4.5 4.5.1 几种简单几何体的表面积-【金版教程】2024-2025学年高中数学必修第二册创新导学案word（湘教版2019）

4．5．1　几种简单几何体的表面积 (教师独具内容) 课程标准：知道棱柱、棱锥、棱台、球的表面积的计算公式，能用公式解决简单的实际问题． 教学重点：棱柱、棱锥、棱台、球的表面积公式及其应用． 教学难点：棱台的表面积公式的推导． 核心素养：通过棱柱、棱锥、棱台、球的表面积公式的推导和应用培养直观想象和数学运算素养． 知识点一　棱柱、棱锥、棱台的表面积 1．棱柱、棱锥、棱台的表面都由底面和侧面组成，因而其表面积(也称全面积)就是其底面积和侧面积之和． 2．直棱柱的侧面积计算公式 S直棱柱侧＝Ch，其中C为直棱柱的底面周长，h为直棱柱的高． 3．正棱锥的侧面积计算公式 S正棱锥侧＝Ch′，其中，C为正棱锥的底面周长，h′为侧面等腰三角形的高． 4．正棱台的侧面积计算公式 S正棱台侧＝(C＋C′)h′，其中C，C′为棱台两底面的周长，h′为棱台侧面的高． 知识点二　球的表面积 如果球的半径为R，那么它的表面积S＝4πR2． 1．S圆柱侧＝Cl＝2πRl，S圆锥侧＝Cl＝πRl，其中R是底面半径，C是底面周长，l是母线长． 2．S圆台侧＝(C＋C′)l＝π(R＋R′)l，其中l是母线长，C′，C分别是上、下底面周长，R′，R分别是上、下底面半径． 3．圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式之间的关系 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)棱台的侧面展开图是由若干个等腰梯形组成的．(　　) (2)多面体的表面积等于各个面的面积之和．(　　) (3)半径为1的球的表面积为4π．(　　) 答案　(1)×　(2)√　(3)√ 2．做一做 (1)已知圆柱的底面半径r＝1，母线长l与底面的直径相等，则该圆柱的表面积为(　　) A．6π B．8π C．9π D．10π (2)若圆锥的底面半径为1，高为，则圆锥的侧面积为________． (3)圆台OO′的母线长为6，两底面半径分别为2，7，则圆台的侧面面积是________． 答案　(1)A　(2)2π　(3)54π 题型一　棱柱、棱锥、棱台的表面积 例1　(1)现有一个底面是菱形的直四棱柱(侧棱与底面垂直)，它的体对角线长为9和15，高是5，求该直四棱柱的侧面积和表面积． [解]　如图，设底面对角线AC＝a，BD＝b，交点为O，对角线A1C＝15，B1D＝9，∴a2＋52＝152，b2＋52＝92， ∴a2＝200，b2＝56． ∵该直四棱柱的底面是菱形， ∴AB2＝＋＝ ＝＝64，∴AB＝8． ∴该直四棱柱的侧面积S侧＝4×8×5＝160． ∴该直四棱柱的底面积S底＝AC·BD＝20． ∴该直四棱柱的表面积S表＝160＋2×20＝160＋40． (2)已知棱长均为5，底面为正方形的四棱锥S－ABCD如图所示，求它的侧面积、表面积． [解]　解法一：∵四棱锥S－ABCD的各棱长均为5， ∴各侧面都是全等的正三角形． 设E为AB的中点，连接SE，则SE⊥AB， ∴SE＝， ∴S侧＝4S△SAB＝4×AB·SE ＝2×5×＝25， S表＝S侧＋S底＝25＋25＝25(＋1)． 解法二：∵四棱锥S－ABCD的各棱长均为5， ∴各侧面都是全等的正三角形． ∴S△SAB＝SA·SBsin60°＝． ∴S侧＝4S△SAB＝25． S表＝S侧＋S底＝25＋25＝25(＋1)． (3)已知四棱台的上、下底面分别是边长为4和8的正方形，侧面是腰长为8的等腰梯形，求该四棱台的表面积． [解]　如图，在四棱台ABCD－A1B1C1D1中，过B1作B1F⊥BC，垂足为F， 在Rt△B1FB中，BF＝×(8－4)＝2，B1B＝8，故B1F＝＝2， 所以S梯形BB1C1C＝×(8＋4)×2＝12， 故四棱台的侧面积S侧＝4×12＝48， 所以四棱台的表面积S表＝48＋4×4＋8×8＝80＋48． 