小练48 直线与圆锥曲线综合(一)——求弦长、面积等的值或范围-【衡水金卷·先享题】2026年新高考数学拿满基础分自主小练

参考答案及解析 所以抛物线C和双曲线E的标准方程分别为y= 8x,号-y=1 (7分) (2)由题意得直线l:y=x-2,它过抛物线的焦 点(2,0)， 联立y=8 y=x-2, 化简并整理得x2-12x十4=0， 显然△=(-12)2-4×4=128>0，x1十x2=12, 所以AB|=p十x1十x2=4十12=16， (12分) 又点0到直线1的距离为d=一2 √1+1平 2, 所以SA=之×EX16=8VE, 即△AOB的面积为8√2， (15分) 13.解：不妨假设点M在第一象限，设M(a,b)(a,b> 0), 抛物线y=2px(p>0)在第一象限内的解析式为 y=(>0,从而有y=√会 (2分) 记抛物线在点M处的切线为直线I,过点M且垂直 于切线l的直线记为， 则直线1的斜率是√会，直线加的斜率是-√图 所以直线m的方程为y一=√受（红一a).（4分》 设点F关于直线m的对称点为V(s,t),线段FV的 中点为Q,则点Q在直线m上，且FN⊥m, 由题意可知F(号，0)， 则Q(22，) 2a(2s+卫-a) 从而有-b=一√（4 ,①(6分) 因为FN⊥m, 所以直线FN的斜率kN=- ② 2a 5 2 + 由②可得s=tVp ③ (8分) 将@代入①可得号-6=√[(：√医十 )+-a], 化商阳（+号上√罕V ,④(10分) 因为点M(a,b)在y2=2px上，所以b=2pa, 将b=2pa代入④可解得t=b, 所以点M的纵坐标等于点V的纵坐标， 所以MN∥x轴， 9 数学 所以反射光线平行于抛物线的对称轴. (13分) 同理可证，当点M在第四象限时，反射光线平行于 抛物线的对称轴。 (14分) 综上可知，反射光线平行于抛物线的对称轴。(15分) () =1. 整理得后 y =1, 所以曲线E的方程为后一益=1， (3分) (2)因为椭圆E,E关于原点“伸缩”， 所以对椭圆E作变换(x,y)→(ax,λy)(>0),得椭 圆E,父+y=1 4 y=√2x(x≥0) 联立 +=1, 得A(号2) y=√2x(x≥0) 联立 (6分) +2y2=1 得（） 4 所以|AB|=√I+2X 所以号=寸或号最 22 、1 3 解得=2或入=号， 所以箱圆：的方程为十y=1政号+号-1 (9分) (3)对抛物线Eu:x2=2pny作变换(x,y)→（入mx, Any), 得抛物线E1:)=2,则-票 (11分) 又x2=2pa+1y, 所以A1是.则会-六-（合）”， 当心2时，曲名··…会·是 会-（号 1+2+3+…+(w-1) 得A=()一A=1满足该式， 所以A=(） (15分) 小练48直线与圆锥曲线综合（一) 求孩长、面积等的值或范围 1.解：(1)过点F(1,0),且斜率为2的直线1的方程为 y=2(x-1), 数学 设A(x1y),B(x2y2), 联立少二，得2-3+1=0， y=2x-2, △>0，且x1十x2=3, 所以|AB|=x1十x2十p=3十2=5， (6分) (2)易知直线斜率不为0， 设过点F(1,0)的直线1：x=my十1， 联立v=4, x=my+1, ,得y2-4my-4=0, △=16m2+16>0,且y1y2=-4, 则x1x,==1, 16 所以0A·OB=x1x2十y1y2=1-4=-3. (13分) 2.解：1因为箱圆C:号+若=1a>6>0)的右焦点为 F(√3,0)， 则椭圆C的半焦距为c=√3， 由于a=分十，则菊圆的方程变为千写十芳-1， (2分) 将点(1，)代入，得十+亦1， 113 解得6=1或仔=一子（舍去）， 9 每g 所以椭圆C的方程为号十少=1。 (5分) (2)依题意，直线1的斜率不为0，设直线（的方程为 x=my+号A(),B(), x2+4y2=4, 由 x=my+3,消去x并整理得（m+4)y+3y △=9m2+7(m2+4)=16m2+28>0, 7 y1十y2=- 37 m+41业=一4m+ (7分) △OAB的面积S=2|OPI+号IOP|w|= 子1y-, 7 4√m+4 又|y1-y2|=√(y+y2)-4yy= m2十4 设1=√m+(>号)m=-子 ·9 参考答案及解析 所以|y一y|= Vm+ =4t 4 (11分) 因为计是≥8，当且仅当：=子>号即m=时取 等， 于是得|M一1=4。 