小练28 复数-【衡水金卷·先享题】2026年新高考数学拿满基础分自主小练

参考答案及解析 所以A市.A心=A站.号(A+AC)=是(A店，A店 +AB.AC),因为∠BAC=60°，AB=4,AC=6,所 以A店.AG=冬×(16+4X6×c0s60)=号，所以 3A店，AG=,故C错误：对于D,BG=BD-G成 =号d-中前=号adA商中×号+ A心，设y=产则B心=（受-1）A范+兰AC,Bd ·A花-[（名-1）A+A]·AC=(名-1： Ai.AC+AC.AC=(号-1)×4×6Xcos601 +÷×36=6y-12+18y=24y-12=-6,解得y= 子，所以y产=子，解得=日故D正确放选 ABD. 13. 【解析】如图， :OA+Oi=OC,∴.OA2+2OA·OB+OB=O心 ∴.1OA12+21OA|·1OB1cos∠AOB+1OB12= 1O元1？，即42+2X4×4×cos∠AOB+4=(43)2, 解得Os∠A0B=合.：0<∠AOB<x, ·∠AOB=号. 14.4【解析】a·b=a|bcos<a,b)=4cos<a,b>= -2,∴c0s<a,b=-合a,b)=1202.如图所示， 60° 1209 b-c b D 设AB=a,AD=b,AC=c,则CB=a-c,CD=b-c, ∠BCD=60°，又∠BAD=120°，.A,B,C,D四点共 圆，∴.当AC为圆的直径时，c最大，此时AB=2, ∠ACB=30°，.AC=4.故c的最大值为4. 15.3 10 ,【解析】由题图可知cos∠EMF=cos<AF,DE), 不妨设{AB,AD}为平面的一组基底，由题意可知 A市-A+萨-A店+号B心=A范+号A市，D成 ·5 数学 Di+A花--A市+号A范，叉因为A创=|Aò= a,A店，Aò=受，所以|A=A店+号Aò √(+号a动)-√+市+号应.市= V++0==+2 √-茄+合-√迹+-动·应 =V+d-0-9,又萨.D成=（蓝+ }A)·(-A市+2A)=-}A市+号A彦 哥ai.A店=-号d+a-0=吉a,所以 os∠BMF=os(A,D2)=A:D雨 A市.D龙 指以mEr-得 16.30【解析】AC=1,BC=√3，AB=2,AC+ BC=AB,∴AC⊥BC.如图，作CD⊥AB,垂足 为D. B :1×5=2CD.:CD=停又≤ d<,<≤，且0≤ci.i< 90,Ci.Cd=CM·Cd1cos(Ci,Ci),当点 M,N均与点B重合时，CM·C最大，最大为 CM.CN=√5X√5Xcos0°=3：当点M与点B重 合，点N与点A重合，或者点M与点A重合，点N 与点B重合时，CM·CV最小，最小为CM·CN= √3×1Xc0s90°=0. 小练28复数 1.C【懈折】高+2i=2+21=-2+i,其共钜 2-4 复数为-2-i.故选C. 2.D【解析】因为3ix=3+i,所以=3十=(3+i)i 32 =4-=号i则…=（分一-）（分+） -3 (合）°-=吕故选D 数学 3.C【解析】之=+a= (1十ai)(1+i)=1-a+ 1-i (1-i)(1+i) 2 1-a =0, ,因为=是纯虚数，所以 2 解得 2≠0， a=1.故选C 4.D【解析】设x=a十bi,a,b∈R,则z=a一bi,由2x一 x=1+3i,得2(a+bi)一(a-bi)=1+3i,即a+3bi= 1十3i,因此a=1,b=1,所以x=1一i.故选D. 5.C【解析】设之=x十yi,x,y∈R,则|z| √x+y,因为2≤||≤4，所以2≤√2+y≤4， 则4x2十y216,所以复数x在复平面内的点位于 以坐标原点为圆心，半径为2到半径为4之间的圆环 部分（包括圆上的点），所以复数之在复平面上的对应 点构成图形的面积为S=4×π一22×π=12π.