1.5.2 数量积的坐标表示及其计算-【金版新学案】2025-2026学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义教师用书word（湘教版）

1.5.2　数量积的坐标表示及其计算 学习目标 1.掌握平面向量数量积的坐标表示， 会进行平面向量数量积的坐标运算， 会表示两个向量的夹角，能用数量积判断两个平面向量的垂直关系，提升数学运算与逻辑推理核心素养. 2.理解掌握向量的模、夹角等公式， 并能够用其解决一些几何问题， 提升逻辑推理和数学运算核心素养. 知识点　平面向量数量积的坐标表示 若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ，则 (1)a·b＝x1x2＋y1y2，即两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和. (2)｜a｜2＝＋，或｜a｜＝. (3)若a，b为非零向量，则cos＜a，b＞＝＝. (4)a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0. [点拨]　公式a·b＝｜a｜｜b｜cos θ与a·b＝x1x2＋y1y2都是用来求两向量的数量积的，没有本质区别，只是书写形式上的差异，两者可以相互推导. 若题目中给出的是两向量的模与夹角，则可直接利用公式a·b＝｜a｜｜b｜cos θ求解；若已知两向量的坐标，则可选用公式a·b＝x1x2＋y1y2求解. 1.判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.(　　) (2)已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a⊥b⇔x1x2－y1y2＝0.(　　) (3)两个非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，满足x1y2－x2y1＝0，则向量a，b的夹角为180°.(　　) (4)若两个非零向量的夹角θ满足cos θ＜0，则两向量的夹角θ一定是钝角.(　　) 答案：(1)√　(2)×　(3)×　(4)× 2.设a＝(1，－2)，b＝(3，1)，c＝(－1，1)，则(a＋b)·(a－c)等于(　　) A.11 B.5 C.－14 D.10 答案：A　 解析：a＋b＝(4，－1)，a－c＝(2，－3).所以(a＋b)·(a－c)＝4×2＋(－1)×(－3)＝11.故选A. 3.若向量a＝(4，2)，b＝(6，m)，且a⊥b，则m的值是(　　) A.12 B.3 C.－3 D.－12 答案：D　 解析：因为a⊥b，所以4×6＋2m＝0.解得m＝－12. 4.已知a＝(3，4)，b＝(5，12)，则a·b＝　　　　，a与b夹角的余弦值为　　　　. 答案：63　 解析：由题意得： a·b＝3×5＋4×12＝63， ｜a｜＝＝5， ｜b｜＝＝13， 所以a与b夹角的余弦值为＝＝. 探究点一　数量积的坐标运算 (1)设a＝(1，－2)，b＝(－3，4)，c＝(3，2)，则(a＋2b)·c＝(　　) A.12 B.0 C.－3 D.－11 (2)已知向量a＝(1，2)，b＝(x，4)，c＝(2，y)，若a∥b，a⊥c，则b·(a－c)＝(　　) A.14 B.－14 C.10 D.6 (3)已知a＝(2，－1)，b＝(3，2)，若存在向量c，满足a·c＝2，b·c＝5，则向量c＝　　　　. 答案：(1)C　(2)C　(3) 解析：(1)因为a＝(1，－2)，b＝(－3，4)，c＝(3，2)，所以a＋2b＝(－5，6)，所以(a＋2b)·c＝(－5)×3＋6×2＝－3. (2)向量a＝(1，2)，b＝(x，4)，c＝(2，y)， 由a∥b，可得1×4＝2·x，解得x＝2，b＝(2，4)， 由a⊥c，可得1×2＋2y＝0，解得y＝－1，c＝(2，－1)， 所以a－c＝(－1，3)， 则b·(a－c)＝－2＋12＝10.故选C. (3)设c＝(x，y)，因为a·c＝2，b·c＝5， 所以所以c＝. 平面向量数量积坐标运算的两条途径 　　进行向量的数量积运算，前提是牢记有关的运算法则和运算性质.解题时通常有两条途径：一是先将各向量用坐标表示，直接进行数量积运算；二是先利用数量积的运算律将原式展开，再依据已知条件计算. 学生用书⬇第26页 对点练1.若向量a＝(1，1)，b＝(－1，3)，c＝(2，x)，满足(3a＋b)·c＝10，则实数x＝(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 答案：A　 解析：由题意，得3a＋b＝3(1，1)＋(－1，3)＝(2，6)，所以(3a＋b)·c＝(2，6)·(2，x)＝2×2＋6x＝10，解得x＝1. 对点练2.已知a与b同向，b＝(1，2)，a·b＝10. (1)求a的坐标； (2)若c＝(2，－1)，求a(b·c)及(a·b)c. 解：(1)设a＝λb＝(λ，2λ)(λ＞0)， 则有a·b＝λ＋4λ＝10，所以λ＝2， 所以a＝(2，4). (2)因为b·c＝1×2－2×1＝0，a·b＝10， 所以a(b·c)＝0，(a·b)c＝10(2，－1)＝(20，－10). 探究点二　向量模的问题 (1)设平面向量a＝(1，2)，b＝(－2，y)，若a∥b则｜3a＋b｜＝(　　) A. B. C. D. 