第1章 平面向量及其应用（高效培优讲义）高一数学湘教版必修第二册

第一章 平面向量 复习讲义 教学目标 1.理解平面向量有关概念及表示； 2.掌握平面向量的线性运算与平面向量基本定理； 3.掌握平面向量的坐标运算； 4.掌握平面向量的数量积及应用； 5.掌握正余弦定理及应用. 教学重点 平面向量的线性运算，坐标运算，数量积及应用，正余弦定理及应用. 教学难点 平面向量的线性运算，平面向量基本定理，数量积及应用，三角形中的最值范围问题. 知识点01 平面向量的概念及表示 1.平面向量的定义：既有大小又有方向的量叫做向量. 2.向量的模：向量的大小，也就是向量的长度（或称模），记作. 3.零向量：长度为零的向量叫做零向量，记作. 4.单位向量：长度等于1个单位的向量叫做单位向量. 5.平行（共线）向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量（或共线向量）.记作：. 规定：零向量与任意向量平行. 6.相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量. 【即学即练1-1】(24-25高一下·天津宝坻·月考)下列说法中正确的是(   ) A．向量的模都是正实数 B．单位向量只有一个 C．向量的大小与方向无关 D．方向不同的向量不能比较大小，但同向的向量可以比较大小 【即学即练1-2】(24-25高一下·甘肃定西·月考)如果是两个单位向量，则下列结论中正确的个数是(    ) ①；②；③；④． A．1 B．2 C．3 D．4 知识点02 平面向量的线性运算 1.平面向量的线性运算 向量运算 加法 减法 数乘 几何表示 首尾相接 指向终点 起点重合 指向对顶点 起点重合 指向被减向量 (1)|λa|＝|λ||a|， (2)当λ＞0时，λa与a方向相同； 当λ＜0时，λa与a方向相反； 当λ＝0时，λa＝0 2.多边形法则 一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量， 即＋＋＋…＋An－1An＝， 特别地，一个封闭图形，首尾连接而成的向量和为零向量． 3.平面向量基本定理 是平面内两个不共线向量，那么对这一平面内的任意向量，有且只有一对实数λ1，λ2，使. 我们把不共线的向量叫做表示这一平面的一组基底. 4.“爪”子定理 形式1：在△ABC中，D是BC上的点，如果|BD|＝m，|DC|＝n，则， 特别地，若D为线段BC的中点，则． 形式2：在△ABC中，D是BC上的点，且＝λ，则＝λ＋(1－λ)， 特别地，若D为线段BC的中点，则． 【即学即练2-1】(24-25高一下·江西上饶·月考)如图，在正六边形中，(   ) A． B． C． D． 【即学即练2-2】(24-25高一下·甘肃定西·期末)在正方形中，为的中点，为的中点，则(    ) A． B． C． D． 知识点03 平面向量的坐标运算 1.平面向量的正交分解：把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解． 2.向量坐标的求法 ①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标． ②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)，||＝. 3.向量加法、减法、数乘运算及向量的模：设坐标表示 ，则 ， ， ， |a|＝. 4.三点共线的充要条件的三种形式 (1)A，P，B三点共线⇔＝λ (λ≠0) (2)A，P，B三点共线⇔＝(1－t)·＋t(O为平面内异于A，P，B的任一点，t∈R) (3)A，P，B三点共线⇔＝x＋y(O为平面内异于A，P，B的任一点，x∈R，y∈R，x＋y＝1)． 【即学即练3-1】(25-26高一上·辽宁沈阳·期末)已知向量，，若，则(   ) A． B．3 C． D． 【即学即练3-2】(25-26高一上·辽宁锦州·期末)向量，，则“”是“”的(   ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 知识点04 平面向量的数量积 (一)平面向量的数量积概念与运算性质 1.向量与的夹角 已知两个非零向量和.作，＝，则∠AOB＝θ(0°≤θ≤180°)叫做向量与的夹角. 当θ＝0°时，与同向； 当θ＝180°时，与反向. 如果与的夹角是90°，我们说与垂直，记作. 2.平面向量的数量积 (1)若，为非零向量，夹角为θ，则. (2)设，则. 3.平面向量数量积的运算律 (1) (交换律)； (2)λ＝λ()＝ (结合律)； (3) (分配律)． 4.平面向量数量积运算的常用公式 (1) ． (2)． (3)． (4)极化恒等式：；(平行四边形模式) 5.常用性质 (1)或 (2) (二)平面向量的数量积的应用 1.利用数量积求长度 (1)若，则. (2)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则：. 2.利用数量积求夹角：设，为非零向量，若，θ为，的夹角， 则 3.向量的投影与投影向量 向量在向量上的投影为:． 向量在向量上的的投影向量为：. 4.两个非零向量平行、垂直的充要条件 若，则 (1)∥⇔＝λ(≠)⇔⇔＝0. (2)⊥⇔·＝0⇔x1x2＋y1y2＝0. (3)与同方向的单位向量为：, 与共线的单位向量为：. 【即学即练4-1】(24-25高一下·贵州·月考)已知，且在上的投影向量的模为，则与的夹角为(   ) A． B． C． D．或 【即学即练4-2】(25-26高一上·辽宁沈阳·期末)已知向量，，，其中，，，且，则(   ) A． B． C． D．与共线 知识点05 解三角形 一．解三角形基本公式定理 知识点一：在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则 1.正弦定理： (2R为△ABC外接圆的直径). 变形：a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C.(边化角)； sin A＝；(角化边)； a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C. 2.余弦定理 a2＝b2＋c2－2bccos A， b2＝a2＋c2－2accos B， c2＝a2＋b2－2abcos C. 推论：； 变形：b2＋c2－a2＝2bccos A， a2＋c2－b2＝2accos B， a2＋b2－c2＝2abcos C. 3.三角形的射影定理： 推导：； 4.面积公式 (1)(ha是高)； (2)； (2)(r为三角形内切圆半径)． (3)若，，，则 (4)(不作要求)(R为外接圆半径)； (海伦公式，) 二．解三角形应用 1.正弦定理的应用 (1)边化角，角化边：; (2)合分比：; 2.内角和定理： (1); (2)斜三角形中， (3)； (4)在中，内角成等差数列． 3.三角形中的不等关系 (1)大边对大角 大角对大边：A>B⇔a>b⇔sinA>sinB⇔cosA<cosB． (2)若△ABC为锐角三角形，则，sinA>cosB，cosA<sinB，a2＋b2>c2． 若△ABC为钝角三角形(假如C为钝角)，则，sinA<cosB，cosA>sinB． (3)c2＝a2＋b2⇔C为直角； c2>a2＋b2⇔C为钝角； c2<a2＋b2⇔C为锐角． (4)a＋b＞c，b＋c＞a，c＋a＞b． (5)若x∈，则sin x＜x＜tan x．若x∈， 则1＜sin x＋cos x≤． 4.三角形中的三线两圆问题 (1)中线:()中线定理：一条中线两侧所对边的平方和等于底边平方的一半与该边中线平方的2倍． 即：如图，在中，为中点，则． (b)已知两边及其夹角也可表述为：． (2)角平分线:角平分线定理：如图，在中，是的平分线，则． 证法1：　在中，，在中，，． 证法2：　该结论可以由两三角形面积之比得证，即; (3)高: 分别为边上的高，则:; 求高一般采用等面积法，即求某边上的高，需要求出面积和底边长度． (4)外接圆：过三角形三个顶点的圆叫三角形的外接圆．其圆心叫做三角形的外心． 外接圆半径的计算：R＝＝＝． 外接圆半径与三角形面积的关系：S△ABC＝＝(R为△ABC外接圆半径)． 　　　　　 (5)内切圆：与三角形三边都相切的圆叫三角形的内切圆．其圆心叫做三角形的内心． 内切圆半径与三角形面积的关系：S△ABC＝(a＋b＋c)·r(r为△ABC内切圆半径)，并可由此计算r． 【即学即练5-1】(23-24高一下·贵州遵义·月考)在中，，则(    ) A．或 B．或 C．或 D． 【即学即练5-2】(24-25高一下·江西上饶·期中)下列说法正确的是(   ) A．若，，则 B．在中，若，，则 C．已知a，b，c为的内角A，B，C的对边，则“”的充要条件是“” D．已知向量，，与的夹角为钝角，则实数x的取值范围是 题型01 平面向量的概念及表示 【典例1-1】(24-25高一下·河南开封·月考)下列物理量：①质量；②速度；③力；④加速度；⑤位移；⑥密度；⑦功．其中是向量的有(   ) A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【典例1-2】(23-24高一下·陕西宝鸡·期中)下列说法正确的是(    ) A．数量可以比较大小，向量也可以比较大小 B．由于零向量的方向不确定，因此零向量不能与任意向量平行 C．模为1的向量都是相等向量 D．向量的模可以比较大小 【典例1-3】(多选)(24-25高一下·福建福州·期中)下列说法错误的是( ) A．加速度是向量 B．两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同 C．零向量的方向是任意的 D．向量就是有向线段 【典例1-4】(24-25高一下·河南开封·月考)下列说法中，正确的序号是 ． ①零向量都相等；②任一向量与它的平行向量不相等； ③若四边形是平行四边形，则；④共线的向量，若始点不同，则终点一定不同． 【变式1-1】(24-25高一下·贵州黔南·月考)对于物理量：①路程，②时间，③速度，④体积，⑤长度，⑥重力，以下说法正确的是(    ) A．①②④是数量，③⑤⑥是向量 B．①④⑤是数量，②③⑥是向量 C．①④是数量，②③⑤⑥是向量 D．①②④⑤是数量，③⑥是向量 【变式1-2】(23-24高一下·江西南昌·期中)下列说法正确的是(    ) A．若，则与共线 B．若与是平行向量，则 C．若，则 D．共线向量方向必相同 【变式1-3】(24-25高一下·甘肃·月考)关于非零向量方向上的单位向量，下列说法正确的是(    ) A．有无数个 B．与可能反向 C． D． 【变式1-4】(24-25高一下·上海·单元测试)若是的负向量，则下列说法中错误的是(    ) A．与的长度必相等； B．； C．与一定不相等； D．是的负向量． 【变式1-5】(多选)给出下列命题正确的是(    ) A．海拔、温度、角度都不是向量 B．向量与向量的长度相等 C．若满足，且同向，则 D．若，则四边形是平行四边形 【变式1-6】(23-24高一下·河南许昌·开学考试)下列结论中正确的是 (填序号)． ①若与共线，则点、、、共线；②物理学中作用力与反作用力是一对共线向量； ③方向为南偏西60°的向量与北偏东60°的向量是共线向量；④直角坐标平面上的轴的非负半轴是向量． 题型02 平面向量的线性运算 【典例2-1】(24-25高一下·贵州遵义·月考)已知菱形的边长为1，，则(   ) A．1 B． C． D．2 【典例2-2】(25-26高一上·辽宁·期末)已知向量，不共线，，，其中，，那么三点共线的充要条件为(   ) A． B． C． D． 【典例2-3】(多选)(24-25高一下·新疆喀什·期中)八卦是中国文化中的哲学概念，图1是八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形，其中，给出下列结论：(    ) A． B． C． D． 【典例2-4】(2025高一·全国·专题练习)若为内一点，且，则的形状为(    )． A．等边三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【变式2-1】(24-25高一下·湖南常德·月考)平面内不同四点满足，则(    ) A．3 B．4 C． D． 【变式2-2】(23-24高一下·湖南衡阳·期末)已知在矩形中，若，且，则(    ) A．3 B．1 C．2 D．4 【变式2-3】(24-25高一下·北京延庆·期中)已知在三角形中，，，用，表示向量(   ) A． B． C． D． 【变式2-4】(2025高一·全国·专题练习)非零向量，使得成立的充分非必要条件是(    )． A． B． C． D． 【变式2-5】(多选)(24-25高一下·广西柳州·开学考试)(多选)下列结论恒为零向量的是(    ) A． B． C． D． 【变式2-6】(24-25高一下·安徽·月考)设和是两个不共线的向量，若，且三点共线，则实数的值为 . 题型03 平面向量的坐标运算 【典例3-1】(25-26高一上·辽宁大连·期末)已知平面向量，，若，则实数的值为(    ) A． B． C． D． 【典例3-2】(25-26高一上·辽宁沈阳·期末)已知，，则与方向相同的单位向量是(    ) A． B． C． D． 【典例3-3】(多选)(25-26高一上·辽宁沈阳·期末)下列关于平面向量的说法中，正确的是(    ) A．若，，则 B．若是一组基底，则也是一组基底 C．若，，是平面上不同的三点，且，则，，三点共线 D．若，则存在唯一的实数，使得 【典例3-4】(25-26高一上·辽宁大连·期末)在平面四边形中，，，，点在边(含端点)上运动，设，则的取值范围是 . 【变式3-1】(25-26高一上·北京·月考)已知向量，，若，则等于(   ) A． B．2 C．4 D． 【变式3-2】(25-26高一上·全国·期末)向量，若，则实数(   ) A． B． C． D．1 【变式3-3】(24-25高一下·贵州·月考)已知向量，，若，则实数的值为(   ) A． B． C． D．1 【变式3-4】(25-26高一上·江苏盐城·期中)已知，，若，则(    ) A． B． C． D． 【变式3-5】(多选)(24-25高一下·福建泉州·期中)设是平面内所有向量的一组基底，则下面四组向量中，不能作为基底的是(    ) A．和 B．和 C．和 D．和 【变式3-6】(2025高一下·江苏南京·专题练习)已知向量，，若//，则k＝ ． 