1．棱柱、棱锥、棱台的表面积求法 (1)多面体的表面积是各个面的面积之和． (2)棱柱、棱锥、棱台的表面积等于它们的侧面积与各自底面积的和． 2．求解棱锥的表面积时，注意棱锥的四个基本量：底面边长、高、斜高、侧棱长，并注意它们组成的直角三角形的应用． 3．求解正棱台的表面积时注意棱台的四个基本量：底面边长、高、斜高、侧棱长，并注意两个直角梯形的应用：(1)高、侧棱、上下底面多边形的中心与顶点连线所成的直角梯形；(2)高、斜高、上下底面边心距所成的直角梯形． [跟踪训练1]　(1)已知正六棱柱的高为6，底面边长为4，则它的表面积为(　　) A．48(3＋) B．48(3＋2) C．24(＋) D．144 答案　A 解析　由题意，知侧面积为6×6×4＝144，两底面积之和为2××42×6＝48，所以表面积S＝48(3＋)． (2)侧面都是等腰直角三角形的正三棱锥，底面边长为a时，该三棱锥的表面积是(　　) A．a2 B．a2 C．a2 D．a2 答案　A 解析　因为底面边长为a，侧面都是等腰直角三角形，所以斜高为，故S侧＝3×a·＝a2，而S底＝a2，故S表＝a2． (3)一个正三棱台的上、下底面边长分别为3 cm和6 cm，高是 cm．求此三棱台的侧面积及全面积． 解　如图，O1，O分别是上、下底面的中心， 则O1O＝ cm，连接A1O1并延长交B1C1于点D1，连接AO并延长交BC于点D，过D1作D1E⊥AD于点E， 在Rt△D1ED中，D1E＝O1O＝(cm)． DE＝DO－OE＝DO－D1O1＝××(6－3)＝(cm)，DD1＝＝(cm)． 此正三棱台的上底面周长为C′＝3×3＝9(cm)，下底面周长为C＝3×6＝18(cm)， S正三棱台侧＝(C＋C′)DD1＝×(18＋9)×＝(cm2)， S正三棱台全＝S正三棱台侧＋S△ABC＋S△A1B1C1＝＋×62＋×32＝(cm2)． 故三棱台的侧面积为 cm2，全面积为 cm2． 题型二　球的表面积 例2　某地球仪上北纬30°纬线的长度为12π cm，问该地球仪的半径为多少？表面积是多少？ [解]　如图，∠AOA1＝30°，∠A1OO1＝60°， 由于2π×O1A1＝12π，∴O1A1＝6(cm)， 在Rt△OO1A1中，OA1＝＝4(cm)， 即地球仪的半径为4 cm， ∴表面积S＝4π×(4)2＝192π(cm2)． (1)计算球的表面积的关键是确定球的半径，注意把握表面积公式S球＝4πR2中系数的特征．必要时需利用表面积公式得到球的半径关于表面积的关系式． (2)对于以外接球的形式考查球的表面积的题目，一般需依据球和几何体的对称性，确定球心与几何体的特殊点间的关系． [跟踪训练2]　已知球的两个平行截面的面积分别为5π和8π，它们位于球心的同一侧，且相距为1，求这个球的表面积． 解　如图所示，设球的半径为R，两截面的半径分别为r1，r2，则 ⇒ 又O1O2＝1，设OO2＝x， 则有5＋(x＋1)2＝8＋x2，解得x＝1，得R＝3， 所以这个球的表面积为4πR2＝36π． 题型三　圆柱、圆锥、圆台的表面积 例3　(1)已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1，O2，过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为(　　) A．12π B．12π C．8π D．10π [解析]　因为过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，所以圆柱的高为2，底面圆的直径为2，所以该圆柱的表面积为2π×()2＋2π××2＝12π．