2027届高三数学一轮复习 第四十讲 导数与单调性（二）

**基本信息** 聚焦导数与单调性的比较大小问题，构建“构造辅助函数+多方法比较”的系统性方法体系，逻辑链从原函数与导函数关系到综合应用，培养抽象能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |原函数与导函数混合还原|16种构造法|归纳16类导函数形式对应的辅助函数构造|从导函数特征到原函数构造，建立导数与函数关系的抽象模型| |构造辅助函数比较大小|4题|利用导数研究构造函数的单调性比较大小|结合具体导函数条件，应用构造方法解决比较问题，发展推理能力| |函数性质综合解不等式|4题|综合奇偶性、对称性等性质解抽象函数不等式|融合函数性质与单调性，提升数学思维的综合性| |导数综合拓展|3题（含多选、解答）|极值、零点、切线等综合应用，提炼参数范围求解方法|从基础比较到复杂综合，形成知识应用的递进逻辑链|

2027届高三数学一轮复习 第四十讲 导数与单调性（二） 【学习目标】利用单调性比较大小. 【学习重点】利用单调性比较大小. 【学习难点】利用导数解决具体问题时函数的构造. 必掌握知识点 一、 原函数与导函数混合还原 1、对于，构造， 2、对于，构造 3、对于，构造， 4、对于，构造 5、对于，构造， 6、对于，构造 7、对于，构造， 8、对于，构造 9、对于，构造， 10、对于，构造 11、对于，构造， 12、对于，构造 13、对于，构造 14、对于，构造 15、；；； 16、；． 二 比较大小方法总结. （1） 利用函数与方程的思想，构造函数，结合导数研究其单调性或极值 （2）指、对、幂大小比较的常用方法： ①底数相同，指数不同时，如和，利用指数函数的单调性； ②指数相同，底数不同，如和利用幂函数单调性比较大小； ③底数相同，真数不同，如和利用指数函数单调性比较大小； ④底数、指数、真数都不同，寻找中间变量0，1或者其它能判断大小关系的中间量 ⑤与的大小：a,b大于e指数大则大，a,b小于e底数大则大 （3）转化为两函数图象交点的横坐标 （4）特殊值法 （5）估算法 （6）切线放缩法、基本不等式法、作差法、作商法、平方法 （7）常见函数的麦克劳林展开式： ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ 必考题型全归纳 题型一：构造辅助函数（原函数 + 导函数混合还原），利用单调性比较大小 1．（吉林省梅河口五中（实验班）等联谊校2019-2020学年高三上学期期中数学（文）试题）已知函数在上可导且满足，则下列一定成立的为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】构造函数，求出其导函数说明其单调性，得到不等关系. 【详解】解：令, 则 ，即在定义域上单调递增 即故正确，故选： 【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，属于中档题. 2．（湖北省“荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟2019-2020学年高三上学期10月联考数学（理）试题）已知函数在上可导，其导函数为，若函数满足：，，则下列判断一定正确的是 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先设函数，求导可得函数在为增函数，在为减函数，再由，得，即函数的图像关于直线对称，再结合函数的性质逐一判断即可. 【详解】：令 ，则因为， 所以当时，， 当时，，即函数在为增函数，在为减函数， 又，所以， 则 ，即函数的图像关于直线对称， 则，即即A错误；，即即B错误；，即，即，即C正确；，即，即D错误.故选C. 【点睛】本题考查了分式函数求导、利用导数的符号研究函数的单调性，再结合函数的单调性、对称性判断值的大小关系，重点考查了函数的性质，属中档题. 3．（陕西省商洛市商丹高新学校2019-2020学年高二下学期期中数学（理）试题）已知函数对定义域内的任意都有，且当时其导函数满足，若则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由=得到函数的对称性，得到函数的单调性，结合关系即可得到结论. 