题型04 平面向量的数量积 【典例4-1】(24-25高一下·贵州遵义·月考)若向量，且向量在向量上的投影向量为，则(   ) A． B．1 C．2 D．4 【典例4-2】(24-25高一下·湖南长沙·期末)已知平面向量满足 ，则的最小值为(    ) A． B．1 C．2 D．3 【典例4-3】(多选)(25-26高一上·江苏南通·期中)已知向量，，则(    ) A． B． C．向量与的夹角为 D．向量在方向上的投影向量为 【典例4-4】(25-26高一上·湖南衡阳·期末)均为单位向量，且，向量满足，则的取值范围是 ． 【变式4-1】(24-25高一下·甘肃天水·月考)关于平面向量，下列说法正确的是(   ) A．若与共线，则存在唯一实数，使得 B．若，则或 C．若，则 D．若、是非共线向量，则对平面内任一向量，存在唯一一对实数、，使得 【变式4-2】(23-24高一下·贵州遵义·月考)已知向量，且，则实数(    ) A． B． C． D．1 【变式4-3】(23-24高一下·四川泸州·期中)已知：，则在方向上的投影向量为(　　) A． B． C． D． 【变式4-4】(2025高一下·江苏南京·专题练习)窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图是一个正八边形窗花隔断，图是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图．如图，若正八边形的边长为，是正八边形八条边上的动点，则的最小值为( ) A． B．2 C． D． 【变式4-5】(多选)(25-26高一上·江苏盐城·期中)在所在的平面内有两点P，Q，满足，，且与交于点M，，则下列说法正确的是(    ) A． B． C． D． 【变式4-6】(23-24高一下·贵州遵义·月考)在中，，且满足，其中是外接圆的圆心，则 . 题型05 解三角形 【典例5-1】(24-25高一下·贵州毕节·期中)在中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若，，，则(   ) A． B． C． D． 【典例5-2】(24-25高一上·湖北十堰·自主招生)如图，在的方格纸上，记，，，则(    ) A． B． C． D． 【典例5-3】(多选)(23-24高一下·福建厦门·月考)已知中，角，，的对边分别为，，，则以下四个命题正确的有( ) A．当，，时，满足条件的三角形共有个 B．若则这个三角形的最大角是 C．若，则为锐角三角形 D．若，且，一定是等边三角形 【典例5-4】(25-26高一上·湖南衡阳·期末)在中，角、、的对边分别为、、．向量，，且．若边，，的平分线交于点，则的长为 ． 【变式5-1】(23-24高一下·贵州遵义·月考)在中，已知，则(    ) A．3 B． C． D．1 【变式5-2】(25-26高一上·福建福州·自主招生)在中，和均为锐角，且．若，则的值为(    ) A． B． C． D． 【变式5-3】(23-24高一下·福建厦门·期中)已知的内角 的对边分别为 ， 且， 若， 则 的面积为 ( ) A． B． C． D．2 【变式5-4】(24-25高一下·贵州毕节·期中)在中，a、b、c分别为、、的对边，若，且，当的面积为时，则(   ) A． B．2 C．4 D． 【变式5-5】(多选)(25-26高一上·西藏昌都·期中)下列命题中， p是q的充要条件的有(   ) A．设是的三条边，，为直角三角形， B．设是的三条边，，为钝角三角形， C．设是的三条边，，为锐角三角形， D．两个三角形全等，两个三角形面积相等 【变式5-6】(2025高一上·江苏南通·专题练习)如图，在中，，， 取边中点，连接，设为中点，连接并延长与交于点，则的长为 . 一、单选题 1.(23-24高一下·山西临汾·月考)下列说法不正确的是(    ) A．若，则或 B．与是平行向量 C．若与是共线向量，则四点共线 D．若∥∥，则∥ 2.(22-23高一下·江苏扬州·期末)如图，在平行四边形中，分别是边上的两个三等分点，则下列选项正确的有(    ).    A． B． C． D． 3.(24-25高三上·天津武清·月考)，点P在边AB上，，设，则(　　) A． B． C． D． 4.(2025高一·全国·专题练习)已知为所在平面内一点，若，其中内角的对边分别为，则点是的(    ) A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 5.(24-25高一下·贵州·月考)已知O为△ABC的外接圆的圆心，，，若，且，则(   ) A． B． C． D． 6.(24-25高一下·贵州遵义·月考)在中，，过点的直线分别交直线，于点，，设，，则的值为(   ) A．1 B．2 C．3 D．4 7.(2025高一下·江苏南京·专题练习)在梯形中，已知，，，，，若，则的模为(     ) A． B．2 C．3 D．4 8.(24-25高一下·黑龙江齐齐哈尔·月考)起点重合，，则的最大值为(   ) A． B．3 C． D． 二、多选题 9.(22-23高一下·黑龙江佳木斯·期中)在单位圆上的扇形OAB中，∠AOB＝60°，C为弧AB上的一个动点，若，则的取值可能是(    ) A．－1 B．1 C． D． 10.(23-24高一下·福建厦门·月考)已知向量，，下列说法正确的是( ) A． B． C．与向量平行的单位向量仅有 D．向量与向量的夹角为 11.(23-24高一下·云南楚雄·月考)下列说法正确的有(    ) A．已知，，若与共线，则 B．若，则外接圆半径是4 C．若，则一定是钝角三角形 D．若，，为锐角，则实数的范围是 三、填空题 12.(22-23高一下·湖南岳阳·期末)已知点，向量，，点P是线段AB的三等分点，则点P的坐标是 ． 13.(25-26高一上·辽宁沈阳·期末)如图：在平行四边形中，、分别为边、上的点，且，，连接，交于点，若，则 .    14.(23-24高一下·福建厦门·月考)如图，正方形的边长为，以点为顶点引出放线角为的阴影部分区域，其中，，= ．记四边形的面积为，则的取值范围为 ． 四、解答题 15.(25-26高一上·黑龙江哈尔滨·期末)中，内角A，B，C所对的边为，，边上的高为，. (1)求角；(2)求边. 16.(25-26高一上·吉林·月考)如图，单位圆与轴正半轴的交点为点，点在圆上，且点在第一象限，点在第二象限． (1)当圆心角所对的弧长为，求图中阴影部分的面积； (2)设，当点的横坐标为时，求及的值． 17.(24-25高一下·甘肃·期末)在中，内角的对边分别为，若，且. (1)求角的大小；(2)若，点是的中点，且，求的值； 18.(25-26高一上·江苏南通·月考)用篱笆在一块靠墙的空地围一个面积为的等腰梯形菜园，如图所示，用墙的一部分做下底，用篱笆做两腰及上底，且腰与墙成，设等腰梯形的腰长为. (1)用表示上底；(2)求出所用篱笆长度的最小值． 19.(24-25高一下·贵州·月考)在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 (1)求角B的大小；(2)若，，点D满足，求△ABD的面积； (3)若，且△ABC的外接圆半径为2，圆心为O，P为⊙O上的一动点，试求的取值范围. 第 1 页 共 19 页 学科网（北京）股份有限公司 B C A D B C A D B C A O B C A D E F O $丽学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 第一章平面向量复习讲义 内容概览 教学目标、教学重难点 知识点01平面向量的概念及表示 题型01平面向量的概念及表示 知识点02平面向量的线性运算 题型02平面向量的线性运算 第1章平面向量 题型03平面向量的坐标运算 知识点03平面向量的坐标运算 题型04平面向量的数量积 题型05解三角形 知识点04平面向量的数量积 知识点05解三角形 教学目标、教学重难点 1.理解平面向量有关概念及表示： 2.掌握平面向量的线性运算与平面向量基本定理； 教学目标 3.掌握平面向量的坐标运算； 4.掌握平面向量的数量积及应用： 5.掌握正余弦定理及应用， 教学重点 平面向量的线性运算，坐标运算，数量积及应用，正余弦定理及应用， 教学难点 平面向量的线性运算，平面向量基本定理，数量积及应用，三角形中的最值范围问题. 知识清单 知识点01平面向量的概念及表示 1.平面向量的定义：既有大小又有方向的量叫做向量 2.向量的模：向量AB的大小，也就是向量AB的长度（或称模)，记作AB 3.零向量：长度为零的向量叫做零向量，记作0 4.单位向量：长度等于1个单位的向量叫做单位向量 5.平行（共线)向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量（或共线向量).记作：a/ 规定：零向量与任意向量平行. 6.相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量 【即学即练1-1】(24-25高一下·天津宝坻月考)下列说法中正确的是() A.向量的模都是正实数 B.单位向量只有一个 C.向量的大小与方向无关 D.方向不同的向量不能比较大小，但同向的向量可以比较大小 第1页共37页 而学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【答案】C【难度】0.94【知识点】平面向量的概念与表示、零向量与单位向量、向量的模 【分析】根据向量的概念即可判断。 【详解】对于A:根据向量的概念可知，零向量的模为零，故A错误； 对于B:单位向量的定义，单位向量的模为1，方向为任意方向，故B错误： 对于C:向量的模与方向没有关系，故C正确： 对于D:向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小，故D错误。 故选：C 【即学即练1-2】(24-25高一下.甘肃定西月考)如果元，是两个单位向量，则下列结论中正确的个数是() ①a=万；②a=±；③=：④d=. A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】B【难度】0.85【知识点】向量的模、相等向量、零向量与单位向量 【分析】根据单位向量模相等，方向任意依次判断各选项即可得答案 【详解】因为a,b是两个单位向量，所以==1， 但两向量的方向不能确定，所以是-2--识，故①②错误，③④ 知识点02平面向量的线性运算 1.平面向量的线性运算 向量运算 加法 减法 数乘 arb b b a-b (1)ad=a, a (2)当1>0时，与a方向相同： 几何表示 三角形法则 平行四边形法则 三角形法则 起点重合 当A<0时，a与a方向相反； 首尾相接 起点重合 指向终点 指向对顶点 当1=0时，a=0 指向被减向量 2.多边形法则 般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量， 即A42十AA3十A44十..十Am-4.=A4n, 特别地，一个封闭图形，首尾连接而成的向量和为零向量. 3平面向量基本定理 e,e2是平面内两个不共线向量，那么对这一平面内的任意向量a,有且只有一对实数1,2，使a=1e+2e2 我们把不共线的向量e,e2叫做表示这一平面的一组基底， 4.“爪”子定理 形式1：在△ABC中，D是BC上的点，如果BD=m,DG=n则而=丽+AC, 特别地，若D为线段BC的中点，则AD=AB+AC 形式2：在△ABC中，D是BC上的点，且Bò=2B元，则4AD=24C+(1-)4B, 特别地，若D为线段BC的中点，则AD=AB+AC 【即学即练2-1】(24-25高一下·江西上饶·月考)如图，在正六边形ABCDEF中，AC=() 第2页共37页 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 E B A.2AB+AF B.AB-2AF C.2AB+2AF D.AB+2AF 【答案】A【难度】0.65【知识点】向量加法法则的几何应用 【分析】连接AD、BE、CF交于点O,分析可知F元=2AB,再利用平面向量加法的三角形法则可得答案。 【详解】连接AD、BE、CF交于点O,如下图所示： 由正六边形的几何性质可知△OAB、△OBC、△OCD、△ODE、△OEF、△OFA均为等边三角形， 因为OF=AF=AB=OB,故四边形ABOF为菱形， 同理可知，四边形ABC0也为菱形，所以FO=AB=OC,故FC=2AB, 故AC=AF+FC=AF+2AB, 故选：A 【即学即练2-2】(24-25高一下.甘肃定西，期末)在正方形ABCD中，E为CD的中点，F为BE的中点，则AF=() A.AB+AD B.3AB+AD C.2AB+AD D.AB+AD 【答案】B【难度】0.85【知识点】向量的线性运算的几何应用 【分析】根据平面向量的线性运算求得正确答案。 【详解】AF=(AB+AE=AB+AE=AB+(AD+D=AB+(AD+2AB=AB+AD 故选：B 知识点03平面向量的坐标运算 1.平面向量的正交分解：把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解. 2.向量坐标的求法 ①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标 ②设A1,y),Bx2,2),则AB=(x2一x1,2一y1）,AB=Vx2一x1)2+0y2一y)2 3.向量加法、减法、数乘运算及向量的模：设坐标表示a=(x1,y),石=(x2,y2),则 a+i=(x1+x2,y1+y2),a-b=(x1-x2y1-y2), λ=Qx,y),d=Vx好+y. 第3页共37页 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 4.三点共线的充要条件的三种形式 (1)A,P,B三点共线台AP=1AB(≠0) (2)A,P,B三点共线台OP=(1-)OA十tOB(O为平面内异于A,P,B的任一点，t∈R) 3)A,P,B三点共线台OP=xOA十yOB(O为平面内异于A,P,B的任一点，x∈R,y∈R,x十y=1). 【即学即练3-1】(25-26高一上辽宁沈阳.期末)已知向量石=(1，x),=(3,-1),若石‖万，则x=() A.-3 B.3 c.- D. 【答案】C【难度】0.85【知识点】由向量共线（平行）求参数 【分析】利用向量平行的坐标表示即可求解 【详解】由题意若/b,则3x+1=0,解得x=-专故c正确。 