1.1 向量课件-2025-2026学年高一下学期数学湘教版必修第二册

1.1 向量 第1章 平面向量及其应用 湘教版A版数学必修第二册 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 1 目录 课标要点 03 01 02 04 必备知识解读 题型解析 知识测评 课标要点 01 4 必备知识解读 02 知识点1 向量的概念与基本要素 1 数量与向量 在数学中,把既有大小又有方向的量称为向量（向量不能比较大小.），而把只有 大小没有方向的量称为数量（数量可以比较大小.）. 2 向量的两个要素 向量由大小与方向两个要素组成.向量的大小是代数特征,方向是几何特征. . . . . 6 辨析比较 向量与矢量 数学中的向量是从物理中的矢量（如位移、力、速度、加速度等）抽象出来的， 但在这里我们仅考虑它的大小和方向；而物理中的这些量，既同时具备大小和方向 这两个属性，又具备其他属性（如“力”是由大小、方向、作用点共同决定的）. 7 学思用·典例详解 【想一想丨问题质疑】 问题1： 给出下列物理量：①质量；②路程；③密度；④功;⑤时间.它们是向量吗？ 为什么？ 提示 它们不是向量，因为质量、路程、密度、功、时间只有大小没有方向，所以 是数量. 问题2： 海平面以上的高度（海拔）用正数表示，海平面以下的高度用负数表示， 那么海拔是向量吗？温度也有正负之分，那么它是向量吗？为什么？ 提示 海拔不是向量，它只有大小没有方向.温度也是只有大小没有方向，不是向量. 海拔的正负、温度的零上或零下都只是相对规定的标准来说的，不是指方向. 8 知识点2 向量的几何表示 1 有向线段的概念 具有方向的线段称为有向线段.通常在有向线段的终点处画上箭头表示它的方向, 以为起点、为终点的有向线段记作 （起点一定要写在终点的前面） （如图1.1-1（1））,以为起点、为终点的有向线段记作 （如图 1.1-1（2））.#1 图1.1-1 （1）质点从运动到的位移的大小就是到的直线距离，记作 ,也就是有 向线段的长度,也记作,易知 . （2）有向线段包含三个要素：起点、方向、长度.#1.3 . . . . 9 2 向量的长度 向量的大小，也就是向量的长度，称为的模，记作 .因此向量的长度 （可以比较大小）是非负实数. . . 10 3 向量的表示 字母 表示 印刷用粗体字母（如,,）来表示；书写用字母上方标箭头（如,, ）来 表示. 几何 表示 ______________________________________________ 用有向线段来表示.如图1.1-2，从任一点出发画射线，其方向与 的方向 相同，在上截取线段，使，则 的方向和长度分别代表了 向量的方向和大小，因而可以记为 . 图1.1-2 11 辨析比较 有向线段与向量的区别和联系#1.1.1 区 别 从定义上看，向量有大小和方向两个要素，而有向线段有起点、方向、长度 三个要素，因此，这是两个不同的量.在空间中，有向线段是固定的线段，而 向量是可以自由平移的. 联 系 有向线段是向量的几何表示，并不是说向量就是有向线段.一条有向线段对应 着一个向量，但一个向量对应着无数多条有向线段. 12 学思用·典例详解 例2-1 如图1.1-3，，是线段 的三等分点，分别以图中不同的点为起点和终点， 可以写出____个向量． 12 图1.1-3 【解析】由向量的几何表示，知可以写出12个向量，它们分别是,,,, , ,,,,,, . 13 例2-2 [教材改编P5 T1]小明从学校的教学楼出发,向北走了到达图书馆, 后 从图书馆向南偏东 方向走了 到食堂就餐,用餐后又从食堂向西走了 来到操场运动.请用向量表示小明每次的位移以及从开始到最后的位移. 14 【解析】如图1.1-4所示， 图1.1-4 向量 表示从教学楼到图书馆的位移; 向量 表示从图书馆到食堂的位移; 向量 表示从食堂到操场的位移; 向量 表示从开始到最后的位移. 15 知识点3 相等向量、相反向量 1 相等向量 （1）我们把方向相同、长度相等的向量称为相等向量.向量与相等，记作 . （2）任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段表示，并且与有向线段 的起点无关；两条方向相同且长度相等的有向线段表示同一个向量，因为向量完全 由它的模和方向确定. 2 相反向量 类似于相反数的定义，我们把长度相等、方向相反的向量， 称为相反向量， 记作.如果,则同样也有 . 