1.7 平面向量的应用举例-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第二册教师用书word（湘教版）

1.7　平面向量的应用举例(教学方式:拓展融通课——习题讲评式教学) [课时目标]　掌握用向量法解决平面几何问题的方法.能掌握用向量知识研究物理问题的一般思路与方法. 题型(一)　向量在平面几何证明中的应用 [例1]　如图,在正方形ABCD中,E,F分别是AB,BC的中点.求证: AF⊥DE. 证明:法一:设=a,=b, 则|a|=|b|,a·b=0. 又=+=-a+b,=+=b+a,所以·=·=-a2-a·b+b2=-|a|2+|b|2=0. 故⊥,即AF⊥DE. 法二:如图,建立平面直角坐标系,设正方形的边长为2,则A(0,0),D(0,2),E(1,0),F(2,1),=(2,1),=(1,-2). 因为·=(2,1)·(1,-2)=2-2=0, 所以⊥,即AF⊥DE. |思|维|建|模| 平面几何中利用向量证明的常见问题及方法 (1)常见的利用向量证明的问题 ①利用共线向量定理证明线段平行或点共线; ②利用向量的模证明线段相等; ③利用向量的数量积为0证明线段垂直. (2)常用的两个方法 ①基向量法:选取已知的不共线的两个向量作为基向量,用基向量表示相关向量,转化为基向量之间的向量运算进行证明; ②坐标法:先建立直角坐标系,表示出点、向量的坐标,利用坐标运算进行证明. 　　[针对训练] 1.如图,已知AD,BE,CF是△ABC的三条高,且交于点O,DG⊥BE于G,DH⊥CF于H.求证:HG∥EF. 证明:∵⊥,⊥, ∴∥. 设=λ(λ≠0),则=λ. 同理=λ. 于是=-=λ(-)=λ, ∴∥,即HG∥EF. 题型(二)　利用平面向量求几何中的长度问题 [例2]　已知Rt△ABC中,∠C=90°,设AC=m,BC=n. (1)若D为AB的中点,求证:CD=AB; (2)若E为CD的中点,连接AE并延长交BC于F,求AF的长度(用m,n表示). 解:(1)证明:以C为坐标原点,以边CB,CA所在的直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系,如图所示,则A(0,m),B(n,0). ∵D为AB的中点, ∴D. ∴||= . ∵||=, ∴||=||,即CD=AB. (2)∵E为CD的中点,∴E. 设F(x,0),则=,=(x,-m). ∵A,E,F三点共线,∴设=λ. 即(x,-m)=λ,则 解得λ=,x=.∴F. ∴||= ,即AF= . |思|维|建|模| 利用向量法解决长度问题的策略 　　向量法求平面几何中的长度问题,即向量长度的求解.一是利用图形特点选择基,向向量的数量积转化,用公式|a|2=a2求解;二是建立坐标系,确定相应向量的坐标,代入公式求解.若a=(x,y),则|a|=. 　　[针对训练] 2.如图,在平行四边形ABCD中,AD=1,AB=2,对角线BD=2,求对角线AC的长. 解:设=a,=b,则=a-b,=a+b. ∵||=|a-b|= ===2, ∴5-2a·b=4, ∴a·b=. 又||2=|a+b|2=a2+2a·b+b2=1+4+2a·b=6,∴||=,即AC=. 题型(三)　平面向量在物理中的应用 [例3]　一只鹰正以与水平方向成30°角的方向向下直扑猎物,太阳光直射地面,鹰在地面上影子的速度为60 m/s,则鹰的飞行速率为 (　　) A.20 m/s B.40 m/s C.60 m/s D.30 m/s 解析:选B　如图,=v1表示鹰在地面上的影子的速度,=v2表示鹰的飞行速度,由题意知,||=|v1|=60 m/s,且A=30°, 所以||=|v2|==40 m/s.故选B. [例4]　设作用于同一点的三个力F1,F2,F3处于平衡状态, 若|F1|=1,|F2|=2,且F1与F2的夹角为π,如图所示. (1)求F3的大小; (2)求F2与F3的夹角. 解:(1)由题意|F3|=|F1+F2|, 因为|F1|=1,|F2|=2,且F1与F2的夹角为π, 所以|F3|=|F1+F2|==. (2)设F2与F3的夹角为θ,因为F1=-(F2+F3),两边平方得1=4+3+2×2×cos θ,所以cos θ=-. 所以θ=π. 　　|思|维|建|模|　向量方法解决物理问题的步骤 　　[针对训练] 3.某人骑车以每小时a千米的速度向东行驶,感受到风从正北方向吹来,而当速度为每小时2a千米时,感受到风从东北方向吹来,试求实际风速和方向. 解:设a表示此人以每小时a千米的速度向东行驶的向量,无风时此人感受到风速为-a,设实际风速为ν,那么此时人感受到的风速为ν-a, 设=-a,=-2a,=ν,因为+=, 所以=ν-a,这就是感受到由正北方向吹来的风速. 因为+=,所以=ν-2a. 于是当此人的速度是原来的2倍时,感受到由东北方向吹来的风速就是. 由题意∠PBO=45°,PA⊥BO,BA=AO,从而,△POB为等腰直角三角形,所以PO=PB=a,即|ν|=a.所以实际风速是每小时a千米的西北风. 4.如图,一个物体受到同一平面内三个力F1,F2,F3的作用,沿北偏东45°的方向移动了8 m,其中|F1|=2 N,方向为北偏东30°;|F2|=4 N,方向为北偏东60°;|F3|= 6 N,方向为北偏西30°,求合力F所做的功. 解:以O为原点,正东方向为x轴的正方向建立平面直角坐标系,如图所示,则F1=(1,), F2=(2,2), F3=(-3,3), 所以F=F1+F2+F3=(2-2,2+4).又位移s=(4,4),故合力F所做的功为 W=F·s=(2-2)×4+(2+4)×4=4×6=24(J). 即合力F所做的功为24 J. 学科网（北京）股份有限公司 $