故选B． [答案]　B (2)已知某圆锥的底面半径为8，高为6，则该圆锥的表面积为________． [解析]　由题意，得该圆锥的母线长l＝＝10，所以该圆锥的侧面积为π×8×10＝80π，底面积为π×82＝64π，所以该圆锥的表面积为80π＋64π＝144π． [答案]　144π (3)圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的表面积为574π，则圆台较小的底面半径为________． [解析]　设圆台较小的底面半径为r，那么较大的底面半径为3r，由已知得π(r＋3r)×3＋πr2＋9πr2＝574π，解得r＝7． [答案]　7 圆柱、圆锥、圆台的表面积的求解步骤 解决圆柱、圆锥、圆台的表面积问题，要利用好旋转体的轴截面及侧面展开图，借助平面几何知识，求得所需几何要素，代入公式求解即可，基本步骤如下： (1)得到空间几何体的平面展开图． (2)依次求出各个平面图形的面积． (3)将各平面图形的面积相加． [跟踪训练3]　(1)圆锥的高和底面半径相等，它的一个内接圆柱的高和圆柱底面半径也相等．求圆柱的表面积和圆锥的表面积之比． 解　如图所示，设圆柱和圆锥的底面半径分别为r，R， 则有＝，即＝， ∴R＝2r，圆锥的母线长l＝R， ∴＝＝ ＝＝＝－1． (2)圆台的上、下底面半径和高的比为1∶4∶4，若母线长为10，求圆台的表面积． 解　圆台的轴截面如图所示，设上底面半径为r，下底面半径为R，高为h，由题意，得h＝R＝4r，则它的母线长为 l＝＝＝5r＝10， 所以r＝2，R＝8． 故S侧＝π(R＋r)l＝π(8＋2)×10＝100π， S表＝S侧＋πr2＋πR2＝100π＋4π＋64π＝168π． 题型四　组合体的表面积 例4　某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为(　　) A．54 B．60 C．66 D．72 [解析]　根据几何体的三视图，可得该几何体的直观图为如图所示的几何体ABC－DEF，其中AB⊥AC，AB＝4，AD＝5，AC＝3，BE＝2，DE＝＝＝5，故其表面积为S＝S△DEF＋S△ABC＋S梯形ABED＋S梯形CBEF＋S矩形ACFD＝×3×5＋×3×4＋×(5＋2)×4＋×(5＋2)×5＋3×5＝60． [答案]　B 求组合体的表面积的方法 求组合体的表面积或体积的问题，首先应弄清它的组成，其表面有哪些底面和侧面，各个面应该怎样求，然后再根据公式求出各面的面积，最后再相加或相减． [跟踪训练4]　如图所示，在边长为4的正三角形ABC中，E，F分别是AB，AC的中点，D为BC的中点，H，G分别是BD，CD的中点，若将正三角形ABC绕AD旋转180°，求阴影部分形成的几何体的表面积． 解　该旋转体是一个圆锥挖去一个圆柱后形成的几何体． 令BD＝R，HD＝r，AB＝l，EH＝h， 则R＝2，r＝1，l＝4，h＝． 所以圆锥的表面积S1＝πR2＋πRl＝π×22＋π×2×4＝12π， 圆柱的侧面积S2＝2πrh＝2π×1×＝2π． 所以所求几何体的表面积S＝S1＋S2＝12π＋2π＝(12＋2)π． 1．已知各面均为等边三角形的四面体的棱长为2，则它的表面积是(　　) A．2 B．4 C．4 D．6 答案　B 解析　S表＝4××22＝4．故选B． 2．底面为正方形的直棱柱，它的底面对角线长为，体对角线长为，则这个棱柱的侧面积是(　　) A．2 B．4 C．6 D．8 答案　D 解析　由题意知，该几何体为长方体，底面正方形的边长为1，长方体的高为＝2，故这个棱柱的侧面积为1×2×4＝8． 3．若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为，则这个圆锥的表面积是(　　) A．