1.1 向量-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第二册教师用书word（湘教版）

　平面向量及其应用 1.1　向　量(教学方式：基本概念课——逐点理清式教学) [课时目标] 1.通过对力、速度、位移等的分析，了解平面向量的实际背景. 2.理解向量、相等向量、零向量、相反向量的概念及向量的表示. 逐点清(一)　向量的基本要素及几何表示 [多维理解] 1.有向线段的概念 定义 具有方向的线段，称为有向线段 表示 方法 以A为起点，B为终点的有向线段，记作 长度 位移的大小就是A到B的直线距离，记作|AB|，也就是有向线段的长度，记作|| 2.向量的基本概念 定义 既有大小又有方向的量，称为向量 表示方法 几何表示 用表示有向线段起点、终点的字母表示，例如，… 字母 表示 通常在印刷时，用粗体字母a，b，F，…表示向量，书写时，可写成带箭头的字母，… 模 向量a的大小，也就是向量a的长度，称为a的模，记作|a| [微点练明] 1.有下列物理量：①质量；②温度；③角度；④弹力；⑤风速.其中可以看成是向量的有 (　　) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 答案：B 2.已知向量a如图所示，下列说法不正确的是 (　　) A.也可以用表示 B.方向是由M指向N C.起点是M D.终点是M 解析：选D　终点是N而不是M. 3.下列说法正确的是 (　　) A.身高是一个向量 B.温度有零上温度和零下温度之分，故温度是向量 C.有向线段由方向和长度两个要素确定 D.有向线段和有向线段的长度相等 解析：选D　向量是既有大小(模长)又有方向的量，显然身高不是向量，故A错；温度有零上温度和零下温度，显然温度可以比较大小，但无方向，故B错；有向线段由起点、方向、长度三要素确定，故C错；有向线段和有向线段的长度相等，故D对. 4.已知||=1，||=2，若∠ABC=90°，则||= (　　) A.3 B.5 C. D.1 解析：选C　由勾股定理可知， |BC|==，即||=. 逐点清(二)　向量的相等 [多维理解] 相等向量 把方向相同、长度相等的向量称为相等向量 相反向量 把长度相等、方向相反的向量a，b称为相反向量，记作b=-a.如果b=-a，则同样也有a=-b 零向量 如果向量a的大小|a|=0，就称a是零向量，记作0.规定：所有的零向量相等 |微|点|助|解|　 　　若两个非零向量相等或相反，则表示这两个向量的有向线段所在的直线重合或平行. [微点练明] 1.(多选)下列说法错误的是 (　　) A.若a=0，则|a|=0 B.零向量没有方向 C.零向量的方向是任意的 D.|a|=|b|⇔a=b 答案：BD 2.图中与向量a相等的向量是 (　　) A.b，c，e，f B.c，f C.f D.c 解析：选D　由相等向量的定义可知，两个向量的长度要相等，方向要相同，结合图形可知c满足条件，故选D. 3.如图，在平行四边形ABCD中，若=，则图中相等的向量是 (　　) A.与 B.与 C.与 D.与 解析：选C　与互为相反向量，A错误；与互为相反向量，B错误；与满足相等向量的定义，C正确；与方向不同不满足相等向量的定义，D错误.故选C. 4.如图，四边形ABCD和ABDE都是平行四边形. (1)写出与向量相等的向量； (2)写出与向量相反的向量； (3)若||=3，求向量的模. 解：(1)∵四边形ABCD和ABDE都是平行四边形，∴AB綉ED，AB綉DC，从而==，∴=. 故与向量相等的向量是. (2)由(1)知与相反的向量为. (3)由上知||=||+||=2||=6. 逐点清(三)　向量的几何表示 [典例]　已知执行任务的飞机从A地按北偏东30°方向飞行2 000 km到达B地，再从B地按南偏东30°方向飞行2 000 km到达C地，再从C地按西南方向飞行1 000 km到达D地.画图表示向量，并指出向量的模和方向. 解：由题意知，向量如图所示，由已知可得，△ABC为正三角形，所以AC=2 000 km. 又∠ACD=45°，CD=1 000 km， 所以△ADC为等腰直角三角形. 所以AD=1 000 km，∠CAD=45°. 故向量的模为1 000 km，方向为东南方向. |思|维|建|模| 1.向量的两种表示方法 (1)几何表示法：先确定向量的起点，再确定向量的方向，最后根据向量的长度确定向量的终点. (2)字母表示法：为了便于运算可用字母a，b，c表示；为了联系平面几何中的图形性质，可用表示向量的有向线段的起点与终点表示向量，如等. 2.两种向量表示方法的作用 (1)用几何表示法表示向量，便于用几何方法研究向量运算，为用向量处理几何问题打下了基础. (2)用字母表示法表示向量，便于向量的运算. 　　[针对训练] 　在如图所示的坐标纸上(每个小方格边长为1)，用直尺和圆规画出下列向量： (1)，使||=4，点A在点O北偏东45°； (2)，使||=4，点B在点A正东； (3)，使||=6，点C在点B北偏东30°. 解：(1)由于点A在点O北偏东45°处，所以在坐标纸上点A距点O的横向小方格数与纵向小方格数相等.又||=4，小方格边长为1，所以点A距点O的横向小方格数与纵向小方格数都为4，于是点A位置可以确定，画出向量如图所示. (2)由于点B在点A正东方向处，且||=4，所以在坐标纸上点B距点A的横向小方格数为4，纵向小方格数为0，于是点B位置可以确定，画出向量如图所示. (3)由于点C在点B北偏东30°处，且||=6，依据勾股定理可得：在坐标纸上点C距点B的横向小方格数为3，纵向小方格数为3≈5.2，于是点C位置可以确定，画出向量如图所示. 学科网（北京）股份有限公司 $