故 选C. 6.C【解析】设1=a十bi(a,b∈R),则|x|= √/a+6=5,又x2=3+4i,∴.2=(a十bi)(3+4i) =(3a-4b)十(4a十3b)i,·2是纯虚数， 3a-4b=0, 0+3h≠0，{4二3’或-2”=4+3i a2+b=25, 1b=-3,1 或1=一4一3i.x1的虚部为士3.故选C. 7.D【解析】由题图可知，之=一十mi(m>0),则 |x-i=|-m+(m-1)i=√(-m)2+(m-1)2 =5,解得m=4(m=-3舍去)，所以02=(-4,4)， OP=(2,4),则向量O2在向量OP上的投影向量的坐 标为0立：02.0市 =-4,4)·(2,42× OPOP √2+4 2-8×是=（告管）.故选D √2+4平√20√2o 8.B【解析】|x-i=1的几何意义是复数之对应的 点Z到点A(0,1)的距离为1，即点Z在以点 A(0,1)为圆心，1为半径的圆上，之一√3|的几何意 义是点Z到点B(W3,0)的距离.如图所示， y D 0 B主 故|之-√/3|mm=|DB|=|AB|-1=2-1=1.故 选B. 9.BCD【解析】对于A,当点P位于第四象限时 后8限色良所以-2 <3或5<m<7,A错误；对于B,当点P位于第一象 限或第三象限时，(m2-8m十15)(m2-5-14)>0, ·5 参考答案及解析 即(m-3)(m-5)(m十2)(m-7)>0,解得m<-2 或3<m<5或m>7,B正确；对于C,要使点P在直 线y=x上，需m2-8m十15=m2-5m-14,解得m= 号，C正确：对于D,根据题意得m-5m-14=0,解 得m=7或m=-2,D正确.故选BCD. 10.BC【解析】对于A,取1=i,则=-1∈R,而 任R,A错误；对于B,设=1十yi,2=x2十 i,x1y2,h∈R,z十y≠0，则=十y 2gxg十y2i (x1十yi)(x2-2iD=x1x十y业+y1一业i, （x+y2i)(x2-y2iD x十y吃 x吃十y吃 由∈R,得x2y-x1y2=0,则1=（x1yMiD· (x2十y2i)=x1x2+yy2-(x2y1-x1y2)i=x1x2十 y1边∈R,B正确；对于C,由|12|=2x2得2为实 数，设1=c十di,,d∈R,2=a>0,则|12|= |a(c+di)|=a√2+=2a,解得c2+d=4,则 11=(c十di)·(c-di)=c2十d2=4,C正确；对于 D,取刘=i,2=一i,则x12=1=|x1|2,而1≠2， D错误.故选BC. 1l.ABD【解析】设≈=a十bi(a,b∈R),2=c十di(c, d∈R),则1=a-bi,2=c-di,:'十= (a+bi)+(c+di)=(a十c)+(b+d)i,∴.z1+ =(a十c)-(b十d)i,·1十z2=(a-bi)+ (c-di)=(a+c)-(b+d)i,.z1+=z1+z2,A 正确；'1一2=(a十bi)一(c十di)=(a-c)十 (b-d)i,.1-x2=(a-c)-(b-d)i,又1 x2=(a-bi)-(c-di)=(a-c)-(b-d)i, 1一2=一2，B正确；·= (a+tbi)(c+di)=ac+(ad+bc)i+bdi= (ac-bd)+(ad+bc)i,∴.≈·2=(ac-bd)- (ad+bc)i,又：1·=(a-bi)(c+di)=ac+ (ad-bc)i-bdi2=(ac+bd)+(ad-bc)i, 小·≠·，C错误；：4=十 之2 c+di (atbi)(c-di)ac+bci-adi-bdi (c+di)(c-di) c2-d2i2 (ac+bd)+(bc-ad)i ac+bd bc-ad. c+d Γc2+d2 c2+d1, ()=汉“品= 2 c-di (a-bi)(c+di)ac-bcitadi-bdi? (c-di)(c+di) c2-di (actbd)(bc-ad)i actbd c2+d bc-ad i. c2+d c+d “(一)-兰D正确，故选ABD l2.AD【解析】因为e=cosx十isin,所以1= V2e=E(cos平+isin平)=1+i又因为在复数 参考答案及解析 范围内关于x的方程x2十a.x十b=0(a,b∈R)的两 根为之1，之2，所以名十2=一a,且(1十i)2十 a(1+i)+b=0,即(a+b)+(2+a)i=0,则 g十80解阳公2.