4 9≤3 t十4t 则S=子1一<1， 所以△OAB面积的最大值为1. (15分) 3.解：(1)因为点P(十，1)在C:y=2x(p>0)上， 所以=1，解得p=2, 所以C的准线方程为x=一1. (4分) (2)由(1)知C:y2=4x, 由题可知直线PA,PB的斜率均存在且不为0， 设A(x1y1),B(x2,),y1,2≠士1， 则k==》-1=4 同理可得k阳一)市' 4 所以k= 4 y+1‘+7=2, 即(y+1)(y+1)=8. (8分) /y=4x, 联立x=y叶m, 得y2-4y-4n=0, 由△=16m2+16n>0得m2+n>0,(*) y1+y=4m,y1y2=-4n, 所以(y1十1)(y+1)=M2十(y+y)+1=-4n+ 4m+1=8, 7 整理得n=m一4， (11分) 所以m(a-寻)=m(m-号)=m-号m 当m=号，m=一合时，等号成立，此时m十1=最> 5 17 0,满足(*)式， 故m(。一子)的最小值为一器。 (15分) 4.解：不妨设F是椭圆的左焦点，右焦点为F1, 根据椭圆的对称性可知|AF:|=|BF|, 所以|AF|+|BF|=|AF|+|AF|=2a,(3分) 根据题意可知直线AB的斜率不可能为0， 参考答案及解析 可设直线AB的方程为x=y,A(x1,y1), B(x2y2), 立层+-1 消x得(m62十a2)y2-ab2=0, Lx=my, △=4a26(m262十a2)>0, 则y1十y2=0,y1y2=一 a262 m26+a2’ (8分) Aa2b /m2b2+b2 则|AB|=√I干m·√m+a=2a√m+Q a 6 -1 =2a m+多 (12分) 因为a>6,所以答>1 所以当m=0时，AB|取得最小值2b, 所以△AFB周长的最小值为2a十2b, (15分) ,解：1少由双曲线C,2-芳=1(6>0)的离心率为万， a=1,可得c=√2，.b=1, 则双曲线C:x2-y=1, 可得双曲线的渐近线方程为y=土x. (5分) (2)易知直线MN斜率存在且不为0，设直线MN的 方程为y=kx-1,k≠0，M(x1,y1),N(x2y), {y=6一1，消去y得1-6)x+26 /x2-y2=1, 联立方程组 -2=0, 1一k2≠0， 2k 2十=-1=>2, 解得1<k<2, △=4k2+8(1-k2)>0, 线段MN的中点为（会是） (10分) “线段MN的中垂线方程为y十= (+) 令x=0得截距=一>2， 即线段MN的中垂线l在y轴上的截距t的取值范 围是(2，十∞). (15分) 6.解：(1)由题意知直线1的斜率一定存在. 设直线l的方程为y=kx十2，D(xDyD), E(xE'yE)· 联立 2-苦=1化简得3-)r-4红-1=0 y=kx+2, ·98 数学 其中k2≠3，△=16k+28(3-k)>0,得k<7且 k2≠3， 4k -7 所以xn十E=3-=3-R: (3分) 因为AD⊥AE,A(1,0),所以AD·AE=0, 即(xn-1)(xE-1)十byE=0,换元后有 (1+k)xDxE+(2k-1)(xD十xE)+5=0, 所以1+)32+2k一1D·+5=0, -7 化简得k2十k一2=0， 解得k=1或k=一2. (5分) 当k=一2时，直线过点A,不符合题意； 当k=1时，满足题意. 所以k=1. (7分) (2)设P(xo,),M(x1,y),N(x2y), 则M市=(-y-y),Pi=(-xy-). 由wi-xpAe[24], 可知20一=A(x一x0), x=21十A型2 1十λ yw-y=λ(y2-y) =当十A丝 因为对-苦=1 /y1十λy2 2 所以（授 2 、1十λ =1 3 且有 y=3x1, y2=-√5x2, 化简得-”=(++2.1分 4λ Saw=1oM·ION1sinξ=E =(a++2)ae[24] 令)=+e[4]： 由对勾函数的性质可知A(a)在[？，1)上单调递减， 在(1,4]上单调递增， 所以h(A)mm=h(1)=2, 4 所以S:的取值范周是[，] (15分) 数学 小练49直线与圆锥曲线综合（二） 证明定点、定直线、定值问题 1.