4.5.2 第1课时 柱、锥、台的体积-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第二册教师用书word（湘教版）

本讲义聚焦柱、锥、台的体积公式这一核心知识点，先系统呈现公式及备注，通过“微点助解”揭示台体与柱体、锥体体积公式的特殊与一般关系，再以基础训练、分题型例题及针对训练构建从公式理解到应用的学习支架。 资料采用梯度进阶式教学，结合高考真题设计例题，通过等体积法、分割补形法等培养学生数学思维，借助“思维建模”提升推理能力与应用意识，课中助力教师分层教学，课后帮助学生查漏补缺，强化知识运用。

4.5.2　几种简单几何体的体积 第1课时　柱、锥、台的体积(教学方式：深化学习课——梯度进阶式教学) [课时目标]　了解柱、锥、台的体积公式，掌握利用柱、锥、台的体积公式解决简单的实际问题. 　　柱体、锥体、台体的体积公式 名称 体积(V)公式 备注 柱体 棱柱 V=Sh h为棱柱的高， S为棱柱的底面面积 圆柱 V=πr2h=Sh r为圆柱的底面半径， h为圆柱的高， S为圆柱的底面面积 锥体 棱锥 V=Sh h为棱锥的高， S为棱锥的底面面积 圆锥 V=πr2h=Sh r为圆锥的底面半径， h为圆锥的高， S为圆锥的底面面积 台体 棱台、 圆台 V台体=(S上+ S下+)h S上，S下分别为台体的上、下底面面积，h为台体的高 |微|点|助|解|　 柱、锥、台体的体积公式之间的关系 柱体可以看作是上、下底面相同的台体，锥体可以看作是有一个底面是一个点的台体，因此柱体、锥体可以看作是“特殊”的台体.当S上=0时，台体的体积公式变为锥体的体积公式，当S上=S下=S时，台体的体积公式变为柱体的体积公式，因此柱体、锥体的体积公式可以看作是台体体积公式的“特殊”形式. 基础落实训练 1.判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)在三棱锥P-ABC中，VP⁃ABC=VA⁃PBC=VB⁃PAC=VC⁃PAB. (　　) (2)锥体的体积等于底面积与高的乘积. (　　) (3)台体的体积可转化为两个锥体的体积之差. (　　) (4)如果一个柱体与一个锥体底面积相等，则它们的体积比为3∶1. (　　) 答案：(1)√　(2)×　(3)√　(4)× 2.长方体三个面的面积分别为2，6和9，则长方体的体积是　　　　　.  解析：设长方体的长、宽、高分别为a，b，c，不妨令ab=2，ac=6，bc=9，∴(abc)2=108.∴V=abc=6. 答案：6 3.如图，三棱锥的顶点为P，PA，PB，PC为三条侧棱，且PA，PB，PC两两互相垂直，又PA=2，PB=3，PC=4，则三棱锥P⁃ABC的体积V=　　　　　.  解析：三棱锥的体积V=Sh，其中S为底面积，h为高，而三棱锥的任意一个面都可以作为底面，所以此题可把B作为顶点，△PAC作为底面求解. 故V=S△PAC·PB=××2×4×3=4. 答案：4 题型(一)　棱柱与圆柱的体积 [例1]　(1)如图，已知正六棱柱的最大对角面的面积为1 m2，互相平行的两个侧面的距离为1 m，则这个六棱柱的体积为 (　　) A. m3 B. m3 C.1 m3 D. m3 (2)已知圆柱的底面周长为4π，高为4，则它的体积为 (　　) A.4π B.8π C.12π D.16π 解析：(1)设正六棱柱的底面边长为a m，高为h m， 则2ah=1，a=1，解得a=，h=. 所以六棱柱的体积为V=××6×=(m3). (2)设圆柱的底面半径为r，则2πr=4π，解得r=2，则该圆柱的体积为π×22×4=16π. 答案：(1)B　(2)D |思|维|建|模| 　　求解柱体体积问题的关键是能够应用棱柱或圆柱的定义确定底面和高.棱柱的高是两个平行底面间的距离，其中一个平面上的任一点到另一个面的距离都相等，都是高;圆柱的高是其母线长.具体问题中要能准确应用“底面”“高”的定义去求解相关量. 　　[针对训练] 1.如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积是4π，那么圆柱的体积等于 (　　) A.π B.2π C.4π D.8π 解析：选B　设圆柱母线长为l，底面半径为r，由题意得解得∴V圆柱=πr2l=2π. 2.