1.3 第1课时 向量的数乘 课时跟踪检测-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第二册配套练习word（湘教版）

1.3 第1课时 向量的数乘 [课时跟踪检测] 1.下列计算正确的个数是 (　　) ①(-3)·2a=-6a；②2(a+b)-(2b-a)=3a； ③(a+2b)-(2b+a)=0. A.0 B.1 C.2 D.3 解析：选C　(-3)·2a=-6a，故①正确；2(a+b)-(2b-a)=3a，故②正确；(a+2b)-(2b+a)=0，故③错误. 2.下列说法正确的是 (　　) A.λa与a的方向不是相同就是相反 B.若a，b共线，则b=λa C.若|b|=2|a|，则b=±2a D.若b=±2a，则|b|=2|a| 解析：选D　当λ=0时，λa=0，由于零向量的方向是任意的，故A错误；当a=0，b≠0时，此时a，b共线，但不能得到b=λa，故B错误；|b|=2|a|，a，b的方向不确定，故不能得到b=±2a，故C错误；若b=±2a，则|b|=2|a|，故D正确. 3.在△ABC中，AB=AC，∠BAC=，则向量与的夹角为 (　　) A. B. C. D. 解析：选B　∵AB=AC，∠BAC=，∴∠ABC=∠ACB=，则向量与的夹角为π-∠ABC=. 4.如图，向量a-b= (　　) A.-2e1-4e2 B.-4e1-2e2 C.e1-3e2 D.3e1-e2 解析：选C　如图，令b=，a=，所以a-b===e1-3e2. 5.已知A，B，O是平面内不共线的三个定点，且=a，=b，点P关于点A的对称点为Q，点Q关于点B的对称点为R，则等于 (　　) A.a-b B.2(b-a) C.2(a-b) D.b-a 解析：选B　如图，a=(+)，b=(+)， 相减得b-a=(). 所以=2(b-a).故选B. 6.设a是非零向量，λ是非零实数，下列结论正确的是 (　　) A.a与λa的方向相反 B.a与λ2a的方向相同 C.|-λa|≥|a| D.|-λa|>|λ||a| 解析：选B　只有λ<0时，a与λa的方向相反，所以A不正确；因为λ2>0，所以a与λ2a的方向相同，所以B正确；因为|-λa|=|λ||a|，只有当|λ|≥1时，才有|-λa|≥|a|，所以C不正确；因为|-λa|=|λ||a|，所以D不正确. 7.若a=b+c，化简3(a+2b)-2(3b+c)-2(a+b)的结果为 (　　) A.-a B.-4b C.c D.a-b 解析：选A　∵a=b+c，∴3(a+2b)-2(3b+c)-2(a+b)=3a+6b-6b-2c-2a-2b=a-2b-2c=a-2(b+c)=a-2a=-a. 8.在平行四边形ABCD中，=2，则= (　　) A.+ B.+ C. D. 答案：A 9.(多选)下列关于向量的命题，正确的是 (　　) A.零向量平行于任意向量 B.对于非零向量a，b，若a∥b，则a=±b C.对于非零向量a，b，若a=±b，则a∥b D.对于非零向量a，b，若a∥b，则a与b所在直线一定重合 解析：选AC　根据零向量的定义可知，零向量与任意向量平行，故A正确；对于非零向量a，b，若a∥b，则a和b是平行向量，平行向量的方向相同或相反，但|a|不一定等于|b|，所以a不一定等于±b，故B错误；对于非零向量a，b，若a=±b，则a与b是相等向量或相反向量，一定有a∥b，故C正确；对于非零向量a，b，若a∥b，则a和b是平行向量，也就是共线向量，但a与b所在直线不一定重合，故D错误. 10.(多选)已知点O是△ABC的重心，则下列说法正确的是 (　　) A.++=0 B.=(+) C.=(+) D.+=(+) 解析：选AB　如图，记D为BC的中点，则O为AD上靠近点D的三等分点.因为+=2=-2，所以++=0，A正确；又+=2=，所以(+)=，B正确，C错误；又+=2+=2=6，所以+=(+)，故D错误. 11.(多选)在△ABC中，==，记=a，=b，则下列结论正确的是 (　　) A.=(-a-b)　　　 B.=-b C.=(b-a) D.=a+b 解析：选AC　如图，因为===a，=b，所以=+=-b-a，==-b.所以==(-a-b)，=+=b-(a+b)=(b-a). 12.(多选)已知D，E，F分别为△ABC的边BC，CA，AB的中点，且=a，=b，给出下列结论，其中正确的是 (　　) A.=-b B.=a-b C.=a+b D.=a 解析：选AC　如图所示，=-=-b，则A正确； =+=a+b，则B错误；=+=a+b，则C正确；==-=-a，则D错误. 13.（5分）若|a|=3，b与a方向相反，且|b|=5，则a=　　　.(用b表示)  解析：由|a|=3，|b|=5，得|a|=|b|. 又b与a方向相反，所以a=-b. 答案：-b 14. （5分）已知点C在线段AB上，且||=||，若=λ，则λ=　　　　.  解析：不妨设||=4a，则||=||=3a.因为点C在线段AB上，所以=-. 答案：- 15.(10分)若向量a=3i-4j，b=5i+4j，求-3+(2b-a). 解：a-b=(3i-4j)-(5i+4j)=-4i-j； a+b=(3i-4j)+(5i+4j)=i-j； 2b-a=2(5i+4j)-(3i-4j)=7i+12j； -3+(2b-a) =-3+(7i+12j) =-16i+j. 16.(10分)若点M是△ABC所在平面内的一点，且满足3=0，求△ABM与△ABC面积的比值. 解：如图，设D为BC边的中点，则=(+).因为3=0，所以3=+=2，所以=，所以S△ABM=S△ABD=S△ABC. 即S△ABM∶S△ABC=1∶3. 学科网（北京）股份有限公司 $