专题1.3 向量的数乘（高效培优讲义）高一数学湘教版必修第二册

1-3 向量的数乘 讲义 教学目标 理解向量数乘运算、共线向量的概念，掌握向量共线的运算. 教学重点 向量共线的条件与运算. 教学难点 向量共线的应用. 知识点01 向量的数乘 1.数乘的定义：实数与向量的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘. 记作：，它的长度和方向规定如下： ⑴； ⑵当时, 的方向与的方向相同；当时,的方向与的方向相反. 2.运算律： ；；. 3.线性运算：向量的加.减.数乘运算统称为向量的线性运算. 【即学即练1-1】(24-25高一下·河南郑州·期末)已知平面上四点互不重合，则下列向量的运算结果不正确的是(   ) A． B． C． D． 【即学即练1-2】(23-24高一上·辽宁丹东·期末)在中，D在边上，，是的中点，则(    ) A． B． C． D． 知识点02 共线向量 平面向量共线定理：向量与共线的充要条件是：存在唯一一个实数，使. 【即学即练2-1】(24-25高一下·甘肃天水·月考)设点是正方形的中心，则向量的关系是(   ) A．方向相同 B．模相等 C．共线 D．起点相同    【即学即练2-2】(多选)(24-25高一下·辽宁·期中)关于平面向量，下列说法正确的是(    ) A．若，则 B．若，则 C．若 ，则 D．若，则 题型01 向量的数乘 【典例1-1】(24-25高一下·福建福州·期中)在中，为边上的中点，则(    ) A． B． C． D． 【典例1-2】(24-25高一下·甘肃天水·期末)在正方形中，点在边上，且，记，，则(    ) A． B． C． D． 【典例1-3】(多选)(23-24高一下·黑龙江哈尔滨·月考)设是所在平面内一点，则下列说法正确的是(    ) A．若，则是边的中点 B．若，则是的垂心 C．若，则是的重心 D．若，则动点过的内心 【典例1-4】(23-24高一下·全国·课前预习)非零向量与方向 ，且的长度是的 倍. 【变式1-1】(23-24高一下·福建福州·月考)正六边形中，=(   ) A． B． C． D． 【变式1-2】(24-25高一下·浙江·期中)在中，，则(   ) A． B． C． D． 【变式1-3】(24-25高一下·四川泸州·期末)在中，，则(   ) A． B． C． D． 【变式1-4】(23-24高一下·四川雅安·期末)如图，在梯形ABCD中，，E在BC上，且，设，，则(    ) A． B． C． D． 【变式1-5】(多选)(24-25高一下·河北唐山·期末)在中，为边的中点，则(    ) A． B． C． D． 【变式1-6】(24-25高一下·全国·课后作业)若，且，则 ． 题型02 共线向量 【典例2-1】(23-24高一下·湖北武汉·期末)下列说法中正确的是(   ) A．两个单位向量一定相等 B．物理学中的重力是向量 C．若，，则 D．长度相等的两个向量必相等 【典例2-2】(25-26高一上·湖南衡阳·月考)已知是空间内两个方向相反的向量，则下列结论一定成立的是(   ) A． B．且 C． D． 【典例2-3】(多选)(2025高一·全国·专题练习)给出下列命题，不正确的有( ) A．两个相等向量，若它们的起点相同，则终点相同 B．若为非零向量，则与同向 C．若，则 D．已知λ，μ为实数，若，则与共线 【典例2-4】(23-24高一下·广东阳江·月考)下列说法正确的是 .(填序号) ①若 ，则；②若，则；③若，则与共线； ④若，则一定不与共线. 【变式2-1】(24-25高一下·北京通州·期中)已知平面向量，，则“或”是“”的(   ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式2-2】(24-25高一下·山东青岛·期中)已知向量与是两个不平行的向量，若且，则等于(   ) A． B． C． D．不存在这样的向量 【变式2-3】(24-25高一下·上海嘉定·期末)以下关于平面向量的说法正确的是(    ) A．若，则 B．若则 C．若是共线的单位向量.则 D．若，则不是共线向量 【变式2-4】(25-26高一上·北京顺义·期末)设均为非零向量，则“与共线”是“与共线”的() A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式2-5】(多选)(24-25高一下·广东东莞·月考)关于非零向量，，下列命题中正确的是(    ) A．若，则. B．若，则 C．若，，则 D．若，，则 【变式2-6】(24-25高一上·上海·课堂例题) O、A、B是三个不同的点，若，则O、A、B的位置关系是 ；若，则O、A、B的位置关系是 . 题型03 向量共线的运算 【典例3-1】(24-25高一下·广东茂名·期末)已知，是同一平面内两个不共线的向量，则的是(   ) A．， B．， C．， D．， 【典例3-2】(24-25高一下·安徽阜阳·月考)设，是两个不共线的向量，若向量与的方向相同，则k=(    ) A． B． C．2 D． 【典例3-3】(多选)(24-25高一下·江西上饶·期中)给出下列命题，不正确的有(   ) A．若为非零向量，则与同向 B．若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同 C．若，则 D．已知，为实数，若，则与共线 【典例3-4】(24-25高一下·北京·月考)设，是两个不共线的非零向量，向量，，若向量，的方向相反，则实数 ． 【变式3-1】(24-25高一下·广东佛山·期末)已知向量，是两个不共线的向量，，，且，则(   ) A． B． C．1 D．2 【变式3-2】(2025·广东广州·三模)已知向量不共线，与共线，则实数的值为(    ) A． B．2 C．6 D． 【变式3-3】(24-25高一下·贵州遵义·期中)在中，，若的面积为6，则的面积是(    ) A．2 B．3 C．4 D．6 【变式3-4】(24-25高一下·江苏宿迁·月考)已知为的外接圆的圆心，，若，且，则(   ) A． B． C． D． 【变式3-5】(多选)(24-25高一下·安徽合肥·月考)下列叙述中错误的是(   ) A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．对任一向量，是一个单位向量 【变式3-6】(23-24高一下·四川内江·月考)若，是两个不共线的向量，且与共线，则实数的值为 . 题型04 数乘运算律 【典例4-1】(23-24高一下·江苏·月考)(   ) A． B． C． D． 【典例4-2】(25-26高一上·贵州遵义·期末)已知所在平面内一点满足，E为中点，则长度是长度的(   ) A．5倍 B．4倍 C．3倍 D．2倍 【典例4-3】(多选)(24-25高一下·全国·随堂练习)(多选)下列算式中，正确的是(    ) A． B． C． D． 【典例4-4】(24-25高一下·上海普陀·月考)已知向量、，则等于 . 【变式4-1】(24-25高一下·四川资阳·期末)如图，在中，点满足，为的中点，则(   ) A． B． C． D． 【变式4-2】(25-26高一·全国·假期作业)设向量满足，则(    ) A． B． C． D． 【变式4-3】(25-26高一上·北京延庆·期末)如图，四边形ABCD是平行四边形，则(    )． A． B． C． D． 【变式4-4】(2025高一·全国·专题练习)已知为所在平面内一点，若，其中内角的对边分别为，则点是的(    ) A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 【变式4-5】(多选)(23-24高一下·河北唐山·期末)已知平行四边形的两条对角线交于点，则(    ) A． B． C． D． 【变式4-6】(22-23高一下·江西吉安·期中)有下列四个命题：①若非零向量与的方向相同或相反，则与，其中之一的方向相同；②与的方向相同；③；④若(λ为实数)，则.其中叙述错误的命题个数有 个. 一、单选题 1.(24-25高一下·四川雅安·月考)向量与不共线，，且三点共线，则(   ) A． B． C． D． 2.(24-25高一下·河南南阳·期末)在平行四边形ABCD中，，则(    ) A． B． C． D． 3.(24-25高一上·贵州遵义·期末)已知向量，不共线.若，则(   ) A． B． C． D． 4.(24-25高一下·福建厦门·月考)若，为非零向量，则“”是“”的(    ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5.(23-24高一下·广东江门·月考)设是非零向量，则是成立的(    ) A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 6.(23-24高一下·广西柳州·月考)已知方向相同，且，则等于(    ) A．16 B．256 C．8 D．64 7.(21-22高一下·河南信阳·月考)如图，分别是射线上的点，给出下列以为起点的向量：①；②；③；④；⑤其中终点落在阴影区域内的向量的序号有(    ) A．①③ B．①②④ C．②③ D．①③⑤ 8.(24-25高一下·四川成都·期末)如图，为的重心，过点的直线分别与，交于点，，且，，其中，则的最小值为(   ) A． B．3 C． D．9 二、多选题 9.(24-25高一下·安徽·月考)下列说法正确的是(    ) A．若，则 B．若，则 C．若 ，则 D．若，则 10.(23-24高一下·浙江·月考)下列说法中正确的是(    ) A．若，则，且四点构成平行四边形 B．若为非零实数，且，则与共线 C．在中，若有，那么点一定在的平分线所在直线上 D．若向量，则与的方向相同或相反 11.(23-24高一上·辽宁沈阳·期末)已知，D为BC边中点，若点P满足，则下列说法正确的是(    ) A．点P一定在内部 B． C． D．点P在直线AD上 三、填空题 12.(24-25高一下·江苏镇江·期末)已知向量不共线，，，，若，，三点共线，则实数的值为 ． 13.(24-25高一下·四川成都·期中)在四边形ABCD中，点P是四边形ABCD所在平面上一点，满足 ，点Q为线段AB的中点.则 . 14.(24-25高一下·辽宁沈阳·月考)如图，是的重心，分别是边，上的动点，且三点共线．设，，则 ． 