故选：C 【即学即练3-2(25-26高一上辽宁锦州期末)向量a=(n+1,1),万=(-2,2n-3),则“a/b是“m=1"的) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】B【难度】0.85【知识点】由向量共线（平行）求参数、判断命题的必要不充分条件 【分析】由向量平行的坐标表示可得，再根据充分条件与必要条件的概念判断即可. 【详解】已知a=(n+1,1),b=(-2,2n-3),若d/乃， 则(n+1)(2n-3)-1×(-2)=0,解得n=-二或n=1, 因为a/"不一定能得出“n=1",但“n=1”一定能得出a/乃， 所以a/乃是“n=1"的必要不充分条件. 故选：B 知识点04平面向量的数量积 (一)平面向量的数量积概念与运算性质 1.向量a与b的夹角 已知两个非零向量和b.作0A=a,OB=b,则∠AOB=0°≤0≤180)叫做向量a与b的夹角. 当0=0°时，与b同向： 当0=180时，与b反向. 如果与b的夹角是90°，我们说a与垂直，记作d1万. 2.平面向量的数量积 (1)若a,为非零向量，夹角为0，则a·=向·cos0. (2)设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a·b=x1x2+y1y2 3.平面向量数量积的运算律 (1)a·万=·a(交换律)： (2)a.b=1.万=a.(乃（结合律）： (3)a+b)·c=a·c+b.c(分配律) 第4页共37页 丽学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 4.平面向量数量积运算的常用公式 (1)a+而·a-b=ò2-⑥2 (2)a+万2-@2+⑥2+2a.万=2++2a.i. 3)d-2=@2+⑥2-2a.i=2+-2.i. ④)极化恒等式：a·石-[a+2-(d-万]：（平行四边形模式）a·万-l4C?-DB1 5.常用性质 (1)aa=或a=√@ (2)-a·b≤a:b≤同·b (二)平面向量的数量积的应用 1.利用数量积求长度 (1)若a=(x,y),则=√回2=a·a=√x2+y2 (2)若Ax1,y),B(x2,y2),则：|AB|=Vx2-x1)2+y2-y1)2 2利用数量积求夹角：设a,b为非零向量，若a=(x1,y),b=(x2,y2),0为a,b的夹角， 则cos8- x1x2+y1y2 丽好+好+呢 3.向量的投影与投影向量 向量在向量b上的投影为：@列cos9=商 肉盐a在向51形的投向蛋为：a9:青晋高 4两个非零向量平行、垂直的充要条件 若d=(x1y1),b=(x2,y2),则 (1)a/i台a=d≠0)=台x1y2-x2y1=0. X2 V2 (2)a⊥乙台ai=0台x1x2十y2=0. 6)与a同方向的单位向量为：高=际c)=（泰·) 与a共线的单位向量为：士吾=土（化，）=（±，±） 【即学即练4-1】(24-25高一下贵州月考)已知b=2,且在a上的投影向量的模为V2,则a与b的夹角为() A.45 B.60° C.120° D.45°或135° 【答案】D【难度】0.85【知识点】向量夹角的计算、求投影向量 【分析】根据题意，lcos(a,=V2,进而得到cos(位，=号，再求夹角即可. 【详解】在上的投影向量的模等于Mcos(位=V2,又团=2，所以os(位，-要， 因为(d,b)∈[0，，所以(a,b)=45或135. 故选：D 第5页共37页 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【即学即练4-21(25-26高一上辽宁沈阳·期末)已知向量a,b,c,其中@=1，=V3,=2,且a-万=c, 则() A.a-=2 B.a+b=V3 C.a+b+=2D.a+b-与b共线 【答案】ACD【难度】0.65【知识点】求向量数量积、已知数量积求模、垂直关系的向量表示 【分析】根据已知及向量数量积的运算律得a-b=G=2、a·万=0、+=2判断A、B,进而确定 三个向量构成一个直角三角形，再应用向量加减的几何意义、数量积的运算律判断C、D. 【详解】由题设a-==2,A对， d=1,=V3,d-万2=2→-2ai+=2→4-2a.i=4→a.i=0, 所以G+万2=+2a·b+2=4,则a+=2,B错， 由上知G1且a-石=元，=1，l=3,=2,如下图a=0A,i=0B,c=BA, 显然三个向量构成一个直角三角形，且(，)=60°，(6，)=150°， B 所以a+万-=0A+0B-BA=0B+0A+AB=20B=2五，D对， 由a+i+=2+7+2+2a.币+2a.c+26元=1+3+4+0+2-6=4， 所以后++=2，C对. 故选：ACD 知识点05解三角形 一·解三角形基本公式定理 知识点一：在△ABC中，角A,B,C所对的边分别是a,b,c,R为△ABC外接圆半径，则 1,正弦定理：品-品。一品=2R(2R为△18C外接凤的直倒 变形：a=2 Rsin A,b=2 Rsin B,c=2 Rsin C.(边化角)： sinA=云sinB=京，sinc=京（角化边： a:b c=sin A sin B sin C. 2.余弦定理 a2=b2+c2-2bccosA, b2=a+c2-2acco.s B, c2=a2++b2-2abcos C. 2bc,COSB=42+c2-b2 推论：cosA=b+c2-a2 2ac,COS =a2+b2-c2 2ab 变形：b2+c2-a2=2 bccos A, a2+c2-b2=2accos B, a2+b2-c2=2abcos C. 3.三角形的射影定理：acosB+bcosA=c,bcosC+ccosB=a,ccosA+acosC=b; 推导：sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB→c=acosB+bcosA: 4.面积公式 第6页共37页 丽学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (I)S=2a·ha(（ha是高)： (2)S=bcsinA=acsinB=absinC; (2)S=r(a+b+c)0为三角形内切圆半径). (3)若A(x1,y1),B(x2:y2),C(x3,y3),则S=lx1y2-y3)+x20y3-y1)+x30y1-y2)I (4(不作要求)S==2R2 sinAsniBsinC(R为外接圆半径)： 4R S=Vpp-)p-b)p-0(海伦公式，p=++9 2 二。解三角形应用 1.正弦定理的应用 (I)边化角，角化边：a:b:c=sinA:sinB:sinC, a+b+c atb b+c a+c F=2R a b ()②合分比：sthA+snB+simc=sn4 tsinB-sinB+simc sinA+sinc 2.△ABC内角和定理：A十B+C= (1)sinC=sin(A+B),cosC=-cos(A+B); ②斜三角形中，-tanC=an(A+B)=。一anA+anB+tanC=anA:amB:tanC (3)sin coscosing 2 2 ④在△4BC中，内角4B,C成等差数列B=日，A+C=受 3.三角形中的不等关系 (1)大边对大角大角对大边：A>B台a心b台sinA>simB台cosA<cosB. (2)若△ABC为锐角三角形，则A+B>2,sin4>cosB,cos4<sinB,a2+b2>c2, 若△ABC为钝角三角形（假如C为钝角），则A+B<乏sin4 <cosB,cos4>sinB, (3)c2=2+b2台C为直角： c2>+b2台C为钝角： c2<a2+b2台C为锐角. (4)a+b>c,b+c>a,c+a>b. (5)若x∈(0，)，则sinx<x<tanx.若x∈(0，)，则1<simx+cosx≤V2. 4.三角形中的三线两圆问题 (1)中线：（α）中线定理：一条中线两侧所对边的平方和等于底边平方的一半与该边中线平方的2倍. 即：如图，在△ABC中，D为BC中点，则AB2+AC2=1BC:+2AD. 2 (b)已知两边及其夹角也可表述为：4AD2=AB2+AC2+2AB·AC.cosA. ②)角平分袋：角平分线定理：如图，在△1BC中，AD是∠BAC的平分线，则是=器 第7页共37页 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 证法1： 在△ABD中， AB BD 在△ACD中， AC CD sinLADB sinzBAD' sinLCAD' A、BD sin∠ADC 证法2： 该结论可以由两三角形面积之比得证，即4卫=4B=D, SAACD AC CD 阅高：4,4，么分别为AMBC边a6c上的商，则h:e:-片立品之 求高一般采用等面积法，即求某边上的高，需要求出面积和底边长度， (④)外接圆：过三角形三个顶点的圆叫三角形的外接圆.其圆心叫做三角形的外心. 外接圆半径的计算：R=,a b 2sina 2sinB 2sinc 外接圆半径与三角形面积的关系：SBc=-=R为△4BC外接圆半径). 4R 0 D B (⑤)内切圆：与三角形三边都相切的圆叫三角形的内切圆.其圆心叫做三角形的内心. 内切圆半径与三角形面积的关系：S4BC=(a十b十c)(为△ABC内切圆半径)，并可由此计算r. 【即学即练5-1】(23-24高一下.贵州遵义·月考)在△ABC中，AB=2,AC=√2，B=30°，则A=) A.105°或15 B.135或45 C.120°或30 D.1059 【答案】A【难度】O.94【知识点】正弦定理解三角形、正弦定理判定三角形解的个数 【分析】根据正弦定理求出角C的度数，再根据三角形内角和定理求出角A的度数. 【详解】在△ABC中，根据正弦定理得品-品即忌-品 所以smC=号又0°<C<180,所以C=45°或135， 当C=45时，B+C=75°<180°，符合题意， 当C=135时，B+C=165°<180°，符合题意；所以C的两个解均成立. 根据三角形内角和定理A+B+C=180°，所以A=15或105°. 故选：A 【即学即练5-2】(24-25高一下·江西上饶·期中)下列说法正确的是(） A.若=2，=1，则a> B.在△ABC中，若AB=AC,BC=4,则BA·BC=8 C.己知a,b,c为△ABC的内角A,B,C的对边，则"sinA>sinB"的充要条件是“A>B” D.己知向量石=(2，-1)，石=(x1),a与的夹角为钝角，则实数x的取值范围是(-∞，) 【答案】BC【难度】0.65【知识点】数量积、由向量共线（平行）求参数、正弦定理边角互化的应用 【分析】对于A,向量不能比较大小；对于B,利用数量积的定义和等腰三角形的性质即可判断；对于C, 由正弦定理和大边（角）对大角（边）即可判断；对于D,利用数量积为负同时要排除反向共线即平角的情况即 可判断. 第8页共37页 品学科网·上好课 www zxx k com 上好每一堂课 【详解】对于A,因为向量有方向，所以不能像实数一样比较大小，故A错误： 对于B,BA·BC=BCBAcosB=BC×BC=4×2=8,故B正确： 对于C,由正弦定理，品=品可知sA>inB分a>b分A>B,故C正确： b 2x-1<0, 对于D,由 ai<0,即{。 a.b≠-1d,气2x-1≠-√5×Vx2+1, 解得x∈(-∞，-2)U(-2,习，故D错误。 故选：BC 题型精讲 题型01平面向量的概念及表示 〖典例1-1】(24-25高一下河南开封月考)下列物理量：①质量：②速度：③力：④加速度：⑤位移： ⑥密度；⑦功.其中是向量的有() A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 【答案】A【难度】0.94【知识点】平面向量的概念与表示 【分析】根据向量的知识进行分析，从而确定正确答案. 【详解】质量、密度、功是标量，不是向量： 速度、力、加速度、位移是向量： 所以向量共有4个 故选：A 【典例1-2】(23-24高一下.陕西宝鸡期中)下列说法正确的是() A.数量可以比较大小，向量也可以比较大小 B.由于零向量的方向不确定，因此零向量不能与任意向量平行 C.模为1的向量都是相等向量 D.向量的模可以比较大小 【答案】D【难度】0.94【知识点】向量的模、平面向量的概念与表示、相等向量、零向量与单位向量 【分析】由向量的相关概念逐一判断即可。 【详解】向量是有大小又有方向的矢量，不能比较大小，故A错： 由于零向量的方向不确定，故规定零向量与任意向量平行，故B错： 长度相等、方向相同的向量称为相等向量，模长为1的向量只规定了长度相等，方向不一等相同，故C错： 向量的模长是一个数量，因此可以比较大小，故D正确。 【典例1-3】（多选24-25高一下·福建福州·期中）下列说法错误的是() A.加速度是向量 B.两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同 C.零向量的方向是任意的 D.向量就是有向线段 【答案】BD【难度】0.94【知识点】平面向量的概念与表示、零向量与单位向量 【分析】根据向量的有关定义依次判断即可」 【详解】对于A,由向量的定义知，加速度是向量，故A正确： 第9页共37页 而学科网·上好课 www zxx k co m 上好每一堂课 对于B,两个有共同起点，且长度相等的向量，方向不一定相同，所以它们的终点不一定相同，故B错误： 对于C,由零向量的定义知，零向量的方向是任意的，故C正确： 对于D,向量可以用有向线段表示，但两者不同，故D错误 故选：BD 【典例1-4】(24-25高一下·河南开封月考)下列说法中，正确的序号是 ①零向量都相等：②任一向量与它的平行向量不相等： ③若四边形ABCD是平行四边形，则AB=DC;④共线的向量，若始点不同，则终点一定不同. 【答案】①③【难度】0.85【知识点】平行向量（共线向量）、零向量与单位向量、平面向量的概念与表示 【分析】根据向量、零向量及共线向量的定义逐一分析即可判断： 【详解】对于①：因为零向量的长度都为0，且其方向任意，所以零向量都相等，故①正确： 对于②：平行向量的方向可以相同，且大小也可以相等， 所以任一向量与它的平行向量可能相等，故②错误： 对于③：根据向量的定义知AB与DC的方向相同，且长度相等，所以AB=DC,故③正确： 对于④：根据共线向量的定义可知：共线的向量，始点不同，终点可能相同，所以④错误。 故答案为：①③ 【变式1-1】(24-25高一下.贵州黔南·月考)对于物理量：①路程，②时间，③速度，④体积，⑤长度， ⑥重力，以下说法正确的是() A.①②④是数量，③⑤⑥是向量 B.①④⑤是数量，②③⑥是向量 c.①④是数量，②③⑤⑥是向量 D.①②④⑤是数量，③⑥是向量 【答案】D【难度】0.94【知识点】平面向量的概念与表示 【分析】由向量的概念逐个判断即可： 【详解】路程，时间，体积，长度只有大小，没有方向，是数量： 速度，重力既有大小又有方向，是向量， 故选：D. 