【详解】由于函数对定义域内的任意都有=， 可知函数关于对称，根据条件时，有得， 当时递增，当时单调递减， 因为 所以，，因为是对称轴，所以， 所以，所以，故选：C. 【点睛】本题主要考查函数值的大小比较，根据导数判断函数的单调性，再利用对称性、单调性比较大小. 4．（重庆市四川外国语大学附属外国语学校2024-2025学年高二下学期第一学月检测数学试题）函数是定义在上的偶函数，其导函数为，且当时，，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】构造函数，根据题意可得在上是减函数，进而可判断是偶函数，在增函数，把原不等式转化为解不等式，进而，解得即可. 【详解】令，则， 当时，，则，即在上是减函数， 由题意是定义在上的偶函数，所以， 所以，所以是偶函数，在单调递增， 所以，， 又时，，即， 由不等式， 当时，可得，符合题意； 当时，不等式即为，等价为， 所以，解得，且. 综上所述，不等式的解集为．故选：B. 题型二：函数性质综合（奇偶、对称、周期）解抽象函数不等式 5．（福建省泉州第五中学2025届高三下学期5月适应性检测（一）数学试题）已知函数则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分，，三种情况求解即可. 【详解】当，即，又可得， 当时，在上单调递增， 由，可得，解得， 当，即时， 由，可得，所以，解得， 当，即， 由，得，所以， 因为，所以不等式无解， 综上所述：不等式的解集为.故选：C. 6．（上海市奉贤中学2024-2025学年高一上学期12月月考数学试卷）已知函数，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题知函数为偶函数，且在上单调递增，上单调递减，再结合，分和两种情况讨论求解即可. 【详解】函数的定义域为，关于原点对称， ，所以函数为偶函数， 易知，函数在上单调递增， 当时，为增函数，且 则当时，为减函数，且， 所以当时，， 当时，， 则不等式等价于或， 解得或，解得或或，故选：C. 7．（2025年普通高等学校招生全国统一考试·押题卷数学（一））已知函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】构造函数，由是奇函数且是增函数，将原不等式通过转化为不等式计算求解． 【详解】令，则， 可得，，所以，． 因为 ，所以为奇函数． 当时，为增函数，且为连续函数， 则在上单调递增，所以原不等式等价于， 即，即，解得．故选：D． 8．（2025年普通高等学校招生全国统一考试数学（五））已知函数满足：，当时，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分析可知函数的图象关于点对称，根据题意作出函数图象，结合图象分类讨论解不等式即可. 【详解】因为，可知函数的图象关于点对称． 又因为当时，，所以函数的大致图象如图． 结合图象可知，当时，要使，需，则； 当时，要使，需，此时不存在． 故不等式的解集为．故选：D． 题型四：导数综合拓展（极值、零点、切线、拐点、二分法） 9（多选）．（山东省济宁市2024届高三上学期期中考试数学试题）已知函数，，则下列说法正确的是（    ）． A．函数的极大值为 B．当时，用二分法求函数在区间内零点的近似值，要求误差不超过0.01时，所需二分区间的次数最少为6 C．若函数在区间上单调递增，则a的取值范围为 D．若不等式在区间上恒成立，则a的取值范围为 【答案】ACD 【分析】利用导数，结合极值、二分法、单调性、不等式恒成立等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】， 所以在区间上，单调递增； 在区间上，单调递减， 所以当时，取得极大值为，所以A选项正确. 当时，，在上单调递增， 依题意，，在上单调递减， ， 所以所需二分区间的次数最少为，所以B选项错误. 对于C选项，， 由函数在区间上单调递增， 得在区间恒成立， 即在区间恒成立，当时，显然成立， 当时，设，， 所以在区间上，单调递减； 在区间上，单调递增. 所以， 综上所述，的取值范围是. 对于D选项，不等式在区间上恒成立， 即在区间上恒成立， 即在区间上恒成立，设， ， 在上单调递减，当时，， 所以在区间上，单调递增； 在区间上，单调递减， 所以，则a的取值范围为，D选项正确.