3π B．3π C．6π D．9π 答案　A 解析　根据轴截面面积是，可得圆锥的母线长为2，底面半径为1，所以S＝πr2＋πrl＝π＋2π＝3π． 4．用与球心距离为1的平面去截球，所得截面圆的面积为π，则球的表面积为(　　) A． B． C．8π D． 答案　C 解析　设球的半径为R，则截面圆的半径为，∴截面圆的面积为S＝π()2＝(R2－1)π＝π，∴R2＝2，∴球的表面积S＝4πR2＝8π． 5．已知底面半径为 cm，母线长为 cm的圆柱，挖去一个以圆柱上底面圆心为顶点，下底面为底面的圆锥，求所得几何体的表面积． 解　作轴截面如图，设挖去的圆锥的母线长为l，底面半径为r， 则r＝ cm，AD＝ cm， l＝＝＝3(cm)． 故几何体的表面积为 S＝πrl＋πr2＋2πr·AD ＝π××3＋π×()2＋2π×× ＝3π＋3π＋6π ＝(3＋3＋6)π(cm2)． 一、选择题 1．已知一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的表面积与侧面积的比是(　　) A． B． C． D． 答案　A 解析　设圆柱的底面半径为r，则其底面圆的周长为2πr，高为h＝2πr，且S侧＝4π2r2，S表＝4π2r2＋2πr2，∴＝＝． 2．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，三棱锥D1－AB1C的表面积与正方体的表面积的比为(　　) A．1∶1 B．1∶ C．1∶ D．1∶2 答案　C 解析　如图，三棱锥D1－AB1C的各面均是正三角形，其边长为正方体的面对角线．设正方体的棱长为a，则面对角线长为a，S锥＝4××(a)2＝2a2，S正方体＝6a2，故S锥∶S正方体＝1∶． 3．一个三棱锥的三条侧棱两两互相垂直且长分别为3，4，5，则它的外接球的表面积是(　　) A．20π B．25π C．50π D．200π 答案　C 解析　因为这个三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，所以此三棱锥可视为一个长方体的一个角(如图所示)，而且此长方体的外接球就是此三棱锥的外接球．设此三棱锥的外接球的半径为r，则有(2r)2＝32＋42＋52＝50，即4r2＝50，故它的外接球的表面积是S＝4πr2＝50π． 4．如图，已知正三棱锥S－ABC的侧面积是底面积的2倍，正三棱锥的高SO＝3，则此正三棱锥的表面积为(　　) A．9 B．18 C．27 D．36 答案　C 解析　如图，设正三棱锥的底面边长为a，斜高为h′，过点O作OE⊥AB，与AB交于点E，连接SE，则SE⊥AB，SE＝h′．∵S侧＝2S底，∴×3ah′＝a2×2．∴a＝h′．∵SO⊥OE，∴SO2＋OE2＝SE2．∴32＋＝h′2．∴h′＝2，∴a＝h′＝6．∴S底＝a2＝×62＝9，S侧＝2S底＝18．∴S表＝S侧＋S底＝18＋9＝27． 5．(多选)圆台的上、下底面半径分别是10和20，它的侧面展开图扇环的圆心角为180°，则圆台的(　　) A．母线长是20 B．表面积是1100π C．高是10 D．侧面积是1100π 答案　AB 解析　如图所示，设圆台的上底面周长为C，因为扇环的圆心角为180°，所以C＝π×SA，又C＝10×2π，所以SA＝20，同理SB＝40，故圆台的母线AB＝SB－SA＝20，高h＝＝10，侧面积S侧＝π(10＋20)×20＝600π，表面积S表＝600π＋100π＋400π＝1100π，故选AB． 二、填空题 6．将一个边长为a的正方体切成27个全等的小正方体，则表面积增加了________． 答案　12a2 解析　边长为a的正方体的表面积为S1＝6a2，由边长为a的正方体切成的27个全等的小正方体的表面积和为S2＝27×＝18a2，因此表面积增加了12a2． 