小练32 数列求和-【衡水金卷·先享题】2026年新高考数学拿满基础分自主小练

拿满基础分自主小练·数学 班级： 姓名： 小练32数列求和 (考试时间：30分钟满分：90分) 1.(15分，教材改编题)计算： 3.(15分，教材改编题)已知等差数列{an}的 (1)0.9+0.99+0.999+…+0.99…9; 前n项和为Sn,且S4=4S2,a2n=2am十1(n∈ n个9 N). (2)(a-1)+(a2-3)+…+(a”-2n+1). (1)求数列{an}的通项公式； (2)若6，=3，令6，=会求数列c.的前n 项和Tm 2.(15分)在①a1=1,a1a5=a;②S3=9,S5 25;③S,=n2,这三个条件中任选一个补充 在下面的问题中。 已知等差数列{am}的前n项和为Sn,且公 差d≠0，若 (1)求数列{an}的通项公式； (2)记6，=，1，求数列b.}的前n项 anan+1 和T· 63 4.(15分)设等差数列{an}的公差为d,前n项 和为Sn,等比数列{bn}的公比为g.已知 6.(15分)已知数列(a)满足号+学+婴+…十 b1=a1,b2=2,q=d,S10=100. (1)求数列{an},{bn}的通项公式； 会=a∈N,数列a满足a=a干2 (1)求数列{am}的通项公式； (2)当d>1时，记c.一会求数列{c)的前 (2)求bn十b1o0-n的值； n项和Tn. (3)求b1+b2+b3+…+b的值. 5.(15分)已知公比大于1的等比数列{an}满 足a3=8,且a1,a2十1，a3成等差数列. (1)求数列{an}的通项公式： (2)记bm为{an}在区间(0，m](m为正整 数)中的项的个数，求数列{bm}的前30项 和T30. —64参考答案及解析 =2(1-品)： (10分) 1 (3)同(2)，Sn= 1一2 =2(1-) 当n趋向正无穷时，二趋向0， 所以Sn无限接近于2， 故全部正方形面积相加“最终”会达到2.(15分) 15,解：(1)由题得a1=1,a2=5,a=11, ·=<3,不满足“G型数列”的定义， a25 .数列{am}不是“G型数列” (4分) (2)(i)正项数列{a,}为“G型数列”， .am+>3,.an+1-am>2am>0, ∴.数列{an}为递增数列. (8分) (i)设数列{bm}的公比为q,q∈N·,且b=3. 数列{b}不是“G型数列”，∴q≤3， bn=an十2， 6=a+1十2 6。an+2=4, .an+1=qan十2g-2. (11分) 数列{an}为“G型数列”， .2=9+29-2>3, a 由(1)可知{an}为递增数列， 、当n趋近于正无穷时，g十24一2趋近于q, 可得q≥3， q=3,经检验，符合题意. ..bn=3", .an=3m-2. (15分) 小练32数列求和 1.解：(1)由题意，记数列{am}的通项公式为am=1一 (品)，前n项和为T, 故0.9+0.99+0.999十…十0.99…9=Tm w个 所以工=(1-)+[1-（品）门+…+ [1-(6)]=-(品+++品) 应》m吉1-) (7分) 1一10 (2)令Sn=(a-1)+(a2-3)+…+(a”-2n+1), 若a=1, 则S,=n-(1+3+…+2m-1）=m-2m,n=n一m: 2 (11分) 若a≠1， ·6 数学 则Sn=(a-1)十(a2-3)+…十(a"-2n十1)=(a+ a2+…+a）-(1+3+…+2m-1）=a1a）-. 1-a (14分) 综上，当a=1时，Sn=n-n2; 当a≠1时，S.=a1二a）-m. (15分) 1-a 2.解：(1)若选①：由a1a=a, 得a1(a1+4d)=(a1十d)2, 即1+4d=(1+d)2,∴.d=2d. d≠0，∴.d=2, ∴.an=1十2(n-1)=2n-1. (6分) 若选②：设等差数列{a}的首项为a1, 由S=9,S=25, (3a1+3d=9, 得 5×4.d=25, 5a1+2 解得/a11, ld=2, .am=1+2(n-1)=2n-1. (6分) 若选③：当n=1时，a1=S=1: 当n≥2时，an=S.-S.-1=2-(n-1)2=2n-1, 显然n=1时也满足am=2n-1, ∴.an=2n-1. (6分) (2)由(1)知am=2n-1, b=1 1 amam+1(2n-1)(2n十1) 1 (9分) 则=(1-+-号+…动市） 11 1 =1-) n (15分) 3.