《变式1-2】(23-24高一下·江西南昌·期中)下列说法正确的是()】 A.若a=b,则a与b共线 B.若a与b是平行向量，则a=b C.若a=b,则a=b D.共线向量方向必相同 【答案】A【难度】0.94【知识点】相等向量、平行向量（共线向量）、向量的模 【分析】利用共线向量、相等向量的概念逐项判断即得. 【详解】对于A,相等向量必是共线向量，A正确： 对于B,与b是平行向量，如a为非零向量，而b=0,显然a≠b,B错误： 对于C,模相等的两个向量，它们的方向不一定相同，即=b不一定成立，C错误： 对于D,共线向量的方向可以相反，D错误 故选：A 【变式1-3】(24-25高一下.甘肃·月考)关于非零向量方向上的单位向量e,下列说法正确的是() 第10页共37页 第一章 平面向量 复习讲义 教学目标 1.理解平面向量有关概念及表示； 2.掌握平面向量的线性运算与平面向量基本定理； 3.掌握平面向量的坐标运算； 4.掌握平面向量的数量积及应用； 5.掌握正余弦定理及应用. 教学重点 平面向量的线性运算，坐标运算，数量积及应用，正余弦定理及应用. 教学难点 平面向量的线性运算，平面向量基本定理，数量积及应用，三角形中的最值范围问题. 知识点01 平面向量的概念及表示 1.平面向量的定义：既有大小又有方向的量叫做向量. 2.向量的模：向量的大小，也就是向量的长度（或称模），记作. 3.零向量：长度为零的向量叫做零向量，记作. 4.单位向量：长度等于1个单位的向量叫做单位向量. 5.平行（共线）向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量（或共线向量）.记作：. 规定：零向量与任意向量平行. 6.相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量. 【即学即练1-1】(24-25高一下·天津宝坻·月考)下列说法中正确的是(   ) A．向量的模都是正实数 B．单位向量只有一个 C．向量的大小与方向无关 D．方向不同的向量不能比较大小，但同向的向量可以比较大小 【答案】C【难度】0.94【知识点】平面向量的概念与表示、零向量与单位向量、向量的模 【分析】根据向量的概念即可判断. 【详解】对于A：根据向量的概念可知，零向量的模为零，故A错误； 对于B：单位向量的定义，单位向量的模为1，方向为任意方向，故B错误； 对于C：向量的模与方向没有关系，故C正确； 对于D：向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小，故D错误. 故选：C. 【即学即练1-2】(24-25高一下·甘肃定西·月考)如果是两个单位向量，则下列结论中正确的个数是(    ) ①；②；③；④． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B【难度】0.85【知识点】向量的模、相等向量、零向量与单位向量 【分析】根据单位向量模相等，方向任意依次判断各选项即可得答案. 【详解】因为是两个单位向量，所以， 但两向量的方向不能确定，所以，故①②错误，③④ 知识点02 平面向量的线性运算 1.平面向量的线性运算 向量运算 加法 减法 数乘 几何表示 首尾相接 指向终点 起点重合 指向对顶点 起点重合 指向被减向量 (1)|λa|＝|λ||a|， (2)当λ＞0时，λa与a方向相同； 当λ＜0时，λa与a方向相反； 当λ＝0时，λa＝0 2.多边形法则 一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量， 即＋＋＋…＋An－1An＝， 特别地，一个封闭图形，首尾连接而成的向量和为零向量． 3.平面向量基本定理 是平面内两个不共线向量，那么对这一平面内的任意向量，有且只有一对实数λ1，λ2，使. 我们把不共线的向量叫做表示这一平面的一组基底. 4.“爪”子定理 形式1：在△ABC中，D是BC上的点，如果|BD|＝m，|DC|＝n，则， 特别地，若D为线段BC的中点，则． 形式2：在△ABC中，D是BC上的点，且＝λ，则＝λ＋(1－λ)， 特别地，若D为线段BC的中点，则． 【即学即练2-1】(24-25高一下·江西上饶·月考)如图，在正六边形中，(   ) A． B． C． D． 【答案】A【难度】0.65【知识点】向量加法法则的几何应用 【分析】连接、、交于点，分析可知，再利用平面向量加法的三角形法则可得答案. 【详解】连接、、交于点，如下图所示： 由正六边形的几何性质可知、、、、、均为等边三角形， 因为，故四边形为菱形， 同理可知，四边形也为菱形，所以，故， 故， 故选：A. 【即学即练2-2】(24-25高一下·甘肃定西·期末)在正方形中，为的中点，为的中点，则(    ) A． B． C． D． 【答案】B【难度】0.85【知识点】向量的线性运算的几何应用 【分析】根据平面向量的线性运算求得正确答案. 【详解】. 故选：B 知识点03 平面向量的坐标运算 1.平面向量的正交分解：把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解． 2.向量坐标的求法 ①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标． ②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)，||＝. 3.向量加法、减法、数乘运算及向量的模：设坐标表示 ，则 ， ， ， |a|＝. 4.三点共线的充要条件的三种形式 (1)A，P，B三点共线⇔＝λ (λ≠0) (2)A，P，B三点共线⇔＝(1－t)·＋t(O为平面内异于A，P，B的任一点，t∈R) (3)A，P，B三点共线⇔＝x＋y(O为平面内异于A，P，B的任一点，x∈R，y∈R，x＋y＝1)． 【即学即练3-1】(25-26高一上·辽宁沈阳·期末)已知向量，，若，则(   ) A． B．3 C． D． 【答案】C【难度】0.85【知识点】由向量共线(平行)求参数 【分析】利用向量平行的坐标表示即可求解. 【详解】由题意若，则，解得，故C正确. 故选：C. 【即学即练3-2】(25-26高一上·辽宁锦州·期末)向量，，则“”是“”的(   ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B【难度】0.85【知识点】由向量共线(平行)求参数、判断命题的必要不充分条件 【分析】由向量平行的坐标表示可得，再根据充分条件与必要条件的概念判断即可. 【详解】已知，，若， 则，解得或， 因为“”不一定能得出“”，但“”一定能得出“”， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 知识点04 平面向量的数量积 (一)平面向量的数量积概念与运算性质 1.向量与的夹角 已知两个非零向量和.作，＝，则∠AOB＝θ(0°≤θ≤180°)叫做向量与的夹角. 当θ＝0°时，与同向； 当θ＝180°时，与反向. 如果与的夹角是90°，我们说与垂直，记作. 2.平面向量的数量积 (1)若，为非零向量，夹角为θ，则. (2)设，则. 3.平面向量数量积的运算律 (1) (交换律)； (2)λ＝λ()＝ (结合律)； (3) (分配律)． 4.平面向量数量积运算的常用公式 (1) ． (2)． (3)． (4)极化恒等式：；(平行四边形模式) 5.常用性质 (1)或 (2) (二)平面向量的数量积的应用 1.利用数量积求长度 (1)若，则. (2)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则：. 2.利用数量积求夹角：设，为非零向量，若，θ为，的夹角， 则 3.向量的投影与投影向量 向量在向量上的投影为:． 向量在向量上的的投影向量为：. 4.两个非零向量平行、垂直的充要条件 若，则 (1)∥⇔＝λ(≠)⇔⇔＝0. (2)⊥⇔·＝0⇔x1x2＋y1y2＝0. (3)与同方向的单位向量为：, 与共线的单位向量为：. 【即学即练4-1】(24-25高一下·贵州·月考)已知，且在上的投影向量的模为，则与的夹角为(   ) A． B． C． D．或 【答案】D【难度】0.85【知识点】向量夹角的计算、求投影向量 【分析】根据题意，，进而得到，再求夹角即可． 【详解】在上的投影向量的模等于，又，所以， 因为，所以或． 故选：D． 【即学即练4-2】(25-26高一上·辽宁沈阳·期末)已知向量，，，其中，，，且，则(   ) A． B． C． D．与共线 【答案】ACD【难度】0.65【知识点】求向量数量积、已知数量积求模、垂直关系的向量表示 【分析】根据已知及向量数量积的运算律得、、判断A、B，进而确定三个向量构成一个直角三角形，再应用向量加减的几何意义、数量积的运算律判断C、D. 【详解】由题设，A对， 由，，， 所以，则，B错， 由上知且，，，，如下图， 显然三个向量构成一个直角三角形，且， 所以，D对， 由， 所以，C对. 故选：ACD 知识点05 解三角形 一．解三角形基本公式定理 知识点一：在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则 1.正弦定理： (2R为△ABC外接圆的直径). 变形：a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C.(边化角)； sin A＝；(角化边)； a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C. 2.余弦定理 a2＝b2＋c2－2bccos A， b2＝a2＋c2－2accos B， c2＝a2＋b2－2abcos C. 推论：； 变形：b2＋c2－a2＝2bccos A， a2＋c2－b2＝2accos B， a2＋b2－c2＝2abcos C. 3.三角形的射影定理： 推导：； 4.面积公式 (1)(ha是高)； (2)； (2)(r为三角形内切圆半径)． (3)若，，，则 (4)(不作要求)(R为外接圆半径)； (海伦公式，) 二．解三角形应用 1.正弦定理的应用 (1)边化角，角化边：; (2)合分比：; 2.内角和定理： (1); (2)斜三角形中， (3)； (4)在中，内角成等差数列． 3.三角形中的不等关系 (1)大边对大角 大角对大边：A>B⇔a>b⇔sinA>sinB⇔cosA<cosB． (2)若△ABC为锐角三角形，则，sinA>cosB，cosA<sinB，a2＋b2>c2． 若△ABC为钝角三角形(假如C为钝角)，则，sinA<cosB，cosA>sinB． (3)c2＝a2＋b2⇔C为直角； c2>a2＋b2⇔C为钝角； c2<a2＋b2⇔C为锐角． (4)a＋b＞c，b＋c＞a，c＋a＞b． (5)若x∈，则sin x＜x＜tan x．若x∈， 则1＜sin x＋cos x≤． 4.三角形中的三线两圆问题 (1)中线:()中线定理：一条中线两侧所对边的平方和等于底边平方的一半与该边中线平方的2倍． 即：如图，在中，为中点，则． (b)已知两边及其夹角也可表述为：． (2)角平分线:角平分线定理：如图，在中，是的平分线，则． 证法1：　在中，，在中，，． 证法2：　该结论可以由两三角形面积之比得证，即; (3)高: 分别为边上的高，则:; 求高一般采用等面积法，即求某边上的高，需要求出面积和底边长度． (4)外接圆：过三角形三个顶点的圆叫三角形的外接圆．其圆心叫做三角形的外心． 外接圆半径的计算：R＝＝＝． 外接圆半径与三角形面积的关系：S△ABC＝＝(R为△ABC外接圆半径)． 　　　　　 (5)内切圆：与三角形三边都相切的圆叫三角形的内切圆．其圆心叫做三角形的内心． 内切圆半径与三角形面积的关系：S△ABC＝(a＋b＋c)·r(r为△ABC内切圆半径)，并可由此计算r． 【即学即练5-1】(23-24高一下·贵州遵义·月考)在中，，则(    ) A．或 B．或 C．或 D． 【答案】A【难度】0.94【知识点】正弦定理解三角形、正弦定理判定三角形解的个数 【分析】根据正弦定理求出角的度数，再根据三角形内角和定理求出角的度数. 【详解】在中，根据正弦定理得，即， 所以，又，所以或， 当时， ，符合题意， 当时， ，符合题意；所以的两个解均成立. 根据三角形内角和定理，所以或. 故选：A 【即学即练5-2】(24-25高一下·江西上饶·期中)下列说法正确的是(   ) A．若，，则 B．在中，若，，则 C．已知a，b，c为的内角A，B，C的对边，则“”的充要条件是“” D．已知向量，，与的夹角为钝角，则实数x的取值范围是 【答案】BC【难度】0.65【知识点】数量积、由向量共线(平行)求参数、正弦定理边角互化的应用 【分析】对于A，向量不能比较大小；对于B，利用数量积的定义和等腰三角形的性质即可判断；对于C，由正弦定理和大边(角)对大角(边)即可判断；对于D，利用数量积为负同时要排除反向共线即平角的情况即可判断. 【详解】对于A，因为向量有方向，所以不能像实数一样比较大小，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，由正弦定理，可知，故C正确； 对于D，由即解得，故D错误. 故选：BC 题型01 平面向量的概念及表示 【典例1-1】(24-25高一下·河南开封·月考)下列物理量：①质量；②速度；③力；④加速度；⑤位移；⑥密度；⑦功．其中是向量的有(   ) A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】A【难度】0.94【知识点】平面向量的概念与表示 【分析】根据向量的知识进行分析，从而确定正确答案. 【详解】质量、密度、功是标量，不是向量； 速度、力、加速度、位移是向量； 所以向量共有个. 故选：A 【典例1-2】(23-24高一下·陕西宝鸡·期中)下列说法正确的是(    ) A．数量可以比较大小，向量也可以比较大小 B．由于零向量的方向不确定，因此零向量不能与任意向量平行 C．模为1的向量都是相等向量 D．向量的模可以比较大小 【答案】D【难度】0.94【知识点】向量的模、平面向量的概念与表示、相等向量、零向量与单位向量 【分析】由向量的相关概念逐一判断即可. 【详解】向量是有大小又有方向的矢量，不能比较大小，故A错； 由于零向量的方向不确定，故规定零向量与任意向量平行，故B错； 长度相等、方向相同的向量称为相等向量，模长为1的向量只规定了长度相等，方向不一等相同，故C错； 向量的模长是一个数量，因此可以比较大小，故D正确. 