解：(1)如图，设线段AB的中点为D,过点A,B,D作 准线的垂线，垂足分别为A1,B,D1, 由题可知直线x=一1为抛物线C的准线， 则由抛物线的定义可知|AA1=|AF,|BB =BF|, 所以DD,1=号(AA+BB:)=|AB, 所以AD⊥BD,即点D,在以线段AB为直径的 圆上， 所以以线段AB为直径的圆与直线x=一1相切. (5分) (2)易知直线（斜率不为0，设直线！的方程为x= ny+1, x=ny十1， 由{ =4x, 消去x得y2-4ny-4=0,△>0， 所以1为=一4，则x5,=必工=1为定值 16 (9分) (3)由(2)得y1十y2=4n, 则u+a侧一为十行=器 (x1+1)(x2+1) -8n+8n =(x+1)(+D=0, 所以∠AMF=∠BMF (13分) 1 +28=1， [a=2, 2.解：(1)由题意得 = ② 解得b=1, a 2 c=1, a2=b2+c2, ·椭圆E的方程为 +y2=1. 2 (4分) ·99 参考答案及解析 (2)由题意知：直线1斜率存在且不为零，可设l:y= 红+5(k≠0)，M(x1)N(), 5 v=k红+ 由 得1+2)r+5红-兽=0， 2+y2=1 △>0恒成立， (7分) .CN=-2 CM, (）=-2(）=-2… x1-2x1=一x1=一 45k 5(1十2k2) x1·（-2x1)=-2x=- 5(1+2k2) .-2× 45k 7 8 L5(1+22)J 5(1+2k2)' 解得=， 2, (11分) ∴满足条件的直线1存在，其方程为y= 号+停或 y=- + (13分) 3.解：(1)易知直线AB的斜率不为0，设直线AB的方 程为x=my十n,A(1y),B(x2,y2), 由y2p,可得y-2pmy-2pn=0,A>0, 所以y1y2=-2pn, (2分) 因为OA⊥OB,所以OA·OB=0, 所以西十为=茶·芳+%》 =n2-2pn=0, 又n≠0， 所以n=2p, 所以直线AB过定点(2p,0), 所以弦AB与抛物线的对称轴相交于定点(2p,0). (6分) (2)抛物线=2pz(p>0)的焦点F(号，0)， 根据题意可知直线AB的斜率不可能为0， 可设直线AB的方程为x=my十台， （y2=2px, 联立 p消x得y2-2pmy-p2=0, x=my+ 则△=4pm2十4p2>0, (10分) 设A(x1y),B(x2,), 则y1y2=一p, 所以A,B两点到x轴的距离的乘积为|y||y2|=拿满基础分自主小练·数学 班级： 姓名： 小练48直线与圆锥曲线综合（一）一 求弦长、面积等的值或范围 (考试时间：30分钟满分：88分) 1.(13分，教材改编题)已知抛物线C:y2= 3.(15分)已知P(任，1)为抛物线C:y=2px 4x,F为C的焦点，过F的直线l与C交于 A,B两点. (p>0)上的一点，直线x=my十n交C于 (1)若1的斜率为2，求|AB的值； A,B两点，且直线PA,PB的斜率之积 (2)求OA·OB的值. 为2. (1)求C的准线方程； (2)求n口-是)的最小值。 2.(15分，教材改编题)已知椭圆C, b2 1(a>b>0)的右焦点为F(√3,0)，且过点 1,. (1)求C的方程； (2)若过点P(号0)的直线与C交于A,B 两点，O为坐标原点，求△OAB面积的最 大值. 95 4.(15分)过椭圆后+若=1(a>6>0)的中心6,15分)已知A为双曲线C:x-苦=1的 作一条直线交椭圆于A,B两点，F是椭圆 右顶点，过点B(0,2)的直线l交C于D,E 的一个焦点，求△AFB周长的最小值. 两点. (1)若ADLAE,试求直线l的斜率； (2)记C的两条渐近线分别为l1,l2,过C的 右支上一点P的直线与1,2分别交于点 M,N,且M,N位于y轴右侧，若MP= APN,A∈[2,4]，求5aw的取值范用 (O为坐标原点). 5.(15分)E知双曲线C:2-若=16>0)的 离心率为√2 (1)求此双曲线的渐近线方程； (2)若经过点P(0,一1)的直线与双曲线C 的右支交于不同的两点M,N,求线段MW 的中垂线l在y轴上的截距t的取值范围. 96