答案：A 解析：因为a∥b， 所以1×y－2×(－2)＝0， 解得y＝－4，从而3a＋b＝(1，2)，｜3a＋b｜＝. (2)已知｜a｜＝2，b＝(2，－3)，且a⊥b，求a＋b的坐标及｜a＋b｜. 解：设a＝(x，y)， 则由｜a｜＝2，得x2＋y2＝52.① 由a⊥b，得a·b＝0，即2x－3y＝0.② 联立①②，解得 所以a＝(6，4)或a＝(－6，－4). 所以a＋b＝(8，1)或a＋b＝(－4，－7)， 所以｜a＋b｜＝. 求向量的模的两种基本策略 1.字母表示下的运算 利用｜a｜2＝a2，将向量的模的运算转化为向量与向量的数量积的问题. 2.坐标表示下的运算 若a＝(x，y)，则a·a＝a2＝｜a｜2＝x2＋y2，于是有｜a｜＝ . 对点练3.在平面直角坐标系中，O为原点，已知A(16，12)，B(－5，15)，则｜｜＝　　　　，｜｜＝　　　　. 答案：20　15 解析：由题意可得｜｜＝＝＝20，｜｜＝＝＝15. 探究点三　向量夹角和垂直问题 已知平面向量a＝(3，4)，b＝(9，x)，c＝(4，y)，且a∥b，a⊥c. (1)求b与c； (2)若m＝2a－b，n＝a＋c，求向量m，n的夹角的大小； (3)若向量d＝(2，1)，且c＋td与d的夹角为45°，求实数t的值. 解：(1)因为a∥b，所以3x＝4×9，即x＝12.因为a⊥c，所以3×4＋4y＝0，所以y＝－3.故b＝(9，12)，c＝(4，－3). (2)m＝2a－b＝(6，8)－(9，12)＝(－3，－4)， n＝a＋c＝(3，4)＋(4，－3)＝(7，1). 设m，n的夹角为θ， 则cos θ＝＝ ＝＝. 又θ∈[0，π]，所以θ＝.即m，n的夹角为. (3)由(1)得c＝(4，－3)， 所以c＋td＝(4，－3)＋t(2，1)＝(2t＋4，t－3)， 于是(c＋td)·d＝4t＋8＋t－3＝5t＋5，｜d｜＝， ｜c＋td｜＝＝， 因此可得＝，即t2＋2t－3＝0， 解得t＝－3(舍去)或t＝1，故t＝1. 利用数量积的坐标运算求两向量夹角的步骤 1.利用平面向量数量积的坐标表示公式求出这两个向量的数量积； 2.利用｜a｜＝计算出这两个向量的模； 3.由公式cos θ＝直接求出cos θ的值； 4.在[0，π]内，由cos θ的值求角θ. 对点练4.已知三个点A(2，1)，B(3，2)，D(－1，4). (1)求证：AB⊥AD； (2)若四边形ABCD为矩形，求点C的坐标以及矩形ABCD的两条对角线所成的锐角的余弦值. 解：(1)证明：因为A(2，1)，B(3，2)，D(－1，4)， 所以＝(1，1)，＝(－3，3). 又·＝1×(－3)＋1×3＝0， 所以⊥，即AB⊥AD. (2)因为四边形ABCD为矩形，所以＝. 设点C的坐标为(x，y)，则＝(x＋1，y－4)， 所以 所以点C的坐标为(0，5). 因为＝(－2，4)，＝(－4，2)， 所以·＝8＋8＝16，｜｜＝2，｜｜＝2. 设的夹角为θ， 则cos θ＝＝＞0， 所以矩形ABCD的两条对角线所成的锐角的余弦值为. 学生用书⬇第27页 1.(多选)已知向量a＝(2，0)，a－b＝(3，1)，则下列结论不正确的是(　　) A.a·b＝2 B.a∥b C.b⊥(a＋b) D.｜a｜＝｜b｜ 答案：ABD　 解析：因为向量a＝(2，0)，a－b＝(3，1)，设b＝(x，y)，则所以b＝(－1，－1)，a＋b＝(1，－1)，a·b＝－2，｜a｜≠｜b｜，b·(a＋b)＝－1×1＋(－1)×(－1)＝0，所以b⊥(a＋b).故选ABD. 2.已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则·(＋)的最小值是(　　) A.－2 B.－ C.－ D.－1 答案：B　 解析：以BC中点为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系， 则A(0，)，B(－1，0)，C(1，0)， 设P(x，y)，则＝(－x，－y)， ＝(－1－x，－y)，＝(1－x，－y)， 则·(＋)＝2x2－2y＋2y2 ＝2， 所以当x＝0，y＝时，·(＋)取得最小值， 其最小值为2×(－)＝－，故选B. 3.若向量a＝(k，3)，b＝(1，4)，c＝(2，1)，已知2a－3b与c的夹角为钝角，则实数k的取值范围是　　　　　　　　. 答案：∪ 解析：因为2a－3b与c的夹角为钝角， 所以(2a－3b)·c＜0，即(2k－3，－6)·(2，1)＜0， 所以4k－6－6＜0，所以k＜3. 若(2a－3b)∥c，则2k－3＝－12，即k＝－. 当k＝－时，2a－3b＝(－12，－6)＝－6c， 即2a－3b与c反向，故k≠－. 综上，实数k的取值范围为∪. 4.已知向量a＝(1，3)，b＝(－1，3)，c＝(λ，2). (1)若a＝mb＋3c，求实数m，λ的值； (2)若(2a＋b)⊥(b－c)，求a与2b＋c的夹角θ的余弦值. 解：(1)由a＝mb＋3c， 得(1，3)＝(－m，3m)＋(3λ，6)， 即解得λ＝0，m＝－1； (2)2a＋b＝(1，9)，b－c＝(－1－λ，1)； 因为(2a＋b)⊥(b－c)， 所以－1－λ＋9＝0， 解得λ＝8； 令d＝2b＋c＝(6，8)， 则a与2b＋c的夹角θ的余弦值为 cos θ＝＝＝. 学科网（北京）股份有限公司 $