1.2 第2课时 向量的减法-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第二册教师用书word（湘教版）

第2课时　向量的减法(教学方式：深化学习课——梯度进阶式教学) [课时目标] 1.借助实例和平面向量的几何表示，掌握平面向量的减法运算. 2.理解平面向量减法的几何意义，掌握向量减法的三角形法则. 3.利用相反向量的概念，理解减法运算是加法运算的逆运算. 1.向量的减法 (1)已知两个向量a，b，求x满足a+x=b，这样的运算叫作向量的减法，记为x=b-a，x称为b与a之差. (2)b减去一个向量a，等于加上它的相反向量-a，即b-a=b+(-a). 2.等式=的物理意义 位置的改变量=终点位置-起点位置，因此，向量等于终点向量减起点向量. |微|点|助|解|　 (1)向量减法的实质是向量加法的逆运算.利用相反向量的定义，-=，就可以把减法转化为加法. (2)两个向量作差的前提是将两个向量移到共同的起点. (3)向量减法满足三角形法则.如图，在用三角形法则作向量减法时，要注意“共起点，连终点，指向被减”.解题时要结合图形，准确判断，防止混淆. 基础落实训练 1.判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)两个向量的差仍是一个向量. (　　) (2)=. (　　) (3)a-b的相反向量是b-a. (　　) (4)|a-b|<|a+b|. (　　) 答案：(1)√　(2)√　(3)√　(4)× 2.在△ABC中，=a，=b，则= (　　) A.|a+b| B.a-b C.b-a D.-a-b 答案：C 3.在平行四边形ABCD中，+= (　　) A. B. C. D. 答案：A 题型(一)　向量减法法则的应用 [例1]　(1)如图，已知向量a，b，c，d，求作向量a-b，c-d. (2)如图，已知向量a，b，c不共线，求作向量a+b-c. 解：(1)如图所示，在平面内任取一点O，作=a，=b，=c，=d，则a-b=，c-d=. (2)法一：如图①所示，在平面内任取一点O，作=a，=b，则=a+b，再作=c，则=a+b-c. 法二：如图②所示，在平面内任取一点O，作=a，=b，则=a+b，再作=c，连接OC，则=a+b-c. |思|维|建|模| 利用向量减法进行几何作图的方法 (1)已知向量a，b，如图①所示，作=a，=b，利用向量减法的三角形法则可得a-b，利用此方法作图时，把两个向量的起点放在一起，则这两个向量的差是以减向量的终点为起点，被减向量的终点为终点的向量. (2)利用相反向量作图，通过向量求和的平行四边形法则作出a-b.如图②所示，作=a，=b，=-b，则=a+(-b)，即=a-b. 　　[针对训练] 1.如图，已知正方形ABCD的边长等于1，=a，=b，=c，试作向量a-b+c. 解：如图，连接BD， 则=a-b，作向量=c，连接DE， 则=+=a-b+c. 题型(二)　向量的减法运算 [例2]　化简下列各式： (1)(+)+(-)； (2)； (3)()-(). 解：(1)法一：原式=+++=(+)+(+)=+=. 法二：原式=+++=+(+)+=++=+0=. (2)法一：原式==. 法二：原式=-(+)==. (3)法一：()-()=(+)-(+)==0. 法二：()-()=()-()==0. 法三：在平面内任取一点O， 则()-()=()-()-[()-()]=+++=0. 　　|思|维|建|模| (1)如果式子中含有括号，括号里面能运算的直接运算，不能运算的去掉括号. (2)可以利用相反向量把差统一成和，再利用三角形法则进行化简. (3)化简向量的差时注意共起点，由减数向量的终点指向被减数向量的终点. [提醒]　利用图形中的相等向量代入、转化是向量化简的重要技巧. 　　[针对训练] 2.(多选)在▱ABCD中，设=a，=b，=c，=d，则下列等式正确的是 (　　) A.a+b=c B.a-b=d C.b-a=d D.c-a=b 解析：选ACD　a+b=+==c，故A正确；a-b==+==-d，故B错误；b-a===d，故C正确；c-a====b，故D正确. 3.化简：(1)++； (2)(++)-(). 解：(1)++=++++=+=. (2)(++)-()=++++=(+)+()+(+)=++0=0. 题型(三)　用已知向量表示未知向量 [例3]　如图，解答下列各题： (1)用a，d，e表示；(2)用b，c表示； (3)用a，b，e表示；(4)用c，d表示. 解：由题意知，=a，=b，=c，=d，=e，则(1)=++=d+e+a. (2)==-=-b-c. (3)=++=a+b+e. (4)=-=-(+)=-c-d. 　　|思|维|建|模| 1.利用已知向量表示其他向量的思路 解决这类问题时，要根据图形的几何性质，正确运用向量加法、减法和相等(或相反)向量，要注意向量的方向及运算式中向量之间的关系.当运用三角形法则时，要注意两个向量首尾顺次相接.当两个向量共起点时，可以考虑用减法. 2.常用结论 任意一个非零向量一定可以表示为两个不共线向量的和(差)，即=+以及=(M，N均是同一平面内的任意点). 　　[针对训练] 4.如图，已知=a，=b，=c，=d，=e，=f，试用a，b，c，d，e，f表示+++. 解：==c-a，==d-a，===d-b，+=+=b-a+f-c，===f-d，++=0. 学科网（北京）股份有限公司 $