4.5.2 第2课时 球的表面积和体积-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第二册教师用书word（湘教版）

本讲义聚焦高中数学球的表面积和体积核心知识点，系统梳理球的大/小圆性质、球心到截面距离公式（d²+ r²= R²），以及球与正/长方体、多面体、旋转体的切接问题，搭建从平面到空间转化的学习支架，助力学生掌握空间问题平面化的解题思路。 该资料采用拓展融通的习题讲评式教学，通过两平行截面求球表面积等例题，引导学生用数学思维将空间问题转化为平面直角三角形求解，结合正方体截球等实例培养几何直观。思维建模总结补形法等方法，帮助学生用数学语言表达空间关系，课中提升教学效率，课后助力查漏补缺。

第2课时　球的表面积和体积(教学方式：拓展融通课——习题讲评式教学) [课时目标] 1.理解球的大、小圆，直线与球相切的意义，掌握球截面的性质，并能简单应用. 2.掌握球的表面积与体积公式，并能解决与球有关的组合体的相关计算问题. 题型(一)　球的截面 1.球的截面形状 (1)当截面过球心时，截面的半径即球的半径，此时球的截面就是球的大圆; (2)当截面不过球心时，截面的半径小于球的半径，此时球的截面就是球的小圆. 2.球的截面的性质 (1)球心和截面圆心的连线垂直于截面. (2)球心到截面的距离d与球的半径R及截面的半径r之间满足关系式： d=. 图形解释如下： 在球的轴截面图中，截面与球的轴截面的关系如图所示.若设球的半径为R，以O'为圆心的截面的半径为r，OO'=d.则在Rt△OO'C中，有OC2=O'C2+OO'2，即R2=r2+d2. [例1]　在球内有相距9 cm的两个平行截面面积分别为49π cm2和400π cm2，求此球的表面积. 解：(1)若两截面位于球心的同侧. 如图1所示的是经过球心O的大圆截面，C，C1分别是两平行截面的圆心，设球的半径为R cm，截面圆的半径分别为r cm，r1cm. 由π=49π，得r1=7(r1=-7舍去)， 由πr2=400π，得r=20(r=-20舍去). 在Rt△OB1C1中，OC1==， 在Rt△OBC中，OC==. 由题意可知OC1-OC=9， 即-=9， 解得R=25.S球=4πR2=2 500π(cm2). (2)若球心在截面之间， 如图2所示，OC1=， OC=. 由题意可知OC1+OC=9， 即+=9. 整理，得=-15，此方程无解，这说明第二种情况不存在. |思|维|建|模| 空间向平面的转化 (1)有关球的截面问题，常画出过球心的截面圆，将问题转化为平面中圆的问题. (2)球到截面的距离d与球的半径R及截面圆的半径r满足关系式r=. 利用球的半径、截面圆的半径、球心到截面的距离构建直角三角形是把空间问题平面化的主要途径. 　　[针对训练] 1.某同学在参加《通用技术》实践课时，制作了一个工艺品，如图所示，该工艺品可以看成是一个球被一个棱长为4的正方体的六个面所截后剩余的部分(球心与正方体的中心重合)，若其中一个截面圆的周长为2π，则该球的表面积为 (　　) A.20π B.16π C.12 D.8 解析：选A　设截面圆的半径为r，球的半径为R，则球心到某一截面的距离为正方体棱长的一半，即为2，根据截面圆的周长为2π可得2π=2πr，解得r=1，由题意知R2=12+22=5，∴该球的表面积为4πR2=20π.故选A. 题型(二)　与球有关的简单组合体 　　　　　　 　　　　　 　　　　　 题点1　球与正(长)方体的切接问题 　　处理与球有关的相接、相切问题时，关键是根据“接点”和“切点”作一适当的截面，将空间问题转化为平面问题. (1)球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径. (2)球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径. [例2]　有三个球，第一个球内切于正方体的六个面，第二个球与这个正方体的各条棱相切，第三个球过这个正方体的各个顶点，求这三个球的表面积之比. 