所以=-aa=2- -i=1-i,|a+bil=|-2+2il=w√(-2)+2= 2√2，故A正确，B错误；又因为e9=cos0十isin0,所 以当0=0时，cos0=1,sin0=0,此时复数e8对应的 点为(1,0)，位于x轴上，故C错误；因为9∈[0，π]， 所以cos9∈[-1,1]，sin∈[0,1]，又因为复数e0 =cos0十isin8对应的点为(cosB,sin0), (cos0-0)2+(sin0-0)2=1,所以复数e(0∈[0， π])在复平面内对应的点的轨迹是半圆，故D正确. 故选AD. 13.(1)2-i (2)-2-i 【解析】由于向量OA是以原点为始点，故终点A的 坐标为(2,1).(1)点A(2,1)关于实轴的对称点B的 坐标为(2，一1)，则向量OB对应的复数为2-i (2)点B(2,一1)关于虚轴的对称点C的坐标为 (一2，一1)，则点C对应的复数是-2一i 14.3V3【解析】方程x2-x十7=0中△=-27<0， ,x2是方程x2一x十7=0的两个复数根，由求 根公式可知=+35=-3 2 x-=(g+3)(3-3） 13√3i=3√3 15.5+E+6-E; 一2i【解析】将O2绕点O按 逆时针方向旋转45°所得向量对应的复数为 (5-i)(os45°+isin45)=5-iD(9+号) -6十巨+6。区.将O立绕点0按顺时针方向旋 2 转60°所得向量对应的复数为（√3-i)[cos(一60）十 in(-60)]=5-b(合-号)=-2i 16.2-i【解析】设复数1=1十2i,22=一2十i,= 一1一2i在复平面上分别对应点A(1,2),B(一2， 1),C(一1，一2)，正方形的第四个顶点对应的坐标 是D(x,y),则其对应的复数为x十yi,则AD=BC, 又AD=(x-1,y-2),BC=(1,-3),∴.(x-1,y 2)=(1,-3),x-1=1,y-2=-3,x=2,y= 一1，故这个正方形的第四个顶点对应的复数是 2-i. 小练29数列的概念 1.B【解析】将各项代入验证，只有B符合.故选B. 2.B【解析】在数列{am}中，a1=9,am+1一am=2n,所 ·5 数学 以a:=a1十(a2-a1)十(a3-a2)十(a4-a3)=9十2十 4十6=21.故选B. 3.C【解折)因为a=3a1=甘2（m∈N),所以 1+3 1-3 =-2,4,=（二=- 1-(-2) 3,a= 1+(-) 1 1-(-) 1十立=3，因为a,=a,所以 2a=, 1一2 数列{a}是以4为周期的周期数列，所以{an}的前 2024项和T2024=a1十a2十a3十…十a2021=506(a1十a2 +a+a)=12,故选C 4.B【解析】交点个数依次构成数列1,3,6,10，…，即 X2,2X3,3X4,4X5,…,由此猜想a.=1 21 2,22 2 所以a,=9X10=45.故选B. 2 5.A【解析】a,=”二厘=”-s十丽- n-w/98 n-√/98 1十⑧-哑，当m≤9时，数列{a,}单调递减，且 n-√98 an<1:n≥10时，数列{an}单调递减，且am>1.它的 前30项中最大项是第10项，最小项是第9项.故 选A. 6.D【解析】对于A,{an}显然是无穷数列，故A正 1一 确：对于B,因为a+1一a,=n十1十n十一n- 1 1一nn十D>0,即a+1>a,所以{a.}是递增数列， 故B正确：对于C,因为a=2,a=2+合-号，a≠ a2,故{am}不是常数列，故C正确；对于D,由B知， {a}是递增数列，当n趋近于无穷大时，a,三”十刀 也趋近于无穷大，所以{am}中无最大项，故D错误. 