在正三棱柱ABC-A1B1C1中，D为棱AA1的中点，若△BC1D是面积为6的直角三角形，则此三棱柱的体积为　　　　.  解析：设AC=a，CC1=b，则BD=C1D=，BC1=.因为△BC1D是面积为6的直角三角形，所以解得所以此三棱柱的体积V=×8×4=8. 答案：8 题型(二)　棱锥与圆锥的体积 [例2]　(1)(2023·全国甲卷)在三棱锥P⁃ABC中，△ABC是边长为2的等边三角形，PA=PB=2，PC=，则该棱锥的体积为 (　　) A.1 B. C.2 D.3 (2)(2023·新课标Ⅱ卷)(多选)已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，AB为底面直径，∠APB=120°，PA=2，点C在底面圆周上，且二面角P⁃AC⁃O为45°，则 (　　) A.该圆锥的体积为π B.该圆锥的侧面积为4π C.AC=2 D.△PAC的面积为 解析：(1)如图，取AB的中点D，连接PD，CD，因为△ABC是边长为2的等边三角形，PA=PB=2，所以PD⊥AB，CD⊥AB.所以PD=CD=.又PC=，所以PD2+CD2=PC2.所以PD⊥CD.又AB∩CD=D，AB，CD⊂平面ABC，所以PD⊥平面ABC.所以VP⁃ABC=×S△ABC×PD=××2××=1，故选A. (2)在△PAB中，由余弦定理得AB=2，如图，连接PO，易知圆锥的高h=PO=1，底面圆的半径r=AO=BO=.该圆锥的体积V=πr2h=π，故A正确.该圆锥的侧面积S侧=πr·PA=2π，故B错误.取AC的中点H，连接PH，OH，因为OA=OC，所以OH⊥AC，同理可得PH⊥AC，则二面角P⁃AC⁃O的平面角为∠PHO=45°.所以OH=PO=1，AH=CH==.所以AC=2，故C正确.又PH=OH=，所以S△PAC=×AC×PH=2，故D错误. 答案：(1)A　(2)AC |思|维|建|模| (1)锥体的体积公式V=Sh既适合棱锥，也适合圆锥，其中棱锥可以是正棱锥，也可以不是正棱锥. (2)三棱锥的体积求解具有灵活性，因为三棱锥的任何一个面都可以作为底面，所以常常需要根据题目条件对其顶点和底面进行转换，使得转换后，该三棱锥的底面的面积易求、可求，高易求、可求，这一方法叫作等体积法. (3)有些柱体还可以利用分割法或补形法进行求解.无论分割法还是补形法都是要将所给的几何体分割成或补成易求解的几何体，体现了间接思维模式和化归的数学思想. 　　[针对训练] 3.如图，在正三棱柱ABC⁃A1B1C1中，M为棱AA1的中点，N为棱CC1上靠近点C的一个三等分点，若记正三棱柱ABC⁃A1B1C1的体积为V，则四棱锥B⁃A1MNC1的体积为 (　　) A.V 　　　　　B.V C.V 　　　　　D.V 解析：选B　如图，在正三棱柱ABC⁃A1B1C1中，设AB=a，AA1=b，取AC的中点D，连接BD，则BD⊥ AC，BD=a，S△ABC=a·a=a2，正三棱柱ABC⁃A1B1C1的体积V=S△ABC×AA1=. 因为AA1⊥平面ABC，BD⊂平面ABC，所以AA1⊥BD. 又BD⊥AC，AA1∩AC=A，AA1，AC⊂平面ACC1A1， 所以BD⊥平面ACC1A1.因为SAMNC=×·a==， 所以四棱锥B⁃AMNC的体积VB⁃AMNC=×SAMNC×BD=××a==V， 故四棱锥B⁃A1MNC1的体积为V. 4.已知圆锥的表面积为12π m2，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的体积为 (　　) A.6π m3 B.π m3 C.π m3 D. m3 解析：选B　设圆锥的底面半径为r，侧面展开图的半圆半径为R，则2πr=×2πR，即R=2r. 故圆锥的表面积为S=πr2+πR2=3πr2=12π，解得r=2，圆锥的高为h==2. 故圆锥的体积为V=πr2·h=×4π×2=π.故选B. 题型(三)　棱台与圆台的体积 [例3]　(2023·新课标Ⅰ卷)在正四棱台ABCD⁃A1B1C1D1中，AB=2，A1B1=1，AA1=，则该棱台的体积为　　　　.  解析：法一：如图所示，设点O1，O分别为正四棱台ABCD⁃A1B1C1D1上、下底面的中心，连接B1D1，BD，则点O1，O分别为B1D1，BD的中点，连接O1O，则O1O为正四棱台ABCD⁃A1B1C1D1的高，过点B1作B1E⊥BD，垂足为E，则B1E=O1O.