解：(1)设数列{am}的公差为d, 由题意知S,=4S2,am=2a,十1， 即a+12=4(2u+). 2 (4分) a1+(2n-1)d=2[a1+(n-1)d]+1, 化简得 所以数列{an}的通项公式为am=1十2(n-1)=2n- 1. (7分) 2因为-会=0， 3 所以工=了十是+， 3，① 1 3+1,② (10分) ①-②得号T.=号十是 1 2-2n-1 3 30+ 0 数学 所以T=1-+1 (15分) 3 4.解：1)设a1=a,由题意可得ad=2, (10a+45d=100. fa=9. 2 解得2或d=。, (2分) 当(0二时，a,=2m-1,6.=21； (4分) 1d=2 d-时-古2a96=9(号》 a=9, (6分) (2)当d>1时，由(1)知am=2n-1,bn=2m-, T=1+3+5+7…+9…员+…+ 1 (2n-1)·2÷ (10分) 2.=1+3+5+7 1 21 十…十 (2m-3)·2÷+(2m-1)·六， 1 =2+++++…+ -(2n 21 T=6 (15分) 5.解：(1)令公比大于1的等比数列{am}的公比为q, 由题意得 /a=8, /a1q2=8, (3分) l2(a2+1)=a1+a2(a1q+1)=a1+8, 又9>1，解得a=2, 1g=2, 所以an=a1q"-1=2". (6分) (2)由于21=2,2=4,23=8,2=16,25=32， 所以b对应的区间为(0,1]，则b=0: b2,b对应的区间分别为(0,2]，(0,3]，则b2=b=1, 即有2个1： b,b,b,b对应的区间分别为(0,4]，(0,5]，(0,6]， (0,7],则b1=b=b=b,=2,即有22个2： bg,b,…,b1对应的区间分别为(0,8]，(0,9]，…，(0， 15],则b8=b,=…=b15=3,即有23个3； b16,b17,…,b对应的区间分别为(0,16]，(0,17]，…， (0,31],则b1s=b1z==b1=4,即有2个4，(12分) 则T0=b1+b2十b+…+b0=0十2×1+4×2+8X 3+15×4=94. (15分) 6.解：D由数列(a,}满足受+受+受十…+受= n(n∈N"), 6 参考答案及解析 当≥2时，可得十受+学十…十片=一1， 两式相减，可得2=1，所以a,=2”, (4分) 当n=1时，可得受=1，所以a1=2,适合上式， 所以数列{am}的通项公式为an=2。 (6分) (2)由数列{6.}满足b.=。1 1 an十2而-2"十20， 1 1 1 则6.+b0-=2十20+2w十20=2+20十 2" 1 2 20+20·2=2十20十(2+20)20 20十20 1 (2"+20)20=20· (10分) 1 (3)由(2)知bm十bo0-a=26’ 可得6+b:+6十…+b=2千20十2+20十… 十2”+20 1 1 则6，+6十b,十…+6=20+2十20十20十… +2+2 两式相加可得2么十6十么十…十6，)=碧， 所以b十b十a十…+b,=2 99 (15分) 小练33数列的综合应用（一） 1.C【解析】，数列{an冫既是等差数列又是等比数列， .a-1十am+1=2an(n≥2，n∈N"),am-1·a+1=a7, 且an≠0，.(2an-am-1)·am-1=a,即a2-2am· a-1十a-1=0,∴an=a-1,∴.这个数列为常数列， ∴.其前n项和为na1.故选C. 2.B【解析】由各项均为正数的等比数列{a},且 a5=9,可得a4a6=a号=81，所以loga4十logsas= log(a1a6)=log81=4.故选B. 3.B【解析】因为数列{a},{bn}分别为等差数列、等 比数列，所以a3十a:=2a=4,b3bb=b=一8，所以 a4=2,b=-2,则a4十b:=0.故选B. 4.A【解析】充分性：当q=一2时，S,=a(1二g) 1-q 9=3a,所以“g=一2”是“S,=3a1”的充分条件：必 要性：当S=3a1时，若q=1,S=3a1成立；若q≠1， S=a二g)=3a1,解得g=-2,所以当S,=3a 1-g 时，q=1或q=-2,因此“q=-2”是“S=3a1”的不 必要条件.所以“q=一2”是“S:=3a”的充分不必要 条件.故选A. 5.A【解析】设第n轮感染的人数为am,则数列 {an}是首项a1=4,公比q=4的等比数列，由1十S