1.2 第1课时 向量的加法-【金版教程】2024-2025学年高中数学必修第二册创新导学案word（湘教版2019）

第1课时　向量的加法 (教师独具内容) 课程标准：借助实例和平面向量的几何表示，掌握平面向量加法运算及运算规则，理解其几何意义． 教学重点：1．理解并掌握向量加法的概念及其几何意义．2．掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则，并能熟练地运用这两个法则作两个向量的加法运算．3．了解向量加法的交换律和结合律，会求多个向量的和． 教学难点：向量加法的两个法则的应用． 核心素养：通过学习向量加法的概念、向量加法的三角形法则、向量加法的平行四边形法则培养数学抽象、直观想象和数学运算素养． 知识点一　向量的加法 如图，已知两个非零向量a，b，在平面上任取一点O，分别作＝a，＝b，则定义从O至B的向量为a，b的和，记作a＋b．即a＋b＝＋＝． 求向量和的运算称为向量的加法． 知识点二　向量的加法法则 (1)向量加法的三角形法则 将两个向量表示为首尾相接的有向线段来求和的作图法则叫作向量加法的三角形法则． 如果两个向量a，b的方向相同或相反，对于这种特殊情况，我们用下图来表示它们的和． (2)向量加法的平行四边形法则 如图，从同一点O出发作有向线段＝a，＝b，以OA，OB为邻边作平行四边形OACB，则对角线就是a与b的和，即＝a＋b． 知识点三　向量加法的运算律 (1)加法交换律：a＋b＝b＋a对任意两个向量a，b成立． (2)加法结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)对任意三个向量a，b，c成立． 知识点四　零向量的加法性质 任意向量与零向量相加后保持不变，等于这个向量本身，即a＋0＝0＋a＝a． 如果两个向量之和为0，即a＋b＝0，则a与b大小相等，方向相反，即b是a的相反向量，记作b＝－a．当然a也是b的相反向量，因此a＝－b＝－(－a)． 1．准确理解向量加法的三角形法则和平行四边形法则 (1)两个法则的使用条件不同 三角形法则适用于任意两个非零向量求和，平行四边形法则只适用于两个方向既不相同也不相反的非零向量求和． (2)当两个非零向量方向既不相同也不相反时，两个法则是一致的． 如图所示，＝＋(平行四边形法则)，又因为＝，所以＝＋(三角形法则)． (3)在使用三角形法则时，应注意“首尾连接”，这个方法可推广到多个向量相加的情形；在使用平行四边形法则时，应注意范围的限制及和向量与两向量起点相同． 2．向量加法的交换律和结合律对多个向量仍然成立． 3．向量a＋b与非零向量a，b的模及方向的关系 (1)当a与b方向既不相同也不相反时，a＋b的方向与a，b的方向都不相同，且|a＋b|＜|a|＋|b|． (2)当a与b同向时，a＋b，a，b的方向相同，且|a＋b|＝|a|＋|b|． (3)当a与b反向时，若|a|＞|b|，则a＋b的方向与a的方向相同，且|a＋b|＝|a|－|b|；若|a|＜|b|，则a＋b的方向与b的方向相同，且|a＋b|＝|b|－|a|；若|a|＝|b|，则a＋b为零向量． 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)任意两个向量相加就是模相加．(　　) (2)在向量加法的三角形法则中，和向量的始点是第一个向量的始点，终点是第二个向量的终点．(　　) (3)求任意两个非零向量的和都可以用平行四边形法则．(　　) 答案　(1)×　(2)√　(3)× 2．做一做 (1)对任意四边形ABCD，下列式子中不等于的是(　　) A．＋ B．＋＋ C．＋＋ D．＋＋ (2)如图所示，在正六边形ABCDEF中，若AB＝1，则|＋＋|等于(　　) A．1 B．2 C． D． (3)如图，在平行四边形ABCD中，＋＋＋＝________． 答案　(1)C　(2)B　(3)0 题型一　向量加法的三角形法则 例1　在▱ABCD中，O是对角线的交点，下列结论正确的是(　　) A．＋＝ B．＋＝ C．＋＝＋ D．＋＝＋ [解析]　根据向量加法的三角形法则，得＋＝，＋＝，所以＋＝＋． [答案]　C 1．