2.1.1 两角和与差的余弦公式-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第二册教师用书word（湘教版）

　三角恒等变换 2.1 两角和与差的三角函数 2.1.1　两角和与差的余弦公式(教学方式：深化学习课——梯度进阶式教学) [课时目标] 1.经历推导两角差的余弦公式的过程，知道两角差的余弦公式的意义. 2.能从两角差的余弦公式推导出两角和的余弦公式，了解它们的内在联系. 3.掌握两角和与差的余弦公式的正用、逆用、变形用.能利用两角和与差的余弦公式进行求值、计算. 名称 简记符号 公式 使用条件 两角和的余弦 C(α+β) cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β α，β∈R 两角差的余弦 C(α-β) cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β α，β∈R |微|点|助|解|　 (1)公式中的α，β都是任意角，既可以是一个角，也可以是几个角的组合. (2)cos(α-β)=cos α-cos β一般不成立，但在特殊情况下也可能成立. (3)要掌握公式的逆用，如cos(α+β)cos β+sin(α+β)·sin β=cos[(α+β)-β]=cos α. 基础落实训练 1.cos 72°cos 12°+sin 72°sin 12°= (　　) A.- B. C.- D. 解析：选B　cos 72°cos 12°+sin 72°sin 12°=cos(72°-12°)=cos 60°=. 2.cos 75°=　　　　.  解析：cos 75°=cos(30°+45°)=cos 30°cos 45°-sin 30°sin 45°=. 答案： 3.cos(x-y)cos y-sin(x-y)sin y=　　　　.  解析：原式=cos[(x-y)+y]=cos x. 答案：cos x 题型(一)　给角求值 [例1]　求下列各式的值： (1)cos 63°sin 57°+sin 117°sin 33°; (2)sin 245°sin 125°+sin 155°sin 35°; (3)cos 15°+sin 15°. 解：(1)原式=cos 63°cos 33°+sin 63°sin 33°=cos(63°-33°)=cos 30°=. (2)原式=sin(270°-25°)sin(90°+35°)+sin(180°-25°)sin 35° =-cos 25°cos 35°+sin 25°sin 35° =-cos(25°+35°)=-cos 60°=-. (3)原式=cos 60°cos 15°+sin 60°sin 15°=cos(60°-15°)=cos 45°=. |思|维|建|模| 解决给角求值问题的策略 (1)对于非特殊角的三角函数式求值问题，一定要本着先整体后局部的基本原则，如果整体符合三角公式的形式，则整体变形，否则进行各局部的变形. (2)一般途径有将非特殊角化为特殊角的和或差的形式，化为正负相消的项并消项求值，化分子、分母形式进行约分，解题时要逆用或变形用公式. 　　[针对训练] 1.若a=(cos 80°，sin 80°)，b=(cos 10°，-sin 10°)，则a·b= (　　) A.cos 110°　　　　　　　　 B.sin 110° C.1 D.0 解析：选D　a·b=cos 80°cos 10°-sin 80°sin 10°=cos(80°+10°)=cos 90°=0. 2.求值：(1)cos 105°=　　　　;  (2)coscos+cossin=　　　　.  解析：(1)原式=cos(60°+45°)=cos 60°cos 45°-sin 60°sin 45°=×-×=. (2)原式=coscos+sinsin =cos=cos=. 答案：(1)　(2) 题型(二)　给值(式)求值 [例2]　已知α，β为锐角，且cos α=，cos(α+β)=-，求cos β 的值.　  解：∵0<α<，0<β<，∴0<α+β<π. 由cos(α+β)=-， 得sin(α+β)===.又∵cos α=，∴sin α=. ∴cos β=cos[(α+β)-α]=cos(α+β)cos α+sin(α+β)sin α=×+×=. |思|维|建|模| 给值（式）求值的解题策略 (1)已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，要注意观察已知角与所求表达式中角的关系，即拆角与凑角. (2)由于和、差角与单角是相对的，因此在解题过程中要根据需要灵活地进行拆角或凑角的变换.常见角的变换：①α=(α-β)+β;②α=+;③2α=(α+β)+(α-β);④2β=(α+β)-(α-β). 　　[针对训练] 3.已知sin=，-<α<，求： (1)cos的值; (2)cos α的值. 解：(1) ∵sin=， ∴cos=cos =cos=sin=. (2)∵-<α<，∴0<α+<. ∵sin=，∴cos ==， ∴cos α=cos =coscos+sinsin =×+×=. 题型(三)　给值求角 [例3]　已知cos α=，cos(α-β)=，且0<β<α<，求β的值.　 解：由cos α=，0<α<， 得sin α===. 由0<β<α<，得0<α-β<.又∵cos(α-β)=， ∴sin(α-β)===. 由β=α-(α-β)， 得cos β=cos[α-(α-β)]=cos αcos(α-β)+ sin αsin(α-β)=×+×=. ∵0<β<，∴β=. |思|维|建|模| 已知三角函数值求角的解题步骤 (1)界定角的范围，根据条件确定所求角的范围. (2)求所求角的某种三角函数值.为防止增解最好选取在上述范围内单调的三角函数. (3)结合三角函数值及角的范围求角. 　　[针对训练] 4.已知sin α=，sin β=，α，β∈，求α+β. 解：∵sin α=，α∈， ∴cos α==. ∵sin β=，β∈， ∴cos β==. ∵cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β=×-×=. 又sin α>0，sin β>0，∴α，β∈， ∴α+β∈(0，π)，∴α+β=. 学科网（北京）股份有限公司 $