λ+μ(λ，μ∈R)，则t=λ-μ的最大值是　　　　.  解析：设=k，0≤k≤1，则=k(+2)=k[+2()]=2k-k. ∵=λ+μ，∴∴t=λ-μ=3k. 又0≤k≤1，∴当k=1时，t取得最大值3. 故t=λ-μ的最大值为3. 答案：3 12.(10分)已知向量m，n不是共线向量，a=3m+2n，b=6m-4n，c=m+xn. (1)判断a，b是否共线；（5分） (2)若a∥c，求x的值. （5分） 解：(1)若a与b共线，由题知a为非零向量，则存在实数λ，使得b=λa，即6m-4n=λ(3m+2n)， ∴得到λ=2且λ=-2. ∴λ不存在，即a与b不共线. (2)∵a∥c，∴存在实数r，使得c=ra， 即m+xn=3rm+2rn. 即解得x=. 13.(10分)如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，且AB=2CD，M，N分别是DC和AB的中点，若=a，=b，试用a，b表示 ，. 解：如图所示，连接CN，则四边形ANCD是平行四边形. 则===a， ===b-a， ==-=-=a-b. 14.(10分)如图，在△ABC中，==.设=a，=b. (1)用a，b表示；（4分） (2)若P为△ABC内部一点，且=a+b，求证：M，P，N三点共线. （6分） 解：(1)如图，==b-a，==+=(b-a)+a=b+a. (2)证明：连接AN，由+=++=+=a+b-(b-a)=a+b，又=a+b， 所以=+，故M，P，N三点共线. 15.(15分)如图，在▱ABCD中，点E，F分别是AD和DC边的中点，BE，BF分别交AC于点R，T.你能发现AR，RT，TC之间的关系吗?请用向量的方法证明. 解：AR=RT=TC.证明如下： 因为四边形ABCD为平行四边形，所以=+，设=λ，因为E是AD的中点，所以=2，故=λ=λ(+)=λ(2+)=2λ+λ. 又因为B，R，E三点共线，所以3λ=1，解得λ=，故=.同理可证=，可知R，T为AC的三等分点，故AR=RT=TC. 学科网（北京）股份有限公司 $