四、解答题 15.(24-25高一下·重庆·月考)设，是两个不共线向量，已知，，. (1)求证：A，B，D三点共线；(2)若，且，求实数的值. 16.(21-22高一下·重庆巫山·期末)设是两个不共线的向量，已知． (1)求证：三点共线；(2)若且，求实数的值． 17.(22-23高一下·福建福州·期中)如图所示，在中，点D是边BC的中点，点E是线段AD靠近A的三等分点.过点E的直线与边AB，AC分别交于点P，Q.设，，其中，. (1)试用与表示，；(2)求证：为定值，并求此定值. 18.(2025高一·全国·专题练习)根据下列各小题的条件，试判断四边形的形状． (1)；(2)；(3)且． 19.(24-25高一下·云南普洱·月考)三角形在数学中是十分常用的图形，将向量运用在三角形中同时会迸发出火花! (1)如图1，在中，，点是上一点，且满足：，以点为圆心，的长为半径作圆交于点，交于点.若，求的值. (2)如图2，在中，点分所成的比为，点为线段上一动点，若，求的最小值. 第 1 页 共 19 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 1-3 向量的数乘 讲义 教学目标 理解向量数乘运算、共线向量的概念，掌握向量共线的运算. 教学重点 向量共线的条件与运算. 教学难点 向量共线的应用. 知识点01 向量的数乘 1.数乘的定义：实数与向量的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘. 记作：，它的长度和方向规定如下： ⑴； ⑵当时, 的方向与的方向相同；当时,的方向与的方向相反. 2.运算律： ；；. 3.线性运算：向量的加.减.数乘运算统称为向量的线性运算. 【即学即练1-1】(24-25高一下·河南郑州·期末)已知平面上四点互不重合，则下列向量的运算结果不正确的是(   ) A． B． C． D． 【答案】B【难度】0.94【知识点】向量减法的法则、向量数乘的有关计算、向量加法的法则 【分析】由向量的加法法则可判断A、B；由数量积的运算判断C、D. 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于C，由数乘向量可得，故C正确； 对于D，由数乘向量运算律可得，故D正确. 故选：B. 【即学即练1-2】(23-24高一上·辽宁丹东·期末)在中，D在边上，，是的中点，则(    ) A． B． C． D． 【答案】BCD【难度】0.85【知识点】向量的线性运算的几何应用 【分析】根据平面向量的线性运算可得答案. 【详解】对于选项A: 由向量得减法法则可知，故A错误; 对于选项B：,故B正确; 对于选项C：, 而，所以，故C正确; 对于选项D：,故D正确. 故选：BCD. 知识点02 共线向量 平面向量共线定理：向量与共线的充要条件是：存在唯一一个实数，使. 【即学即练2-1】(24-25高一下·甘肃天水·月考)设点是正方形的中心，则向量的关系是(   ) A．方向相同 B．模相等 C．共线 D．起点相同 【答案】B【难度】0.94【知识点】平面向量的概念与表示、向量的模、平行向量(共线向量) 【分析】利用平面向量的相关概念判断. 【详解】如图，因为是正方形的中心，则， 而方向不相同，不共线，起点不相同. 故选：B.    【即学即练2-2】(多选)(24-25高一下·辽宁·期中)关于平面向量，下列说法正确的是(    ) A．若，则 B．若，则 C．若 ，则 D．若，则 【答案】BD【难度】0.94【知识点】平面向量的概念与表示、相等向量、平行向量(共线向量) 【分析】根据向量不能比较大小，即可判断A；根据向量相等即可判断BD；根据向量平行及零向量即可判断C． 【详解】对于A，因为向量不能比较大小，故A错误； 对于B，若，则 ，故B正确； 对于C，若，则 ，但与不一定平行，故C错误； 对于D，若，则，故D正确； 故选：BD． 题型01 向量的数乘 【典例1-1】(24-25高一下·福建福州·期中)在中，为边上的中点，则(    ) A． B． C． D． 【答案】A【难度】0.94【知识点】平面向量的混合运算、向量数乘的有关计算 【分析】根据平面向量线性运算法则计算可得. 【详解】因为为边上的中点， 所以. 故选：A 【典例1-2】(24-25高一下·甘肃天水·期末)在正方形中，点在边上，且，记，，则(    ) A． B． C． D． 【答案】A【难度】0.85【知识点】向量的线性运算的几何应用 【分析】根据平面向量的线性运算求解即可. 【详解】在正方形中，，即， 则. 故选：A.    【典例1-3】(多选)(23-24高一下·黑龙江哈尔滨·月考)设是所在平面内一点，则下列说法正确的是(    ) A．若，则是边的中点 B．若，则是的垂心 C．若，则是的重心 D．若，则动点过的内心 【答案】ACD【难度】0.85【知识点】三角形的心的向量表示、向量加法的法则 【分析】根据向量加法的平行四边形法则判断A，根据外心的性质判断B，根据重心的性质判断C，根据向量共线及内心的性质判断D. 【详解】对于A，如图所示，根据向量加法的平行四边形法则，可得， 若，可得是边的中点，故A正确； 对于B，若，则是的外心，故B错误； 对于C，若，则，即， 所以是的重心，故C正确； 对于D，因为表示方向的单位向量，表示方向的单位向量， 所以与的角平分线同向，又， 则在的角平分线上，所以动点过的内心，故D正确. 故选：ACD 【典例1-4】(23-24高一下·全国·课前预习)非零向量与方向 ，且的长度是的 倍. 【答案】相反;【难度】0.94 【知识点】向量数乘的有关计算 【分析】根据向量的数乘运算的概念可得结论. 【详解】非零向量与方向相反，且的长度是的倍. 故答案为：相反；. 【变式1-1】(23-24高一下·福建福州·月考)正六边形中，=(   ) A． B． C． D． 【答案】A【难度】0.94【知识点】向量数乘的有关计算、向量加法的法则 【分析】根据正六边形的性质，结合向量的线性运算，可得答案. 【详解】由题意可作图如下： 由图可知. 故选：A. 【变式1-2】(24-25高一下·浙江·期中)在中，，则(   ) A． B． C． D． 【答案】C【难度】0.94【知识点】向量数乘的有关计算、向量加法的法则、向量减法的法则 【分析】根据向量的线性运算，可得答案. 【详解】，，. 故选：C. 【变式1-3】(24-25高一下·四川泸州·期末)在中，，则(   ) A． B． C． D． 【答案】D【难度】0.85【知识点】平面向量的混合运算 【分析】根据平面向量的线性运算求解即可. 【详解】由，则. 故选：D. 【变式1-4】(23-24高一下·四川雅安·期末)如图，在梯形ABCD中，，E在BC上，且，设，，则(    ) A． B． C． D． 【答案】D【难度】0.65【知识点】向量的线性运算的几何应用、向量加法法则的几何应用 【分析】由平面向量的加减、数乘运算求解即可. 【详解】， . 故选：D 【变式1-5】(多选)(24-25高一下·河北唐山·期末)在中，为边的中点，则(    ) A． B． C． D． 【答案】AB【难度】0.65【知识点】向量数乘的有关计算、向量减法的法则、向量加法的法则 【分析】根据平面向量的加减法运算法则及数乘运算计算求解. 【详解】在中，，A选项正确；，B选项正确； 在中，为边的中点，则，C选项错误； ，所以D选项错误； 故选：AB. 【变式1-6】(24-25高一下·全国·课后作业)若，且，则 ． 【答案】【难度】0.85【知识点】向量数乘的有关计算 【分析】由向量数乘的几何意义即可求解； 【详解】(1)当点C在线段的延长线上时，如图． 则，则． (2)当点C在线段上时，如图． 则，即． 综上，． 故答案为： 题型02 共线向量 【典例2-1】(23-24高一下·湖北武汉·期末)下列说法中正确的是(   ) A．两个单位向量一定相等 B．物理学中的重力是向量 C．若，，则 D．长度相等的两个向量必相等 【答案】B【难度】0.94【知识点】零向量与单位向量、相等向量、平行向量(共线向量) 【分析】根据向量相关概念进行判断，得到答案 【详解】A选项，两个单位向量方向不同时，不相等，A错误； B选项，物理学中的重力既有大小，又有方向，是向量，B正确； C选项，若，则满足，，但不一定平行，C错误； D选项，长度相等，但方向不同的两个向量不相等，D错误. 故选：B 【典例2-2】(25-26高一上·湖南衡阳·月考)已知是空间内两个方向相反的向量，则下列结论一定成立的是(   ) A． B．且 C． D． 【答案】D【难度】0.85【知识点】平面向量的概念与表示、向量的模、零向量与单位向量、平行向量(共线向量) 【分析】根据方向相反的向量模长未必相等可知ABC错误；根据单位向量的方向与定义可知D正确. 【详解】对于A，方向相反，但模长未必相等，则未必成立，A错误； 对于B，方向相反，，但模长未必相等，B错误； 对于C，方向相反，但模长未必相等，则未必成立，C错误； 对于D，表示与同向的单位向量，表示与同向的单位向量， 方向相反，，则，D正确. 故选：D. 【典例2-3】(多选)(2025高一·全国·专题练习)给出下列命题，不正确的有( ) A．两个相等向量，若它们的起点相同，则终点相同 B．若为非零向量，则与同向 C．若，则 D．已知λ，μ为实数，若，则与共线 【答案】CD【难度】0.94【知识点】平行向量(共线向量)、相等向量 【分析】根据向量的相关概念即可判断选项. 【详解】由相等向量的概念可知A正确； 因为，所以与同向，B正确； 若，则不一定平行，C不正确； 若，则与不一定共线，D不正确. 故选：CD 【典例2-4】(23-24高一下·广东阳江·月考)下列说法正确的是 .(填序号) ①若 ，则；②若，则；③若，则与共线； ④若，则一定不与共线. 【答案】③【难度】0.94【知识点】向量的模、相等向量、平行向量(共线向量) 【分析】根据共线向量、相等向量、模长等的定义，逐一判断即可得出结论. 【详解】对于①，若 ，则可知共线，不一定有，也可能，因此①错误； 对于②，若，但的方向不一定相同，因此②错误； 对于③，若，则与共线，显然③正确； 对于④，若，则可能，此时与共线，所以④错误. 故答案为：③ 【变式2-1】(24-25高一下·北京通州·期中)已知平面向量，，则“或”是“”的(   ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A【难度】0.94【知识点】平行向量(共线向量)、判断命题的充分不必要条件 【分析】根据向量的基本概念，结合充分，必要条件，即可判断选项. 