1.2 第2课时 向量的减法-【金版教程】2024-2025学年高中数学必修第二册创新导学案word（湘教版2019）

第2课时　向量的减法 (教师独具内容) 课程标准：借助实例和平面向量的几何表示，掌握平面向量减法运算及运算规则，理解其几何意义． 教学重点：向量的减法运算及其几何意义． 教学难点：向量的加法、减法的综合运算． 核心素养：1．通过向量的加法运算抽象出向量减法运算的过程培养数学抽象素养．2．通过向量减法的几何意义培养直观想象素养． 知识点　向量的减法 (1)已知两个向量a，b，求x满足a＋x＝b，这样的运算叫作向量的减法，记为x＝b－a，x称为b与a之差． (2)减去一个向量a，等于加上它的相反向量－a，即b－a＝b＋(－a)． (3)如图，任取一定点O，从O分别观测A，B两点的方向和距离，则点A，B的位置由点O分别到A，B的两个向量，唯一表示．，分别称为点A，B的位置向量，也即分别代表了A，B两点的位置，因而等式＝－的物理意义就是：位置的改变量＝终点位置－起点位置． 1．a＋b＝c⇔a＝c－b⇔b＝c－a，利用相反向量的定义，向量在等式中可以移项． 2．两个向量的差同两个向量的和一样，其运算结果仍是一个向量，它的模可通过解三角形的知识求得． 3．||a|－|b||≤|a－b|≤|a|＋|b|对任意向量都成立． 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)两个向量的差仍是一个向量．(　　) (2)向量的减法实质上是向量的加法的逆运算．(　　) (3)向量a与向量b的差和向量b与向量a的差互为相反向量．(　　) 答案　(1)√　(2)√　(3)√ 2．做一做 (1)化简：－＋－＝________． (2)若菱形ABCD的边长为2，则|－＋|＝________． (3)已知▱ABCD，若＝a，＝b，试用a，b表示＝________，＝________，＝________，＝________． 答案　(1)0　(2)2　(3)－a　－b　a－b　a＋b 题型一　向量减法的几何表示 例1　如图，已知向量a，b，c，求作a－b－c． [解]　如图，以A为起点分别作向量和，使＝a，＝b．连接CB，得向量，再以C为起点作向量，使＝c．连接DB，得向量．则向量即为所求作的向量a－b－c． 作两向量的差的思路 (1)作两向量的差的步骤 (2)求两个向量的减法可以转化为向量的加法来进行，如a－b，可以先作－b，然后用加法a＋(－b)即可． [跟踪训练1]　如图所示，O是四边形ABCD内任一点，试根据图中给出的向量，确定a，b，c，d的方向(用箭头表示)，使a＋b＝，c－d＝，并画出b－c和a＋d． 解　因为a＋b＝，c－d＝， 所以a＝，b＝，c＝，d＝． 如图所示，作平行四边形OBEC，平行四边形ODFA． 根据平行四边形法则可得b－c＝，a＋d＝． 题型二　向量的减法运算 例2　化简：(1)(－)－(－)； (2)(＋＋)－(－－)． [解]　(1)解法一(变为加法)： 原式＝－－＋＝＋＋＋＝(＋)＋(＋)＝＋＝0． 解法二(利用公式－＝)： 原式＝－－＋＝(－)－＋＝－＋＝＋＝0． 解法三(利用公式＝－，其中O是平面内任一点)： 原式＝－－＋＝(－)－(－)－(－)＋(－)＝－－＋－＋＋－＝0． (2)(＋＋)－(－－)＝(＋)－(－)＝－＝0． (1)向量减法运算的常用方法 (2)向量加减法化简的两种形式 ①首尾相连则为和； ②起点相同则为差． 做题时要注意观察是否有这两种形式，同时要注意逆向应用． [跟踪训练2]　化简下列各式： (1)－－； (2)＋－； (3)－－． 解　(1)－－＝＋＝． (2)＋－＝－＝． (3)－－＝＋＋＝＋＋＝． 题型三　用向量的加减法表示向量 例3　如图，在五边形ABCDE中，若四边形ACDE是平行四边形，且＝a，＝b，＝c，试用a，b，c表示向量，，，及． [解]　∵四边形ACDE为平行四边形， ∴＝＝c，＝－＝b－a， ＝－＝c－a，＝－＝c－b， ∴＝＋＝b－a＋c． 用已知向量表示未知向量的方法 (1)解决此类问题要充分利用平面几何知识，灵活运用平行四边形法则和三角形法则． (2)表示向量时要考虑以下问题：它是某个平行四边形的对角线吗？是否可以找到由起点到终点的恰当途径？它的起点和终点是否是两个有共同起点的向量的终点？ (3)必要时可以直接用向量求和的多边形法则． [跟踪训练3]　已知一点O到平行四边形ABCD的三个顶点A，B，C的向量分别是a，b，c，则向量等于(　　) A．a＋b＋c B．a－b＋c C．a＋b－c D．a－b－c 答案　B 解析　如图，点O到平行四边形的三个顶点A，B，C的向量分别为a，b，c，结合图形有＝＋＝＋＝＋－＝a＋c－b． 1．在菱形ABCD中，下列等式中不成立的是(　　) A．－＝ B．－＝ C．－＝ D．－＝ 答案　C 解析　由向量减法法则知C错误． 