1.2 第1课时 向量的加法及运算律-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第二册教师用书word（湘教版）

1.2　向量的加法 第1课时　向量的加法及运算律 (教学方式：深化学习课——梯度进阶式教学) [课时目标] 1.借助实例和平面向量的几何表示，掌握平面向量加法运算及运算规则. 2.理解平面向量加法的几何意义，会用向量的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量. 3.掌握向量加法的交换律和结合律，并会用它们进行向量的计算. 1.向量加法的定义 求向量和的运算称为向量的加法. 2.向量加法的两种法则 (1)三角形法则：已知平面上两个非零向量a，b，在该平面上任取一点O，分别作=a，=b，则定义从O到B的向量为a，b的和，记作a+b.即a+b=+=.当两个非零向量的方向既不相同也不相反时，将两个向量表示为首尾相接的有向线段来求和的作图法则叫作向量加法的三角形法则. (2)平行四边形法则：如图，从同一点O出发作有向线段=a，=b，以OA，OB为邻边作平行四边形OACB，则对角线就是a与b的和，即=a+b. |微|点|助|解|　 平行四边形法则与三角形法则的区别与联系 区别 (1)三角形法则中强调“首尾相接”，平行四边形法则中强调“共起点”. (2)三角形法则适用于所有的非零向量求和，而平行四边形法则仅适用于不共线的两个向量求和 联系 平行四边形法则与三角形法则在本质上是一致的.这两种求向量和的方法，通过向量平移能相互转化，解决具体问题时视情况而定 3.加法的运算律 交换律 a+b=b+a 结合律 (a+b)+c=a+(b+c) 4.零向量的加法性质 (1)任意向量与零向量相加后保持不变，等于这个向量本身，即a+0=0+a=a. (2)如果两个向量之和为0，即a+b=0，则a与b大小相等，方向相反，即b是a的相反向量，记作b=-a或a=-b. |微|点|助|解|　 (1)向量加法的交换律、结合律对任意向量都成立. (2)因为向量的加法满足交换律和结合律，所以多个向量的加法运算就可以按照任意的次序与任意的组合进行.如(a+b)+(c+d)=(a+c)+(b+d)，a+b+c+d+e=[d+(a+c)]+(b+e). 基础落实训练 1.判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)任意两个向量的和仍然是一个向量. (　　) (2)对于任意两个向量，都可利用平行四边形法则求出它们的和向量. (　　) (3)两个向量相加可能是数量. (　　) (4)如果非零向量a与b的方向相同或相反，那么a+b的方向必与a，b之一方向相同. (　　) 答案：(1)√　(2)×　(3)×　(4)× 2.(多选)下列等式成立的是 (　　) A.+= B.在矩形ABCD中，+= C.+=2 D.+= 答案：ABD 3.已知非零向量a，b，c，则向量(a+c)+b，b+(a+c)，b+(c+a)，c+(b+a)，c+(a+b)中，与向量a+b+c相等的个数为 (　　) A.2 B.3 C.4 D.5 解析：选D　由向量加法的交换律与结合律可知，所给的5个向量都与a+b+c相等. 题型(一)　向量加法法则的应用 [例1]　(1)如图甲所示，求作向量和a+b； (2)如图乙所示，试用三角形法则作向量和a+b+c. 解：(1)首先作向量=a，然后作向量=b，则向量=a+b.如图所示. (2)如图所示，首先在平面内任取一点O，作向量=a，再作向量=b，则得向量=a+b，然后作向量=c，则向量=(a+b)+c=a+b+c. 　　[变式拓展] 　本例(2)不变，请用平行四边形法则作向量和a+b+c. 解：如图所示，首先在平面内任取一点O，作向量=a，=b，=c，以OA，OB为邻边作▱OADB，连接OD，则=+=a+b.再以OD，OC为邻边作▱ODEC，连接OE，则=+=a+b+c. |思|维|建|模| 　　用三角形法则求向量和，关键是抓住“首尾相连”，和向量是第一个向量的起点指向第二个向量的终点，平行四边形法则注意“共起点”.两种方法中，第一个向量的起点可任意选取，可在某一个向量上，也可在其他位置.两向量共线时，三角形法则仍适用，平行四边形法则不适用. 　　[针对训练] 1.已知向量a，b，c，如图，求作a+b+c. 解：在平面内任取一点O，作=a，=b，=c，如图，则由向量加法的三角形法则，得=a+b，=a+b+c. 题型(二)　向量加法及其运算律 [例2]　化简下列各式： (1)++； (2)++++. 解：(1)法一：++=(+)+=+=0. 法二：++=(+)+=(+)+=+=0. (2)++++=++++=+++=++=+=0. |思|维|建|模| 向量加法运算的注意点 (1)可以利用向量的几何表示，画出图形进行化简或计算. (2)要灵活运用向量加法的运算律，注意各向量的起、终点及向量起、终点字母的排列顺序，特别注意勿将0写成0. 　　[针对训练] 2.如图，在△ABC中，D，E，F分别是BC，AC，AB的中点，化简下列各式： (1)++； (2)++. 解：(1)∵==， ∴++=++=. (2)∵FE∥BC，且FE=BC=BD， ∴FE BD，∴=， ∴++=++=++=. 题型(三)　向量加法的实际应用 [例3]　在静水中船的速度为20 m/min，水流的速度为10 m/min，如果船从岸边出发沿垂直于水流的航线到达对岸，求船行进的方向. 解：作出图形，如图.船速v船与岸的方向成α角，由图可知v水+v船=v实际，结合已知条件，四边形ABCD为平行四边形， 在Rt△ACD中， ||=||=|v水|=10 m/min， ||=|v船|=20 m/min， ∴cos α===. ∴α=60°，从而船与水流方向成120°角. 故船行进的方向是与水流的方向成120°角的方向. 　　[变式拓展] 　若本例条件不变，求经过3小时，该船的实际航程. 解：由题意可知||=||， 即v实际=v船=×20=10(m/min)=(km/h)， 则经过3小时，该船的实际航程是3×=(km). |思|维|建|模|　应用向量解决平面几何问题的基本步骤 表示 用向量表示有关量，将所要解答的问题转化为向量问题 运算 应用向量加法的平行四边形法则和三角形法则，将有关向量进行运算，解答向量问题 还原 根据向量的运算结果，结合向量共线、相等等概念回答原问题 　　[针对训练] 3.一架执行任务的飞机从A地按北偏西30°的方向飞行300 km后到达B地，然后向C地飞行，已知C地在A地东偏北30°的方向处，且A，C两地相距300 km，求飞机从B地到C地飞行的方向及B，C间的距离. 解：如图所示，=+，∠BAC=90°，||=||=300 km，所以||=300 km.又因为∠ABC=45°，且A地在B地的东偏南60°的方向处，可知C地在B地的东偏南15°的方向处. 故飞机从B地向C地飞行的方向是东偏南15°，B，C两地间的距离为300 km. 学科网（北京）股份有限公司 $