1.5.1 第1课时 向量的数量积-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第二册教师用书word（湘教版）

1.5　向量的数量积 1.5.1　数量积的定义及计算 第1课时　向量的数量积(教学方式：基本概念课——逐点理清式教学) 　[课时目标] 1.理解平面向量数量积的概念及其物理意义，会计算平面向量的数量积. 2.了解平面向量投影的概念以及投影向量的意义.会用数量积判断两个平面向量的垂直关系. 逐点清(一)　数量积的物理背景及定义 [多维理解] 1.数量积的定义 (1)设a，b是任意两个向量，<a，b>是它们的夹角，则定义a·b=|a||b|cos<a，b>为a与b的数量积. (2)<a，b>=α的取值范围为[0，π]. 2.相关概念 (1)当a，b均不为0时，a·b=0⇔cos α=0⇔α=⇔a⊥b(α=<a，b>). (2)当a=0或b=0时，由于零向量与任意向量垂直，因而仍有a⊥b.因此，a·b=0⇔a⊥b对所有情形均成立. |微|点|助|解|　 (1)向量的数量积a·b，不能表示为a×b或ab. (2)两个向量的数量积的结果是一个实数，而不是向量；向量的数乘的结果是一个向量，其长度是原向量长度的倍数. (3)两个向量的数量积所得的数值为两个向量的模与两个向量的夹角θ的余弦的乘积，由于|a|，|b|均为正数，故其符号由夹角来决定. [微点练明] 　　　　　　　　　　　　　　　　 1.已知|a|=，|b|=2，a与b的夹角是120°，则a·b等于 (　　) A.3 B.-3 C.-3 D.3 解析：选B　由平面向量数量积的定义可得a·b=|a||b|cos 120°=×2×=-3. 2.若a与b满足|a|=|b|=1，<a，b>=60°，则a·a+a·b等于 (　　) A. B. C.1+ D.2 解析：选B　由题意得a·a+a·b=|a|2+|a||b|·cos 60°=1+=，故选B. 3.已知等边三角形ABC的边长为1，设=a，=b，=c，那么a·b+b·c+c·a= (　　) A.3 B.-3 C. D.- 解析：选D　在等边三角形ABC中，有a·b+b·c+c·a=1×1×cos 120°+1×1×cos 120°+1×1×cos 120°=-.故选D. 4.已知|a|=2，|b|=5，若①a∥b，②a⊥b，分别求a·b. 解：①当a∥b时，若a与b同向，则它们的夹角为0°. ∴a·b=|a||b|cos 0°=2×5×1=10. 若a与b反向，则它们的夹角为180°. ∴a·b=|a||b|cos 180°=2×5×(-1)=-10. ②当a⊥b时，它们的夹角为90°. ∴a·b=|a||b|cos 90°=2×5×0=0. 逐点清(二)　投影 [多维理解] 1.投影向量及投影长 如图（1）（2），作向量=a，=b，两个向量的夹角为α，过点B作BB1⊥OA于点B1，则=+，其中与共线. 我们把称为在方向上的投影向量，投影向量的长度||=|||cos α|称为投影长.  2.投影的几何意义 (1)一般地，a与b的数量积等于a的长度|a|与b在a方向上的投影|b|cos α的乘积，或b的长度|b|与a在b方向上的投影|a|cos α的乘积.  (2)b在a方向上的投影|b|cos α的公式：|b|cos α=. [微点练明] 1.已知|a|=1，|b|=2，其中a，b的夹角为，则a在b上的投影长为 (　　) A.1 B. C. D. 解析：选D　由题意，a在b上的投影长为|a|=1×=. 2.已知向量e是与向量b方向相同的单位向量，且|b|=2，若a在b方向上的投影向量为2e，则a·b= (　　) A.2 B.-2 　 C.4 D.-4 解析：选C　a·b=|b|·|a|cos<a，b>=|b|·|2e|=2×2=4.故选C. 3.已知O为正三角形ABC的中心，则向量在向量上的投影向量为 (　　) A.- B. C.- D. 解析：选C　取AB中点D，连接OD，因为O为正三角形ABC的中心，所以OD⊥AB，则向量在向量上的投影向量为=-，故选C. 4.已知向量a，b满足|a|=2，|b|=3，a·b=-3，则b在a上的投影向量为 (　　) A.-a B.-a C.-a D.-a 解析：选A　设向量a，b的夹角为θ，因为|a|=2，|b|=3，a·b=-3，所以a·b=|a||b|cos θ=2×3cos θ=-3，所以cos θ=-，所以b在a上的投影向量为|b|cos θ·=3cos θ·=3×·=-a. 逐点清(三)　数量积的运算律 [多维理解] 1.平面向量数量积的运算律 对任意的向量a，b，c和实数λ. (1)交换律：a·b=b·a； (2)与数乘的结合律：a·(λb)=λ(a·b)； (3)分配律：a·(b+c)=a·b+a·c. 2.平面向量的数量积的性质 (1)若e是单位向量，则a·e=e·a=|a|cos<a，e>； (2)若a，b是非零向量，则a·b=0⇔a⊥b； (3)a·a=|a|2，即|a|=； (4)cos<a，b>=(|a||b|≠0)； (5)|a·b|≤|a||b|，当且仅当a∥b时等号成立. |微|点|助|解|　 (1)已知实数a，b，c(b≠0)，则ab=bc⇒a=c.但对于向量的数量积，该推理不正确，即a·b=b·c不能推出a=c. (2)对于实数a，b，c有(ab)c=a(bc)，但对于向量a，b，c，(a·b)·c=a·(b·c)一般不成立.这是因为(a·b)·c表示一个与c共线的向量，而a·(b·c)表示一个与a共线的向量，而c与a不一定共线，所以(a·b)·c=a·(b·c)一般不成立. [微点练明] 1.(多选)设a，b，c是任意的非零向量，则下列结论不正确的是 (　　) A.0·a=0 B.(a·b)·c=a·(b·c) C.a·b=0⇒a⊥b D.(a+b)·(a-b)=|a|2-|b|2 解析：选AB　0·a=0，A错误； (a·b)·c表示与c共线的向量，a·(b·c)表示与a共线的向量，但a与c不一定共线，B错误；a·b=0⇒a⊥b，C正确；(a+b)·(a-b)=a2-b2=|a|2-|b|2，D正确. 2.已知向量a，b夹角的余弦值为-，且|a|=4，|b|=1，则(a-b)·(b-2a)= (　　) A.-36 B.-12 C.6 D.36 解析：选A　(a-b)·(b-2a)=a·b-2a2-b2+2a·b=3a·b-b2-2a2=3×4×1×-1-2×16=-36.故选A. 3.已知向量a与b的夹角为60°，|a|=2，|b|=5，则2a-b在a方向上的投影长为 (　　) A. B.2 C. D.3 解析：选A　投影长为 ===. 4.若单位向量a，b满足(a-2b)·(a+b)=-，则|a-b|等于 (　　) A.1 B. C. D. 解析：选C　因为a，b为单位向量，所以(a-2b)·(a+b)=|a|2-a·b-2|b|2=-a·b-1=-.所以a·b=-.所以|a-b|===，故选C. 5.已知向量a，b满足|a|=，|b|=2，且a⊥(a-b)，则a与b的夹角为 (　　) A.30° B.60° C.120° D.150° 解析：选A　因为a⊥(a-b)，所以a·(a-b)=0，即|a|2-|a||b|cos<a，b>=0，解得cos<a，b>=.又因为0°≤<a，b>≤180°，所以a与b的夹角为30°，故选A. 学科网（北京）股份有限公司 $