向量加法的三角形法则作图的方法 (1)把用小写字母表示的向量，用两个大写字母表示(其中后面向量的始点与其前一个向量的终点重合即用同一个字母来表示)； (2)由第一个向量的始点指向第二个向量终点的有向线段就表示这两个向量的和． 2．对向量加法三角形法则的两点说明 (1)适用范围：非零向量． (2)注意事项：应用向量加法的三角形法则时，两个向量一定首尾相连，和向量的始点是第一个向量的始点，终点是第二个向量的终点． 3．两个向量的和仍是一个向量． [跟踪训练1]　(多选)在△ABC中，下列四个结论正确的是(　　) A．＋> B．＋＝ C．||＋||>|| D．||＋||＝|| 答案　BC 解析　A不正确，向量无法比较大小；根据向量加法的三角形法则可知，＋＝，B正确；由三角形的两边之和大于第三边，可知||＋||>||，C正确，D不正确．故选BC． 题型二　向量加法的平行四边形法则 例2　在平行四边形ABCD中，＋等于(　　) A． B． C． D． [解析]　因为四边形ABCD是平行四边形，所以由向量加法的平行四边形法则可得＋＝． [答案]　A 1．向量加法的平行四边形法则作图的方法 (1)把两个已知向量的始点平移到同一点； (2)以这两个已知向量为邻边作平行四边形； (3)以这两个已知向量的始点为始点，且模等于过这两个已知向量始点的对角线长的向量就是这两个已知向量的和． 2．向量加法的平行四边形法则的适用范围 任意两个非零向量，且方向既不相同也不相反． [跟踪训练2]　如图所示的方格纸中有定点O，P，Q，E，F，G，H，则＋＝(　　) A． B． C． D． 答案　C 解析　设a＝＋，以OP，OQ为邻边作平行四边形，则OP与OQ之间的对角线对应的向量为与的和向量，即向量a＝＋，由 a和长度相等，方向相同，得a＝，即＋＝． 题型三　向量的加法运算 例3　如图，在△ABC中，O为重心，D，E，F分别是BC，AC，AB的中点，化简下列各式： (1)＋＋； (2)＋＋； (3)＋＋． [解]　(1)＋＋＝＋＝． (2)＋＋＝(＋)＋＝＋＝． (3)＋＋＝＋＋＝＋＝． 解决向量加法运算时应关注的两点 (1)可以利用向量的几何表示，画出图形进行化简或计算． (2)要灵活应用向量加法运算律，注意各向量的起点、终点及向量起点、终点字母的排列顺序，特别注意勿将0写成0． [跟踪训练3]　化简或计算： (1)＋＋； (2)＋＋＋＋． 解　(1)＋＋＝(＋)＋ ＝＋＝． (2)＋＋＋＋ ＝(＋)＋(＋)＋ ＝＋＋＝＋＝0． 1．下列等式错误的是(　　) A．a＋0＝0＋a＝a B．＋＋＝0 C．＋＝0 D．＋＝＋＋ 答案　B 解析　对于A，根据0加任何向量都等于原向量，且向量加法满足交换律，所以A正确；对于B，根据向量加法的三角形法则可得＋＝，故原式等于＋≠0，故B错误；对于C，＋＝0，所以C正确；对于D，可知＋＋＝＋＝0，又＋＝0，可知D正确．故选B． 2．(多选)在▱ABCD中，设＝a，＝b，＝c，＝d，则下列等式中成立的是(　　) A．a＋b＝c B．a＋d＝b C．b＋d＝a D．|a＋b|＝|c| 答案　ABD 解析　由向量加法的平行四边形法则，知a＋b＝c成立，故|a＋b|＝|c|也成立；由向量加法的三角形法则，知a＋d＝b成立，b＋d＝a不成立． 3．若a等于“向东走8 km”，b等于“向北走8 km”，则|a＋b|＝________，a＋b的方向是________． 答案　8 km　北偏东45° 解析　如图所示，设＝a，＝b，则＝a＋b，且△ABC为等腰直角三角形．则||＝8 km，∠BAC＝45°． 4．在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，||＝1，则|＋|＝________． 答案　1 解析　由题意知△ABD为等边三角形， ∴|＋|＝||＝||＝1． 5．如图，在正六边形OABCDE中，＝a，＝b，试用向量a，b将，，表示出来． 解　设正六边形的中心为P，则四边形ABPO，AOEP，ABCP，OPDE均为平行四边形， 由向量加法的平行四边形法则得＝＋＝a＋b． ∵＝＝， ∴＝＝a＋b． 