【典例1-3】(多选)(24-25高一下·福建福州·期中)下列说法错误的是( ) A．加速度是向量 B．两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同 C．零向量的方向是任意的 D．向量就是有向线段 【答案】BD【难度】0.94【知识点】平面向量的概念与表示、零向量与单位向量 【分析】根据向量的有关定义依次判断即可. 【详解】对于A，由向量的定义知，加速度是向量，故A正确； 对于B，两个有共同起点，且长度相等的向量，方向不一定相同，所以它们的终点不一定相同，故B错误； 对于C，由零向量的定义知，零向量的方向是任意的，故C正确； 对于D，向量可以用有向线段表示，但两者不同，故D错误． 故选：BD． 【典例1-4】(24-25高一下·河南开封·月考)下列说法中，正确的序号是 ． ①零向量都相等；②任一向量与它的平行向量不相等； ③若四边形是平行四边形，则；④共线的向量，若始点不同，则终点一定不同． 【答案】①③【难度】0.85【知识点】平行向量(共线向量)、零向量与单位向量、平面向量的概念与表示 【分析】根据向量、零向量及共线向量的定义逐一分析即可判断. 【详解】对于①：因为零向量的长度都为0，且其方向任意，所以零向量都相等，故①正确； 对于②：平行向量的方向可以相同，且大小也可以相等， 所以任一向量与它的平行向量可能相等，故②错误； 对于③：根据向量的定义知与的方向相同，且长度相等，所以，故③正确； 对于④：根据共线向量的定义可知：共线的向量，始点不同，终点可能相同，所以④错误. 故答案为：①③. 【变式1-1】(24-25高一下·贵州黔南·月考)对于物理量：①路程，②时间，③速度，④体积，⑤长度，⑥重力，以下说法正确的是(    ) A．①②④是数量，③⑤⑥是向量 B．①④⑤是数量，②③⑥是向量 C．①④是数量，②③⑤⑥是向量 D．①②④⑤是数量，③⑥是向量 【答案】D【难度】0.94【知识点】平面向量的概念与表示 【分析】由向量的概念逐个判断即可； 【详解】路程，时间，体积，长度只有大小，没有方向，是数量； 速度，重力既有大小又有方向，是向量， 故选：D. 【变式1-2】(23-24高一下·江西南昌·期中)下列说法正确的是(    ) A．若，则与共线 B．若与是平行向量，则 C．若，则 D．共线向量方向必相同 【答案】A【难度】0.94【知识点】相等向量、平行向量(共线向量)、向量的模 【分析】利用共线向量、相等向量的概念逐项判断即得. 【详解】对于A，相等向量必是共线向量，A正确； 对于B，与是平行向量，如为非零向量，而，显然，B错误； 对于C，模相等的两个向量，它们的方向不一定相同，即不一定成立，C错误； 对于D，共线向量的方向可以相反，D错误. 故选：A 【变式1-3】(24-25高一下·甘肃·月考)关于非零向量方向上的单位向量，下列说法正确的是(    ) A．有无数个 B．与可能反向 C． D． 【答案】D【难度】0.85【知识点】零向量与单位向量 【分析】根据单位向量的定义即可判断． 【详解】非零向量方向上的单位向量，且，故ABC错误， 故选：D． 【变式1-4】(24-25高一下·上海·单元测试)若是的负向量，则下列说法中错误的是(    ) A．与的长度必相等； B．； C．与一定不相等； D．是的负向量． 【答案】C【难度】0.85【知识点】相反向量 【分析】由相反向量的定义，模长相等，方向相反，即可依次判断． 【详解】A．与为相反向量，模长相等，方向相反，长度必相等，正确，不符合题意； B．与为相反向量，模长相等，方向相反，故，正确，不符合题意； C．当时，，此时，选项错误，符合题意； D．若是的负向量，故是的负向量，正确，不符合题意； 故选：C． 【变式1-5】(多选)给出下列命题正确的是(    ) A．海拔、温度、角度都不是向量 B．向量与向量的长度相等 C．若满足，且同向，则 D．若，则四边形是平行四边形 【答案】ABD【难度】0.94【知识点】相等向量、向量的模、平面向量的概念与表示 【分析】由向量的定义判断A选项；由向量的模长的定义判断B选项，向量不能比较大小判断C选项，由相等向量判断D选项. 【详解】对于A， 海拔、温度、角度只有大小，没有方向，故不是向量，故A正确， 对于B，向量与向量是方向相反的向量，但它们的长度是相等的，故B正确， 对于C，向量不可以比较大小，故C错误， 对于D，，则，且，故为平行四边形，故D正确， 故选：ABD 【变式1-6】(23-24高一下·河南许昌·开学考试)下列结论中正确的是 (填序号)． ①若与共线，则点、、、共线；②物理学中作用力与反作用力是一对共线向量； ③方向为南偏西60°的向量与北偏东60°的向量是共线向量；④直角坐标平面上的轴的非负半轴是向量． 【答案】②③【难度】0.94【知识点】平面向量的概念与表示、平行向量(共线向量) 【分析】根据共线向量以及向量的定义来对①②③④中的命题的正误进行判断，即可得出结果. 【详解】在梯形  中，，但点不共线，故①错误； 物理学中的作用力与反作用力大小相等，方向相反，是一对共线向量，故②正确； 如图，方向为南偏西60°的向量与北偏东60°的向量在一条直线上，是共线向量，故③正确； 直角坐标平面上的轴的非负半轴只有方向，没有大小，不是向量，故④错误. 综上，正确结论的序号是②③；故答案为：②③ 题型02 平面向量的线性运算 【典例2-1】(24-25高一下·贵州遵义·月考)已知菱形的边长为1，，则(   ) A．1 B． C． D．2 【答案】A【难度】0.85【知识点】向量的模、向量减法的法则 【分析】根据题意可得，结合向量的减法运算和模的定义求解. 【详解】如图： 因为菱形的边长为1，，所以是正三角形， 故，所以. 故选：A 【典例2-2】(25-26高一上·辽宁·期末)已知向量，不共线，，，其中，，那么三点共线的充要条件为(   ) A． B． C． D． 【答案】C【难度】0.65【知识点】已知向量共线(平行)求参数 【分析】利用三点共线有得到，代入和求解即可. 【详解】，， 三点共线，，，， ，，故选项C正确. 故选：C. 【典例2-3】(多选)(24-25高一下·新疆喀什·期中)八卦是中国文化中的哲学概念，图1是八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形，其中，给出下列结论：(    ) A． B． C． D． 【答案】ABD【难度】0.65【知识点】向量加法法则的几何应用、向量减法的法则 【分析】根据图形关系，根据向量线性运算的运算法则依次判断各个选项即可. 【详解】对于A，， 由正八边形性质知：且，即， 所以，又， 所以，正确； 对于B，由正八边形性质知：，，设， 因为，所以为中点，所以， 因为，所以，所以， 又，所以，正确； 对于C，，错误； 对于D， ，正确. 故选：ABD 【典例2-4】(2025高一·全国·专题练习)若为内一点，且，则的形状为(    )． A．等边三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】C【难度】0.65【知识点】向量的线性运算的几何应用 【分析】，再利用向量的平行四边形法则及矩形的概念判断即可. 【详解】由化简得， 而，所以可得， 即以为邻边所作的平行四边形的对角线相等，所以这个平行四边形是矩形，即是直角三角形. 故选：C． 【变式2-1】(24-25高一下·湖南常德·月考)平面内不同四点满足，则(    ) A．3 B．4 C． D． 【答案】B【难度】0.85【知识点】向量减法的法则、向量加法的法则 【分析】由向量的加法，减法运算，即可得到结果. 【详解】由，变形得到， 由向量减法，，，，所以. 故选：B 【变式2-2】(23-24高一下·湖南衡阳·期末)已知在矩形中，若，且，则(    ) A．3 B．1 C．2 D．4 【答案】D【难度】0.94【知识点】向量加法的法则、向量减法的法则 【分析】根据矩形的性质，结合向量的加减法法则即可得解． 【详解】解：由于四边形为矩形，所以 ；故， 故选：D 【变式2-3】(24-25高一下·北京延庆·期中)已知在三角形中，，，用，表示向量(   ) A． B． C． D． 【答案】D【难度】0.85【知识点】向量加法的法则 【分析】先根据相反向量的性质，然后利用向量加法的三角形法则即可得到答案. 【详解】. 故选:D. 【变式2-4】(2025高一·全国·专题练习)非零向量，使得成立的充分非必要条件是(    )． A． B． C． D． 【答案】C【难度】0.85【知识点】平行向量(共线向量)、判断命题的充分不必要条件 【分析】由共线向量的模的特点得到答案. 【详解】使得成立的充分条件是和反向且， 对于A，和是同向，所以A错误， 对于B，和可能同向，可能反向，所以B错误， 对于C，由，得，则和反向且，所以C正确， 对于D，由可得和的方向不能确定，所以D错误. 故选：C． 【变式2-5】(多选)(24-25高一下·广西柳州·开学考试)(多选)下列结论恒为零向量的是(    ) A． B． C． D． 【答案】BD【难度】0.94【知识点】向量减法的法则、向量加法的法则 【分析】根据向量加法和减法计算公式，即可判断. 【详解】，故A错误； ，故B正确； ，故C错误； ，故D正确. 故选：BD 【变式2-6】(24-25高一下·安徽·月考)设和是两个不共线的向量，若，且三点共线，则实数的值为 . 【答案】【难度】0.85【知识点】向量数乘的有关计算、向量减法的法则、已知向量共线(平行)求参数 【分析】将三点共线转化为向量共线，再根据共线向量基本定理列方程，求解即可. 【详解】由题意，， 由三点共线，得， 所以存在唯一实数，使得，即， 又和不共线，所以，解得. 故答案为：. 题型03 平面向量的坐标运算 【典例3-1】(25-26高一上·辽宁大连·期末)已知平面向量，，若，则实数的值为(    ) A． B． C． D． 【答案】A【难度】0.94【知识点】由向量共线(平行)求参数 【分析】根据平面向量共线的条件建立关系式，求的值. 【详解】因为，所以， 解得. 故选：A 【典例3-2】(25-26高一上·辽宁沈阳·期末)已知，，则与方向相同的单位向量是(    ) A． B． C． D． 【答案】C【难度】0.65【知识点】零向量与单位向量、利用坐标求向量的模、用坐标表示平面向量 【分析】先根据坐标求出，再求出，最后利用单位向量的公式求解． 【详解】，，, 的单位向量为，故C正确． 故选：C． 【典例3-3】(多选)(25-26高一上·辽宁沈阳·期末)下列关于平面向量的说法中，正确的是(    ) A．若，，则 B．若是一组基底，则也是一组基底 C．若，，是平面上不同的三点，且，则，，三点共线 D．若，则存在唯一的实数，使得 【答案】BC【难度】0.65 【知识点】平面向量共线定理证明点共线问题、基底的概念及辨析、平行向量(共线向量) 【分析】根据平面向量共线的定义、基底的定义逐项判断即可. 【详解】因为，，当时，不一定共线，所以A错误； 因为是一组基底，所以不共线， 假设共线，则存在实数使得，那么， 则共线，与已知条件矛盾，所以不共线，所以也是一组基底，B正确； 由可知向量共线，结合点B为公共点，故A、B、C三点共线，C正确； 因为，若且，则不存在实数使得，所以D错误. 故选：BC. 【典例3-4】(25-26高一上·辽宁大连·期末)在平面四边形中，，，，点在边(含端点)上运动，设，则的取值范围是 . 【答案】【难度】0.65【知识点】用基底表示向量、由向量线性运算解决最值和范围问题 【分析】以为原点，以所在直线为轴建立平面直角坐标系，然后列出的坐标，进而根据已知条件列出方程组，从而求得结果. 【详解】以为原点，以所在直线为轴建立平面直角坐标系， 设，则. 则，因为， 所以，设， 则. 所以，所以. 因为，所以，即的取值范围是. 故答案为：. 【变式3-1】(25-26高一上·北京·月考)已知向量，，若，则等于(   ) A． B．2 C．4 D． 【答案】D【难度】0.94【知识点】由向量共线(平行)求参数 【分析】根据给定条件，利用共线向量的坐标表示列式计算得解. 【详解】向量，，由，得，所以. 故选：D 【变式3-2】(25-26高一上·全国·期末)向量，若，则实数(   ) A． B． C． D．1 【答案】C【难度】0.85【知识点】平面向量线性运算的坐标表示、由向量共线(平行)求参数 【分析】求出的坐标，再根据平行关系求出即可. 【详解】由，，得， 因为，，所以，解得． 故选：C． 【变式3-3】(24-25高一下·贵州·月考)已知向量，，若，则实数的值为(   ) A． B． C． D．1 【答案】B【难度】0.85【知识点】由向量共线(平行)求参数 【分析】根据平行的坐标关系计算求解. 【详解】， 故选：B. 【变式3-4】(25-26高一上·江苏盐城·期中)已知，，若，则(    ) A． B． C． D． 【答案】B【难度】0.65【知识点】平面向量线性运算的坐标表示、由向量共线(平行)求参数 【分析】由向量线性运算的坐标表示和向量共线的坐标运算求解. 【详解】，，则，， 由，得，解得. 故选：B 【变式3-5】(多选)(24-25高一下·福建泉州·期中)设是平面内所有向量的一组基底，则下面四组向量中，不能作为基底的是(    ) A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】CD【难度】0.85【知识点】基底的概念及辨析、已知向量共线(平行)求参数 【分析】由共线定理和基底定义逐一分析即可得解. 【详解】对于A，假设，则使得， 则因为不共线得且，则无解，故不共线可作为一组基底，故A不正确； 对于B，假设，则使得， 则因为不共线得且，则无解，故不共线可作为一组基底，故B不正确； 对于C，因为，所以不能作为基底，故C正确. 对于D，因为，所以不能作为基底，故D正确. 故选：CD 【变式3-6】(2025高一下·江苏南京·专题练习)已知向量，，若//，则k＝ ． 【答案】【难度】0.85【知识点】由向量共线(平行)求参数、平面向量线性运算的坐标表示 【分析】计算向量和的坐标，再根据向量平行的坐标关系列出方程，解方程求出k的值. 【详解】由题得，，， 因为//，所以，解得， 故答案为：． 题型04 平面向量的数量积 【典例4-1】(24-25高一下·贵州遵义·月考)若向量，且向量在向量上的投影向量为，则(   ) A． B．1 C．2 D．4 【答案】C【难度】0.85【知识点】利用坐标求向量的模、求投影向量 【分析】由投影向量的公式可知，结合条件可得. 【详解】由题意可知，，则， 因为，所以，则. 故选：C 【典例4-2】(24-25高一下·湖南长沙·期末)已知平面向量满足 ，则的最小值为(    ) A． B．1 C．