解：设正方体的棱长为a，设三个球的半径分别为r1，r2，r3. ①正方体的内切球球心是正方体的中心，切点是六个面(正方形)的中心，经过在一个平面上的四个切点及球心作截面，如图(1)所示. 所以2r1=a，r1=，S1=4π=πa2. ②球与正方体各棱的切点为每条棱的中点，过球心作正方体的对角面得截面，如图(2). 所以2r2=a，r2=a，所以S2=4π=2πa2. ③正方体的各个顶点都在球面上，过球心作正方体的对角面得截面，如图(3)所示. 则2r3=a，∴r3=a，S3=4π=3πa2. 因此三个球的表面积之比为S1∶S2∶S3=1∶2∶3. 题点2　球与其他多面体的切接问题 　　特殊多面体的内切球或外接球问题，要注意球心的位置与几何体的关系.一般情况下，由于球的对称性，球心总在特殊位置，比如几何体的中心，对角线的中点等，还需熟记棱长为a的正四面体的外接球的半径R=a，内切球的半径r=. [例3]　设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为a，顶点在一个球面上，则该球的表面积为 (　　) A.πa2 B.πa2 C.πa2 D.5πa2 解析：选B　如图所示，设O1，O分别为上、下底面的中心，连接OO1，则球心O2为OO1的中点，连接AO并延长交BC于D点，连接AO2. ∵AD=a，AO=AD=a，OO2=，∴A=a2+a2=a2， 故该球的表面积S球=4π×a2=πa2. 题点3　球与旋转体的切接问题 　　球与圆柱的底面和侧面均相切，则球的直径等于圆柱的高，也等于圆柱底面圆的直径. [例4]　(1)若与球外切的圆台的上、下底面半径分别为r，R，则球的表面积为 (　　) A.4π(r+R)2 B.4πr2R2 C.4πRr D.π(R+r)2 (2)如图，在圆柱O1O2内有一个球O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切.记圆柱O1O2的体积为V1，球O的体积为V2，则的值是　　　　.  解析：(1)如图，BE=BO2=r，AE=AO1=R， 又OE⊥AB且BO⊥OA，∴△AEO∽△OEB， ∴OE2=AE·BE=Rr， ∴球的表面积为4πOE2=4πRr. (2)设球O的半径为r，则圆柱的底面半径为r，高为2r.所以==. 答案：(1)C　(2) |思|维|建|模| 求空间多面体的外接球半径的常用方法 (1)补形法：侧面为直角三角形，或正四面体，或对棱二面角均相等的模型，可以还原到正方体或长方体中去求解; (2)利用球的性质：几何体中在不同面均对直角的棱必然是球大圆直径，也即球的直径; (3)定义法：到各个顶点距离均相等的点为外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圆圆心，找其垂线，则球心一定在垂线上，再根据到其他顶点的距离也是半径，列关系式求解即可. 　　[针对训练] 2.棱长为4的正方体的内切球的表面积为 (　　) A.4π B.12π C.16π D.20π 解析：选C　设内切球的半径为r，由球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径，得2r=4，r=2，故内切球的表面积为S=4πr2=16π. 3.已知正三棱锥S⁃ABC的侧棱长为4，底面边长为6，则该正三棱锥外接球的表面积是　　　　.  解析：如图，过点S作SE⊥平面ABC于点E，记球心为O. ∵在正三棱锥S⁃ABC中，底面边长为6，侧棱长为4， ∴BE=××6=2. ∴SE==6. ∵球心O到四个顶点的距离相等，均等于该正三棱锥外接球的半径R， ∴OB=R，OE=6-R. 在Rt△BOE中，OB2=BE2+OE2， 即R2=12+(6-R)2，解得R=4. ∴外接球的表面积为S=4πR2=64π. 答案：64π 学科网（北京）股份有限公司 $