在△AOB中，根据向量加法的三角形法则得 ＝＋＝a＋a＋b． 同理，在△OBC中， ＝＋＝＋＝a＋a＋b＋b， 在△OED中，＝＋＝b＋a＋b． 一、选择题 1．关于平行四边形ABCD，给出下列式子： ①＝＋；②＝＋；③＋＝；④＋＝；⑤＝＋＋；⑥＝＋． 其中不正确的个数是(　　) A．1 B．2 C．4 D．6 答案　A 解析　＋＝，故⑥不正确；其他各项都正确． 2．设a＝(＋)＋(＋)，b是任一非零向量，则下列结论中正确的是(　　) ①a＋b＝a；②a＋b＝b；③|a＋b|<|a|＋|b|；④|a＋b|＝|a|＋|b|． A．①② B．①③ C．②④ D．②③④ 答案　C 解析　a＝(＋)＋(＋)＝＋＋＋＝0，易知②④正确．故选C． 3．已知D，E，F分别是△ABC的边AB，BC，CA的中点，则下列等式中不正确的是(　　) A．＋＝ B．＋＋＝0 C．＋＝ D．＋＝ 答案　D 解析　易知A，B正确．由向量加法的平行四边形法则可知＋＝，又＝，所以＋＝．由向量加法的平行四边形法则可知，＋＝≠． 4．已知四边形ABCD是菱形，则下列等式中成立的是(　　) A．＋＝ B．＋＝ C．＋＝ D．＋＝ 答案　C 解析　由四边形ABCD是菱形知＝，则＋＝＋＝．故选C． 5．(多选)已知向量a，b皆为非零向量，下列说法正确的是(　　) A．若a与b反向，且|a|＞|b|，则a＋b与a同向 B．若a与b反向，且|a|＞|b|，则a＋b与b同向 C．若a与b同向，则a＋b与a同向 D．若a与b同向，则a＋b与b同向 答案　ACD 解析　若a与b反向，且|a|＞|b|，则a＋b与a同向，所以A正确，B错误；若a与b同向，则a＋b与a同向，也与b同向，所以C，D均正确．故选ACD． 二、填空题 6．根据图示填空． (1)＋＝________； (2)＋＋＝________； (3)＋＋＝________． 答案　(1)　(2)　(3) 解析　由三角形法则知 (1)＋＝＋＝． (2)＋＋＝＋＝． (3)＋＋＝＋＝． 7．已知＝a，＝b，＝c，＝d，＝e，则a＋b＋c＋d＝________． 答案　e 解析　a＋b＋c＋d＝＋＋＋＝＝e． 8．若P为△ABC的外心，且＋＝，则∠ACB＝________． 答案　120° 解析　如图，因为＋＝，所以四边形APBC是平行四边形．又P为△ABC的外心，所以||＝||＝||．所以△APC和△BPC均为等边三角形．因此，∠ACB＝2∠ACP＝120°． 三、解答题 9．如图所示，已知向量a，b，c，试作出向量a＋b＋c． 解　作法一：如图1所示，首先在平面内任取一点O，作向量＝a，接着作向量＝b，则得向量＝a＋b；然后作向量＝c，则向量＝＋＝(a＋b)＋c＝a＋b＋c即为所求． 　 作法二：如图2所示，首先在平面内任取一点O，作向量＝a，＝b，＝c，以OA，OB为邻边作▱OADB，连接OD，则＝＋＝a＋b．再以OD，OC为邻边作▱ODEC，连接OE，则＝＋＝a＋b＋c即为所求． 10．如图，点D，E，F分别是△ABC三边AB，BC，CA的中点，化简： (1)＋＋； (2)＋＋． 解　(1)由D，E，F分别为△ABC三边AB，BC，CA的中点，易知四边形FDBE为平行四边形，则＝， ∴＋＋＝＋＋＝． (2)＋＋ ＝＋＋＋＋＋ ＝＋＋＋＋＋ ＝(＋)＋(＋)＋(＋) ＝0． 1．已知||＝|a|＝3，||＝|b|＝3，∠AOB＝60°，求|a＋b|． 解　如图，以OA，OB为邻边作▱OACB． 因为||＝||＝3， 所以▱OACB为菱形， 连接OC，AB，则OC⊥AB，设垂足为D． 因为∠AOB＝60°，所以∠AOD＝30°． 所以在Rt△AOD中，OD＝． 所以|a＋b|＝||＝×2＝3． 2．如图，已知D，E，F分别为△ABC的三边BC，AC，AB的中点．化简＋＋． 解　由题意知＝＋，＝＋，＝＋． 由题意可知＝，＝． ∴＋＋ ＝(＋)＋(＋)＋(＋) ＝(＋＋＋)＋(＋) ＝(＋＋＋＋)＋0 ＝＋＋＝＋＋＝0． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$