2 D．3 【答案】D【难度】0.65【知识点】数量积的坐标表示、坐标计算向量的模 【分析】设，得，则，再由向量的模公式求解即可． 【详解】设，因为，所以，得， 得，则， 当时，取得最小值，为3. 故选：D 【典例4-3】(多选)(25-26高一上·江苏南通·期中)已知向量，，则(    ) A． B． C．向量与的夹角为 D．向量在方向上的投影向量为 【答案】AC【难度】0.85【知识点】向量夹角的计算、数量积的坐标表示、求投影向量 【分析】对于ABC，根据平面向量的基本知识即可求解；对于D，求出在方向上的投影向量表达式，再根据表达式求解即可． 【详解】对于A，，，故A正确； 对于B，，， 因为，所以与不平行，故B错误； 对于C，设向量与的夹角为， ，， ，又，所以，故C正确； 对于D，设和的夹角为，则向量在方向上的投影向量为， ，，则，故D错误． 故选：AC． 【典例4-4】(25-26高一上·湖南衡阳·期末)均为单位向量，且，向量满足，则的取值范围是 ． 【答案】【难度】0.65【知识点】向量减法法则的几何应用、已知数量积求模 【分析】根据平面向量的数量积的运算律求得，再结合向量三角不等式求解即可. 【详解】由题意，均为单位向量，且， 则， 由，则，解得， 则的取值范围是. 故答案为：. 【变式4-1】(24-25高一下·甘肃天水·月考)关于平面向量，下列说法正确的是(   ) A．若与共线，则存在唯一实数，使得 B．若，则或 C．若，则 D．若、是非共线向量，则对平面内任一向量，存在唯一一对实数、，使得 【答案】D【难度】0.85【知识点】平面向量基本定理的应用、数量积的运算律 【分析】对于ABC，举反例即可判断，对于D，由平面向量基本定理即可求解. 【详解】对于A，若，此时与共线，则不存在实数，使得，故A错误； 对于B，设与是两个互相垂直的非零向量，则，但与都是非零向量，故B错误； 对于C，设，与是两个互相垂直的非零向量，且， 但此时，故C错误； 对于D，由平面向量基本定理可知，若、是非共线向量， 则对平面内任一向量，存在唯一一对实数、，使得，故D正确. 故选：D. 【变式4-2】(23-24高一下·贵州遵义·月考)已知向量，且，则实数(    ) A． B． C． D．1 【答案】B【难度】0.85【知识点】利用向量垂直求参数 【分析】根据题意，利用向量垂直的坐标表示，列出方程，即可求解. 【详解】由向量， 因为，可得，即，解得. 故选：B. 【变式4-3】(23-24高一下·四川泸州·期中)已知：，则在方向上的投影向量为(　　) A． B． C． D． 【答案】B【难度】0.85【知识点】求投影向量 【分析】根据定义，在方向上的投影向量为，代入计算即可. 【详解】根据定义，在方向上的投影向量为. 故选：B. 【变式4-4】(2025高一下·江苏南京·专题练习)窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图是一个正八边形窗花隔断，图是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图．如图，若正八边形的边长为，是正八边形八条边上的动点，则的最小值为( ) A． B．2 C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】用定义求向量的数量积、向量与几何最值 【分析】设夹角为，分析可得，当，则，当时，以为原点，、分别为轴建系，根据正八边形性质，可得各点坐标，分别计算在线段(除)上、在线段上运动和在线段(除)上运动时，的表达式，求出其范围，综合考虑即得答案. 【详解】设的夹角为， 当与重合时，； 当在线段(除)、线段、线段，线段，线段(除)点上运动时， ，所以， 当与重合时，，所以， 以为原点，、分别为轴建立平面直角坐标系， 根据正八边形的性质可知，G到AF的距离为， 则， 直线的方程为，直线的方程为，直线的方程为， 当在线段(除)上运动时，设， 所以， 当在线段上运动时，设， 所以， 当在线段(除)上运动时，设， 所以. 综上所述，的最小值为.故选：C 【变式4-5】(多选)(25-26高一上·江苏盐城·期中)在所在的平面内有两点P，Q，满足，，且与交于点M，，则下列说法正确的是(    ) A． B． C． D． 【答案】ABD【难度】0.65【知识点】平面向量基本定理的应用、用定义求向量的数量积 【分析】依题意，画出图形，再结合选项依次判断即可． 【详解】由，及，得如图所示：则，得，故A项正确； 由，则，故B项正确； 由与是同向共线的，故，故C项错误； ，故D项正确． 故选：ABD 【变式4-6】(23-24高一下·贵州遵义·月考)在中，，且满足，其中是外接圆的圆心，则 . 【答案】【难度】0.85【知识点】数量积的运算律、垂直关系的向量表示 【分析】设，由向量定义可知，在的角平分线上，结合条件可得是边长为2的等边三角形，再由向量数量积的定义计算即可． 【详解】设，则在的角平分线上， ，，即， 又为角平分线，所以，， 即是边长为2的等边三角形，设为中点， 是外接圆的圆心，在的角平分线上，且， ，，． 故答案为：． 题型05 解三角形 【典例5-1】(24-25高一下·贵州毕节·期中)在中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若，，，则(   ) A． B． C． D． 【答案】C【难度】0.85【知识点】正弦定理解三角形 【分析】利用正弦定理可求解. 【详解】由正弦定理可得． 故选：C 【典例5-2】(24-25高一上·湖北十堰·自主招生)如图，在的方格纸上，记，，，则(    ) A． B． C． D． 【答案】C【难度】0.65【知识点】正、余弦定理判定三角形形状 【分析】根据图中方格，结合余弦定理将各角和比较即可得出答案． 【详解】设图中小正方形的边长为1，则中，，， 所以，故， 中，，，，所以，故， 中，，，，所以，故， 所以．故选：C． 【典例5-3】(多选)(23-24高一下·福建厦门·月考)已知中，角，，的对边分别为，，，则以下四个命题正确的有( ) A．当，，时，满足条件的三角形共有个 B．若则这个三角形的最大角是 C．若，则为锐角三角形 D．若，且，一定是等边三角形 【答案】BD【难度】0.65【知识点】三角函数与解三角形综合 【分析】结合正弦定理、余弦定理在解三角形中的应用，逐项分析即可. 【详解】选项A，，无解，故A错误； 选项B，根据已知条件，由正弦定理得：. 设，，()，则最大角为(大边对大角). 由余弦定理知：，又，所以，故B正确； 选项C，因为，所以，即角为锐角，但无法确定角，为锐角，故C错误； 选项D，，则， 因为，所以，又，所以， 因为，，所以， 即，整理得，即， 又因为，则，所以， 所以，即一定是等边三角形，故D正确. 故选：BD. 【典例5-4】(25-26高一上·湖南衡阳·期末)在中，角、、的对边分别为、、．向量，，且．若边，，的平分线交于点，则的长为 ． 【答案】/【难度】0.65【知识点】三角形面积、余弦定理、向量的数量积、向量垂直. 【分析】由题意得出，结合余弦定理可求得角的值，利用平面向量数量积的定义可求得的值，结合余弦定理可得出的值，再利用并结合三角形的面积公式可求得的长. 【详解】因为，则， 所以，由余弦定理可得，又因为，故， 由平面向量数量积的定义可得，故， 所以，可得， 故，故， 因为的平分线交于点，则， 由三角形的面积公式可得， 即，故. 故答案为：. 【变式5-1】(23-24高一下·贵州遵义·月考)在中，已知，则(    ) A．3 B． C． D．1 【答案】A【难度】0.85【知识点】余弦定理解三角形 【分析】利用余弦定理直接计算求解即可. 【详解】在中，由余弦定理可得， 所以，即，解得或(舍去)， 故选：A 【变式5-2】(25-26高一上·福建福州·自主招生)在中，和均为锐角，且．若，则的值为(    ) A． B． C． D． 【答案】A【难度】0.85【知识点】正弦定理解三角形 【分析】根据正弦定理求解即可． 【详解】由题可知， 由正弦定理得，即，解得． 故选：A． 【变式5-3】(23-24高一下·福建厦门·期中)已知的内角 的对边分别为 ， 且， 若， 则 的面积为 ( ) A． B． C． D．2 【答案】A【难度】0.65【知识点】余弦定理、三角形面积公式及其应用、正弦定理边角互化的应用 【分析】由正弦定理角化边，结合余弦定理及三角形面积公式即可求解. 【详解】由正弦定理角化边得到：，即 ， 所以 ，，， 又，且，得，即， 所以 . 故选：A 【变式5-4】(24-25高一下·贵州毕节·期中)在中，a、b、c分别为、、的对边，若，且，当的面积为时，则(   ) A． B．2 C．4 D． 【答案】B【难度】0.65【知识点】已知正(余)弦求余(正)弦、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形 【分析】由题意利用同角三角函数关系求得，利用三角形面积公式得，结合，利用余弦定理求解即可． 【详解】由可知，三边成等差数列， 所以是长度居中的边，其所对的角也为大小居中的角， 因为三角形中若有钝角，则必为最大角，所以必为锐角， 又，所以.由题意可得：，化简得， 又，，所以， 所以，解得(负根舍去). 故选：B． 【变式5-5】(多选)(25-26高一上·西藏昌都·期中)下列命题中， p是q的充要条件的有(   ) A．设是的三条边，，为直角三角形， B．设是的三条边，，为钝角三角形， C．设是的三条边，，为锐角三角形， D．两个三角形全等，两个三角形面积相等 【答案】ABC【难度】0.65【知识点】正、余弦定理判定三角形形状、充要条件的证明 【分析】利用余弦定理及充要条件的定义推理判断ABC；利用充要条件定义判断D. 【详解】对于ABC，是的三条边，且，则边所对角为最大角， 由余弦定理得， 为直角三角形，A是； 为钝角三角形，B是； 为锐角三角形，C是； 对于D，面积相等的两个三角形不一定全等，p不是q的充要条件，D不是. 故选：ABC 【变式5-6】(2025高一上·江苏南通·专题练习)如图，在中，，， 取边中点，连接，设为中点，连接并延长与交于点，则的长为 . 【答案】【难度】0.65【知识点】数量积的运算律、用基底表示向量、余弦定理解三角形 【分析】作交于点，通过几何关系证明，求得，利用求出，即可得到答案. 【详解】如图：作交于点，因为点为中点，所以点为中点，即， 因为为中点，所以，因此， 在中，因为，，， 所以由余弦定理可得， 因为为中点，所以， 因此， 又因为， 所以， 所以，因此 故答案为： 一、单选题 1.(23-24高一下·山西临汾·月考)下列说法不正确的是(    ) A．若，则或 B．与是平行向量 C．若与是共线向量，则四点共线 D．若∥∥，则∥ 【答案】ACD【难度】0.85 【知识点】平面向量的概念与表示、向量的模、零向量与单位向量、平行向量(共线向量) 【分析】根据向量的概念逐一判断. 【详解】对于A：，模相等不能推出共线，A错误； 对于B：与是相反向量，所以是平行向量，B正确； 对于C：若与是共线向量，不能得到四点共线，C错误； 对于D：若∥∥，当向量时，与不一定平行，D错误. 2.(22-23高一下·江苏扬州·期末)如图，在平行四边形中，分别是边上的两个三等分点，则下列选项正确的有(    ).    A． B． C． D． 【答案】AC【难度】0.85【知识点】向量减法的法则、向量加法的法则 【分析】结合图形，用向量共线的知识和三等分点的性质即可判断选项A；用向量的加法法则和向量的性质即可判断选项B和选项C；用向量的加法法则和减法法则即可判断选项D. 【详解】对选项A：，正确；对选项B：，错误； 对选项C：，正确； 对选项D：，错误. 故选：AC 3.(24-25高三上·天津武清·月考)，点P在边AB上，，设，则(　　) A． B． C． D． 【答案】B【难度】0.85【知识点】向量的线性运算的几何应用 【分析】结合图形，利用向量的四边形法则计算即可. 【详解】依题意，. 答案：B. 4.(2025高一·全国·专题练习)已知为所在平面内一点，若，其中内角的对边分别为，则点是的(    ) A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 【答案】B【难度】0.65【知识点】根据向量关系判断三角形的心、三角形的心的向量表示 【分析】由对称性知可任选其一作变换，如用，代换，将各向量转化为共起点的三个向量的关系式，进一步变形判断． 【详解】因为，， 所以，所以(*)． 又因为，，其中分别表示，方向的单位向量， (*)式可进一步化为， 而表示与的平分线共线的向量，所以平分． 同理，平分，平分， 所以是的内心， 5.(24-25高一下·贵州·月考)已知O为△ABC的外接圆的圆心，，，若，且，则(   ) A． B． C． D． 【答案】B【难度】0.85【知识点】数量积的运算律、平面向量基本定理的应用 【分析】根据向量的线性运算、共线向量基本定理及圆的性质推理计算即得. 【详解】当与不共线时，如图设AC中点为D，由， 因，则B，O，D三点共线，由圆的性质知， 故. 当与共线时，由和可得, 但此时是圆的直径，则,与题设不符. 综上，可得.故选：B 6.(24-25高一下·贵州遵义·月考)在中，，过点的直线分别交直线，于点，，设，，则的值为(   ) A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C【难度】0.65【知识点】用基底表示向量、平面向量共线、向量的线性运算的几何应用 【分析】利用基底表示向量，再由共线向量定理推论求得结果. 【详解】由，得，则， 又，，则， 又共线，因此，即. 故选：C 7.(2025高一下·江苏南京·专题练习)在梯形中，已知，，，，，若，则的模为(     ) A． B．2 C．3 D．4 【答案】C【难度】0.65【知识点】坐标计算向量的模、利用数量积求参数 【分析】以为轴，为轴，建立平面直角坐标系，设，根据平面向量坐标线性运算与数量积的坐标运算即可得所求. 【详解】以所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，则,， 设，则，，， 则，，所以，解得， 所以.故选：C． 8.(24-25高一下·黑龙江齐齐哈尔·月考)起点重合，，则的最大值为(   ) A． B．3 C． D． 【答案】D【难度】0.4【知识点】数量积的计算、已知数量积求模、垂直关系、向量与几何最值 【分析】根据数量积公式，可得，根据求模公式，可得，根据题意，化简可得，根据，结合一元二次不等式的解法，即可得答案. 【详解】由题意， ，则， 因为，所以， 所以，所以， 因为，所以， 整理得且(恒成立)， 解得，即的最大值为. 