故选D. 1111、1011、10、9 7.B【解析】a=1a。=5×2a,=13X2×立a =…=×8×品××…××子=20 =0故选B 8.B【解析】数列{am}中，n∈N“,Sa+1=am+1一nam十 2,当n≥2时，S,=am一(n-1)a1十2，两式相减得 am+1=am+1-(n十1)am十(n-1)a-1,即(n十1)anm= (n-1)am-1,因此(n十1)nam=n(n一1)a-1,显然数列 {(n十1)nan}是常数列，而S2=a2-a1十2，解得a1= 1,于是(n十1)ma。=2X1Xa1=2,因此a,=(m十1)元 2 所以1=21X20=210.故选B. 20 2 9.BD【解析】数列中的项是指数列中的每一个数字，拿满基础分自主小练·数学 班级： 姓名： 小练28 复数 (考试时间：30分钟满分：89分) 选择题（单选每题5分，多选每题6分） 9.(多选，教材改编题)已知复数之=(m2一8m 1.(教材改编题)复数52十2i的共轭复数是 +15)+(m2-5m-14)i在复平面内对应的 点为P,则 A.i+2 B.i-2 C.-2-i D.2-i A.当点P位于第四象限时，一2<m<3 2.若复数之满足3iz=3十i,则之· B.当点P位于第一象限或第三象限时， A.-8 B.-9 C.g D.0 m<-2或3<m<5或m>7 C当点P位于直线y=x上时m-号 3.已知i是虚数单位，若之= 中9是纯虚数， D.当点P位于实轴上时，m=7或m=一2 则实数a= 10.（多选)已知复数1，x2（x2≠0)，下列命题 A司 C.1 D.- 2 正确的是 4.设复数之满足2x一之=1十3i,则之= A.若∈R,则1∈R A.-1+i B.-1-i B.若∈R,则12∈R C.1+i D.1-i 5.(教材改编题)设之∈C,则满足2≤z≤4 C.若|12=2x2,则11=4 的复数在复平面上的对应点构成图形的面 D.若之12=|之1|2，则之1=2 积是 11.（多选，教材改编题)已知1，x2∈C,则 A.4π B.8π C.12π D.16π A.之1十22=z1十2 6.(教材改编题)设1,2是两个复数，已知 B.1一2=1一之2 之1=5,2=3十4i,且12是纯虚数，则1 的虚部为 C.之1·2=之1·22 A.-3B.3 C.±3 D.±4 7.如图，复数之对应的向量为OZ,且x一= D()= 5,则向量OZ在向量OP上的投影向量的坐 l2.(多选)欧拉公式er=cosx+isin x(e为 标为 自然对数的底数，ⅰ为虚数单位)是由瑞士 著名数学家欧拉创立，该公式建立了三角 函数与指数函数的关系，在复变函数论中 占有非常重要的地位，被誉为“数学中的 天桥”.若在复数范围内关于x的方程 4(传引) B(后) x2+a.x十b=0(a,b∈R)的两根为之1，z2, 其中1=√2e,则下列结论中正确的是 c(得) D(侍】 A.x2=1-i 8.已知i是虚数单位，复数之满足之一i=1, B.a+bi=√2 则x一的最小值为 C.复数e对应的点位于第二象限 A.√5-1 B.1 D.复数e(0∈[0，π])在复平面内对应的 C.√3+1 D.3 点的轨迹是半圆 55 13.(10分)在复平面内，0是原点，向量0A对15.(5分)设之=3一i对应的向量为0立，将 应的复数是2+i. OZ绕点O按逆时针方向和顺时针方向分 (1)若点A关于实轴的对称点为点B,则 别旋转45°和60°，则所得向量对应的复数 向量OB对应的复数为 分别为 (用代数形式表 (2)若(1)中点B关于虚轴的对称点为点 示). C,则点C对应的复数为 16.(5分)已知复数1=1+2,2=-2+i, 14.(5分，教材改编题)已知x1,x2是方程 3=一1一2i在复平面上对应的点是一个 x2-x十7=0的两个根，则|x1一x2 正方形的3个顶点，则这个正方形的第4 个顶点对应的复数为 —56