【详解】若或，则，反过来，若，两个向量的方向不确定，不能推出或， 所以“或”是“”的充分不必要条件. 故选：A 【变式2-2】(24-25高一下·山东青岛·期中)已知向量与是两个不平行的向量，若且，则等于(   ) A． B． C． D．不存在这样的向量 【答案】A【难度】0.94【知识点】零向量与单位向量、平行向量(共线向量) 【分析】由零向量与任意向量共线再结合已知条件得出. 【详解】由零向量与任意向量平行，故满足条件； 若，由且，得，这与条件矛盾，故排除； 综上所述，. 故选：A. 【变式2-3】(24-25高一下·上海嘉定·期末)以下关于平面向量的说法正确的是(    ) A．若，则 B．若则 C．若是共线的单位向量.则 D．若，则不是共线向量 【答案】A【难度】0.85【知识点】平行向量(共线向量)、相等向量、零向量与单位向量、向量的模 【分析】对 A，由相等向量的定义判断；对B，举反例时，可判断；对C，由共线向量的定义判断；对D，由相等向量和共线向量的定义判断. 【详解】对于A，若，则，故正确； 对于B，若，则不一定成立，故B错误； 对于C，若是共线的单位向量，则或，故C错误； 对于D，若，则是共线向量，故D错误. 故选：A. 【变式2-4】(25-26高一上·北京顺义·期末)设均为非零向量，则“与共线”是“与共线”的() A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C【难度】0.65【知识点】判断命题的充分不必要条件、判断命题的必要不充分条件、充要条件的证明 【分析】充分性证明中利用了共线向量的定义，将其表示为数乘关系并通过移项推导出另一组向量的共线结论； 必要性证明则通过已知的共线条件，代入目标表达式并整理成数乘形式，从而得到向量共线的结论. 【详解】若与共线，且，则存在实数使得： 移项可得：即故与共线，充分性成立； 若与共线，且，则存在实数使得： 代入得故与共线，必要性成立. 综上，“与共线”是“与共线”的充分必要条件. 故选：C 【变式2-5】(多选)(24-25高一下·广东东莞·月考)关于非零向量，，下列命题中正确的是(    ) A．若，则. B．若，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】BCD【难度】0.85【知识点】平行向量(共线向量)、相等向量、向量的模 【分析】对于A根据向量的定义即可判断，对于B根据共线向量的定义即可判断，对于C由向量共线的性质即可判断，对于D由即可判断. 【详解】对于A：若，只能得到与的模相等，但是方向有可能不相同，故A错误； 对于B：若，则与是相反向量，则，故B正确； 对于C：若，，且，则，故C正确； 对于D：若，，则，即，故D正确. 故选：BCD. 【变式2-6】(24-25高一上·上海·课堂例题) O、A、B是三个不同的点，若，则O、A、B的位置关系是 ；若，则O、A、B的位置关系是 . 【答案】三点共线；O为的中点【难度】0.94【知识点】平面向量共线定理证明点共线问题 【分析】由平面向量共线定理可得结论. 【详解】由，可得，即，共线， 又为公共点，所以O、A、B三点共线； 由，可得，是一对相反向量, 所以O为的中点 故答案为：三点共线；O为的中点. 题型03 向量共线的运算 【典例3-1】(24-25高一下·广东茂名·期末)已知，是同一平面内两个不共线的向量，则的是(   ) A．， B．， C．， D．， 【答案】A【难度】0.85【知识点】平面向量共线定理证明线平行问题 【分析】根据，则，依次验证在每个选项的条件下，若，是否有解即可. 【详解】若，则， 选项A：若，则，解得，选项A正确； 选项B：若，则，无解，选项B错误； 选项C：若，则，无解，选项C错误； 选项D：若，则，无解，选项D错误. 故答案为：A. 【典例3-2】(24-25高一下·安徽阜阳·月考)设，是两个不共线的向量，若向量与的方向相同，则k=(    ) A． B． C．2 D． 【答案】B【难度】0.85【知识点】已知向量共线(平行)求参数 【分析】根据两个向量共线，且方向相同，列出方程组，求出参数值. 【详解】由题意知，即，解得， 故选：B. 【典例3-3】(多选)(24-25高一下·江西上饶·期中)给出下列命题，不正确的有(   ) A．若为非零向量，则与同向 B．若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同 C．若，则 D．已知，为实数，若，则与共线 【答案】BCD【难度】0.85【知识点】零向量与单位向量、相等向量、平行向量(共线向量) 【分析】由共线向量可判断A，由相等向量的定义可判断B，由的方向是任意的和平行向量可判断C和D. 【详解】是与同方向的单位向量，故A正确； 两个向量起点相同，终点相同，则两个向量相等， 但两个向量相等，不一定有相同的起点和终点，故B错误； 若，则不一定共线，故C错误； 当时，与可以为任意向量，满足， 但与不一定共线，故D错误. 故选：BCD. 【典例3-4】(24-25高一下·北京·月考)设，是两个不共线的非零向量，向量，，若向量，的方向相反，则实数 ． 【答案】【难度】0.85【知识点】已知向量共线(平行)求参数、平行向量(共线向量) 【分析】由向量共线定理即可求出，但要注意是反向共线，要舍去同向共线的值. 【详解】用向量共线定理可知存在唯一一个实数，使得， 因为向量，的方向相反，所以， 又因为，，则， 所以，解得或(舍去)，故. 故答案为：. 【变式3-1】(24-25高一下·广东佛山·期末)已知向量，是两个不共线的向量，，，且，则(   ) A． B． C．1 D．2 【答案】A【难度】0.85【知识点】已知向量共线(平行)求参数 【分析】利用平面向量共线定理即可求解. 【详解】向量，是两个不共线的向量，， ，存在唯一实数使得，即， ，. 故选：A. 【变式3-2】(2025·广东广州·三模)已知向量不共线，与共线，则实数的值为(    ) A． B．2 C．6 D． 【答案】A【难度】0.85【知识点】已知向量共线(平行)求参数 【分析】由向量共线得到，求解即可. 【详解】因为与共线， 所以，解得：， 故选：A 【变式3-3】(24-25高一下·贵州遵义·期中)在中，，若的面积为6，则的面积是(    ) A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】B【难度】0.65【知识点】已知向量共线(平行)求参数、向量在几何中的其他应用 【分析】由得，进而得，再由得，进而可得. 【详解】因为，所以，所以， 所以，又，所以， 所以，所以. 故选：B 【变式3-4】(24-25高一下·江苏宿迁·月考)已知为的外接圆的圆心，，若，且，则(   ) A． B． C． D． 【答案】B【难度】0.65【知识点】平面向量共线定理的推论 【分析】取的中点，根据给定条件结合共线向量定理的推论可得共线，再在直角三角形中计算作答. 【详解】取的中点，连接，则，如图， 则，由，得， 又，因此三点共线， 由为的外接圆的圆心，得，即， 所以. 故选：B. 【变式3-5】(多选)(24-25高一下·安徽合肥·月考)下列叙述中错误的是(   ) A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．对任一向量，是一个单位向量 【答案】ACD【难度】0.85【知识点】平行向量(共线向量)、零向量与单位向量、向量的模 【分析】根据向量的性质判断A，B，再根据共线向量零向量的性质判断C，根据特殊向量判断D. 【详解】因为是既有大小又有方向的量，所以向量不能比较大小，故A错误； 由于零向量定义可知，故B正确； 对于C，若为零向量，则与可能不是共线向量，故C错误； 对于D，当时，无意义，故D错误． 故选：ACD. 【变式3-6】(23-24高一下·四川内江·月考)若，是两个不共线的向量，且与共线，则实数的值为 . 【答案】【难度】0.85【知识点】已知向量共线(平行)求参数 【分析】由题意结合共线向量定理可得存在实数，使，化简后可求得结果. 【详解】因为与共线， 所以存在实数，使， 因为，是两个不共线的向量， 所以，所以， 解得或，所以 故答案为： 题型04 数乘运算律 【典例4-1】(23-24高一下·江苏·月考)(   ) A． B． C． D． 【答案】C【难度】0.94【知识点】平面向量的混合运算 【分析】利用平面向量的线性运算化简可得结果. 【详解】由平面向量的线性运算可得. 故选：C. 【典例4-2】(25-26高一上·贵州遵义·期末)已知所在平面内一点满足，E为中点，则长度是长度的(   ) A．5倍 B．4倍 C．3倍 D．2倍 【答案】B【难度】0.85【知识点】向量的线性运算的几何应用 【分析】利用平面向量的线性运算得，即得到线段长度的倍数关系． 【详解】因为，且E为中点， 所以， 则长度是的4倍. 故选：B. 【典例4-3】(多选)(24-25高一下·全国·随堂练习)(多选)下列算式中，正确的是(    ) A． B． C． D． 【答案】ABD【难度】0.94【知识点】平面向量的混合运算 【分析】利用向量的线性运算，逐项计算判断即可. 【详解】对于A，，A正确； 对于B，，B正确； 对于C，，C错误； 对于D，，D正确. 故选：ABD 【典例4-4】(24-25高一下·上海普陀·月考)已知向量、，则等于 . 【答案】【难度】0.94【知识点】平面向量的混合运算 【分析】利用平面向量的线性运算化简可得结果. 【详解】. 故答案为：. 【变式4-1】(24-25高一下·四川资阳·期末)如图，在中，点满足，为的中点，则(   )      A． B． C． D． 【答案】D【难度】0.94【知识点】用基底表示向量、向量的线性运算的几何应用 【分析】根据向量的线性运算即可求解. 【详解】. 故选：. 【变式4-2】(25-26高一·全国·假期作业)设向量满足，则(    ) A． B． C． D． 【答案】D【难度】0.85【知识点】平面向量的混合运算 【分析】根据平面向量的线性运算化简求解. 【详解】由题意可得， 故选：D 【变式4-3】(25-26高一上·北京延庆·期末)如图，四边形ABCD是平行四边形，则(    )．    A． B． C． D． 【答案】C【难度】0.85【知识点】向量的线性运算的几何应用 【分析】根据平面向量的线性运算即可求出答案. 