故选：D 二、多选题 9.(22-23高一下·黑龙江佳木斯·期中)在单位圆上的扇形OAB中，∠AOB＝60°，C为弧AB上的一个动点，若，则的取值可能是(    ) A．－1 B．1 C． D． 【答案】BD【难度】0.65【知识点】由正弦(型)函数的值域(最值)求参数、平面向量基本定理的应用 【分析】不妨设，以O为原点，OB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，令，则， 则，再结合三角函数值域的求法求解即可. 【详解】不妨设，以O为原点，OB所在直线为x轴建立平面直角坐标系. 由题，，令，则，. 因，则的取值可能是1或. 故选：BD 10.(23-24高一下·福建厦门·月考)已知向量，，下列说法正确的是( ) A． B． C．与向量平行的单位向量仅有 D．向量与向量的夹角为 【答案】ABD【难度】0.65【知识点】向量夹角的计算、坐标计算向量的模、向量垂直的坐标表示 【分析】对于A，计算数量积是否为零，即可得；对B，借助模长公式计算即可得；对C，与向量平行的单位向量有、；对D，夹角公式计算即可得. 【详解】对于A，，，所以，故A正确； 对于B，，所以，故B正确； 对于C，，则有、， 即与向量平行的单位向量有、，故C错误； 对于D，，所以向量与向量的夹角为，故D正确． 故选：ABD 11.(23-24高一下·云南楚雄·月考)下列说法正确的有(    ) A．已知，，若与共线，则 B．若，则外接圆半径是4 C．若，则一定是钝角三角形 D．若，，为锐角，则实数的范围是 【答案】ACD【难度】0.4【知识点】正弦定理求外接圆半径、余弦定理、向量共线、向量夹角的计算 【分析】根据向量共线的性质可直接判断A选项；根据正弦定理可判断B选项；根据余弦定理可判断C选项；根据向量数量积与夹角的关系可判断选项D. 【详解】A选项：，，若与共线，则，，A选项正确； B选项：由正弦定理知，所以外接圆半径是2，故B错误； C选项：因为，所以C为钝角，△ABC一定是钝角三角形，故C正确； D选项：，，若为锐角，则，解得，D选项正确； 故选：ACD. 三、填空题 12.(22-23高一下·湖南岳阳·期末)已知点，向量，，点P是线段AB的三等分点，则点P的坐标是 ． 【答案】或【难度】0.85【知识点】平面向量线性运算的坐标表示、向量数乘的有关计算 【分析】先利用平面向量的减法法则得到．由于点是线段的三等分点，可得，或者．即可得出． 【详解】，，； 点是线段的三等分点， ，或者． ， 或． 或．故答案为：或． 13.(25-26高一上·辽宁沈阳·期末)如图：在平行四边形中，、分别为边、上的点，且，，连接，交于点，若，则 .    【答案】【难度】0.65【知识点】利用平面向量基本定理求参数 【分析】设，利用基底表示，利用算两次思想以及平面向量基本定理可得. 【详解】由题意可得，， 因为三点共线，所以设，则， 则， 由平面向量基本定理可得，，得. 故答案为： 14.(23-24高一下·福建厦门·月考)如图，正方形的边长为，以点为顶点引出放线角为的阴影部分区域，其中，，= ．记四边形的面积为，则的取值范围为 ． 【答案】 .【难度】0.4 【知识点】求三角形面积的最值或范围、求含sinx(型)函数的值域和最值 【分析】作出辅助线，表示出，利用正弦定理表达出，从而得到，构造，，利用辅助角公式求出，从而求出的取值范围. 【详解】①连接，则，，由勾股定理得：， 因为，所以， 在中，，故 在中，，由正弦定理得：，即， 故， ②故 ， 令，，则， 当时，，故， 所以. 故答案为：①；②. 四、解答题 15.(25-26高一上·黑龙江哈尔滨·期末)中，内角A，B，C所对的边为，，边上的高为，. (1)求角；(2)求边. 【答案】(1)；(2)【难度】0.85【知识点】三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形 【分析】(1)利用余弦定理求角； (2)由三角形面积公式可得，又，利用等式，可求边. 【详解】(1)已知，由余弦定理有， 得 ，故， 又，所以. (2)设边上的高为，则三角形面积， 面积也可表示为，联立得，即， 由，得， 代入题目条件，得， 将代入上式，得，即， 得，解得. 16.(25-26高一上·吉林·月考)如图，单位圆与轴正半轴的交点为点，点在圆上，且点在第一象限，点在第二象限．    (1)当圆心角所对的弧长为，求图中阴影部分的面积； (2)设，当点的横坐标为时，求及的值． 【答案】(1)；(2)，.【难度】0.85 【知识点】扇形面积的有关计算、由单位圆求三角函数值、三角形面积公式及其应用 【分析】(1)设圆心角，应用扇形面积公式计算求解即可； (2)先由已知得，进而得出，即可求解. 【详解】(1)设圆心角为，弧长为l，弓形的面积为S． 因为，圆O的半径为，所以， 所以，， 所以图中阴影部分的面积为． (2)因为， 的横坐标为， 所以的纵坐标为，则， 所以，. 17.(24-25高一下·甘肃·期末)在中，内角的对边分别为，若，且. (1)求角的大小；(2)若，点是的中点，且，求的值； 【答案】(1)；(2)或【难度】0.65 【知识点】正弦定理边角互化的应用、余弦定理解三角形、数量积的运算律、向量垂直的坐标表示 【分析】(1)根据数量积公式，结合正弦定理和余弦定理，即可求解； (2)根据，两边平方后，利用数量积公式表示边长的关系，再结合余弦定理，即可求解. 【详解】(1)由条件可知，， 由正弦定理可知，整理为， 由余弦定理可知，因为，所以； (2)由余弦定理可知，，即，① ，即，即②， 由①②可知，，，解得：，或，， 所以或 18.(25-26高一上·江苏南通·月考)用篱笆在一块靠墙的空地围一个面积为的等腰梯形菜园，如图所示，用墙的一部分做下底，用篱笆做两腰及上底，且腰与墙成，设等腰梯形的腰长为. (1)用表示上底； (2)求出所用篱笆长度的最小值． 【答案】(1)；(2)．【难度】0.65【知识点】三角形中的最值或范围、基本不等式 【分析】(1)利用三角函数定义，结合面积公式表示即可；(2)利用基本不等式计算即可. 【详解】(1)分别过点作下底的垂线，垂足分别为， 则 所以梯形面积,所以, 即. (2)设，上底， 则，则下底， 该等腰梯形的面积，所以，则， 所用篱笆长为， 当且仅当，即，时取等号． 所以，当等腰梯形的腰长为时，所用篱笆长度最小，其最小值为． 19.(24-25高一下·贵州·月考)在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 (1)求角B的大小；(2)若，，点D满足，求△ABD的面积； (3)若，且△ABC的外接圆半径为2，圆心为O，P为⊙O上的一动点，试求的取值范围. 【答案】(1)；(2)；(3)【难度】0.4 【知识点】数量积的运算律、余弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用、正弦定理边角互化的应用 【分析】(1)边角互化得，再利用余弦定理可求得，从而可求出角，(2)由余弦定理求出，再根据向量的线性运算可得,根据三角形的面积公式可求得答案，(3)由已知和余弦定理可得三角形为等边三角形，再运用向量的数量积运算可求得的范围 【详解】(1)法一：因为， 所以根据正弦定理得：， ， 所以， 所以， 根据正弦定理，得.即， 根据余弦定理，得，因为，所以， 法二：因为， 所以根据正弦定理，得， 根据余弦定理，得，即， 根据余弦定理，得，因为，所以； (2)由余弦定理，得，所以，即， 所以，因为，所以， 因为，所以， 所以△ABC的面积为； (3)∵，，∴，即，由余弦定理得， 所以，即，故是等边三角形，所以，∴，， ∴，， 设AB的中点为D，则   ∴ ， ∵，∴， ∴的取值范围为：． 第 1 页 共 19 页 学科网（北京）股份有限公司 B C A D B C A D B C A O B C A D E F O $丽学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 第一章平面向量复习讲义 内容概览 教学目标、教学重难点 知识点01平面向量的概念及表示 题型01平面向量的概念及表示 知识点02平面向量的线性运算 题型02平面向量的线性运算 第1章平面向量 题型03平面向量的坐标运算 知识点03平面向量的坐标运算 题型04平面向量的数量积 题型05解三角形 知识点04平面向量的数量积 知识点05解三角形 教学目标、教学重难点 1.理解平面向量有关概念及表示： 2.掌握平面向量的线性运算与平面向量基本定理； 教学目标 3.掌握平面向量的坐标运算； 4.掌握平面向量的数量积及应用： 5.掌握正余弦定理及应用， 教学重点 平面向量的线性运算，坐标运算，数量积及应用，正余弦定理及应用， 教学难点 平面向量的线性运算，平面向量基本定理，数量积及应用，三角形中的最值范围问题. 知识清单 知识点01平面向量的概念及表示 1.平面向量的定义：既有大小又有方向的量叫做向量 2.向量的模：向量AB的大小，也就是向量AB的长度（或称模)，记作AB 3.零向量：长度为零的向量叫做零向量，记作0 4.单位向量：长度等于1个单位的向量叫做单位向量 5.平行（共线)向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量（或共线向量).记作：a/ 规定：零向量与任意向量平行. 6.相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量 【即学即练1-1】(24-25高一下·天津宝坻月考)下列说法中正确的是() A.向量的模都是正实数 B.单位向量只有一个 C.向量的大小与方向无关 D.方向不同的向量不能比较大小，但同向的向量可以比较大小 第1页共17页 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【即学即练1-2】(24-25高一下，甘肃定西·月考)如果元，b是两个单位向量，则下列结论中正确的个数是() ①a=b;②a=±b;③=2：④d=. A.1 B.2 C.3 D.4 知识点02平面向量的线性运算 1.平面向量的线性运算 向量运算 加法 减法 数乘 atb b 6 (1)Aa=all. (2)当A>0时，a与a方向相同； 几何表示 三角形法则 平行四边形法则 三角形法则 首尾相接 起点重合 当A<0时，a与a方向相反； 起点重合 指向对顶点 当1=0时，a=0 指向终点 指向被减向量 2.多边形法则 般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量， 即A42十AA3十A44十.十A-4.=AA, 特别地，一个封闭图形，首尾连接而成的向量和为零向量. 3.平面向量基本定理 e,e是平面内两个不共线向量，那么对这一平面内的任意向量a,有且只有一对实数λ1,2，使a=e+几2 我们把不共线的向量e,e2叫做表示这一平面的一组基底， 4.“爪”子定理 形式1：在△ABC中，D是BC上的点，如果BD=L,DG=,则AD=AB+AC, m十n 特别地，若D为线段BC的中点，则AD-AB+AC 形式2：在△ABC中，D是BC上的点，且BD=BC,则AD=AC+(1-)AB, 特别地，若D为线段BC的中点，则AD=AB+AC 凰即学即练2-1】(24-25高一下·江西上饶·月考)如图，在正六边形ABCDEF中，AC=() A.2AB+AF B.AB-2AF C.2AB +2AF D.AB+2AF 【即学即练2-2】(24-25高一下.甘肃定西，期末)在正方形ABCD中，E为CD的中点，F为BE的中点，则AF=() A.AB+AD B.3AB+AD C.AB+IAD D.AB+AD 第2页共17页 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 知识点03平面向量的坐标运算 1.平面向量的正交分解：把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解 2.向量坐标的求法 ①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标 ②设A1,),Bx2,2),则AB=(x2-x1,y一y1),AB=Vx2一x1)2+(y2一y1) 3.向量加法、减法、数乘运算及向量的模：设坐标表示a=(x1,y),=(x2,y2),则 a+6=(x1+x2y1+y2,a-b=(x1-x2,y1-y2) λa=Ox,y),d=Vx好+yf 4.三点共线的充要条件的三种形式 (1)A,P,B三点共线台AP=1AB(≠0) (2)A,P,B三点共线台OP=(1一)OA十tOB(O为平面内异于A,P,B的任一点，t∈) 3)A,P,B三点共线台OP=xOA+yOB(O为平面内异于A,P,B的任一点，x∈R,y∈R,x十y=1) 【即学即练3-1】(25-26高一上辽宁沈阳期末)已知向量a=(1,x),b=(3,-1),若aIb,则x=() A.-3 B.3 c.-3 0.号 【即学即练3-21(25-26高一上辽宁锦州期末)向量=(n+1,1),万=(-2,2n-3),则“a/b"是“n=1"的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 知识点04平面向量的数量积 (一)平面向量的数量积概念与运算性质 1.向量a与b的夹角 已知两个非零向量d和b.作0A=a,0B=b,则∠AOB=(0°≤0≤180)叫做向量a与的夹角. 当0=0时，元与b同向： 当0=180时，a与b反向. 如果a与b的夹角是90°，我们说a与b垂直，记作d1. 2.平面向量的数量积 (1)若a,b为非零向量，夹角为0，则a·b=·cos6. (2)设d=(x1,y1),b=(x2,y2),则a·万=x1x2+y1y2 3.平面向量数量积的运算律 (1)a.b=b·a(交换律)： (2)a.b=1·万=a.((结合律)： (3)+b·c=a·c+·c(分配律) 4.平面向量数量积运算的常用公式 (1)a+b:G-b=@2-⑥2. 第3页共17页 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (2d+万2=@2+⑥2+2a.i-a2++2a.i. 3)a-万2=@2+⑥2-2a.万-2+2-2a.6. ④极化恒等式：a.万-[d+2-d-万2]：（平行四边形模式）a,万-4C-IDB1] 5.常用性质 (1)a.a=la或a=√a2 2)-同≤a.b≤.6l (二)平面向量的数量积的应用 1.利用数量积求长度 (1)若a=(x,y),则d=√2=a·a=√x2+y2 (2)若A1,y),B(x2,y),则：AB=√(x2-x1)2+y2-y1)2 2.