7．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为________． 答案　38 解析　由几何体的三视图可知，该几何体是长为4，宽为3，高为1的长方体内部挖去一个底面半径为1，高为1的圆柱后剩下的部分．∴S表＝(4×1＋3×4＋3×1)×2＋2π×1×1－2π×12＝38． 8．如图所示，正方体的棱长为4，以其所有面的中心为顶点的多面体的表面积为________． 答案　16 解析　由题意知所得几何体是八面体，且八面体由两个底面边长为2，高为2的四棱锥组成，则该八面体的表面积是这两个四棱锥的侧面积之和．又四棱锥的侧棱长为l＝＝2，所以以该正方体各个面的中心为顶点的多面体的表面积S＝8××2×2sin60°＝16． 三、解答题 9．如图，正六棱锥P－ABCDEF被过棱锥高PO的中点O′且平行于底面的平面所截，得到正六棱台A1B1C1D1E1F1－ABCDEF和较小的棱锥P－A1B1C1D1E1F1． (1)求大棱锥P－ABCDEF、小棱锥P－A1B1C1D1E1F1、棱台A1B1C1D1E1F1－ABCDEF的侧面面积之比； (2)若大棱锥P－ABCDEF的侧棱长为12 cm，小棱锥P－A1B1C1D1E1F1的底面边长为4 cm，求截得的棱台A1B1C1D1E1F1－ABCDEF的侧面面积和表面积． 解　(1)由题意知S小棱锥侧∶S大棱锥侧＝1∶4， 则S大棱锥侧∶S小棱锥侧∶S棱台侧＝4∶1∶3． (2)∵小棱锥P－A1B1C1D1E1F1的底面边长为4 cm， ∴大棱锥P－ABCDEF的底面边长为8 cm， 又PA＝12 cm，∴A1A＝6 cm． 又梯形ABB1A1的高 h′＝＝4(cm)， ∴S棱台侧＝6××4＝144(cm2)， ∴S棱台表＝S棱台侧＋S上底＋S下底＝144＋24＋96＝(144＋120)(cm2)． 10．如图所示，有一滚筒是正六棱柱形(底面是正六边形，每个侧面都是矩形)，两端是封闭的，筒高1．6 m，底面外接圆的半径是0．46 m，问：制造这个滚筒需要多少铁板(精确到0．1 m2)? 解　因为此正六棱柱底面外接圆的半径为0．46 m，所以底面正六边形的边长是0．46 m． 所以S侧＝ch＝6×0．46×1．6＝4．416(m2)． 所以S表＝S侧＋S上底＋S下底＝4．416＋2××0．462×6≈5．5(m2)． 故制造这个滚筒约需要5．5 m2铁板． 1．正三棱锥的底面边长为4 cm，它的侧棱与高所成的角为45°，求正三棱锥的侧面积和表面积． 解　如图，过S点作SO⊥面ABC于O点，则O为△ABC的中心，连接AO并延长与BC相交于D点，由正三角形的性质得D为BC的中点，连接SD，则SD为正三棱锥的斜高． 在Rt△ASO中，∠ASO＝45°，AO＝×4＝(cm)，得SO＝AO＝(cm)． 在Rt△SOD中，OD＝×4＝(cm)， 故SD＝＝＝(cm)． 根据正三棱锥的侧面积公式得 S侧＝ch′＝×(3×4)×＝4(cm2)． 又S△ABC＝×42＝4(cm2)， 所以S表面积＝S侧＋S△ABC＝4(＋) cm2． 故正三棱锥的侧面积为4 cm2，表面积为4(＋) cm2． 2．正四棱台的高、侧棱、体对角线长分别为7 cm，9 cm，11 cm，求它的侧面积． 解　如图，在△AA1C1中过A作AE⊥A1C1于点E， 则AE＝OO1＝7 cm， 所以A1E＝＝4(cm)， C1E＝＝6(cm)， AO＝O1E＝A1O1－A1E＝(C1E－A1E)＝(cm)，A1O1＝A1E＋O1E＝5(cm)． 上底边长AB＝AO＝2(cm)， 下底边长A1B1＝A1O1＝10(cm)， 斜高h′＝＝(cm)， 所以S侧＝(C＋C′)h′＝×(8＋40)×＝24(cm2)． 13 学科网（北京）股份有限公司 $$