【详解】如图，与交于点，由题意得为的中点，    则. 故选：C. 【变式4-4】(2025高一·全国·专题练习)已知为所在平面内一点，若，其中内角的对边分别为，则点是的(    ) A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 【答案】B【难度】0.65【知识点】三角形的心的向量表示、根据向量关系判断三角形的心 【分析】由对称性知可任选其一作变换，如用，代换，将各向量转化为共起点的三个向量的关系式，进一步变形判断． 【详解】因为，， 所以， 所以(*)． 又因为，，其中分别表示，方向的单位向量， (*)式可进一步化为， 而表示与的平分线共线的向量， 所以平分． 同理，平分，平分， 所以是的内心， 故选：B． 【变式4-5】(多选)(23-24高一下·河北唐山·期末)已知平行四边形的两条对角线交于点，则(    ) A． B． C． D． 【答案】AD【难度】0.65【知识点】向量加法法则的几何应用、向量减法的法则、向量的线性运算的几何应用 【分析】利用向量加法、减法的几何意义求解即可. 【详解】平行四边形的两条对角线交于点，作出图形如下：    由图可得:，故A正确； ，故D正确； 故选：AD 【变式4-6】(22-23高一下·江西吉安·期中)有下列四个命题：①若非零向量与的方向相同或相反，则与，其中之一的方向相同；②与的方向相同；③；④若(λ为实数)，则.其中叙述错误的命题个数有 个. 【答案】4【难度】0.65【知识点】零向量与单位向量、平行向量(共线向量)、相反向量、向量加法的法则 【分析】根据向量方向、模、向量的加法、共线等基本知识逐项判断即可. 【详解】对于①， 当时，其方向任意，它与，的方向都不相同； 对于②， 当，中有一个为零向量时结论不成立； 对于③， 因为两个向量之和仍是一个向量，所以，而非； 对于④， 当时，，此时不一定有. 故答案为：4. 一、单选题 1.(24-25高一下·四川雅安·月考)已知向量与不共线，，且三点共线，则(   ) A． B． C． D． 【答案】C【难度】0.94【知识点】已知向量共线(平行)求参数、由坐标解决三点共线问题 【分析】根据共线的性质即可求解. 【详解】由于，且三点共线，故，故， 故选：C 2.(24-25高一下·河南南阳·期末)在平行四边形ABCD中，，则(    ) A． B． C． D． 【答案】B【难度】0.85【知识点】向量数乘的有关计算、向量减法的法则、向量加法的法则 【分析】根据向量加减法的三角形法则，将转化为与和有关的表达式，再结合已知条件进行化简 【详解】在平行四边形ABCD中，，则， 所以 故选：B. 3.(24-25高一上·贵州遵义·期末)已知向量，不共线.若，则(   ) A． B． C． D． 【答案】A【难度】0.85【知识点】已知向量共线(平行)求参数 【分析】根据共线定理即可求解. 【详解】由于，故存在实数，使得，故，解得， 故选：A 4.(24-25高一下·福建厦门·月考)若，为非零向量，则“”是“”的(    ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B【难度】0.85【知识点】判断命题的必要不充分条件、相等向量、向量数乘的有关计算 【分析】利用充分条件、必要条件的定义，结合相等向量及数乘向量的意义判断即得. 【详解】若，则，有； 反之，取，，有，而不成立， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B 5.(23-24高一下·广东江门·月考)设是非零向量，则是成立的(    ) A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C【难度】0.65【知识点】平行向量(共线向量)、零向量与单位向量、判断命题的必要不充分条件 【分析】结合共线向量，单位向量，以及充分，必要条件的概念判断即可. 【详解】对于非零向量， 由可知向量共线，但不一定是，所以充分性不成立； 由，可知向量共线同向，则，所以必要性成立， 所以设是非零向量，则是成立的必要不充分条件， 故选：C. 6.(23-24高一下·广西柳州·月考)已知方向相同，且，则等于(    ) A．16 B．256 C．8 D．64 【答案】A【难度】0.65【知识点】向量的模、向量数乘的有关计算 【分析】根据向量方向相同，得，进而得到答案. 【详解】因为方向相同，且，所以， 所以， 故选：A. 7.(21-22高一下·河南信阳·月考)如图，分别是射线上的点，给出下列以为起点的向量：①；②；③；④；⑤其中终点落在阴影区域内的向量的序号有(    ) A．①③ B．①②④ C．②③ D．①③⑤ 【答案】A【难度】0.4【知识点】平面向量基本定理的应用、平行向量(共线向量) 【分析】利用向量共线的充要条件可得： 当点 在直线上时, 存在唯一的一对有序实数 , 使得 成立, 且 . 可以证明 当点位于阴影区域内的充要条件是: 满足 , 且 . 据此即可判断出答案. 【详解】由向量共线的充要条件可得: 当点 在直线上时, 存在唯一的一对有序实数使得 成立, 且 . 可以证明当点位于阴影区域内的充要条件是: 满足 , 且 , . 证明如下: 如图所示, 点 是阴影区域内的任意一点, 过点 作, 分别交于点,; 交于点, 过点作 交于点, 则存在唯一一对实数 , 使得 , 且 唯一; 同理存在唯一一对实数 使得, 而， 即可判断出①,因为，所以点 位于阴影区域内, 故①正确; 同理③正确;而②④不正确; ⑤原式, 而, 故不符合条件. ⑤不正确; 综上可知：只有①③正确. 故选：A. 8.(24-25高一下·四川成都·期末)如图，为的重心，过点的直线分别与，交于点，，且，，其中，则的最小值为(   )    A． B．3 C． D．9 【答案】B【难度】0.4【知识点】利用平面向量基本定理求参数、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】连接并延长交于点，由为的重心可得，且，将条件代入整理成，利用平面向量基本定理可得，再利用基本不等式“1”的妙用即可求得答案. 【详解】如图，连接并延长交于点，因为的重心，则， 且点为的中点，故(*)， 因，，则有，，， 代入(*)可得：，即， 因三点共线，故，因， 则， 当且仅当时，等号成立，即的最小值为3. 故选：B. 二、多选题 9.(24-25高一下·安徽·月考)下列说法正确的是(    ) A．若，则 B．若，则 C．若 ，则 D．若，则 【答案】BD【难度】0.85【知识点】平行向量(共线向量)、相等向量、平面向量的概念与表示 【分析】根据平面向量的定义即可判断A，根据平面向量相等和向量平行的定义即可判断B；考虑到即可判断C，根据平面向量相等的定义即可判断D. 【详解】因为平面向量既有大小，又有方向，所以平面向量不能比较大小，故A错误； 因为表示两个平面向量大小相等，方向相同，而只须两个平面向量方向相同或相反，所以如果，则一定成立，故B正确； 当，则不能推出 ，故C错误； 根据平面向量相等的定义可知D正确. 故选：BD. 10.(23-24高一下·浙江·月考)下列说法中正确的是(    ) A．若，则，且四点构成平行四边形 B．若为非零实数，且，则与共线 C．在中，若有，那么点一定在的平分线所在直线上 D．若向量，则与的方向相同或相反 【答案】BC【难度】0.65 【知识点】向量加法法则的几何应用、平面向量共线定理的推论、平行向量(共线向量)、相等向量 【分析】根据相等向量的定义即可判断A；根据平面向量共线定理即可判断B；根据平面向量加法的平行四边形法则即可判断C；根据共线向量的定义即可判断D. 【详解】对于A，若，则， 则，故四点共线或构成平行四边形，故A错误； 对于B，若为非零实数，且，则，所以与共线，故B正确； 对于C，设分别是与方向相同的单位向量，则， 设，则，所以，又为公共始点，所以三点共线， 因为，所以平行四边形为棱形，所以平分， 所以点一定在的平分线所在直线上，故C正确.    对于D，若向量，当时，此时的方向是任意的，故D错误. 故选：BC. 11.(23-24高一上·辽宁沈阳·期末)已知，D为BC边中点，若点P满足，则下列说法正确的是(    ) A．点P一定在内部 B． C． D．点P在直线AD上 【答案】ABC【难度】0.4【知识点】向量的线性运算的几何应用、向量在几何中的其他应用 【分析】设、分别是、的中点，依题意可得，从而得到点是中位线上靠近点的三等分点，即可判断A，D再根据面积关系判断C，又平面向量线性运算法则判断B. 【详解】由，所以， 设、分别是、的中点，所以， 于是点是中位线上靠近点的三等分点，则点一定在内部，故A正确，D错误. 又，所以，则，故B正确； 由A可知，，且， 所以，，即，故C正确； 故选：ABC 三、填空题 12.(24-25高一下·江苏镇江·期末)已知向量不共线，，，，若，，三点共线，则实数的值为 ． 【答案】3【难度】0.85【知识点】已知向量共线(平行)求参数 【分析】由平面向量减法运算得出，再由三点共线得，列出方程组求解即可． 【详解】由已知得，， 若，，三点共线，则，即， 所以，解得， 故答案为：3． 13.(24-25高一下·四川成都·期中)在四边形ABCD中，点P是四边形ABCD所在平面上一点，满足 ，点Q为线段AB的中点.则 . 【答案】【难度】0.65【知识点】向量的线性运算的几何应用 【分析】若分别为的中点，得到，根据已知得，进而可得，可求结论. 【详解】由，所以， 所以，所以 取分别为的中点，如下图， 则，即，所以，所以， 因为为的中点，所以，又，则， 所以，所以三点共线， 所以，，所以， 所以，所以， 所以，所以. 故答案为：. 14.(24-25高一下·辽宁沈阳·月考)如图，是的重心，分别是边，上的动点，且三点共线．设，，则 ． 【答案】3【难度】0.4【知识点】平面向量共线定理的推论、平面向量共线定理证明点共线问题 【分析】利用重心性质可得，再根据三点共线利用共线定理可得,且，即. 【详解】因为是的重心，所以可得， 易知，所以可得； 又因为三点共线，可知存在实数满足,且； 又，，所以， 可得，即；所以. 故答案为：3 四、解答题 15.(24-25高一下·重庆·月考)设，是两个不共线向量，已知，，. (1)求证：A，B，D三点共线；(2)若，且，求实数的值. 【答案】(1)证明见解析；(2)9.