2．如图所示，D，E，F分别是△ABC的边AB，BC，CA的中点，则－等于(　　) A． B． C． D． 答案　D 解析　由题图易知＝，∴－＝－＝，又＝，∴－＝． 3．(多选)下列四个式子中一定能化简为的是(　　) A．(＋)＋ B．(＋)＋(＋) C．(＋)－ D．(－)＋ 答案　ABD 解析　对于A，(＋)＋＝＋＋＝＋＝；对于B，(＋)＋(＋)＝＋(＋＋)＝＋0＝；对于C，(＋)－＝＋＋，不一定等于；对于D，(－)＋＝＋＝．故选ABD． 4．化简－＋＝________． 答案　0 解析　－＋＝＋＝0． 5．如图，设O是△ABC内一点，且＝a，＝b，＝c，若以线段OA，OB为邻边作平行四边形，第四个顶点为D，再以OC，OD为邻边作平行四边形，其第四个顶点为H．试用a，b，c表示，，． 解　由题意可知四边形OADB为平行四边形， 所以＝＋＝a＋b． 所以＝－＝c－a－b． 又四边形ODHC为平行四边形， 所以＝＋＝c＋a＋b． 所以＝－＝c＋a＋b－b＝a＋c． 一、选择题 1．下列运算中正确的是(　　) A．－＝ B．－＝ C．－＝ D．－＝0 答案　C 解析　根据向量减法的几何意义，知－＝，所以C正确，A错误；B显然错误；对于D，－等于0，而不是0． 2．下列说法错误的是(　　) A．若＋＝，则－＝ B．若＋＝，则＋＝ C．若＋＝，则－＝ D．若＋＝，则＋＝ 答案　D 解析　由向量的减法就是向量加法的逆运算可知，A，B，C都正确．由相反向量定义知，若＋＝，则＋＝－－＝－(＋)＝－，故D错误． 3．可以写成：①＋；②－；③－；④－，其中正确的是(　　) A．①② B．②③ C．③④ D．①④ 答案　D 解析　由向量的加法及减法定义可知①④符合． 4．O为平行四边形ABCD所在平面上的点，设＝a，＝b，＝c，＝d，则(　　) A．a＋b＋c＋d＝0 B．a－b＋c－d＝0 C．a＋b－c－d＝0 D．a－b－c＋d＝0 答案　B 解析　a－b＋c－d＝－＋－＝＋，又四边形ABCD是平行四边形，所以，为相反向量，其和为0．故选B． 5．(多选)如图，A，B，C，D是平面上的任意四点，下列式子中正确的是(　　) A．＋＝＋ B．＋＝＋ C．＋＝＋ D．＋＝＋ 答案　BD 解析　∵＝－，＝－，∴－＝－，∴＋＝＋，∴B正确；∵－＝－＝，∴D正确．同理可得A，C错误．故选BD． 二、填空题 6．在△ABC中，D是BC的中点，设＝c，＝b，＝a，＝d，则d－a＝________，d＋a＝________． 答案　c　b 解析　根据题意画出图形，如图所示，d－a＝－＝＋＝＝c．d＋a＝＋＝＋＝＝b． 7．如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，AC与BD交于O点，则－－＋＋＝________． 答案　 解析　－－＋＋＝＋＋＝． 8．边长为1的正三角形ABC中，|－|的值为________． 答案　 解析　如图所示，延长CB到点D，使BD＝1，连接AD，则－＝＋＝＋＝．在△ABD中，AB＝BD＝1，∠ABD＝120°，易求AD＝，∴|－|＝． 三、解答题 9．向量a，b，c，d，e如图所示，据图完成下列各题： (1)用a，d，e表示； (2)用b，c表示； (3)用a，b，e表示； (4)用d，c表示． 解　由题图知＝a，＝b，＝c，＝d，＝e． (1)＝＋＋＝d＋e＋a． (2)＝－＝－－＝－b－c． (3)＝＋＋＝e＋a＋b． (4)＝＋＝－－＝－d－c． 10．已知△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，M是斜边AB的中点，＝a，＝b，求证：(1)|a－b|＝|a|； (2)|a＋(a－b)|＝|b|． 证明　如图，在等腰直角三角形ABC中，由M是斜边AB的中点，得||＝||，||＝||． (1)在△ACM中，＝－＝a－b． 于是由||＝||，得|a－b|＝|a|． (2)因为＝＝a－b， 所以＝－＝a－b＋a＝a＋(a－b)． 从而由||＝||，得|a＋(a－b)|＝|b|． 1．(多选)下列各式中能化简为的是(　　) A．＋(＋) B．(＋)＋(－) C．－＋ D．＋－ 答案　ABC 解析　＋(＋)＝＋＋＝＋＝；(＋)＋(－)＝(＋)＋(－)＝＋＝；－＋＝＋＝；＋－＝－，显然由－得不出．故选ABC． 2．若O是△ABC所在平面内一点，且满足|－|＝|－＋－|，试判断△ABC的形状． 解　因为－＋－＝＋，－＝＝－． 又|－|＝|－＋－|， 所以|＋|＝|－|，所以以AB，AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长度相等，所以该平行四边形为矩形，所以AB⊥AC，所以△ABC是直角三角形． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$