故选：ACD 【点睛】求解函数极值的步骤：（1）确定的定义域；（2）计算导数；（3）求出的根；（4）用的根将的定义域分成若干个区间，考查这若干个区间内的符号，进而确定的单调区间：，则在对应区间上是增函数，对应区间为增区间；，则在对应区间上是减函数，对应区间为减区间；（5）根据单调性判断出函数的极值. 10．（安徽省安庆市、铜陵市、池州市2023-2024学年高二下学期7月三市联合期末检测数学试题）定义：设是的导函数，是函数的导函数.若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”.经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”且“拐点”就是三次函数图象的对称中心.已知函数（）的对称中心为，则下列说法中正确的是（    ） A．， B．函数有三个零点 C． D．过可以作三条直线与图象相切，则m的取值范围为 【答案】ACD 【分析】对于A，对函数连续两次求导，然后“拐点”的定义列方程组可求出， 对于B，对函数求后由导数的正可求出函数的单调区间，再结合零点的定义分析判断， 对于C，由函数的对称中心得，结合此结论求解即可， 对于D，设切点为，然后利用导数的几何意求出切线方程，转化为关于的方程有3个不等的根，结合图象求解即可. 【详解】对于A，由，可得，则， 因为是对称中心，结合题设中心“拐点”的定义可知， 且，解得，，所以A正确； 对于B，由，，可知，则， 令，可得或， 当，，单调递增； 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 因为，，， 所以函数只有两个零点，所以B错误； 对于C，因为是函数的对称中心，所以， 令， 可得， 所以 ， 所以， 即 ，所以C正确； 对于D，设切点为，由，得，则 切线的斜率为，所以切线方程为， 即， 因为切线经过点，所以，化简得， 由题意可知关于的方程有3个不等的根， 令，则， 由，得或， 当或时，，当时，， 所以在和上递减，在上递增， 所以的极小值为， 极大值为， 所以的大致图象如图所示， 由图象可知当时，直线与的图象有3个交点， 所以当时，关于的方程有3个不等的根， 所以当时，过可以作三条直线与图象相切，所以D正确，故选：ACD 【点睛】关键点点睛：此题考查导数的综合应用，考查导数的几何意义，考查利用导数解决函数零点问题，考查函数的新定义，解题的关键是对函数新定义的正确理解，根据新定义解决问题，考查理解能力和计算能力，属于较难题. 11．（天津市静海一中2020-2021学年高二下学期3月学生学业能力调研数学试题）（1）已知函数，，若函数在单调递减，求实数a的取值范围. （2）已知在R上不是单调函数，则b的取值范围. （3）已知函数在上单调递增，则实数a的取值范围. （4）已知，若对任意两个不等的正实数，，都有恒成立，则实数a的取值范围. （5）以上几个题请你总结一下由单调性求参数范围的解题方法及每种方法的适用条件. 【答案】（1）； （2）； （3）； （4）； （5）答案见解析. 【分析】（1）根据题意，转化为在区间上恒成立，结合二次函数的性质，即可求解； （2）根据函数在R上的单调函数，求得实数的范围，进而求得函数不单调时，实数的范围； （3）根据题意，转化为在上恒成立，进而得到在上恒成立，结合函数的单调性与最值，即可求解. （4）根据题意转化为在上恒成立，结合二次函数的性质，即可求解. 【详解】（1）由题意，函数，可得， 要使得函数在区间单调递减，则满足在区间上恒成立， 根据二次函数的性质，可得，即，解得， 即实数a的取值范围. （2）若函数在R上的单调函数， 因为，可得， 则满足恒成立，可得，解得， 所以函数在R上的单调函数， 则的取值范围. （3）由函数，可得， 要使得函数在上单调递增，则满足在上恒成立， 即在上恒成立， 设，可得，当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 所以当时，函数取得最大值，最大值为， 所以，即，即实数a的取值范围. （4）因为函数，对任意两个不等的正实数，，都有恒成立，所以在上恒成立，即在上恒成立，令， 当时，，可得，即实数a的取值范围. （5）根据（1）（3）可得到如下结论： 对于已知函数的单调性求参数问题： （1）已知可导函数在区间上单调递增，转化为区间上恒成立； （2）已知可导函数在区间上单调递减，转化为区间上恒成立； （3）已知可导函数在区间上存在增区间，转化为在区间上有解； （4）已知可导函数在区间上存在减区间，转化为在区间上有解. 