【难度】0.85 【知识点】平面向量共线定理证明点共线问题、已知向量共线(平行)求参数 【分析】(1)由平面向量的线性表示与共线定理，证明、共线，得出A，B，D三点共线； (2)由平面向量的共线定理列方程求出的值. 【详解】(1)由，，， 所以，所以， 所以、共线，且有公共点B，所以A，B，D三点共线. (2)由，且，所以， 即，所以，所以，所以实数的值为9. 16.(21-22高一下·重庆巫山·期末)设是两个不共线的向量，已知． (1)求证：三点共线；(2)若且，求实数的值． 【答案】(1)证明见解析；(2)．【难度】0.85 【知识点】平面向量共线定理证明点共线问题、已知向量共线(平行)求参数 【分析】(1)根据，即可得证；(2)利用共线向量定理即可求解. 【详解】(1)由已知，得， 因为，所以，又与有公共点， 所以三点共线． (2)由(1)，知，若，且， 可设，所以，即． 又是两个不共线的向量，所以， 解得． 17.(22-23高一下·福建福州·期中)如图所示，在中，点D是边BC的中点，点E是线段AD靠近A的三等分点.过点E的直线与边AB，AC分别交于点P，Q.设，，其中，. (1)试用与表示，；(2)求证：为定值，并求此定值. 【答案】(1)，；(2)证明见解析；定值为.【难度】0.65 【知识点】向量加法的法则、向量减法的法则、已知向量共线(平行)求参数、利用平面向量基本定理求参数 【分析】(1)根据向量的平行四边形法则和三角形法则，即可求解； (2)由题意求得，结合三点共线，得到，即可求解. 【详解】(1)解：因为点为的中点， 由向量的平行四边形法则，可得， 在中，由向量的三角形法则，可得. (2)证明：在中，点为的中点，且点为靠近的三等分点， 且 所以, 因为三点共线，所以，解得， 即为定值. 18.(2025高一·全国·专题练习)根据下列各小题的条件，试判断四边形的形状． (1)；(2)；(3)且． 【答案】(1)梯形；(2)平行四边形；(3)四边形是夹角为的菱形【难度】0.65 【知识点】向量加法法则的几何应用、向量的线性运算的几何应用 【分析】(1)利用向量线性运算的几何意义及梯形的概念求解即可； (2)利用向量线性运算的几何意义及平行四边形的概念求解即可； (3)解法1：根据平行四边形法则得四边形是平行四边形，再根据向量的加法运算得，即可判断四边形是夹角为的菱形； 解法2：根据平行四边形法则得四边形是平行四边形，根据向量的几何意义得是的角平分线且，即可判断． 【详解】(1)因为，所以且， 即四边形是梯形． (2)因为，即，所以， 所以四边形是平行四边形． (3)解法1：因为，根据平行四边形法则，四边形首先是平行四边形． 又因为，所以， 即，所以， 即，所以四边形是夹角为的菱形，如图． 解法2：因为，根据平行四边形法则，四边形是平行四边形． ，分别为与和同向的单位向量， 它们的和在的角平分线上． 又因为的几何意义是与同向的单位向量为与和同向的单位向量之和， 所以是的角平分线且，即四边形是夹角为的菱形． 19.(24-25高一下·云南普洱·月考)三角形在数学中是十分常用的图形，将向量运用在三角形中同时会迸发出火花! (1)如图1，在中，，点是上一点，且满足：，以点为圆心，的长为半径作圆交于点，交于点.若，求的值. (2)如图2，在中，点分所成的比为，点为线段上一动点，若，求的最小值. 【答案】(1)；(2)【难度】0.65 【知识点】向量的线性运算的几何应用、基本不等式求积的最大值、图形的性质 【分析】(1)根据题意，设，根据直角三角形和圆的性质可由求出的值，再分析得点为中点，从而求解. (2)根据平面向量线性运算法则得到， 再由点分所成的比为，得到，即可得到，设 ，则，最后由基本不等式计算可得. 【详解】(1)设，则，， 又，所以， 又 ， 所以，所以， 所以 ． (2)因为， 又点分所成的比为，即，所以， 则， 设 ，则， 当或时， 当时， 当且仅当，即时取等号． 即的最小值为． 第 1 页 共 19 页 学科网（北京）股份有限公司 $丽学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 1-3向量的数乘讲义 内容概览 教学目标、教学重难点 题型01向量的数乘 1-3向量的数乘 题型02共线向量 知识点01向量的数乘 题型03向量共线的运算 题型04数乘的运算律 知识点02共线向量 教学目标、教学重难点 教学目标 理解向量数乘运算、共线向量的概念，掌握向量共线的运算， 教学重点 向量共线的条件与运算 教学难点 向量共线的应用. 知识清单 知识点01向量的数乘 1.数乘的定义：实数与向量的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘 记作：石，它的长度和方向规定如下： (1川2a=1a: (2)当1>0时，a的方向与a的方向相同：当1<0时，a的方向与a的方向相反. 2.运算律： (=(0a;(0+)a=a+a:(a+=a+λi. 3.线性运算：向量的加.减.数乘运算统称为向量的线性运算 【即学即练1-1】(24-25高一下河南郑州期末)已知平面上四点A,B,C,D互不重合，则下列向量的运算结果 不正确的是() A.AB-AC+BC=0 B.AB-(AC+CD)=BD C.0·AB=0 D.1·(uAB)=AB 【即学即练1-2】(23-24高一上·辽宁丹东·期末)在△ABC中，D在AB边上，AD=2DB,E是CD的中点，则() A.B元=AB-AC B.CD=-CA+2CB C.A正=AB+AC D.AC=2CB-3CD 知识点02共线向量 平面向量共线定理：向量(a≠可)与共线的充要条件是：存在唯一一个实数几，使= 第1页共10页 而学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【即学即练2-1】(24-25高一下.甘肃天水~月考)设点0是正方形ABCD的中心，则向量0A、0B、OC、D0的关 系是() A.方向相同 B.模相等 C.共线 D.起点相同 【即学即练2-2】（多选）(24-25高一下辽宁.期中)关于平面向量，下列说法正确的是() A.若>，则a>万 B.若a=b,则a/b c.若a/川b,b/c,则a/e D.若d=b,b=,则a=c 题型精讲 题型01向量的数乘 【典例1-1】(24-25高一下·福建福州期中)在△ABC中，M为AB边上的中点，则CM=() A.C万+CA B.-CB-CA C.CB+CA D.-CB+CA 【典例1-2(24-25高一下.甘肃天水期末)在正方形ABCD中，点E在边CD上，且DE=3EC,记AB=d,AC=b, 则AE=() A.-a+万 B.7a-方 c.-五+万 D.a-万 【典例1-3多选23-24高一下·黑龙江哈尔滨·月考)设M是△ABC所在平面内一点，则下列说法正确的是() A.若AM=AB+AC,则M是边BC的中点 B.若MA=MB=MC,则M是△ABC的垂心 C.若AM=-BM-CM,则M是△ABC的重心D.若AM=1 AB AC +: 则动点M过△ABC的内心 【典例1-4】(23-24高一下.全国课前预习)非零向量-2a与方向， 且-2a的长度是a的 倍 【变式1-1】(23-24高一下福建福州·月考)正六边形ABCDEF中，AC=() A.2AB+AF B.AB+2AF C.AB-AF D.2AB+2AF 【变式1-2】(24-25高一下.浙江·期中)在△ABC中，BC=3BD,则AC=() A.4AD-3AB B.3AD-4AB C.3AD-2AB D.2AD-3AB 【变式1-3】(24-25高一下-四川泸州期末)在△ABC中，A币=AB,则cD=() A.AB-AC B.AB+AC C.AB+AC D.AB-AC 【变式1-4】(23-24高一下四川雅安期末)如图，在梯形ABCD中，AB=2DC,E在BC上，且CE=EB, 第2页共10页 丽学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 设AB=元，AD=万，则D正=() A.a+郭 B.a-五 c.a+拓 0.五-五 D 【变式1-5】（多选）(24-25高一下河北唐山期末)在△ABC中，M为边AB的中点，则() A.AB=CB-CA B.BC=BA+AC C.CM=CB+CA D.BM=CB-CM 【变式1-6】(24-25高一下·全国课后作业)若AB=2BC,且AB=BC,则1= 题型02共线向量 《典例2-1】(23-24高一下·湖北武汉·期末)下列说法中正确的是() A.两个单位向量一定相等 B.物理学中的重力是向量 c.若a/6,/,则a/c D.长度相等的两个向量必相等 【典例2-2】(25-26高一上湖南衡阳·月考)已知石，b是空间内两个方向相反的向量，则下列结论一定成立的是 () A.d=-b B.a/b且a=lc.a+b=0 【典例2-3】（多选2025高一.全国.专题练习）给出下列命题，不正确的有() A.两个相等向量，若它们的起点相同，则终点相同B.若为非零向量， 则得与a洞向 c.若a//b,b/,则a/ D.已知，u为实数，若a=d,则a与b共线 凰典例2-4】(23-24高一下广东阳江月考)下列说法正确的是 (填序号) ①若aⅡb,则a=b:②若1=l,则a=b:③若a=b,则a与共线： ④若a≠b,则一定不与b共线. 变式2-1】(24-25高一下北京通州期中)已知平面向量d,万，则“-或a=-是=的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 【变式2-2】(24-25高一下山东青岛期中)已知向量与是两个不平行的向量，若a/且b/心，则等于() A.0 B.d C.B D.不存在这样的向量 第3页共10页 命学科网·上好课 www zxx k com 上好每一堂课 【变式2-3】(24-25高一下.上海嘉定期末)以下关于平面向量的说法正确的是() A.若a=b,则= B.若a/乃，b/c,则a/ c.若d,是共线的单位向量.则a=b D.若a=b,则a,b不是共线向量 【变式2-4】(25-26高一上北京顺义期末)设元，b均为非零向量，则后与a+2b共线”是“a与b共线”的0 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 【变式2-5】（多选）24-25高一下广东东莞月考)关于非零向量a,b,下列命题中正确的是() A.若=，则a=万. B.若a=-b,则aI C.若aIb,bIc,则aIc D.