16 学思用·典例详解 例3-3 如图1.1-5，找出其中的相等向量与相反向量. 图1.1-5 【解析】相等向量的方向相同、长度相等，则与相等，与相等，即 , .相反向量的长度相等、方向相反，则与为相反向量，即 . 17 知识点4 零向量 如果向量的大小,就称是零向量，记作（注意0与 的区别及联系，0 是一个实数，是一个向量，且有 ）. 特别提醒 对零向量的理解 1.若，则这个“有向线段” ，它实际上是一个点，即停留在起点 不动，所表示的位移为零. 2.当时,,从到只能有唯一的方向.而零向量表示从到 ，可 以是任意方向，于是零向量可看作是方向相同的向量.因此，所有的零向量相等. 3.若两个非零向量相等或相反，则表示这两个向量的有向线段所在的直线重合 或平行. . . 18 学思用·典例详解 例4-4 [多选题]下列说法正确的是( ) AD A.若,则 B.向量就是有向线段 C.零向量是没有方向的 D.任意两个空间向量都不能比较大小 【解析】零向量的模为0， 正确;有向线段只是向量的一种表示形式，两者不等 同，错误；零向量的方向是任意的， 错误；向量是有方向的，所以不能比较 大小， 正确. 19 题型解析 03 题型1 向量的几何表示 图1.1-6 例5 [教材改编P4 T1]在图1.1-6所示的坐标纸上（每个小方格的 边长为1）画出下列向量: （1）,使,点在点北偏东 方向上; 21 【解析】由于点在点北偏东 方向上,所以在坐标纸上点距点 的横向小方格 数与纵向小方格数相等. 又 ,小方格的边长为1, 所以点距点的横向小方格数与纵向小方格数都为4,于是点 的位置可以确定,画出 向量 ，如图1.1-7所示. 图1.1-7 22 （2）,使,点在点 正东方向上; 【解析】由于点在点正东方向上,且,所以在坐标纸上点距点 的横向小 方格数为4,纵向小方格数为0,于是点的位置可以确定,画出向量 ，如图1.1-7所示. 图1.1-7 23 （3）,使,点在点北偏东 方向上. 图1.1-7 【解析】由于点在点北偏东 方向上,且 ,依据勾 股定理可得，在坐标纸上点距点 的横向小方格数为3,纵向 小方格数为,于是点的位置可以确定,画出向量 ， 如图1.1-7所示. 24 例6 飞机从地按北偏西 的方向飞行到达地，再从地按南偏东 的方向飞行到达 地，求该飞机飞行的路程和位移. 图1.1-8 【解析】如图1.1-8所示，表示飞机从地按北偏西 方向飞 行到地的位移，则 . 表示飞机从地按南偏东 方向飞行到 地的位移， 则 . 所以该飞机飞行的路程为 . 表示飞机从地到地的位移，在中， ，且 ,则 为等边三角形， 所以 , ， 25 则 . 因为 , 所以地在地北偏东 方向上，且距离地 . 易错警示 路程是指物体运动轨迹的长度，只有大小，没有方向，是一个数量；而 位移只与物体运动的起点和终点有关，既有大小又有方向，是一个向量.切勿将位移 与路程等同起来. 作向量的思路 用有向线段表示向量时,先确定起点,再确定方向,最后依据向量模的大小确定有向线 段的终点.必要时,需依据三角形的相关知识求出向量的方向或长度,选择合适的比例 关系作出向量. 理解位移的关键点 1.位移表示质点位置的变化，表示起点与终点间的位置关系，而与质点实际运动的 路线无关. 2.从两个不同点出发的位移，只要方向相同，大小相等，我们就把它们看成相等的位移. 27 题型2 考查相等向量、相反向量 图1.1-9 例7 [教材改编P5 T2]如图1.1-9所示，的三边长均不相等， , ,分别是，， 的中点. （1）写出与 长度相等的向量； 【解析】,,分别是,, 的中点， （三角形的中位线定理）, , （找出与线段 长度相等的所有线段（包括它本身））. ,, 均不相等， 与长度相等的向量为,,,, . . . . . 28 （2）写出与 相等的向量; 【解析】由（1）知，与相等的向量为， . （3）写出 的相反向量. 【解析】由（1）知，的相反向量为,, . 名师点评 判断两向量是否相等不仅要看两向量所在的直线是否平行或重合，还要看 两向量的模是否相等、方向是否相同.在平面图形中找相等向量时，要注意利用三角形 的中位线定理、平行四边形的性质等平面几何知识寻找线线之间的位置、数量关系. 29 题型3 向量模的问题 例8 如图1.1-10，已知，，分别是等边各边的中点，且 的边长为2， 连接，, . 图1.1-10 （1）在图中已标出的向量中，写出模为2的向量； 【解析】由图中向量及，可知模为2的向量有，， . 30 （2）试求，， . 【解析】，分别为， 的中点， ， . 