巩固提升： 1．（陕西省咸阳市2022-2023学年高二下学期7月期末理科数学试题）已知函数在区间上单调递增，则实数的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】依题意可得对任意恒成立，分参即可求解. 【详解】因为函数在区间上单调递增， 所以，即对任意恒成立，令，则在上单调递减， 所以，所以，即实数的最小值为.故选：C 2．（2011-2012学年内蒙古包头三十三中高二上学期期末文科数学试卷）已知是R上的单调增函数，则的取值范围是 A．或 B．或 C． D． 【答案】D 【分析】由题意可得，再由可求出的取值范围 【详解】由题意知，恒成立，所以，解得.故选：D 3．（福建省永春县第一中学2017-2018学年高二下学期期中考试数学（理）试题）已知是上的单调增函数，则的取值范围是 A．﹣1b2 B．﹣1b2 C．b﹣2或b2 D．b﹣1或b2 【答案】A 【分析】利用三次函数的单调性，通过其导数进行研究，求出导数，利用其导数恒大于0即可解决问题． 【详解】∵，∴ ∵函数是上的单调增函数，∴在上恒成立 ∴，即.，∴故选A. 【点睛】可导函数在某一区间上是单调函数，实际上就是在该区间上（或）（在该区间的任意子区间都不恒等于0）恒成立，然后分离参数，转化为求函数的最值问题，从而获得参数的取值范围，本题是根据相应的二次方程的判别式来进行求解. 4．（四川省叙永第一中学校2021-2022学年高三上学期第一次月考数学试题）已知函数，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用函数的奇偶性和单调性去掉函数符号，将原不等式化为一元二次不等式问题. 【详解】因为，R，且， 所以是偶函数.因为 当时，，所以在上单调递增. 又因为是偶函数，所以在上单调递减. 所以，即， 所以，即，解得或.故选：D. 5．（山西省应县第一中学校2021届高三上学期开学考试（高二下学期期末）数学（理）试题）函数对定义在上的任意都有，且当时其导函数满足，若，则有（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由，得到函数的图象关于对称，由又当，，得到当时，，递增，当时，，递减，再根据，利用单调性的定义求解. 【详解】因为函数对定义在上的任意都有， 所以函数的图象关于对称， 又当时其导函数满足，所以, 当时，，递增， 同理当时，，递减，因为， 所以 所以，故选：C 【点睛】本题主要考查函数的单调性与导数以及单调性的应用，还考查了转化求解问题的能力，属于中档题. 试卷第1页，共3页 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027届高三数学一轮复习 第四十讲 导数与单调性（二） 【学习目标】利用单调性比较大小. 【学习重点】利用单调性比较大小. 【学习难点】利用导数解决具体问题时函数的构造. 必掌握知识点 一、 原函数与导函数混合还原 1、对于，构造， 2、对于，构造 3、对于，构造， 4、对于，构造 5、对于，构造， 6、对于，构造 7、对于，构造， 8、对于，构造 9、对于，构造， 10、对于，构造 11、对于，构造， 12、对于，构造 13、对于，构造 14、对于，构造 15、；；； 16、；． 二 比较大小方法总结. （1） 利用函数与方程的思想，构造函数，结合导数研究其单调性或极值 （2）指、对、幂大小比较的常用方法： ①底数相同，指数不同时，如和，利用指数函数的单调性； ②指数相同，底数不同，如和利用幂函数单调性比较大小； ③底数相同，真数不同，如和利用指数函数单调性比较大小； ④底数、指数、真数都不同，寻找中间变量0，1或者其它能判断大小关系的中间量 ⑤与的大小：a,b大于e指数大则大，a,b小于e底数大则大 （3）转化为两函数图象交点的横坐标 （4）特殊值法 （5）估算法 （6）切线放缩法、基本不等式法、作差法、作商法、平方法 （7）常见函数的麦克劳林展开式： ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ 必考题型全归纳 题型一：构造辅助函数（原函数 + 导函数混合还原），利用单调性比较大小 1．