课时分层评价4 向量的数乘-【金版新学案】2025-2026学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义配套练习word（湘教版）

课时分层评价4　向量的数乘 (时间：40分钟　满分：80分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—8每小题5分，共40分) 1.已知向量a，b，且＝a＋2b，＝－5a＋6b，＝7a－2b，则一定共线的三点是(　　) A.A，B，D B.A，B，C C.B，C，D D.A，C，D 答案：A　 解析：因为＝－5a＋6b，＝7a－2b，所以＝＋＝2a＋4b，又＝a＋2b，所以＝2，即∥，而，有公共点B，所以A，B，D三点共线，A选项正确；＝－4a＋8b，显然，，两两不共线，选项B，C，D都不正确.故选A. 2.如图所示，矩形ABCD的对角线相交于点O，E为AO的中点，若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，则λ－μ＝(　　) A.－ B. C.1 D.－1 答案：D　 解析：由＝＋＝＋ ＝－＋＋)＝－＋， 所以λ＝－，μ＝，即λ－μ＝－1，故选D. 3.(多选)设a是非零向量，λ是非零实数，下列结论中不正确的是(　　) A.a与λa的方向相反 B.a与λ2a的方向相同 C.｜－λa｜≥｜a｜ D.｜－λa｜≥｜λ｜·a 答案：ACD　 解析：对于A，当λ＞0时，a与λa的方向相同，故A不正确；而λ2＞0，故a与λ2a的方向相同，B正确；对于C，｜－λa｜＝｜λ｜｜a｜，由于｜λ｜的大小不确定，故｜－λa｜与｜a｜的大小关系不确定，故C错误；对于D，｜λ｜·a是向量，而｜－λa｜表示长度，两者不能比较大小，故D错误.故选ACD. 4.我国东汉末数学家赵爽在《周髀算经》中利用一副“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示.在“赵爽弦图”中，若＝a，＝b，＝3，则＝(　　) A. a＋ b B. a＋ b C. a＋ b D. a＋ b 答案：B　 解析：由题得＝＋＝＋＝＋＋)＝＋，即＝＋，解得＝＋，即＝ a＋ b.故选B. 5.瑞士数学家欧拉在1765年发表的《三角形的几何学》一书中有这样一个定理：“三角形的外心、垂心和重心都在同一直线上，而且外心和重心的距离是垂心和重心距离之半”，这就是著名的欧拉线定理.设△ABC中，点O，H，G分别是外心、垂心和重心，下列四个选项中结论不正确的是(　　) A.＝2 B.＋＋＝0 C.＝＋＋ D.＝＝ 答案：D　 解析：如图：根据欧拉线定理可知，点O，H，G共线，且GH＝2OG. 对于A，因为GH＝2OG，所以＝2，故A正确；对于B，取BC的中点为D，则＋＋＝＋2＝0，故B正确；对于C，＝3＝3(－)＝3(－)＝2－3＝2(＋)－3＝2－＝＋＋，故C正确；对于D，＝＝显然不正确.故选D. 6.在△ABC中，已知D是AB边上一点，若＝2，＝＋λ，则λ的值为　　　　. 答案： 解析：方法一：由＝2，得－＝2(－)，即＝＋，所以λ＝. 方法二：由D是AB边上一点知，A，B，D三点共线. 又＝＋λ，所以＋λ＝1，因此λ＝. 7.若＝(a＋5b)，＝－2a＋8b，＝3(a－b)，则共线的三点是　　　　. 答案：A，B，D 解析：因为＝＋＝a＋5b，所以＝，又有公共点B，则A，B，D三点共线. 8.已知在△ABC所在的平面内有一点P，满足＋＋＝，则△PBC与△ABC的面积之比是　　　　. 答案：2∶3 解析：因为＋＋＝，所以＝－－＝＋＋＝2，所以点P在边CA上，且是靠近点A一侧的三等分点，所以△PBC与△ABC的面积之比为2∶3. 9.(10分)设两个不共线的向量e1，e2，若a＝2e1－3e2，b＝2e1＋3e2，c＝2e1－9e2，是否存在实数λ，μ，使d＝λa＋μb与c共线？ 解：d＝λ(2e1－3e2)＋μ(2e1＋3e2) ＝(2λ＋2μ)e1＋(3μ－3λ)e2， 要使d与c共线，则存在实数k，使得d＝kc(c≠0)， 即(2λ＋2μ)e1＋(3μ－3λ)e2＝2ke1－9ke2， 所以(2λ＋2μ－2k)e1＝(－9k＋3λ－3μ)e2， 又e1，e2是两个不共线的向量， 所以解得λ＝－2μ. 故存在实数λ和μ，使得d与c共线，此时λ＝－2μ. 10.(10分)如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，且AB＝2CD，设＝a，＝b. (1)试用a和b表示； (2)若点P满足＝a＋λb，且B，D，P三点共线，求实数λ的值. 解：(1)因为＝－，＝－，又AB＝2CD，故＝2， 所以－＝2(－)， 化为＝－＋2＝－b＋2a. (2)因为B，D，P三点共线， 所以＝k＋(1－k)， 因为＝－，＝2， 所以＝＋， 又＝a＋λb＝＋λ ＝＋λ(－)， 所以＝＋λ(－) ＝－＋(＋λ)， 又因为，不共线， 所以解得λ＝. 11.(5分)△ABC中，D为AC上的一点，满足＝.若P为BD上的一点，满足＝m＋n(m＞0，n＞0)，则＋的最小值为　　　　　　　. 答案：16 解析：由已知＝＋＝(m－1)＋n， 又＝， 所以＝＋＝－m－n＋＝－m＋(－n)， 因为B，P，D三点共线，，不共线， 所以存在λ使得＝λ，即 得m＋4n＝1， 又m＞0，n＞0， 所以＋＝(m＋4n)(＋)＝8＋＋≥8＋2 ＝16， 当且仅当m＝4n即m＝，n＝时，取等号， 即＋的最小值为16. 12.(15分)如图，四边形ABCD是正方形，延长CD至E，使得DE＝CD，连接AE.若动点P从点A出发，按如下路线运动：A→B→C→D→E→A→D，其中＝λ＋μ. (1)当点P为BC的中点时，求λ＋μ的值； (2)满足λ＋μ＝1的点P有几个？ 解：(1)连接AC(图略)， 因为点P为BC的中点， 所以＝＋，① 因为DE＝CD，所以＝2， 所以＝＋＝＋2＝－2， 因为＝λ＋μ， 所以＝(λ－2μ)＋μ，② 因为，不共线， 由①②可得 所以λ＋μ＝2. (2)若λ＋μ＝1，则λ＝1－μ， 因为＝λ＋μ， 所以＝(1－μ)＋μ， 所以－＝μ(－)，所以＝μ， 所以B，P，E三点共线， 所以动点P运动至点B，E以及BE与边AD的交点时满足条件， 即满足λ＋μ＝1的点P有3个. 学科网（北京）股份有限公司 $