由勾股定理，得 . 同理，得 . ， . 思路点拨 求出所求向量对应的有向线段的长度即可. 31 求平面图形中所给向量的模的方法 利用三角形（等边三角形等）、四边形（梯形、平行四边形、菱形、矩形等）等平 面图形的性质，通过证明三角形全等或相似，结合三角形中位线的性质、勾股定理 等相关知识求出所给向量对应的有向线段的长度. 32 知识测评 04 图1.1-1 1.(2025·广东省深圳市段考)如图1.1-1，设是正六边形 的中 心，则下列选项中是 的相反向量的为( ) A A. B. C. D. 【解析】由题图可知，四个选项中只有向量与 的长度相等且 方向相反. 34 2.如图1.1-2,等腰梯形中，对角线与交于点，点，分别在两腰 ， 上，过点，且 ，则下列等式成立的是( ) 图1.1-2 D A. B. C. D. 【解析】根据相等向量的定义，A中,与 的方向不同，故A错误; B中，与 的方向不同，故B错误; C中，与 的方向相反，故C错误; D中,与的方向相同，且长度都等于线段 长度的一半，故D正确. 35 3.(2025·安徽省宿州市期中)已知,,,是平面内不共线的四点，则“ ”是“四 边形 为平行四边形”的( ) C A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【解析】因为,,, 是平面内不共线的四点， 若，则有且，故四边形 为平行四边形； 若四边形为平行四边形，则有 . 故“”是“四边形 为平行四边形”的充要条件.故选C. 36 4.[多选题](2025·甘肃省酒泉市期末)下列条件中能得到 的是( ) CD A. B.与 的方向相同 C.，且与的方向相同 D.且 【解析】等价于, 长度相等，方向相同. 对于A，由不能确定, 方向是否相同，故A错误； 对于B，与 的方向相同，但长度不确定是否相等，故B错误； 对于C，当，且与的方向相同时， ，故C正确； 对于D，由所有的零向量相等，可得 ，故D正确. 故选 . 37 5.［多选题］下列命题错误的是( ) ABC A.若，则 B.若，则 C.若，则 D.若，则 【解析】对于A,C，两个向量的模相等，方向不一定相同或相反，故A,C错误. 对于B,两个向量不能比较大小，故B错误. 对于D，若一个向量的模等于0，则这个向量是 ，故D正确. 38 图1.1-3 6.如图1.1-3，是正三角形的中心，四边形和 均为平行四边形，则图中的向量与向量 相等的向量为____； 向量 的相反向量为________.（填图中所画出的向量） 【解析】是正三角形的中心， ，易知 四边形和四边形均为菱形， 与 相等的向量为 ,与的模相等，方向相反的向量为， . 39 7.如图1.1-4，在中，的平分线交于点.若的模为2， 的模为 3，的模为1，则 的模为__. 图1.1-4 40 【解析】如图D 1.1-1，过点作的平行线，交的延长线于点 . 图D 1.1-1 因为 , 所以 . 因为,所以 , 所以，故 . 41 8.如图1.1-5所示，在中，是两对角线，的交点，设点集， ， ，，，向量集合,，且，不重合，则集合 中元素的个数 为____． 12 图1.1-5 【解析】由题可知，集合中任意两点连成的有向线段共有20个，即，， ， ，，,，,,,,,,,,,,,, . 由平行四边形的性质可知，共有8对相等向量，即,, , ,,,, ． 因为集合中元素具有互异性，所以集合 中元素的个数为12． 42 9.用向量表示小船的下列位移： （1）由地向东北方向航行到达 地； 【答案】小船由地向东北方向航行到达地的位移用向量 表示，如图D 1.1-2（1）所示. 43 （2）由地向北偏西 方向航行到达地,再由地向正南方向航行 到 达 地. 【答案】小船由地经地到达地的位移用向量 表示,如图D 1.1-2（2）所示. 44 图1.1-6 10.如图1.1-6所示的方格纸中每个小方格的边长为1，方格 纸中有两个定点,，点 为小正方形的顶点，且 . （1）画出向量 所有的可能情况; 45 【答案】画出向量所有的可能情况，如图D 1.1-3中，，， ， ，，， 所示. 图D 1.1-3 46 （2）求 的最大值与最小值. 【答案】由图D 1.1-3知， 图D 1.1-3 ①当点位于点或时，取得最小值，为 ; ②当点位于点或时，取得最大值，为 . 故的最大值为,最小值为 . 47 谢谢观看 湘教版A版数学必修第二册 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 48 $