若a=b,b=,则a=c 【变式2-6】(24-25高一上.上海课堂例题)O、A、B是三个不同的点，若0A‖0B,则O、A、B的位置关系 是 ；若OA=-OB,则O、A、B的位置关系是 题型03向量共线的运算 【典例3-1】(24-25高一下广东茂名期末)已知e,e2是同一平面内两个不共线的向量，则a‖b的是() A.a=2ei-e2,B=-ei+e B.a=e1+2e2,b=201+e2 C.a=ej-2e2,b=er+202 D.a=er-e2,b=2e1-4e2 【典例3-2】(24-25高一下.安徽阜阳月考)设a,b是两个不共线的向量，若向量ka-b与-2a+kb的方向相 同，则) A.V2 B.-√2 C.2 D.-2 《典例3-3】（多选24-25高一下江西上饶期中）给出下列命题，不正确的有() A.若d为非零向量，则g与d同向 B.若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同 lal c.若a/乃，/则a/d D.已知λ，为实数，若a=b,则a与b共线 【典例341(24-25高一下.北京月考)设e,e2是两个不共线的非零向量，向量a=ke+2e2,b=8e+ke2, 若向量，的方向相反，则实数k= 【变式3-1(24-25高一下.广东佛山期末)已知向量e,e2是两个不共线的向量，a=e-2e2,b=λe+4e2, 且aIb,则λ=() A.-2 B.-1 C.1 D.2 第4页共10页 而学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【变式32】(2025广东广州三模)已知向量，不共线，a+与3a+2b共线，则实数的值为() A.是 B.2 C.6 0.- 【变式33】(24-25高一下.贵州遵义，期中)在△ABC中，BC=3BD,AM=2MD,若△ACD的面积为6，则 △BCM的面积是(） A.2 B.3 C.4 D.6 【变式3-4】(24-25高一下.江苏宿迁·月考)已知0为△ABC的外接圆的圆心，AB=3,AC=2,若A0=xAB+ yAC,且x+2y=1(xy≠0)，则cosLBAC=() A号 B. c.9 0. 【变式35】（多选）(24-25高一下.安徽合肥月考)下列叙述中错误的是() A.若a=b,则3a>2b B.若=0，则a=可 c.若a/乃，b/心，则a/心 D.对任一向量五，哥是一个单位向量 【变式36】(23-24高一下-四川内江月考)若ā，是两个不共线的向量，且4+k6与号ka+共线，则实 数k的值为 题型04数乘运算律 【典例4-1】(23-24高一下江苏月考)(2a-万-(a-2b=() A.3a+3b B.d-3b C.a+b D.3d-b 【典例42】(25-26高一上贵州遵义期末)已知△ABC所在平面内一点D满足DA+DB+DC-0,E为AB 中点，则DC长度是DE长度的) A.5倍 B.4倍 C.3倍 D.2倍 【典例43】（多选）24-25高一下·全国·随堂练习多选)下列算式中，正确的是() A.(-7)×6a=-42a B.a-2b+(2a+2b=3a c.a+b-a+可=0 D.4(2a+b)=8a+4b 【典例44】(24-25高一下.上海普陀月考)已知向量a、万，则（2a-4+26等于 【变式41】(24-25高一下.四川资阳·期末)如图，在△ABC中，点D满足AD=2DB,E为AC的中点，则ED=() 第5页共10页 丽学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A.AB+AC B.AB-ZAC C.A正+AC D.A丽-AC B 【变式42】(25-26高一全国假期作业)设向量a,万，c满足5(a-2b-4⑥+3d)）-c=0,则元=() A.-a+22b B.7a+146 C.a-22b D.-7a-146 【变式43】(25-26高一上北京延庆期末)如图，四边形ABCD是平行四边形，则C+2DB(: A.AB B.CD C.CB D.AD 【变式44】(2025高一，全国.专题练习)已知0为△ABC所在平面内一点，若a0A+b0B+c0C=0,其中内 角A,B,C的对边分别为a,b,c,则点O是△ABC的() A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心 【变式45】（多选）23-24高一下河北唐山期末)已知平行四边形ABCD的两条对角线交于点0，A正=AC,则 () A.DE-DA+-DC B.DE=IDA+3DC C.B酝=B0+BC D.BE =3BO-BC 【变式46】(22-23高一下·江西吉安期中)有下列四个命题：①若非零向量b与的方向相同或相反，则b+ 与b,其中之一的方向相同；②+=B+台与c的方向相同；③AB+BA=0:④若6=1 为实数)，则6=c其中叙述错误的命题个数有个. 强化训练 一、单选题 1.(24-25高一下四川雅安月考)向量a与6不共线，AB=3a-mb,AC=nd-56,且A,B,C三点共线，则() A.3n=5m B.3n=-5m C.mn=15 D.mm=-15 2.(24-25高一下河南南阳·期末)在平行四边形ABCD中，AB=2BE,则DE=() A.ADAB B.3AB-AD C.AB-AD D.AD-A丽 第6页共10页 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 3.(24-25高一上贵州遵义·期末)已知向量e,e2不共线.若(4e+ke2)I(-2e+e2),则() A.k=-2 B.k=-1 C.k=1 D.k=2 424-25高一下福建厦门月考》若d,为非零向量，则日=骨是日=6) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 523,24高一下寸东江门，月考)设aD是非零向量，则后=高是a=2成立的() A.充要条件 B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件 6.(23-24高一下广西柳州月考)已知a,方向相同，且=2，=4，则2a+3等于() A.16 B.256 C.8 D.64 7(21-22高一下·河南信阳·月考)如图，A、B分别是射线0M、0N上的点，给出下列以0为起点的向量：①0A+ 20B:②0A+0B:③是0A+0B:④0A+号0B:⑤0A+BA+号0B其中终点落在阴影区域内的向 量的序号有() A.①③ B.①②④ c.②③ D.①③⑤ M 8.(24-25高一下四川成都期末)如图，G为△0AB的重心，过点G的直线分别与0A,0B交于点P,Q,且0P= m0A,00=n0B,其中m,n∈(0,1]，则m+4n的最小值为() A.子 B.3 c当 D.9 二、多选题 9.(24-25高一下.安徽·月考)下列说法正确的是() A.若>，则a> B.若a=b,则a厉 c.若aI五，b‖c,则alD.若a=五，b=,则a= 10.(23-24高一下·浙江·月考)下列说法中正确的是()） 第7页共10页 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A.若AB=CD,则AB=|CD,且A,B,C,D四点构成平行四边形 B.若m为非零实数，且md=nb,则a与b共线 C.在AABC中，若有0=t(隔+) 那么点O一定在∠BAC的平分线所在直线上 D.若向量a/b,则a与b的方向相同或相反 11.(23-24高一上辽宁沈阳期末)已知△ABC,D为BC边中点，若点P满足3PA+2PB+PC=0,则下列 说法正确的是() A.点P一定在△ABC内部 B.4PA+2PB=CA C.S△ABC=3S△PAC D.点P在直线AD上 三、填空题 12.(24-25高一下·江苏镇江·期末)已知向量e1,e2不共线，AP=1e1+e2,AM=e1+2e2,PQ=2e1-e2,若 M,P,Q三点共线，则实数的值为 13.(24-25高一下四川成都期中)在四边形ABCD中，BC=2AD点P是四边形ABCD所在平面上一点，满足 A丽+2P+7PB+P元+8PD=0,点Q为线段AB的中点.则圆 AD 14.(24-25高一下·辽宁沈阳·月考)如图，G是△0AB的重心，P,Q分别是边0A,0B上的动点，且P,G,Q三点共 线.设0丽=x0A,00=y0B,则+}=一 四、解答题 15.(24-25高一下.重庆月考)设e1,e2是两个不共线向量，己知AB=2e1-6e2,CB=e1+2e2,CD=2e1-e2 (1)求证：A,B,D三点共线：(2)若BF=3e1-ke2,且BF/BD,求实数k的值. 第8页共10页 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 16.(21-22高一下…重庆巫山期末)设e,e2是两个不共线的向量，己知AB=2e1-8e2,CB=e1+3e2,CD= 2e1-e2 (1)求证：A,B,D三点共线：(2)若BF=3e-ke2且BFI‖BD,求实数k的值. 17.(22-23高一下福建福州期中)如图所示，在△ABC中，点D是边BC的中点，点E是线段AD靠近A的 三等分点.过点E的直线与边AB,AC分别交于点P,Q.设PB=λAP,QC=uAQ,其中，u>0. (1)试用AB与AC表示AD,BC;(2)求证：1+为定值，并求此定值. ② Q B D 第9页共10页 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 18.(2025高一·全国.专题练习)根据下列各小题的条件，试判断四边形ABCD的形状. 4=8,20i+0c-6丽+o成：B丽+而-C且需+需-焉 19.(24-25高一下·云南普洱·月考)三角形在数学中是十分常用的图形，将向量运用在三角形中同时会迸发出 火花！ (1)如图1，在△ABC中，∠C=90°，点E是BC上一点，且满足：AB+AC=2AE,以点A为圆心，AC的长为 半径作圆交AB于点D,交AE于点F.若BD=4,BC=2AC,求E的值， (2)如图2，在△ABC中，点D分BC所成的此为岁，点0为线段AD上一动点，若AD=4,求OA:(20B+30C) 的最小值. O D 图1 图2 第10页共10页丽学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 1-3向量的数乘讲义 内容概览 教学目标、教学重难点 题型01向量的数乘 1-3向量的数乘 题型02共线向量 知识点01向量的数乘 题型03向量共线的运算 题型04数乘的运算律 知识点02共线向量 教学目标、教学重难点 教学目标 理解向量数乘运算、共线向量的概念，掌握向量共线的运算， 教学重点 向量共线的条件与运算 教学难点 向量共线的应用. 