2.3 第2课时 和差化积与积化和差公式-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第二册教师用书word（湘教版）

本讲义聚焦高中数学和差化积与积化和差公式，以两角和与差的正弦、余弦公式为基础，通过推导过程构建知识脉络，形成从已知到未知的学习支架，助力学生掌握公式证明及化简求值应用。 该资料采用梯度进阶式设计，含基础训练、题型分类及思维建模，通过例2积化和差求值等实例，培养学生数学思维（推理、运算）与应用意识。课中辅助教师教学，课后帮助学生查漏补缺，强化知识掌握。

第2课时　和差化积与积化和差公式(教学方式：深化学习课——梯度进阶式教学) [课时目标] 1.了解利用两角和与差的正弦、余弦公式证明和差化积与积化和差公式的过程. 2.会用和差化积与积化和差公式解决简单的化简、求值. 1.三角函数的和差化积 (1)sin α+sin β=2sincos; (2)sin α-sin β=2cossin; (3)cos α+cos β=2coscos; (4)cos α-cos β=-2sinsin. 2.三角函数的积化和差 (1)sin αcos β=[sin(α+β)+sin(α-β)]; (2)cos αsin β=[sin(α+β)-sin(α-β)]; (3)cos αcos β=[cos(α+β)+cos(α-β)]; (4)sin αsin β=-[cos(α+β)-cos(α-β)]. 基础落实训练 1.把2sin 10°cos 8°化成和或差的形式为 (　　) A.sin 18°-sin 2° B.sin 18°+cos 2° C.sin 18°+sin 2° D.cos 18°+cos 2° 解析：选C　2sin 10°cos 8°=sin(10°+8°)+sin(10°-8°)=sin 18°+sin 2°. 2.把sin 15°+sin 5°化成积的形式为 (　　) A.sin 5°sin 15° B.2cos 10°cos 5° C.2sin 10°sin 5° D.2sin 10°cos 5° 解析：选D　sin 15°+sin 5°=2sincos=2sin 10°cos 5°. 题型(一)　和差化积公式的应用 [例1]　(1)cos 20°-cos 50°= (　　) A.cos 35°cos 15° B.sin 35°sin 15° C.2sin 15°sin 35° D.2sin 15°cos 35° (2)sin 20°+sin 40°-sin 80°的值为 (　　) A.0 B. C. D.1 (3)计算：= (　　) A. B.- C. D.- (4)cos+cos+cos=　　　　.  解析：(1)cos 20°-cos 50°=cos(35°-15°)-cos(35°+15°)=2sin 15°sin 35°.故选C. (2)sin 20°+sin 40°-sin 80° =2sincos-sin 80° =2sin 30°cos 10°-sin 80° =2×cos 10°-sin(90°-10°) =cos 10°-cos 10°=0. (3)原式==- =-=-.故选D. (4)原式= = ====. 答案：(1)C　(2)A　(3)D　(4) |思|维|建|模| 　　在运用和差化积公式时，如果形式为混合函数和时，化得的结果应为sin α与sin β的和或差;或者化得的结果应为cos α与cos β的和或差. 　　[针对训练] 1.利用和差化积公式，求下列各式的值： (1)sin 15°+sin 105°; (2)cos 40°+cos 60°+cos 80°+cos 160°. 解：(1)sin 15°+sin 105°=2sincos=2sin 60°cos(-45°)=2××=. (2)cos 40°+cos 60°+cos 80°+cos 160°=(cos 40°+cos 80°)+-cos 20°=2cos 60°cos 20°+-cos 20°=cos 20°+-cos 20°=. 题型(二)　积化和差公式的应用 [例2]　求下列各式的值. (1)sin 37.5°cos 7.5°; (2)sin 20°cos 70°+sin 10°sin 50°. 解：(1)sin 37.5°cos 7.5°=[sin(37.5°+7.5°)+sin(37.5°-7.5°)]=(sin 45°+sin 30°)=×=. (2)sin 20°cos 70°+sin 10°sin 50°=(sin 90°-sin 50°)-(cos 60°-cos 40°)=-sin 50°+cos 40°=-sin 50°+sin 50°=. |思|维|建|模| 　　在运用积化和差公式时，如果形式为混合函数积时，化得的结果应为sin(α+β)与sin(α-β)的和或差;如果形式为同名函数积时，化得的结果应为cos(α+β)与cos(α-β)的和或差. 　　[针对训练] 2.求下列各式的值. (1)2cos 50°cos 70°-cos 20°; (2)sin 80°cos 40°-sin 40°; (3)sin 37.5°sin 22.5°-cos 15°. 解：(1)2cos 50°cos 70°-cos 20° =cos(50°+70°)+cos(50°-70°)-cos 20° =cos 120°+cos 20°-cos 20°=cos 120°=-. (2)sin 80°cos 40°-sin 40°=[sin(80°+40°)+sin(80°-40°)]-sin 40°=(sin 120°+sin 40°)-sin 40°=. (3)sin 37.5°sin 22.5°-cos 15°=-[cos(37.5°+22.5°)-cos(37.5°-22.5°)]-cos 15°=-(cos 60°-cos 15°)-cos 15°=-cos 60°=-. 题型(三)　公式的化简与证明 [例3]　求证： =. 证明：左边= = ===右边. 所以原等式成立. |思|维|建|模| 　　利用积化和差、和差化积公式化简三角函数式要注意观察条件中角之间的联系(和、差、倍、互余、互补等)，寻找式子和三角函数公式之间的共同点. 　　[针对训练] 3.求证：·tan 25°=. 证明：左边=· = = == = == ===右边.所以原等式成立. 学科网（北京）股份有限公司 $