（吉林省梅河口五中（实验班）等联谊校2019-2020学年高三上学期期中数学（文）试题）已知函数在上可导且满足，则下列一定成立的为（    ） A． B． C． D． 2．（湖北省四地七校考试联盟2019-2020学年高三上学期10月联考数学（理）试题）已知函数在上可导，其导函数为，若函数满足：，，则下列判断一定正确的是 A． B． C． D． 3．（陕西省商洛市商丹高新学校2019-2020学年高二下学期期中数学（理）试题）已知函数对定义域内的任意都有，且当时其导函数满足，若则（    ） A． B． C． D． 4．（重庆市四川外国语大学附属外国语学校2024-2025学年高二下学期第一学月检测数学试题）函数是定义在上的偶函数，其导函数为，且当时，，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 题型二：函数性质综合（奇偶、对称、周期）解抽象函数不等式 5．（福建省泉州第五中学2025届高三下学期5月适应性检测（一）数学试题）已知函数则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 6．（上海市奉贤中学2024-2025学年高一上学期12月月考数学试卷）已知函数，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 7．（2025年普通高等学校招生全国统一考试·押题卷数学（一））已知函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 8．（2025年普通高等学校招生全国统一考试数学（五））已知函数满足：，当时，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 题型四：导数综合拓展（极值、零点、切线、拐点、二分法） 9（多选）．（山东省济宁市2024届高三上学期期中考试数学试题）已知函数，，则下列说法正确的是（    ）． A．函数的极大值为 B．当时，用二分法求函数在区间内零点的近似值，要求误差不超过0.01时，所需二分区间的次数最少为6 C．若函数在区间上单调递增，则a的取值范围为 D．若不等式在区间上恒成立，则a的取值范围为 10．（安徽省安庆市、铜陵市、池州市2023-2024学年高二下学期7月三市联合期末检测数学试题）定义：设是的导函数，是函数的导函数.若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”.经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”且“拐点”就是三次函数图象的对称中心.已知函数（）的对称中心为，则下列说法中正确的是（    ） A．， B．函数有三个零点 C． D．过可以作三条直线与图象相切，则m的取值范围为 11．（天津市静海一中2020-2021学年高二下学期3月学生学业能力调研数学试题） （1）已知函数，，若函数在单调递减，求实数a的取值范围. （2）已知在R上不是单调函数，则b的取值范围. （3）已知函数在上单调递增，则实数a的取值范围. （4）已知，若对任意两个不等的正实数，，都有恒成立，则实数a的取值范围. （5）以上几个题请你总结一下由单调性求参数范围的解题方法及每种方法的适用条件. 巩固提升： 1．（陕西省咸阳市2022-2023学年高二下学期7月期末理科数学试题）已知函数在区间上单调递增，则实数的最小值为（    ） A． B． C． D． 2．（2011-2012学年内蒙古包头三十三中高二上学期期末文科数学试卷）已知是R上的单调增函数，则的取值范围是 A．或 B．或 C． D． 3．（福建省永春县第一中学2017-2018学年高二下学期期中考试数学（理）试题）已知是上的单调增函数，则的取值范围是 A．﹣1b2 B．﹣1b2 C．b﹣2或b2 D．b﹣1或b2 4．（四川省叙永第一中学校2021-2022学年高三上学期第一次月考数学试题）已知函数，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 5．（山西省应县第一中学校2021届高三上学期开学考试（高二下学期期末）数学（理）试题）函数对定义在上的任意都有，且当时其导函数满足，若，则有（    ） A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 1 学科网（北京）股份有限公司 $