利用数量积求夹角：设a,b为非零向量，若a=(x1,y),b=(x2,y2),0为a,b的夹角， 则c0s6= ab 好后w X1x2+y1y2 3.向量的投影与投影向量 向量a在向量万上的投影为：cos0=码 向帮五肉5上的的技影问华为回kos0高-需高 4.两个非零向量平行、垂直的充要条件 若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则 (1)a/ia=76≠09=2台x1y2-x2y1=0. X2 y2 (2)aLi分ai=0台x1x2十yy2=0, 6)与a同方向的单位向量为：音=京c)=(》 与ā英线的单位向量为：士高-士c,)=(士命，±】 【即学即练4-1】(24-25高一下·贵州·月考)已知b=2,且b在a上的投影向量的模为V2,则6与的夹角为) A.45° B.60° C.120° D.45°或135° I即学即练4-21(25-26高一上辽宁沈阳·期末)已知向量a,b,c,其中同d=1,=V3,dl=2,且a-万=c, 则() A.a-=2 B.a+=3 c.a++=2D.a+-与共线 知识点05解三角形 一.解三角形基本公式定理 知识点一：在△ABC中，角A,B,C所对的边分别是a,b,c,R为△ABC外接圆半径，则 第4页共17页 丽学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 1正弦定理：品-品。=品c=2R(2R为△A8C外接凤的直径 、b 变形：a=2 Rsin A,b=2 Rsin B,c=2 Rsin C.(边化角)： sinA=云sinB=六sinC=京：（角化边）： a:b c=sinA sin B sin C. 2.余弦定理 a2=b2+c2-2bccos A, b2=2+c2-2cc0.sB, c2=a2+b2-2abcos C. 推论：cosA=b2+c2-a2 2bc COSB a2+e2-b2 2ac COS =a2+b2-c2 2ab 变形：b2+c2-a2=2bCc0sA, a2+c2-b2=2accos B, a2+b2-c2=2abcos C. 3.三角形的射影定理：acosB+bcosA=c,bcosC+ccosB=a,ccosA+acosC=b; 推导：sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB→c=acosB+bcosA; 4.面积公式 (1)S=3ah.(h是高： (2)S=bcsinA=acsinB=absinC; (2)S=r(a+b+c)0为三角形内切圆半径). 3)若A(x1,y),B(x2,y2),C(x3,y),则S=x1y2-y3)+x20y3-y)+x0y1-y2l (④（不作要求）S==2R2 sinAsniBsinC(R为外接圆半径)： 4R S=Vpp-@)p-b)p-可（海伦公式，p=t9 二。解三角形应用 1.正弦定理的应用 (1)边化角，角化边：a:b:c=sinA:sinB:sinC; a+b b+c (②)合分比：nAB+sinc sin4 +sinBsinB+sinc sin4+sinc sind广ginB=sC=2R; a十c 2.△ABC内角和定理：A+B+C=, (1)sinC sin(A+B),cosC =-cos(A+B); （Q斜三角形中，-anC=tan么+B到=一tnA+tm万+t面C=amA-tanB-tmC (3)sinAB-cos,cosAB=sin (④在△MBC中，内角4B,C成等差数列B=行，A+C=号 3.三角形中的不等关系 (1)大边对大角大角对大边：A>B台心besind>sinB台cosA4 <cosB. (2)若△ABC为锐角三角形，则A+B>sin4>cosB,co84 <sinB,a2+b>c2. 若△ABC为钝角三角形（假如C为钝角），则A+B<乏sinA<cosB,cosA>sinB. (3)c2=a2+b2台C为直角： c2>ad+b2C为钝角： c22+b2台→C为锐角， (4)a+b>c,b+c>a,c+a-b. (5)若x∈(0，)，则sinx<x<tanx.若x∈(0，)，则1<sinx十cosx≤V2. 第5页共17页 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 4.三角形中的三线两圆问题 (1)中线：(a)中线定理：一条中线两侧所对边的平方和等于底边平方的一半与该边中线平方的2倍. 即：如图，在△4BC中，D为BC中点，则AB2+AC2=BC2+2AD2. 2 (b)已知两边及其夹角也可表述为：4AD2=AB2+AC2+2AB.AC.cosA. (②)角平分线：角平分线定理：如图，在△4BC中，AD是∠BAC的平分线，则AB=D AC CD 证法1：在△ABD中， AB BD 在△ACD中， sinzADC sinzCAD'.=BD AC CD sinLADB sinzBAD AC CD 证法2：该结论可以由两三角形面积之比得证，即4D=4=D SAACD AC CD (3)高：4，h,九分别为△1BC边ab,c上的高，则：h:h2:h3=二：22=立之1 a`b'c sinA‘sinBsinc 求高一般采用等面积法，即求某边上的高，需要求出面积和底边长度 (4)外接圆：过三角形三个顶点的圆叫三角形的外接圆.其圆心叫做三角形的外心. 外接圆半径的计算：R=a b 2sinA 2sinB 2sinC 外接圆半径与三角形面积的关系：SAc=c=(R为△4BC外接圆半径). 4R ()肉切圆：与三角形三边都相切的圆叫三角形的内切圆.其圆心叫做三角形的内心。 内切圆半径与三角形面积的关系：SAc=1十b十c)r(为△4BC内切圆半径)，并可由此计算r. 【即学即练5-1】(23-24高一下·贵州遵义·月考)在△ABC中，AB=2,AC=√2，B=30°，则A=() A.105°或15° B.135或45° C.120°或30° D.105° 【即学即练5-2】(24-25高一下·江西上饶·期中)下列说法正确的是() A.若=2，b=1,则a> B.在△ABC中，若AB=AC,BC=4,则BA·BC=8 C.己知a,b,c为△ABC的内角A,B,C的对边，则“sinA>sinB"的充要条件是“A>B” D.已知向量=(2，-1)，石=(x,1),a与的夹角为钝角，则实数x的取值范围是(-∞，) 第6页共17页 而学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 题型精讲 题型01平面向量的概念及表示 【典例1-1】(24-25高一下河南开封月考)下列物理量：①质量；②速度；③力；④加速度；⑤位移： ⑥密度；⑦功.其中是向量的有() A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 《典例1-2】(23-24高一下·陕西宝鸡期中)下列说法正确的是() A.数量可以比较大小，向量也可以比较大小 B.由于零向量的方向不确定，因此零向量不能与任意向量平行 C.模为1的向量都是相等向量 D.向量的模可以比较大小 【典例1-3】（多选）24-25高一下·福建福州·期中)下列说法错误的是() A.加速度是向量 B.两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同 C.零向量的方向是任意的 D.向量就是有向线段 【典例1-4】（24-25高一下河南开封月考)下列说法中，正确的序号是 ①零向量都相等；②任一向量与它的平行向量不相等： ③若四边形ABCD是平行四边形，则AB=DC:④共线的向量，若始点不同，则终点一定不同. 《变式1-1】(24-25高一下，贵州黔南·月考)对于物理量：①路程，②时间，③速度，④体积，⑤长度， ⑥重力，以下说法正确的是() A.①②④是数量，③⑤⑥是向量 B.①④⑤是数量，②③⑥是向量 c.①④是数量，②③⑤⑥是向量 D.①②④⑤是数量，③⑥是向量 【变式1-2】(23-24高一下江西南昌·期中)下列说法正确的是() A.若a=b,则a与b共线 B.若a与b是平行向量，则a=b c.若d=d,则a= D.共线向量方向必相同 【变式1-3】(24-25高一下·甘肃·月考)关于非零向量a方向上的单位向量，下列说法正确的是() A.e有无数个B.e与a可能反向 c.=10.百=高 〖变式1-4】(24-25高一下.上海·单元测试)若b是的负向量，则下列说法中错误的是() A.a与b的长度必相等；B.aIb;C.与b定不相等；D.a是b的负向量. 第7页共17页 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 《变式1-5】（多选）给出下列命题正确的是() A.海拔、温度、角度都不是向量 B.向量AB与向量BA的长度相等 c.若a,b满足>，且a,同向，则a>万 D.若AB=DC,则四边形ABCD是平行四边形 【变式1-6】(23-24高一下·河南许昌开学考试)下列结论中正确的是（填序号）， ①若AB与CD共线，则点A、B、C、D共线；②物理学中作用力与反作用力是一对共线向量： ③方向为南偏西60的向量与北偏东60的向量是共线向量：④直角坐标平面上的x轴的非负半轴是向量. 题型02平面向量的线性运算 凰典例2-1】(24-25高一下.贵州遵义月考)已知菱形ABCD的边长为1，∠BAD=60°，则AB-AD=() A.1 B.V2 c.3 D.2 【典例2-21(25-26高一上辽宁期末)已知向量d,不共线，AB=2a+b,AC=a+d,其中λ，u∈R, 那么A,B,C三点共线的充要条件为() A.21+u=1 B.21+u=-1 C.2=1 D.2w=-1 【典例2-3】（多选）(2425高一下·新疆喀什·期中)八卦是中国文化中的哲学概念，图1是八卦模型图，其平面 图形记为图2中的正八边形ABCDEFGH,其中OA=1,给出下列结论：() 图1 图2 A.AE+FC-GE=AB B.0A+0C=-√20F C.BF-HF+HD=可 D.0A+0B+0C+0D+0E+0F+0G+0i=可 【典例2-4】(2025高一，全国.专题练习)若P为△ABC内一点，且PA-PB=PA+PB-2PC,则△ABC 的形状为() A.等边三角形 B.等腰三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形 【变式21(2425高一下湖南带德月考)平面内不同四点AB,CD清足=3D丽-3DC,测需 第8页共17页 而学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A.3 B.4 c. 0.月 凰变式2-2】(23-24高一下.湖南衡阳期末)已知在矩形ABCD中，若AB=d,BC=五，AC=c,且a-=2, 则a+万+=() A.3 B.1 C.2 D.4 【变式2-31(24-25高一下.北京延庆期中)已知在三角形△ABC中，AB=d,BC=b,用a,b表示向量CA=() A.a+b B.a-b C.-a+b D.-d-b 【变式2-4】(2025高一全国.专题练习)非零向量d,b,使得a+b=-b成立的充分非必要条件是(). A.a=2b B.allb c.a+26=0D.=2l 【变式2-5】（多选）(2425高一下·广西柳州·开学考试)（多选）下列结论恒为零向量的是() A.AB-(BC+CA) B.AB-AC+BD-CD C.OD-0A+AD D.NO+OP+MN-MP 【变式2-6(24-25高一下.安徽·月考)设a和b是两个不共线的向量，若AB=ma+26CB=d+6,CD=2a-b, 且A,B,D三点共线，则实数m的值为 题型03平面向量的坐标运算 〖典例3-1】(25-26高一上辽宁大连，期末)已知平面向量a=(m+1,-2),b=(-6,3),若a/乃，则实数m 的值为) A.3 B.-3 C.1 D.-1 【典例3-2】(25-26高一上辽宁沈阳期末)已知A(V3,0),B(0,1),则与AB方向相同的单位向量是() A.(（停别) B.(-) o.（-) 【典例3-3】（多选25-26高一上辽宁沈阳·期末）下列关于平面向量的说法中，正确的是() A.若a/乃，b/心，则a/ B.若{a+b,a-可是一组基底，则{a,b也是一组基底 C.若A,B,C是平面上不同的三点，且AB/BC,则A,B,C三点共线 D.若a/b,则存在唯一的实数2，使得b=a I典例34】(25-26高一上辽宁大连·期末)在平面四边形ABCD中，AB1AD,CD1AD,CD=2AB,点M 在边BC(含端点)上运动，设AM=xAB+yAD,则x+y的取值范围是_ 第9页共17页 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 凰变式31】(25-26高一上北京月考)已知向量a=(1,2),b=(-2,x),若a/乃，则x等于() A.-2 B.2 C.4 D.-4 【变式32(25-26高一上全国期末)向量a=(1,2),b=(2,-2),元=(m2,),若c/(2a+b),则实数m=() A.号 8. C.±1 D.1 【变式33】(24-25高一下·贵州·月考)已知向量a=(3,-λ)，b=(6,1),若a/b,则实数的值为() A.-1 B.月 c D.1 【变式3-4】(25-26高一上江苏盐城期中)己知a=(2,1),b=(1,-2),若(+b/(-万，则1=() A.1 B.-1 C.6 D.-6 【变式35】（多选）24-25高一下，福建泉州·期中)设e,e2是平面内所有向量的一组基底，则下面四组向量中， 不能作为基底的是() A.e+e2和e-3e2 B.e1+6e2和e1+e2 C.3e-4e2和6e1-8e2 D.e+2e2和ei+e2 【变式36】(2025高一下江苏南京.专题练习)已知向量a=(1,-2),=(3,4),若(3a-b/(a+kb,则 k=一· 题型04平面向量的数量积 【典例41】(24-25高一下贵州遵义月考)若向量b=（(1,V3,且向量ā在向量b上的投影向量为26，则 a.b=() A.月 B.1 C.2 D.4 【典例42】(24-25高一下…湖南长沙期末)己知平面向量元，，z满足元=(2,0)，2=(0,1)，元·)=2，则区+寸- 的最小值为) A B.1 C.2 D.3 【典例4-3】（多选25-26高一上江苏南通期中）已知向量a=(1,2),=(-1,1),则() A.b.(a+b)=3 B.(2a+b/(a+2b) c.向量2a-万与a-2b的夹角为号 D.向量在方向上的投影向量为 第10页共17页