知识清单 知识点01向量的数乘 1.数乘的定义：实数与向量的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘 记作：石，它的长度和方向规定如下： (1川2a=1a: (2)当1>0时，a的方向与a的方向相同：当1<0时，a的方向与a的方向相反. 2.运算律： 2=(a0a;(0+)a=λa+a;(a+b=a+i. 3.线性运算：向量的加.减.数乘运算统称为向量的线性运算 【即学即练1-1】(24-25高一下河南郑州期末)已知平面上四点A,B,C,D互不重合，则下列向量的运算结果 不正确的是() A.AB-AC+BC=可 B.AB-(AC+CD)=BD C.0·AB=0 D.1·（uAB=AB 【答案】B【难度】0.94【知识点】向量减法的法则、向量数乘的有关计算、向量加法的法则 【分析】由向量的加法法则可判断A、B;由数量积的运算判断C、D. 【详解】对于A,A正-AC+BC=CB+BC=可，故A正确： 对于B,A8-(4C+CD=AG-AC-CD=CB-CD-DB,故B错误； 对于C,由数乘向量可得0·AB=0,故C正确： 对于D,由数乘向量运算律可得·(uAB=AB,故D正确. 故选：B. 第1页共25页 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【即学即练1-2】(23-24高一上·辽宁丹东，期末)在△ABC中，D在AB边上，AD=2DB,E是CD的中点，则() A.B元=AB-AC B.CD=CA+CB C.A正=AB+3AC D.AC =2CB-3CD 【答案】BCD【难度】0.85【知识点】向量的线性运算的几何应用 【分析】根据平面向量的线性运算可得答案 【详解】对于选项A:由向量得减法法则可知BC=AC-AB,故A错误； 对于选项B:CD=CA+AD=CA+AB=CA+(CB-CA=CA+CB,故B正确； 对于选项C:AE=AC+C店=AC+CD=AC+(CCA+CB)=AC+CB 而CB=AB-AC,所以AE=AC+CB=AC+AB-A⊙=AB+AC,故C正确 对于选项D:AC=BC-BA=BC-3BD=BC-3(CD-CB=2CB-3CD,故D正确， 故选：BCD 知识点02共线向量 平面向量共线定理：向量(a≠可)与共线的充要条件是：存在唯一一个实数入，使=a. 【即学即练2-1】(24-25高一下.甘肃天水月考)设点0是正方形ABCD的中心，则向量0A、OB、OC、D0的关 系是() A.方向相同 B.模相等 C.共线 D.起点相同 【答案】B【难度】0.94【知识点】平面向量的概念与表示、向量的模、平行向量（共线向量） 【分析】利用平面向量的相关概念判断 【详解】如图，因为0是正方形ABCD的中心，则OA=|OB=|OC=D可， 而OA,0B,0C,D0方向不相同，不共线，起点不相同. 故选：B. D 【即学即练2-2】（多选）(24-25高一下·辽宁.期中)关于平面向量，下列说法正确的是() A.若>列，则a> B.若a=b,则a/b c.若a/,b/1c,则a/c D.若d=b,b=c,则a=c 【答案】BD【难度】0.94【知识点】平面向量的概念与表示、相等向量、平行向量（共线向量） 【分析】根据向量不能比较大小，即可判断A;根据向量相等即可判断BD:根据向量平行及零向量即可判 第2页共25页 而学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 断C. 【详解】对于A,因为向量不能比较大小，故A错误： 对于B,若a=b,则a/b,故B正确： 对于C,若b=0,则a/b,b/c,但a与c不一定平行，故C错误： 对于D,若a=五b=,则a=c,故D正确： 故选：BD, 题型精讲 题型01向量的数乘 【典例1-1】(24-25高一下.福建福州期中)在△ABC中，M为AB边上的中点，则CM=) A.CB+CA B.-CB-CA C.CB+CA D.-CB+CA 【答案】A【难度】0.94【知识点】平面向量的混合运算、向量数乘的有关计算 【分析】根据平面向量线性运算法则计算可得， 【详解】因为M为AB边上的中点， 所以CM-cB+BM=CB+BA=CB+(CA-CB=CB+CA 故选：A 【典例1-2124-25高一下.甘肃天水期末)在正方形ABCD中，点E在边CD上，且DE=3EC,记AB=a,AC=万， 则AE=() A.-a+万 B.d-B c.-a+万 D.a-万 【答案】A【难度】0.85【知识点】向量的线性运算的几何应用 【分析】根据平面向量的线性运算求解即可. 【详解】在正方形ABCD中，AC=AB+AD,即AD=AC-AB, 则A店=AD+D呢=AC-AB+DC=AC-AB+AB=-A丽+AC=-a+万. 故选：A B 【典例1-3（多选）23-24高一下·黑龙江哈尔滨月考)设M是△ABC所在平面内一点，则下列说法正确的是() A.若AM=AB+AC,则M是边BC的中点 B.若MA=MB=MC,则M是△ABC的垂心 C.若A丽=-B丽-CM，,则M是△ABC的重心D.若A丽=（高+）则动点M过△ABC的内心 【答案】ACD【难度】0.85【知识点】三角形的心的向量表示、向量加法的法则 【分析】根据向量加法的平行四边形法则判断A,根据外心的性质判断B,根据重心的性质判断C,根据向 第3页共25页 而学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 量共线及内心的性质判断D 【详解】对于A,如图所示，根据向量加法的平行四边形法则，可得AB+AC=AE=2AM, 若AM=AB+AC,可得M是边BC的中点，故A正确： 2 M 对于B,若MA=MB=MC,则M是△ABC的外心，故B错误： 对于C,若AM=-BM-CM,则AM+BM+CM=0,即MA+MB+MC=0, 所以M是△ABC的重心，故C正确： 对于0：因为需表示丽方向的单位向量，需表示心方向的单位向量。 所以 +恶与<BAC的角平分线同向，又AN=A(僵+) AC 以可十 则M在∠BAC的角平分线上，所以动点M过△ABC的内心，故D正确. 故选：ACD 【典例1-4】(23-24高一下，全国课前预习)非零向量-2a与方向，且-2的长度是的 倍 【答案】相反；2【难度】0.94 【知识点】向量数乘的有关计算 【分析】根据向量的数乘运算的概念可得结论 【详解】非零向量-2a与方向相反，且-2a的长度是a的2倍. 故答案为：相反：2 【变式1-1】(23-24高一下·福建福州·月考)正六边形ABCDEF中，AC=() A.2AB+AF B.AB+2AF C.AB-AF D.2AB+2AF 【答案】A【难度】0.94【知识点】向量数乘的有关计算、向量加法的法则 【分析】根据正六边形的性质，结合向量的线性运算，可得答案 【详解】由题意可作图如下： 由图可知AC=AF+F元=AF+2AB 故选：A 凰变式1-2】(24-25高一下.浙江期中)在△ABC中，BC=3BD,则AC=() A.4AD-3AB B.3AD-4AB C.3AD-2AB D.2AD-3AB 【答案】C【难度】0.94【知识点】向量数乘的有关计算、向量加法的法则、向量减法的法则 第4页共25页 丽学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【分析】根据向量的线性运算，可得答案 【详解】~BC=3BD,AC-AB=3(AD-AB,AC=-2AB+3AD 故选：C D 【变式1-3】(24-25高一下.四川泸州-期末)在△ABC中，AD=AB,则CD=() A.AB-AC B.3A丽+AC C.AB +AC D.AB-AC 【答案】D【难度】0.85【知识点】平面向量的混合运算 【分析】根据平面向量的线性运算求解即可。 【详解】由AD=AB,则CD=AD-AC=AB-AC 故选：D. 【变式1-4】(23-24高一下四川雅安期末)如图，在梯形ABCD中，AB=2DC,E在BC上，且CE=三EB, 设AB=d,AD=b,则DE=() D A.五+6 B.a-五 c.a+6 0.五-五 【答案】D【难度】0.65【知识点】向量的线性运算的几何应用、向量加法法则的几何应用 【分析】由平面向量的加减、数乘运算求解即可， 【详解】BE=8C=⑧A+AD+DG=(A丽+AD+A⑧)=（拉+） D呢=DA+A丽+BE=-AD+A丽+B正=-方+a-a+第-a-万 故选：D 【变式1-5】（多选(24-25高一下·河北唐山期末）在△ABC中，M为边AB的中点，则() A.AB=CB-CA B.BC=BA+AC C.CM=CB+CA D.BM=CB-CM 【答案】AB【难度】0.65【知识点】向量数乘的有关计算、向量减法的法则、向量加法的法则 【分析】根据平面向量的加减法运算法则及数乘运算计算求解」 【详解】在△ABC中，AB=CB-CA,A选项正确；BC=BA+AC,B选项正确： 在△ABC中，M为边AB的中点，则2CM=CB+CA,C选项错误： CB-CM=MB,所以D选项错误 故选：AB 第5页共25页 而学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【变式1-6】(24-25高一下，全国·课后作业)若AB=2BC,且AB=1BC,则1= 【答案】±2【难度】0.85【知识点】向量数乘的有关计算 【分析】由向量数乘的几何意义即可求解： 【详解】(1)当点C在线段的延长线上时，如图. A B C 则AB=2BC,则M=2. (2)当点C在线段上时，如图. A C B 则AB=-2BC,即1=-2. 综上，1=土2. 故答案为：士2 题型02共线向量 【典例2-1】(23-24高一下·湖北武汉·期末)下列说法中正确的是() A.两个单位向量一定相等 B.物理学中的重力是向量 c.若a/石，/c,则a/c D.