因为AB=2，A1B1=1，所以OB=，O1B1=.所以BE=OB-OE=OB-O1B1=.又AA1=，所以BB1=，B1E===.所以O1O=.所以=×(22+12+)×=. 法二：如图，将正四棱台ABCD⁃A1B1C1D1补形成正四棱锥P⁃ABCD，因为AB=2，A1B1=1，AB∥A1B1，所以A1，B1，C1，D1分别为PA，PB，PC，PD的中点.又A1A=，所以PA=2，即PB=2.连接BD，取BD的中点为O，连接PO，则PO⊥平面ABCD，易知BO=，所以PO= =.所以正四棱台ABCD⁃A1B1C1D1的高为.所以=×(22+12+)×=. 答案： |思|维|建|模| 　　台体的体积计算公式是V=(S上+S下+)h，其中S上，S下分别表示台体的上、下底面的面积，这一公式较为复杂，要求记准.计算体积的关键是求出上、下底面的面积及高，求解相关量时，应充分利用台体中的直角梯形、直角三角形.另外，台体的体积还可以通过两个锥体的体积差来计算. 　　[针对训练] 5.如图，已知圆台的高为3，在轴截面A1ABB1中母线AA1与底面圆的直径AB的夹角为60°，AA1⊥A1B，求圆台的体积. 解：设圆台上、下底面的半径分别为r'，r，高为h，如图，作A1D⊥AB于点D，则h=A1D=3 . ∵∠A1AB=60°，∠BA1A=90°，∴∠BA1D=60°. ∴AD==，即r-r'=. ① BD=A1D·tan 60°=3，即r'+r=3. ② 联立①②，解得r=2，r'=. ∴V圆台=πh(r2+rr'+r'2)=π×3×[(2)2+2×+()2]=21π， 即圆台的体积为21π. 题型(四)　简单组合体的体积 [例4]　如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AD=a，BC=2a，∠DCB=60°，在平面ABCD内过点C作l⊥CB，以l为轴旋转一周.求旋转体的表面积和体积. 解：如题图，在梯形ABCD中，∠ABC=90°，AD∥BC，AD=a，BC=2a，∠DCB=60°，∴CD==2a，AB=CDsin 60°=a，∴DD'=AA'-2AD=2BC-2AD=2a，∴DO=DD'=a. 由于以l为轴将梯形ABCD旋转一周后形成的几何体为圆柱中挖去一个倒放的与圆柱等高的圆锥. 由上述计算知，圆柱母线长a，底面半径2a，圆锥的母线长2a，底面半径a.∴圆柱的侧面积S1=2π·2a·a=4πa2，圆锥的侧面积S2=π·a·2a=2πa2，圆柱的底面积S3=π(2a)2=4πa2，圆锥的底面积S4=πa2， ∴组合体上底面积S5=S3-S4=3πa2，∴旋转体的表面积S=S1+S2+S3+S5=(4+9)πa2. 又由题意知形成的几何体的体积为一个圆柱的体积减去一个圆锥的体积. V柱=Sh=π·(2a)2·a=4πa3， V锥=S'h=·π·a2·a=πa3， ∴V=V柱-V锥=4πa3-πa3=πa3. |思|维|建|模| 　　在求组合体体积时，要先把组合体切割成几个基本几何体，分别计算体积后再相加，解题时注意补形法的应用. 　　[针对训练] 6.(2024·天津高考)一个五面体ABC⁃DEF.已知AD∥BE∥CF，且两两之间距离为1，AD=1，BE=2，CF=3，则该五面体的体积为 (　　) A. B.+ C. D.- 解析：选C　因为AD，BE，CF两两平行，且两两之间距离为1，则该五面体可以分成一个侧棱长为1的三棱柱和一个底面为梯形的四棱锥，其中三棱柱的体积等于棱长均为1的直三棱柱的体积，四棱锥的高为，底面是上底为1、下底为2、高为1的梯形，故该五面体的体积V=×1××1+××=，故选C. 7.如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，如果AB=AC=，BB1=BC=6，E，F为侧棱AA1上的两点，且EF=3，那么多面体BB1C1CEF的体积为　　　　.  解析：在△ABC中，BC边上的高h==2，=BC·h·BB1=×6×2×6=36.∵EF=3，A1A=B1B=6， ∴V三棱锥E-ABC+= =6. 故=36-6=30. 答案：30 学科网（北京）股份有限公司 $