长度相等的两个向量必相等 【答案】B【难度】0.94【知识点】零向量与单位向量、相等向量、平行向量（共线向量） 【分析】根据向量相关概念进行判断，得到答案 【详解】A选项，两个单位向量方向不同时，不相等，A错误： B选项，物理学中的重力既有大小，又有方向，是向量，B正确： c选项，若五=0，则满足a/乃，/心，但a,不一定平行，c错误： D选项，长度相等，但方向不同的两个向量不相等，D错误 故选：B 典例2-2】(25-26高一上·湖南衡阳·月考)已知元，b是空间内两个方向相反的向量，则下列结论一定成立的是 () A.d=-b B.a/b且=blC.a+i=0 0高+高-0 【答案】D【难度】0.85【知识点】平面向量的概念与表示、向量的模、零向量与单位向量、平行向量（共线 向量) 【分析】根据方向相反的向量模长未必相等可知ABC错误；根据单位向量的方向与定义可知D正确. 【详解】对于A,a,方向相反，但模长未必相等，则a=-未必成立，A错误： 对于B,a,b方向相反，/b,但a,b模长未必相等，B错误： 对于C,a,b方向相反，但模长未必相等，则a+b=0未必成立，Cc错误： 对于D,哥表示与同向的单位向量，高表示与同向的单位向量， 防向相反，“哥=-奇则哈+高-0,0正确 第6页共25页 而学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 故选：D 【典例2-3】（多选2025高一.全国.专题练习)给出下列命题，不正确的有() A.两个相等向量，若它们的起点相同，则终点相同 B.若a为非零向量，则唱与a同向 C.若a//乃，b/心，则a/元 D.己知入，u为实数，若a=b,则a与共线 【答案】cD【难度】0.94【知识点】平行向量（共线向量）、相等向量 【分析】根据向量的相关概念即可判断选项」 【详解】由相等向量的概念可知A正确： 因为@>0，所以a与同向，B正确： 若3=0，则(，不一定平行，C不正确： 若1==0，则与b不一定共线，D不正确 故选：CD 【典例2-4】(23-24高一下广东阳江·月考)下列说法正确的是 .(填序号) ①若aⅡ万，则a=b:②若a=l,则a=万：③若a=五，则a与b共线： ④若a≠b,则6一定不与b共线. 【答案】③【难度】0.94【知识点】向量的模、相等向量、平行向量（共线向量） 【分析】根据共线向量、相等向量、模长等的定义，逐一判断即可得出结论 【详解】对于①，若a‖b,则可知a,共线，不一定有d=b,也可能a=2b,因此①错误： 对于②，若@=bl,但a,b的方向不一定相同，因此②错误： 对于③，若d=,则与b共线，显然③正确： 对于④，若ā≠，则可能ā=-b,此时a与共线，所以④错误： 故答案为：③ 凰变式2-1】(24-25高一下北京通州期中)已知平面向量d,万，则“a=b或a=-6是“a=b的(） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】A【难度】0.94【知识点】平行向量（共线向量）、判断命题的充分不必要条件 【分析】根据向量的基本概念，结合充分，必要条件，即可判断选项， 【详解】若a-或ā--万，则=，反过来，若=，两个向量的方向不确定，不能推出a-或a=-石， 所以“a=或=-”是“="的充分不必要条件 故选：A 【变式2-2】(24-25高一下.山东青岛期中)已知向量与b是两个不平行的向量，若a/且b/心，则等于() A.0 B.d C.B D.不存在这样的向量 【答案】A【难度】0.94【知识点】零向量与单位向量、平行向量（共线向量） 【分析】由零向量与任意向量共线再结合已知条件得出. 第7页共25页 品学科网·上好课 www zxx k com 上好每一堂课 【详解】由零向量与任意向量平行，故=0满足条件： 若≠0，由a/且/心，得a/b,这与条件矛盾，故排除： 综上所述，=6 故选：A 【变式2-3】(24-25高一下·上海嘉定·期末)以下关于平面向量的说法正确的是() A.若a=i,则=例 B.若a/b,b/c,则a/ C.若a,是共线的单位向量.则a=bD.若d=b,则a,b不是共线向量 【答案】A【难度】085【知识点】平行向量（共线向量）、相等向量、零向量与单位向量、向量的模 【分析】对A,由相等向量的定义判断；对B,举反例b=0时，可判断；对C,由共线向量的定义判断： 对D,由相等向量和共线向量的定义判断 【详解】对于A,若a=万，则d=,故A正确： 对于B,若=0，则a/c不一定成立，故B错误： 对于C,若a,是共线的单位向量，则a=或d=-万，故c错误： 对于D,若a=b,则a,是共线向量，故D错误. 故选：A. 【变式2-4】(25-26高一上北京顺义期末)设元，b均为非零向量，则后与a+2b共线”是“后与b共线”的0 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】C【难度】0.65【知识点】判断命题的充分不必要条件、判断命题的必要不充分条件、充要条件的 证明 【分析】充分性证明中利用了共线向量的定义，将其表示为数乘关系并通过移项推导出另一组向量的共线 结论： 必要性证明则通过己知的共线条件，代入目标表达式并整理成数乘形式，从而得到向量共线的结论， 【详解】若a与d+2b共线，且a≠0，则存在实数k使得：a+2b=ka. 移项可得：2万=(k-1a,即6=会元故a与洪线，充分性成立： 若d与b共线，且a≠0，则存在实数m使得：b=ma 代入得a+2i=d+2ma=(1+2m)a,故a与a+2b共线，必要性成立. 综上，a与d+2b共线"是“与b共线"的充分必要条件. 故选：C 【变式2-5】（多选）24-25高一下广东东莞月考)关于非零向量a,b,下列命题中正确的是() A.若=，则a=b: B.若a=-b,则aIb C.若alb,bIc,则alc D.若a=b,万=c,则a=c 【答案】BCD【难度】0.85【知识点】平行向量（共线向量）相等向量、向量的模 【分析】对于A根据向量的定义即可判断，对于B根据共线向量的定义即可判断，对于C由向量共线的性 第8页共25页 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 质即可判断，对于D由a==即可判断 【详解】对于A:若d-,只能得到与的模相等，但是方向有可能不相同，故A错误： 对于B:若a=-b,则a与b是相反向量，则aIb,故B正确： 对于C:若aIb,‖c,且b≠0，则a/c,故c正确： 对于D:若d=b,b=c,则a=b=C,即a=c,故D正确. 故选：BCD 《变式2-6】(24-25高一上·上海课堂例题)O、A、B是三个不同的点，若0AI0B,则O、A、B的位置关系 是 ;若OA=-OB,则O、A、B的位置关系是 【答案】三点共线；O为AB的中点【难度】0.94【知识点】平面向量共线定理证明点共线问题 【分析】由平面向量共线定理可得结论 【详解】由OA‖OB,可得0A=10B,即0A,0B共线， 又O为公共点，所以O、A、B三点共线： 由0A=-0B,可得0A,0B是一对相反向量， 所以O为AB的中点 故答案为：三点共线：O为AB的中点。 题型03向量共线的运算 【典例3-1】(24-25高一下广东茂名·期末)已知e,e2是同一平面内两个不共线的向量，则aIb的是(） A.a=2a-2,万=-g+ B.a=e1+2e2,b=2e1+e2 C.a=ej-2e2,b=ej+2e2 D.a=er-e2,b=2e1-4e2 【答案】A【难度】0.85【知识点】平面向量共线定理证明线平行问题 【分析】根据āIb,则a=b,依次验证在每个选项的条件下，若a=b,λ是否有解即可. 【详解】若alb,则a=b, -λ=2 选项A:若26-安=(-可+河：则传=-1，解得1=-2，选项A正确： 选项8：若和+20=A(26十+可.侧_2，A无解，速项B错误： 选项C若-2g=AG+2网，则212无解，选项C错误： 选项0：若弼-可=（西-码.则私1无解，选项0错误 故答案为：A. 【典例3-2】(24-25高一下.安徽阜阳月考)设元，b是两个不共线的向量，若向量ka-b与-2元+kb的方向相 同，则k=) A.V2 B.-V2 C.2 D.-2 【答案】B【难度】0.85【知识点】已知向量共线（平行）求参数 【分析】根据两个向量共线，且方向相同，列出方程组，求出参数值 第9页共25页 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (k=-2 【详解】由题意知ka-b=λ(-2a+k6,1>0, 即 -1=kλ，解得k=-V2, 1>0 故选：B. 《典例3-3】（多选24-25高一下·江西上饶·期中）给出下列命题，不正确的有() A.若a为非零向量，则。与洞向 B.若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同 lal c.若d/乃，b/则a//c D.己知入，为实数，若a=b,则a与b共线 【答案】BCD【难度】0.85【知识点】零向量与单位向量、相等向量、平行向量（共线向量） 【分析】由共线向量可判断A,由相等向量的定义可判断B,由O的方向是任意的和平行向量可判断C和D. 【详解】二是与d同方向的单位向量，故A正确： lal 两个向量起点相同，终点相同，则两个向量相等， 但两个向量相等，不一定有相同的起点和终点，故B错误； 若i=0,则a,c不一定共线，故C错误： 当==0时，与b可以为任意向量，满足a=b, 但与b不一定共线，故D错误. 故选：BCD. 凰典例3-41(24-25高一下.北京·月考)设e,e2是两个不共线的非零向量，向量a=ke1+2e2,b=8e+ke2, 若向量a,b的方向相反，则实数k= 【答案】-4【难度】0.85【知识点】已知向量共线（平行）求参数、平行向量（共线向量） 【分析】由向量共线定理即可求出k,但要注意是反向共线，要舍去同向共线的k值， 【详解】用向量共线定理可知存在唯一一个实数，使得b=ā， 因为向量a,b的方向相反，所以入<0， 又因为b=8e+ke2,a=1ke1+2e2,则8e1+ke2=ke1+21e2: 所以代2改解得收二含（货生合去，故数=一4 故答案为：-4. 【变式3-11(24-25高一下·广东佛山期末)已知向量e,e2是两个不共线的向量，a=e-2e2,b=λe+4e2, 且ab,则2=() A.-2 B.-1 C.1 D.2 【答案】A【难度】0.85【知识点】已知向量共线（平行）求参数 【分析】利用平面向量共线定理即可求解。 【详解】向量©，e2是两个不共线的向量，“a≠0， aIb,存在唯一实数k使得B=ka,即e+4e=k(e-2e2), 气42二2a=k=-2 第10页共25页